7-2平面简谐波的波动方程

时间推 点O 的振动状态
迟方法 yO A cost
t-x/u时刻点O 的运动状态
t x
点P
u
t 时刻点 P 的运动状态
点P 振动方程
yP
A cos (t
x) u
➢ 波动方程
A y u
y Acos (t x)
u
相位落后法
Ox
P
*
x 点 O 振动方程
设x 0 , 0 0
A
yo A cost
各质点都作简谐运动时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波. 其特点
是在均匀的、无吸收的介质中各质点振幅相同
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
波动方程的推导
设有一以速度u 沿 x 轴正向传播的平面 简谐波 . 令原点O 的初相为零，其振
动方程
设x 0, 0 0
yO Acost
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
波程差 x21 x2 x1
波程差与位相差
2π x
3 若 x, t 均变化，波动方程表示波形沿传播
方向的运动情况.
yu
t 时刻 t t 时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
x ut （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
点 P 比点 O 落后的相位
p
O
2π x
p
2π
x
2π x Tu
x u
yp Acos(t p )
点 P 振动方程
yp
A cos (t
x) u
如果原点的 初相位不为零
y A
u
x 0, 0
O
A
x
点 O 振动方程 yO Acos(t )
波 y Acos[ (t x) ] u 沿x 轴正向
2.5
0.01
T
例2 平面简谐波
y 0.02 cos 5x 200t
式中 x，y 以（m）计，t 以（s）计。 （1）求振幅、波长、频率、周期和波速。 （2）画 t = 0.0025 s 波形图。
解：(1)设波动方程为: y Acos 2 t x T
此波可变为 y 0.02 cos 5x 200t
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 设原点处振动方程为
y Acos(t )
O
y
A
t 0
y 0, v 0 y cos(t )
π
2
所以波动方程为
2
y A cos[(t x ) ] A cos[2 ( t x ) ]
u
T
t 2 当 一定时，波动方程表示该时刻波线上各点相对
其平衡位置的位移，即此刻的波形（广角镜头拍照片—定格）
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）1来自(tx1 )
u
2π ( t T
x1 )
2
(t
x2 )
u
2π ( t T
x2 )
波线上点x1与点x2的位相差
动 方
y Acos[(t ux) ] u 沿x 轴负向
程
u
➢ 波动方程的其它形式 y(x,t) Acos[(t x ) ]
u
2
T
2 2 u Tu
y(x,t) Acos[2 π( t x) ]
Tλ
v 1 2 2v
T
T
y(x, t) A cos[2 (t x ) ]
比较有
0.02
cos
2
t 0.01
x 0.4
A 0.02m，T 0.01s, 0.4m
1 100Hz， u 40 m s1 T
（2）先求 t = 0 时波形方程并画波形图： y 0.02 cos 2 t x
0.01 0.4
0.02cos5x(m) (周期 波长 : 0.4m)
y
cos[(t
x
)
u
]
cos[2 ( t
Tx )
]
m
u2
22 2
2）求t 1.0s 波形图.
y 1.0cos[2 π( t x ) π] m 2.0 2.0 2
t 1.0s
波形方程
y 1.0cos( π π x) m 2
1.0sin(π x) m
波形图为 y / m
1.0
o
2.0
y (5cm) cosπ [(2.50s-1)t (0.01cm-1)x].
解：（比较系数法）设波动方程为:
y A cos 2π ( t x )
T
把题中波动方程改写成
y (5cm) cos 2π [( 2.50 s-1)t ( 0.01 cm-1)x]
2
2
比较得
T 2 s 0.8 s 2cm 200 cm u 250 cm s1
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 .
y 1.0cos[2 π( t x ) π] m 2.0 2.0 2
t = 0→0.0025(s)，波向 x 轴正向前进距离
y(m) x u t 40 0.0025 0.1m 1
0.02
4
O 0.1 0.2 0.3 0.4
xm
方法二:也可将 t = 0.0025(s)代入波动方程， 求得波形方程 y=0.02cos(5πx-π/2), 然后画出波形图
例3 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
振动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
[(t x ) ] [(t 0 ) ] x 2 x
u
u
u
x 2 π x
u
λ
2u
y( x, t) y( x, t T ) （波具有时间的周期性--振动周期性）
波线上各点的简谐运动图
（波具有时间的周期性--振动周期性）
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
§7-2 平面简谐波 的表达式___波动 方程
一 平面简谐波的波动方程 介质中任一质点（同一波线上,坐标为 x）相对其
平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，
即 y(x, t) 称为波动方程.
y y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源和介质中
➢ 质点的振动速度，加速度
v y Asin[(t x) ]
t
u
a
2 y t 2
2 Acos[ (t
x) u
]
严格区分两种速度(波速和振动速度)
波速(相速)
u
T
二 波动方程的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
1 当 x 一定时， 波动方程表示该点质点的简谐