高等代数和解析几何第七章(1~3习题集)线性变换和相似矩阵答案解析
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第七章线性变换与相似矩阵
习题7.1
习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？
（1）设是线性空间中的一个固定向量，
（Ⅰ），，
解：当时，显然是的线性变换；
当时，有，，则
，即此时不是的线性变换。
（Ⅱ），；
解：当时，显然是的线性变换；
当时，有，，则
，即此时不是的线性变换。
（2）在中，
（Ⅰ），
解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。
（Ⅱ）；
解：是的线性变换。设，其中，，则有
，
。
（3）在中，
（Ⅰ），
解：是的线性变换：设，则
，
，。
（Ⅱ），其中是中的固定数；
解：是的线性变换：设，则
，
，。
（4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；
解：不是线性变换。因为取，时，有，，即。
（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。
解：是的线性变换。对，，有
，
。
习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由
轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向
旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换），
，
；
并说明是否成立。
证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，
，；，，，即，故。
因为，
，所以。
因为，
，所以。
因为，
，所以。
习题7.1.3在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有
。所以。
习题7.1.4设，是上的线性变换。若，证明
。
证明：用数学归纳法证明。当时，有
命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对
也成立。因有
，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且
。
证明：（1）设都是的逆变换，则有，。进而。即的逆变换唯一。
（2）因，都是上的可逆线性变换，则有
，同理有
由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。
习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，，
线性无关。
证明：设，依次用可得
，得，而，故；同理有：，得，
即得；依次类推可得，即得，进而得。
有定义知，，，线性无关。
习题7.1.7设是上的线性变换，证明是可逆线性变换的充要条件为既是单射线性变换又是满射线性变换，即是一一变换。
证明：已知是可逆线性变换，即存在。若，则两端用作用即得，因此是单射线性变换。
若任取，则存在，使得，即是满射线性变换。
已知既是单射线性变换又是满射线性变换，即双射。现定义新的变换：，定有，且有，规定，有，同时有，即有。由定义知是可逆线性变换。
习题7.1.8设是上的线性变换，证明（1）是单射线性变换的充要条件为；（2）是单射线性变换的充要条件为把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。
证明：（1）已知是单射线性变换，对，则有，由单射得，即。
已知，若，则有，得，即得，故是单射。
（2）已知是单射线性变换。设线性无关，现证
也线性无关。令，整
理有，而是单射，有，已知线性无关，所以，故
也线性无关。
已知把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。若，则有，并一定有。否则若，则说明向量线性无关，而表示把线性无关的向量组变为线性相关的向量组，与条件矛盾。而由可得，即是单射线性变换。
习题7.1.9设是中全体可逆线性变换所成的子集，证明关于线性变换的乘法构成一个群。（超范围略）
习题7.1.10设，是上的线性变换，且证明（1）若，则；
（2）若，则。
证明：（1）因为，。所以
，
从而或。又因为
。
故。
（2）因为，，所以
。
习题7.1.11设与分别是数域上的维与维线性空间，是的一个有序基，对于中任意个向量，证明存在唯一的线性映射，使，。
证明：先证明存在性。对任意的，有唯一的线性表达式
我们定义
显然有，。
现验证为到的一个线性映射。
（1）对任意的向量，因为
，由定义得
。
（2）对任意的，因为，由定义得
。所以为到的一个线性映射。
再证唯一性：若另有到的一个线性映射，也使得
，。
则对任意向量，一定有
。
由在中的任意性，可得。
习题7.1.12设与分别是数域上的维与维线性空间，是线性映射。证明是的子空间，是的子空间。又若有限，证明。这时称为的零度，称为的秩。
证明：（1）先证与分别为与的子空间，
对，，有，
所以，故为的子空间；同理，对，
，则，使，，所以
所以为的子空间.
（2）再证
因有限，不妨设，，在中取一个基，再把它扩充为的一个基，则
是像空间的一个基.
事实上，对，存在，使得。
设，则有
即中的任意向量都可由线性表示。
现证向量组线性无关：
设，有，即
，所以向量可由向量组线性表示，进而有
，整理有
，
又因线性无关，所以必有，因此线性无关，即为的一个基，故
。
习题7.1.13证明关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间。
证明：现证明定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法都是从到的线性映射。
事实上，对，，有
故为到的线性映射。同理，对，，有
，
，
故为到的线性映射。
另外线性映射的加法与数量乘法显然满足：