重心和形心

第十讲重心和形心

目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。

教学重点：分割法和负面积法计算形心。

教学难点：对计算形心公式的理解。

教学内容：

§3-4 重心和形心

一、重心的概念：

1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。

2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。

3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。

无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。

二、重心座标的公式：

(1)、重心座标的公式

三、物体质心的坐标公式

在重心坐标公式中，若将G=mg，G i＝m i g代入并消去g，可得物体的质心坐标公式如下：

四、均质物体的形心坐标公式

若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为V i，则G=ρgV,G i＝ρgV i，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下：

式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。

五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：

令式中的∑A i.x i＝A.x c＝S y；

∑A i.y i＝A.y c＝S x

则S y、S x分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。

六、物体重心位置的求法工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下：

1、对称法

凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。

2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。

（1）、悬挂法

利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。

悬挂法确定物体的重心方法见图

(2）、称重法

对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定其重心的位置。例如，用称重法来测定连杆重心位置。如图。

设连杆的重力为G ,重心C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出B端的约束力F B,

则由∑M A(F)=0 F B.L－G.x c＝0

x c＝F B.L/G

(3)、分割法：

工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。此法称为分割法。

下面是平面图形的形心坐标公式：

(4)、负面积法：

仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。

3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式。

下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。

四、求平面图形的形心举例

例1 热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图所示，求该截面形心的位置。解:

方法一（分割法）：

根据图形的组合情况，可将该截面分割成

两个矩形Ⅰ，Ⅱ，C1和C2分别为两个矩形

的形心。取坐标系Oxy如图所示，则矩形Ⅰ，

Ⅱ的面积和形心坐标分别为

A1=120mm×12mm＝1440mm2

x1＝6mm

y1＝60mm

A2＝（80-12）mm×12mm＝816mm2

x2＝12mm＋（80-12）/20=46mm

y2＝6mm

即所求截面形心C点的坐标为（20.5mm，40.5mm）

用负面积法求形心。计算简图如图。

A1＝80mm×120mm＝9600mm2

x1＝40mm y1＝60mm

A2=－108mm×68mm＝－7344mm2

x1＝12mm＋（80－12)mm/2=46mm

y1＝12mm＋（120－12)mm/2=66mm

由于将去掉部分的面积作为负值，方法二又称为负面积法。

例2 试求如图所示图形的形心。已知R＝100mm，r2＝30mm，r3＝17mm。

解:由于图形有对称轴，形心必在对称轴上，建立坐标系Oxy如图所示，只须求出x c，将图形看

成由三部分组成，各自的面积及形心坐标分别为

（1）、半径为R的半圆面：

A1＝πR2/2＝π×(100mm)2/2＝

15700mm2

y1＝4R/(3π)＝4×100mm/(3π)＝Array

42.4mm

(2）、半径为r2的半圆面

A2＝π(r2)2/2＝π×(30mm)2/2＝

1400mm2

y2＝－4r2/(3π)＝－4×30mm/(3π)＝－

12.7mm

（3）、被挖掉的半径为r3的圆面：

A3＝－π(r3)2＝－π(17mm)2＝910mm2

y3＝0

(4）、求图形的形心坐标。由式形心公式可求得

即所求截面形心C点的坐标为（0mm，40mm）