四年级奥数详解答案第3讲数阵图

四年级奥数详解答案 第3讲

第三讲 数阵图

一、知识概要

1. 数阵图就是把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的条件。

2. 数阵图的种类，大致分为三种：①封闭型数阵图；②开放型数阵图；③复合型数阵图

3. 解数阵图的一般方法：

(1) 分析隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口，一般选用使用次

数多的数作为关健数。

(2) 依据图中条件，建立所求的和与关健数的关系式，并通过讨论最大值与最小值，以

及试验的办法确定关键数的数值及相等的和。

(3) 对其他部位上的数字一般都是作尝试选填，直至符合题为止

二、典型例题精讲

1. 把1～6这6个数分别填在图中的○内，使每多边上三个○内的数字和相等。

分析指导： 21654321=+++++

∴21+(a+b+c)=(a+d+b)+(b+f+c)+(a+e+c)

a+d+b=b+f+c=a+e+c,且设a+d+b=k

∴有:21+(a+b+c)=3k

当a+b+c 为最小值，即1+2+3=6时，k=9

当a+b+c 为最大值，即6+5+4=15时，k=12

这样就可以确定，三角形每边上的三个○内的数字和在9～12之间

解：(1)当k=9时，a+b+c=6,令a=1,b=2,c=3则：d=9-(2+1)=6 e=9-1-3=5 f=9-2-3=4

其结果如下图所示：

(2)当k=10时，a+b+c=9, 则：a.b.c 的取值有三种可能：

①a=1,b=2,c=6 ②a=1,b=3,c=5 ③a=2,b=3,c=4

-----①种情况，a=1,b=2,c=6,则d=10-1-2=7 (不合题意，舍去)

-----②种情况，a=1,b=3,c=5,则d=10-1-3=6，e=10-1-5=4;f=10-3-5=2,

所以结果如图所示。

------③种情况，a=2,b=3,c=4,则d=10-2-3=5，e=10-2-4=6, f=10-3-4=3,

与b=3

重复，不合题意，舍去。

(3) 当k=11时，则a+b+c=12,这时a 、b 、c 的取值，又有如下几种情况：

①a=1,b=5,c=6,d=11-1-1=5与b=5矛盾，舍去。

②a=2,b=4,c=6,d=11-2-4=5,e=11-8=3,f=11-10=1结果如图所示。

③a=3,b=4,c=5,d=11-7=4,与b=4矛盾，舍去。

(4) 当k=12时，则a+b+c=15,这时a、b、c的取值为a=4,b=5,c=6,

d=12-9=3,e=12-11=1,f=12-10=2 结果如图所示：

综合以上分析，本题有四种不同的填法。

2. 1～12中的部分数字已填入图中，请将其余的数字补充填入，使得每条直线上的

四个数的和都相等。

分析指导：①求出1～12的和。每个○内的数都重复计算了一次，六条直线数字之和

=1～12的和的2倍。

②求出每条直线上的数字之和。

③中间数尝试几次便可试出。

解：①1～12的和：(12+1)×12÷2=78

②每条直线数字之和：78×2÷6=156÷6=26 b+a=26-10-1=15,

则a和b的取值为只能是8和7，这样问题就解决了。结果如图所示：

3. 将1～10这十个数字填入图中的10个○内，使每个四边形四个顶点上各数的和等于

24。

分析指导：这个数的突破口是：题中有3个“正方形”，两个位置上的数字被重复使用。三个“正方形”的顶点上各数的总和应是：24×3=72，而1～10这十

个数字的总和是：(10+1)×10÷2=55，所以中间重复使用的两个数之和应

是：72-55=17， 重复使用的两个数的取值范围有10和7；9和8两种情

况， 本题可能有两种答案，先试第一种：当中间数为10和7时，有：

10+7+1+6=24，10+9+2+3=2，7+8+4+5=2，符合题意，结果如图所示：

再试第二种：当中间数为9和8时，有：

9+8+4+3=24，10+8+5+1=24

9+7+6+2=24，符合题意，结果如图所示

综合上述分析，此题有2种填法。

4. 把1～8各数填入图中的○内，使每个面上四个数的和等于18。

分析指导：这是个立体图形，四个顶点上的数字被重复使用，但没有“关键数”，我们可以“1”这个特殊数填入任意一个位置，则和“1”组成18的情况

有：1+2+7+8=18，1+3+6+8=18，1+4+5+8=18，1+7+6+4=18先将上述任

意一组的四个数放入其中一个面的四个圆圈(大、小数间开)，以其为基

础进行调整，可得到答案。结果如图所示：

5. 20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入图中的○

内，(“3”已填好) ，使得箭头线连接的四数之和都相等。

分析指导：要填的七个数是：1、5、7、11、13、17、19。这七个数之和是：1+5+7+11+13+17+19=73。最后一个○里的数是关键数。因为两头一去

掉，中间只有6个字，(73-1)÷3=24，也就是说，中间每组两数之和

是24。 当最后一个○内填1时，则中间六个数为：5和19，7和17，

11和13，结果如图所示：

当最后一个○内填5时，则中间六个数的和为73-5=68，不能被3整除，不合，舍去。当最后一个○内填7时，则中间六个数的和为73-7=66，66÷3=22，22-19=3，不合，舍去。当最后一个○内填11时，则中间六个数之和为73-11=62，不能被3除，不合舍去。当最后一个○内填13时，则73-13=60，60÷3=20，20-17=3，超出可选范围，不合，舍去。当最后一个○内填17时，则73-17=56，不能被3整除，不合，舍去。当最后一个○内填19时，则73-19=54，54÷3=18，18-17=1，18-13=5，18-11=7。

符合题意，结果如图所示：

综合上面分析，本题有两种填法。

6. 将1～12这十二个数分别填入图中的○内，使每条线上五个数的和相等，并且两个六边形六个顶点上○内的数的和也相等。

分析指导：1.先考虑每条线上五个数和相等 2.再考虑六个顶点上的数的和相等。

1. 1～12的和为：(12+1)×12÷2=78 每行四个○内的数之和应该是78

÷

3=26, 26÷2=13则为两个○内数之和，两数之和为13的情况有：1和12，

2和11，3和10，5和8，6和7如图所示：

2.为满足六个顶点数字之和相等，其数字之和应该是26+13=39。将右图适

当调整可得。结果如图所示。

5 1 11

19 13 17 7 5 17 13 1 5

7 11

19