第十一章 互换(金融工程学-中央财大,李磊宁)
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0.105 0.75 0.10 0.25 0.1075 0.5
连续复利和与之等价的每年计m次复利的利率有如下的关 系：
Rc m Rm m e 1
10.75％的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为 2 e0.1075 / 2 1 =0.11044
k * $510
Bfix 4e0.10.25 4e0.1050.75 104e0.111.25 $0.9824
Bfl 100 5.1 e0.10.25 $1.0251
互换的价值：98.4－102.5＝－$427万
利率互换的定价之二（远期利率定价法）：利率
BF 其中 是用外币表示的从互换中分解出来的外币债券的 S0 价值； 是从互换中分解出来的本币债券的价值； 是即 BD 期汇率（直接标价法）。
对付出本币、收入外币的那一方：
V互换 S0 BF BD
案例11-3-4：假设在美国和日本LIBOR利率的期限结
构是平的，在日本是4％而在美国是9％（都是连续复 利），某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元， 利率为5％，同时付出美元，利率为8％。两种货币的本 金分别为1000万美元和120000万日元。这笔互换还有3年 的期限，即期汇率为1美元＝110日元。如果以美元为本 币，那么
上述利率互换可以看成是两个债券头寸的组合：B公 司向A公司购买了一份1亿美元的浮动利率（LIBOR）债券， 同时向A公司出售了一份1亿美元的固定利率（5％的年利 率，每半年付息一次）债券。因此，对B公司而言，这个 利率互换的价值就是浮动利率债券与固定利率债券价值 的差。
定义 B: 互换合约中分解出的固定利率债券的价值。 fix B: fl 互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。 那么，对B公司而言，这个互换的价值就是
第十一章 互换
第十一章 互换
金融互换（Financial Swaps）是约定 两个或两个以上当事人按照商定条件，在 约定的时间内，交换一系列现金流的合约。 利率互换和货币互换是两种基本的互换。
第十一章 互换
第一节 利率互换
利率互换（ Interest Rate Swaps）是指双方同 意在未来的一定期限内根据同种货币的同样的名义 本金交换现金流，其中一方的现金流根据浮动利率 计算出来，而另一方的现金流根据固定利率计算。 互换的期限通常在 2年以上，有时甚至在 15年以上。
f
0.009091e0.051 0.009557 0.009091e0.052 0.010047 0.009091e0.053 0.010562
与利息交换等价的三份远期合约的价值分别为
0.8 60 0.009557 e0.091 20.71万美元
0.8 60 0.010047 e0.092 16.47万美元
案例11-3-1：考虑一个2003年9月1日生效的三年期的
利率互换，名义本金是1亿美元。B公司同意支付给A公司 年利率为5％的利息，同时A公司同意支付给 B公司6个月 期LIBOR的利息，利息每半年支付一次。
B 公司的现金流量
日期 2003.9.1 2004.3.1 2004.9.1 2005.3.1 2005.9.1 2006.3.1 2006.9.1
所以，9个月后那笔现金流交换的价值为
0.5 100 0.08 0.11044 e0.1050.75 141万美元
同样，为了计算15个月后那笔现金流交换的价值，必须 先计算从现在开始9个月到15个月的远期利率。
0.111.25 0.105 0.75 0.1175 0.5
V互换＝Bfl Bfix
固定利率债券 的价格公式
B fix ke riti Le rntn
i 1
n
i ti 距第 次现金流交换的时间（ ：
L ：利率互换合约中的名义本金额。
1 i n ）。
ri ti LIBOR零息票利率。 ：到期日为 的
：支付日支付的固定利息额。 k
在浮动利率债券支付利息的那一刻，浮动利率债券的价 值为其本金。假设利息下一支付日应支付的浮动利息额 k* 为 ，那么在下一次利息支付前的一刻，浮动利率债券的 k* t1 价值为 Bfl L 。令距下一次利息支付日的时间 ，那 么今天浮动利率债券的价值应该为：
第十一章 互换
第二节 货币互换
货币互换（Currency Swaps）是将一种货币的本 金和固定利息与另一货币的等价本金和固定利息进 行交换。货币互换的主要原因是双方在各自国家中 的金融市场上具有比较优势。
第十一章 互换
案例11-2-1：假定英镑和美元汇率为1英镑=1.5000美
元。A想借入5年期的1000万英镑借款，B想借入5年期的 1500万美元借款。但由于A的信用等级高于B，两国金融 市场对A、B两公司的熟悉状况不同，因此市场向它们提 供的固定利率也不同（如表11-2-1所示）。
107 141 179 427万美元
货币互换的定价之一（债券定价法）：在没有违
约风险的条件下，货币互换一样也可以分解成债券的组 合，不过不是浮动利率债券和固定利率债券的组合，而 是一份外币债券和一份本币债券的组合。
如果我们定义 V为货币互换的价值，那么对收入本币、 互换 付出外币的那一方： V互换 BD S0 BF
k * $510
用远期利率定价法计算互换的价值。
解：3个月后要交换的现金流是已知的，金融机构是用10.2％的年
利率换入8％年利率。所以这笔交换对金融机构的价值是
0.5 100 0.08 0.102 e0.10.25 107万美元
为了计算9个月后那笔现金流交换的价值，必须先计算从现在开始 3个月到9个月的远期利率。根据远期利率的计算公式，3个月到9个 月的远期利率为
图11-2-1： 货币互换流程图
10.8%英镑
8%美圆
A
8%美圆
B
12%英镑
第十一章 互换
第三节 互换的定价
互换不过是我们比较熟悉的金融工具的组 合，因此互换的定价就是这些金融工具的定价 的翻版。
利率互换的定价之一（债券定价法）：如果我们
假设没有违约风险，利率互换可以通过分解成一个债券 的多头与另一个债券的空头来定价，也可以通过分解成 一个远期利率协议的组合来定价。
LIBOR(5%) 4.20 4.80 5.30 5.50 5.60 5.90 6.40
收到的浮动利息
支付的固定利息
净现金流
+2.10 +2.40 +2.65 +2.75 +2.80 +2.95
－2.50 －2.50 ―2.50 －2.50 －2.50 －2.50
－0.40 －0.10 ＋0.15 ＋0.25 ＋0.30 ＋0.45
互换还可以分解成一系列远期合约的组合，货币互换中 的每一次支付都可以用一笔远期外汇协议的现金流来代 替。因此只要能够计算货币互换中分解出来的每笔远期 外汇协议的价值，就可以知道对应的货币互换的价值。
案例11-3-4：我们看前例，即期汇率为1美元＝110日
元，或者是1日元＝0.009091美元。因为美元和日元的年 ( r r )(T t ) 利差为5％，根据F Se ，一年期、两年期和三 年期的远期汇率分别为
图11-1-1：利率互换流程图
LIBOR
10%
A
9.95%
B
LIBOR+1%
第十一章 互换
互换以后双方总的筹资成本降低了0.5%（即 11.20%+6个月期LIBOR+0.30%―10.00%―6个月期 LIBOR―1.00%），这就是互换利益。假定双方各分享一 半互换利益，则双方都将使筹资成本降低0.25%，即双方 最终实际筹资成本分别为：A支付LIBOR+0.05%浮动利率， B支付10.95%的固定利率。
A 在固定利率市场上有比较优势，而 B 在浮动利率市场 上有比较优势。这样，双方就可利用各自的比较优势为 对方借款，然后互换，从而达到共同降低筹资成本的目 的。即A以10%的固定利率借入1000万美元，而B以 LIBOR+1%的浮动利率借入 1000万美元。由于本金相同， 故双方不必交换本金，而只交换利息的现金流。即A向B 支付浮动利息，B向A支付固定利息。
BD 0.8e0.091 0.8e0.092 10.8e0.093 964.4
BF 60e0.041 60e0.042 1260e0.043 123， 055
互换的价值是123055/110-964.4=154.3( 万美圆)
货币互换的定价之二（远期汇率定价法）：货币
第十一章 互换
A向B支付10.8%的英镑借款的利息计108万英镑，B向A 支付8.0%的美元借款的利息计 120万美元。互换后A的最 终实际筹资成本降为10.8%英镑借款利息，而B的最终实 际筹资成本变为8.0%美元借款利息加1.2%英镑借款利息。 若汇率水平不变的话，B最终实际筹资成本相当于9.2%美 元借款利息。
美圆利率 英镑利率 A公司 B公司 8% 10% 11.6% 12%
第十一章 互换
A在两个市场都具有绝对优势，但绝对优势大小不 同Hale Waihona Puke BaiduA在美元市场上的绝对优势为2%，在英镑市场上只有 0.4%。这就是说，A在美元市场上有比较优势，而B在英 镑市场上有比较优势。这样，双方就可利用各自的比较 优势借款，然后通过互换得到自己想要的资金，并通过 分享互换收益（1.6%）降低筹资成本。
第十一章 互换
于是，A以8%的利率借入五年期的1500万美元借款， B以12.0%利率借入五年期的1000万英镑借款。然后，双 方先进行本金的交换，即A向B支付1500万美元，B向A支 付1000万英镑。 假定A、B公司商定双方平分互换收益，则A、B公司都 将使筹资成本降低0.8%，即双方最终实际筹资成本分别 为：A支付10.8%的英镑利率，而B支付9.2%的美元利率。
0.8 60 0.010562 e0.093 12.69万美元
与最终的本金交换等价的远期合约的价值为
11.75％的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为 2 e0.1175 / 2 1 =0.12102
所以，15个月后那笔现金流交换的价值为
0.5100 0.08 0.12102 e0.111.25 179万美元
那么，作为远期利率协议的组合，这笔利率互换 的价值为
第十一章 互换
案例11-1-1：假定A、B公司都想借入5年期的1000万
美元的借款，A想借入与6个月期相关的浮动利率借款，B 想借入固定利率借款。但两家公司信用等级不同，故市 场向它们提供的利率也不同，如表11-1-1所示
表11-1-1:市场提供给A、B两公司的借款利率 固定利率 浮动利率 A公司 B公司 10% 11.2% 6个月LIBOR+0.3% 6个月LIBOR+1%
Bfl (L k * )er1t1
案例11-3-2：假设在一笔互换合约中，某一金融机构
支付6个月期的LIBOR，同时收取8％的年利率（半年计一 次复利），名义本金为1亿美元。互换还有1.25年的期限。 3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利率）分别为10 ％、10.5％和11％。上一次利息支付日的6个月LIBOR为 10.2％（半年计一次复利）。在这个例子中 k $400 ，
互换可以看成是一系列用固定利率交换浮动利率的FRA的 组合。只要我们知道组成利率互换的每笔FRA的价值，就 计算出利率互换的价值。运用FRA给利率互换定价的步骤 如下：1.计算远期利率。2.确定现金流。3.将现金流贴 现。
案例11-3-3：假设在一笔互换合约中，某一金融机构
支付6个月期的LIBOR，同时收取8％的年利率（半年计一 次复利），名义本金为1亿美元。互换还有1.25年的期限。 3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利率）分别为10 ％、10.5％和11％。上一次利息支付日的6个月LIBOR为 10.2％（半年计一次复利）。在这个例子中 k $400 ，
连续复利和与之等价的每年计m次复利的利率有如下的关 系：
Rc m Rm m e 1
10.75％的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为 2 e0.1075 / 2 1 =0.11044
k * $510
Bfix 4e0.10.25 4e0.1050.75 104e0.111.25 $0.9824
Bfl 100 5.1 e0.10.25 $1.0251
互换的价值：98.4－102.5＝－$427万
利率互换的定价之二（远期利率定价法）：利率
BF 其中 是用外币表示的从互换中分解出来的外币债券的 S0 价值； 是从互换中分解出来的本币债券的价值； 是即 BD 期汇率（直接标价法）。
对付出本币、收入外币的那一方：
V互换 S0 BF BD
案例11-3-4：假设在美国和日本LIBOR利率的期限结
构是平的，在日本是4％而在美国是9％（都是连续复 利），某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元， 利率为5％，同时付出美元，利率为8％。两种货币的本 金分别为1000万美元和120000万日元。这笔互换还有3年 的期限，即期汇率为1美元＝110日元。如果以美元为本 币，那么
上述利率互换可以看成是两个债券头寸的组合：B公 司向A公司购买了一份1亿美元的浮动利率（LIBOR）债券， 同时向A公司出售了一份1亿美元的固定利率（5％的年利 率，每半年付息一次）债券。因此，对B公司而言，这个 利率互换的价值就是浮动利率债券与固定利率债券价值 的差。
定义 B: 互换合约中分解出的固定利率债券的价值。 fix B: fl 互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。 那么，对B公司而言，这个互换的价值就是
第十一章 互换
第十一章 互换
金融互换（Financial Swaps）是约定 两个或两个以上当事人按照商定条件，在 约定的时间内，交换一系列现金流的合约。 利率互换和货币互换是两种基本的互换。
第十一章 互换
第一节 利率互换
利率互换（ Interest Rate Swaps）是指双方同 意在未来的一定期限内根据同种货币的同样的名义 本金交换现金流，其中一方的现金流根据浮动利率 计算出来，而另一方的现金流根据固定利率计算。 互换的期限通常在 2年以上，有时甚至在 15年以上。
f
0.009091e0.051 0.009557 0.009091e0.052 0.010047 0.009091e0.053 0.010562
与利息交换等价的三份远期合约的价值分别为
0.8 60 0.009557 e0.091 20.71万美元
0.8 60 0.010047 e0.092 16.47万美元
案例11-3-1：考虑一个2003年9月1日生效的三年期的
利率互换，名义本金是1亿美元。B公司同意支付给A公司 年利率为5％的利息，同时A公司同意支付给 B公司6个月 期LIBOR的利息，利息每半年支付一次。
B 公司的现金流量
日期 2003.9.1 2004.3.1 2004.9.1 2005.3.1 2005.9.1 2006.3.1 2006.9.1
所以，9个月后那笔现金流交换的价值为
0.5 100 0.08 0.11044 e0.1050.75 141万美元
同样，为了计算15个月后那笔现金流交换的价值，必须 先计算从现在开始9个月到15个月的远期利率。
0.111.25 0.105 0.75 0.1175 0.5
V互换＝Bfl Bfix
固定利率债券 的价格公式
B fix ke riti Le rntn
i 1
n
i ti 距第 次现金流交换的时间（ ：
L ：利率互换合约中的名义本金额。
1 i n ）。
ri ti LIBOR零息票利率。 ：到期日为 的
：支付日支付的固定利息额。 k
在浮动利率债券支付利息的那一刻，浮动利率债券的价 值为其本金。假设利息下一支付日应支付的浮动利息额 k* 为 ，那么在下一次利息支付前的一刻，浮动利率债券的 k* t1 价值为 Bfl L 。令距下一次利息支付日的时间 ，那 么今天浮动利率债券的价值应该为：
第十一章 互换
第二节 货币互换
货币互换（Currency Swaps）是将一种货币的本 金和固定利息与另一货币的等价本金和固定利息进 行交换。货币互换的主要原因是双方在各自国家中 的金融市场上具有比较优势。
第十一章 互换
案例11-2-1：假定英镑和美元汇率为1英镑=1.5000美
元。A想借入5年期的1000万英镑借款，B想借入5年期的 1500万美元借款。但由于A的信用等级高于B，两国金融 市场对A、B两公司的熟悉状况不同，因此市场向它们提 供的固定利率也不同（如表11-2-1所示）。
107 141 179 427万美元
货币互换的定价之一（债券定价法）：在没有违
约风险的条件下，货币互换一样也可以分解成债券的组 合，不过不是浮动利率债券和固定利率债券的组合，而 是一份外币债券和一份本币债券的组合。
如果我们定义 V为货币互换的价值，那么对收入本币、 互换 付出外币的那一方： V互换 BD S0 BF
k * $510
用远期利率定价法计算互换的价值。
解：3个月后要交换的现金流是已知的，金融机构是用10.2％的年
利率换入8％年利率。所以这笔交换对金融机构的价值是
0.5 100 0.08 0.102 e0.10.25 107万美元
为了计算9个月后那笔现金流交换的价值，必须先计算从现在开始 3个月到9个月的远期利率。根据远期利率的计算公式，3个月到9个 月的远期利率为
图11-2-1： 货币互换流程图
10.8%英镑
8%美圆
A
8%美圆
B
12%英镑
第十一章 互换
第三节 互换的定价
互换不过是我们比较熟悉的金融工具的组 合，因此互换的定价就是这些金融工具的定价 的翻版。
利率互换的定价之一（债券定价法）：如果我们
假设没有违约风险，利率互换可以通过分解成一个债券 的多头与另一个债券的空头来定价，也可以通过分解成 一个远期利率协议的组合来定价。
LIBOR(5%) 4.20 4.80 5.30 5.50 5.60 5.90 6.40
收到的浮动利息
支付的固定利息
净现金流
+2.10 +2.40 +2.65 +2.75 +2.80 +2.95
－2.50 －2.50 ―2.50 －2.50 －2.50 －2.50
－0.40 －0.10 ＋0.15 ＋0.25 ＋0.30 ＋0.45
互换还可以分解成一系列远期合约的组合，货币互换中 的每一次支付都可以用一笔远期外汇协议的现金流来代 替。因此只要能够计算货币互换中分解出来的每笔远期 外汇协议的价值，就可以知道对应的货币互换的价值。
案例11-3-4：我们看前例，即期汇率为1美元＝110日
元，或者是1日元＝0.009091美元。因为美元和日元的年 ( r r )(T t ) 利差为5％，根据F Se ，一年期、两年期和三 年期的远期汇率分别为
图11-1-1：利率互换流程图
LIBOR
10%
A
9.95%
B
LIBOR+1%
第十一章 互换
互换以后双方总的筹资成本降低了0.5%（即 11.20%+6个月期LIBOR+0.30%―10.00%―6个月期 LIBOR―1.00%），这就是互换利益。假定双方各分享一 半互换利益，则双方都将使筹资成本降低0.25%，即双方 最终实际筹资成本分别为：A支付LIBOR+0.05%浮动利率， B支付10.95%的固定利率。
A 在固定利率市场上有比较优势，而 B 在浮动利率市场 上有比较优势。这样，双方就可利用各自的比较优势为 对方借款，然后互换，从而达到共同降低筹资成本的目 的。即A以10%的固定利率借入1000万美元，而B以 LIBOR+1%的浮动利率借入 1000万美元。由于本金相同， 故双方不必交换本金，而只交换利息的现金流。即A向B 支付浮动利息，B向A支付固定利息。
BD 0.8e0.091 0.8e0.092 10.8e0.093 964.4
BF 60e0.041 60e0.042 1260e0.043 123， 055
互换的价值是123055/110-964.4=154.3( 万美圆)
货币互换的定价之二（远期汇率定价法）：货币
第十一章 互换
A向B支付10.8%的英镑借款的利息计108万英镑，B向A 支付8.0%的美元借款的利息计 120万美元。互换后A的最 终实际筹资成本降为10.8%英镑借款利息，而B的最终实 际筹资成本变为8.0%美元借款利息加1.2%英镑借款利息。 若汇率水平不变的话，B最终实际筹资成本相当于9.2%美 元借款利息。
美圆利率 英镑利率 A公司 B公司 8% 10% 11.6% 12%
第十一章 互换
A在两个市场都具有绝对优势，但绝对优势大小不 同Hale Waihona Puke BaiduA在美元市场上的绝对优势为2%，在英镑市场上只有 0.4%。这就是说，A在美元市场上有比较优势，而B在英 镑市场上有比较优势。这样，双方就可利用各自的比较 优势借款，然后通过互换得到自己想要的资金，并通过 分享互换收益（1.6%）降低筹资成本。
第十一章 互换
于是，A以8%的利率借入五年期的1500万美元借款， B以12.0%利率借入五年期的1000万英镑借款。然后，双 方先进行本金的交换，即A向B支付1500万美元，B向A支 付1000万英镑。 假定A、B公司商定双方平分互换收益，则A、B公司都 将使筹资成本降低0.8%，即双方最终实际筹资成本分别 为：A支付10.8%的英镑利率，而B支付9.2%的美元利率。
0.8 60 0.010562 e0.093 12.69万美元
与最终的本金交换等价的远期合约的价值为
11.75％的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为 2 e0.1175 / 2 1 =0.12102
所以，15个月后那笔现金流交换的价值为
0.5100 0.08 0.12102 e0.111.25 179万美元
那么，作为远期利率协议的组合，这笔利率互换 的价值为
第十一章 互换
案例11-1-1：假定A、B公司都想借入5年期的1000万
美元的借款，A想借入与6个月期相关的浮动利率借款，B 想借入固定利率借款。但两家公司信用等级不同，故市 场向它们提供的利率也不同，如表11-1-1所示
表11-1-1:市场提供给A、B两公司的借款利率 固定利率 浮动利率 A公司 B公司 10% 11.2% 6个月LIBOR+0.3% 6个月LIBOR+1%
Bfl (L k * )er1t1
案例11-3-2：假设在一笔互换合约中，某一金融机构
支付6个月期的LIBOR，同时收取8％的年利率（半年计一 次复利），名义本金为1亿美元。互换还有1.25年的期限。 3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利率）分别为10 ％、10.5％和11％。上一次利息支付日的6个月LIBOR为 10.2％（半年计一次复利）。在这个例子中 k $400 ，
互换可以看成是一系列用固定利率交换浮动利率的FRA的 组合。只要我们知道组成利率互换的每笔FRA的价值，就 计算出利率互换的价值。运用FRA给利率互换定价的步骤 如下：1.计算远期利率。2.确定现金流。3.将现金流贴 现。
案例11-3-3：假设在一笔互换合约中，某一金融机构
支付6个月期的LIBOR，同时收取8％的年利率（半年计一 次复利），名义本金为1亿美元。互换还有1.25年的期限。 3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利率）分别为10 ％、10.5％和11％。上一次利息支付日的6个月LIBOR为 10.2％（半年计一次复利）。在这个例子中 k $400 ，