非欧几何的产生与发展
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C
p
(a) (a) q
a
A
B
P P P D
假设过直线外一点，至少可以 引两条直线与已知直线平行。
C
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B
A
D
a 0时
(a) 2
C
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a
B
D
a 时 (a) 0
罗氏几何推出的一些结论
（1）三角形内角之和小于两直角，并且 内角和是变化的；
几何上的哥白尼——罗巴切夫斯基
在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫 斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几 何的另一位发现者德国的高斯也不肯公开支持他 的工作。1846年，他失去了在喀山大学的所有职 务，被迫离开终身热爱的大学工作。 但是，罗巴切夫斯基从来没有动摇过对新几何远 大前途的坚定信念。直到1855年，在身患重病， 卧床不起的困境下，这位双目已失明的老人也没 停止对非欧几何的研究，口述发表了他的最后一 部巨著《泛几何学》。
刚毅的罗巴切夫斯基
此后，罗巴切夫斯基就饱尝“黄蜂绕耳”的滋味： 不少权威人物称其学说是“荒唐透顶的伪科学”;有 人 写匿名信说他是“疯子”;有人用漫画进行讽刺挖苦; 德国大诗人歌德的讽刺诗：
有几何兮，名曰非欧，自己嘲笑，莫名奇妙！ 彼得堡科学院院士奥斯特罗格拉茨基：
看来，作者旨在写出一部使人不能理解的著 作，他达到了自己的目的……由此我得出结论，罗 马切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得 科学院的注意。
1913年，物理学家给出了罗氏几何在相对论里的应用
1947年，人们在心理学的研究中，发现视觉空间最好
用罗氏几何来描述。
18
“欧洲数学之王”高斯
高斯是当时数学界首屈一指的数 学巨匠，负有“欧洲数学之王”的 盛名。
早在1792年，即罗巴切夫斯基诞 生的那一年，他就已经产生了非 欧几何思想萌芽，到了1817年已 达成熟程度。
创新的罗巴切夫斯基
罗巴切夫斯基是从1815年着手 研究平行线理论的。1826年2 月23日，罗巴切夫斯基于喀山 大学物理数学系学术会议上宣 读了他的第一篇关于非欧几何 的论文《几何学原理及平行线 定理严格证明的摘要》，这篇 首创性论文的问世，标志着非 欧几何的诞生。
罗巴切夫斯基 （俄国，1792—1856 ）
进取的J·鲍耶
J·鲍耶的父亲是数学教授，也是
高斯的朋友。当父亲知道儿子的
志趣时，坚决反对并写信责令其
停止研究，“它将剥夺你所有的
鲍耶·亚诺什 （匈牙利，1802－1860）
闲暇、健康、思维的平衡以及一生的快乐，这个无
底的黑暗将会吞吃掉一千个灯塔般的牛顿。”但小
鲍耶仍乐此不疲。
懦弱的J·鲍耶
1832年2月14日，父亲将小鲍耶的一篇有关非欧几 何的论文寄给高斯，请高斯对他儿子的论文发表意 见，然而高斯回信说：“称赞他就等于称赞我自己。 整篇文章的内容，你儿子所采取的 思路和获得的结果，与我在30至35 年前的思考不谋而合。”小鲍耶对 高斯的答复深感失望。又1840年俄 国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几 何的德文著作出版后，更使小鲍耶 灰心丧气，他从此便完全放弃了研 究数学。
萨凯里
克吕格尔
非欧几何的产生 和发展
高斯
非欧几何 的诞生
罗巴切夫斯基
J·鲍耶
罗氏几何的五条公设：
（1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。 （2）一条有限直线可以继续延长。 （3）以任意点为心及任意的距离可以画圆。 （4）凡直角都彼此相等。
（5）过直线外的一点至少可以引两条直线与已 知直线平行。
z3
。
z1
以非欧平面内任一点为中心，
以任意正数长为半径可以作
z4
z2
C
一个非欧圆。
凡直角都相等。
。
设l是圆内任一条非欧 直线，点z0不在l上，
B
l1 z0 l
l2
C
A
那么可以过z0作无穷多条 非欧直线不与l相交。
角非 之欧 和三 小角 于形 180 三 度内
3 4 180
z2
3
1
2
4
z3
z1
（5）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若 在某一侧的两个内角的和小于二直角的和， 则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。 ——几何学中的家丑 3
平行公设的一些等价命题
相似三角形存在。
2
三角形的内角和 是180度。
1
过直线外一点，只 能作一条直线与已 知直线平行。
4
一些平行公设研究者
托勒密 （古希腊）
1 3 2 4
1 2 180
非欧几何的意义：
（1）是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它把人 从传统的思想束缚中解放出来，从此，数学认识从以 直观为基础的时代进入了以理性为基础的时代，数学 表现为人类思维的自由想象。
（2）不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物
理学、天文学和人类时空观念的变革都产生深远影响
古代数学家
奥马·海亚姆 （古阿拉伯）
纳西尔·丁 （古阿拉伯）
萨凯里 （意大利）
近代数学家
克吕格尔 （德国）
兰伯特 （瑞士）
替换平行公设也 能展开新的无矛 盾的几何学道路
吗？
兰伯特
三角形的三内角之和小于 两个直角？ 过直线外一点，有无穷多 条直线不与该直线相交？ 怎么可能？？?
萨凯里，你没错 哦！只是结论似 乎与经验不符。 平行公设能证明 吗？
（2）不存在面积任意大的三角形； （3）同一直线的垂线和斜线不一定相交； （4）如果两个三角形的三个内角
相等，它们就全等。
庞加莱罗氏几何模型
圆C是一个非欧平面
z1 C
圆内任一点 z1都是 非欧平面内的点
z2
圆上任一点 z2都是无穷远点
罗氏几何五条公设
过圆内任意两点可以作一条非欧直线段。
。
一非欧直线可以沿两个方向无限延长。
高斯（德，1777－1855）
保守的高斯
但是，高斯感到自己的发现与当时流行的康德空间 哲学相抵触，担心受到世俗的攻击并激起学术界的 不满和社会的反对，因此，他生前一直没敢把自己 的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果 写在日记和与朋友的往来书信中。
他曾在给贝塞尔的一封信中说： 如果他公布自己的这些发现， “黄蜂就会围着耳朵飞”，并会 “引起波哀提亚人的叫嚣”。
（1）是古希腊wk.baidu.com学家所著的一部数 学著作；
（2）是世界上最著名、最完整且流 传最广的数学著作；
（3）是数学史上的第一座理论丰碑， 最大功绩是确立数学演绎范式。
（4）被誉为西方科学的“圣经”。
欧几里得《几何原本》的五条公设：
（1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。 （2）一条有限直线可以继续延长。 （3）以任意点为心及任意的距离可以画圆。 （4）凡直角都彼此相等。
C
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假设过直线外一点，至少可以 引两条直线与已知直线平行。
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罗氏几何推出的一些结论
（1）三角形内角之和小于两直角，并且 内角和是变化的；
几何上的哥白尼——罗巴切夫斯基
在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫 斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几 何的另一位发现者德国的高斯也不肯公开支持他 的工作。1846年，他失去了在喀山大学的所有职 务，被迫离开终身热爱的大学工作。 但是，罗巴切夫斯基从来没有动摇过对新几何远 大前途的坚定信念。直到1855年，在身患重病， 卧床不起的困境下，这位双目已失明的老人也没 停止对非欧几何的研究，口述发表了他的最后一 部巨著《泛几何学》。
刚毅的罗巴切夫斯基
此后，罗巴切夫斯基就饱尝“黄蜂绕耳”的滋味： 不少权威人物称其学说是“荒唐透顶的伪科学”;有 人 写匿名信说他是“疯子”;有人用漫画进行讽刺挖苦; 德国大诗人歌德的讽刺诗：
有几何兮，名曰非欧，自己嘲笑，莫名奇妙！ 彼得堡科学院院士奥斯特罗格拉茨基：
看来，作者旨在写出一部使人不能理解的著 作，他达到了自己的目的……由此我得出结论，罗 马切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得 科学院的注意。
1913年，物理学家给出了罗氏几何在相对论里的应用
1947年，人们在心理学的研究中，发现视觉空间最好
用罗氏几何来描述。
18
“欧洲数学之王”高斯
高斯是当时数学界首屈一指的数 学巨匠，负有“欧洲数学之王”的 盛名。
早在1792年，即罗巴切夫斯基诞 生的那一年，他就已经产生了非 欧几何思想萌芽，到了1817年已 达成熟程度。
创新的罗巴切夫斯基
罗巴切夫斯基是从1815年着手 研究平行线理论的。1826年2 月23日，罗巴切夫斯基于喀山 大学物理数学系学术会议上宣 读了他的第一篇关于非欧几何 的论文《几何学原理及平行线 定理严格证明的摘要》，这篇 首创性论文的问世，标志着非 欧几何的诞生。
罗巴切夫斯基 （俄国，1792—1856 ）
进取的J·鲍耶
J·鲍耶的父亲是数学教授，也是
高斯的朋友。当父亲知道儿子的
志趣时，坚决反对并写信责令其
停止研究，“它将剥夺你所有的
鲍耶·亚诺什 （匈牙利，1802－1860）
闲暇、健康、思维的平衡以及一生的快乐，这个无
底的黑暗将会吞吃掉一千个灯塔般的牛顿。”但小
鲍耶仍乐此不疲。
懦弱的J·鲍耶
1832年2月14日，父亲将小鲍耶的一篇有关非欧几 何的论文寄给高斯，请高斯对他儿子的论文发表意 见，然而高斯回信说：“称赞他就等于称赞我自己。 整篇文章的内容，你儿子所采取的 思路和获得的结果，与我在30至35 年前的思考不谋而合。”小鲍耶对 高斯的答复深感失望。又1840年俄 国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几 何的德文著作出版后，更使小鲍耶 灰心丧气，他从此便完全放弃了研 究数学。
萨凯里
克吕格尔
非欧几何的产生 和发展
高斯
非欧几何 的诞生
罗巴切夫斯基
J·鲍耶
罗氏几何的五条公设：
（1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。 （2）一条有限直线可以继续延长。 （3）以任意点为心及任意的距离可以画圆。 （4）凡直角都彼此相等。
（5）过直线外的一点至少可以引两条直线与已 知直线平行。
z3
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z1
以非欧平面内任一点为中心，
以任意正数长为半径可以作
z4
z2
C
一个非欧圆。
凡直角都相等。
。
设l是圆内任一条非欧 直线，点z0不在l上，
B
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A
那么可以过z0作无穷多条 非欧直线不与l相交。
角非 之欧 和三 小角 于形 180 三 度内
3 4 180
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（5）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若 在某一侧的两个内角的和小于二直角的和， 则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。 ——几何学中的家丑 3
平行公设的一些等价命题
相似三角形存在。
2
三角形的内角和 是180度。
1
过直线外一点，只 能作一条直线与已 知直线平行。
4
一些平行公设研究者
托勒密 （古希腊）
1 3 2 4
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非欧几何的意义：
（1）是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它把人 从传统的思想束缚中解放出来，从此，数学认识从以 直观为基础的时代进入了以理性为基础的时代，数学 表现为人类思维的自由想象。
（2）不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物
理学、天文学和人类时空观念的变革都产生深远影响
古代数学家
奥马·海亚姆 （古阿拉伯）
纳西尔·丁 （古阿拉伯）
萨凯里 （意大利）
近代数学家
克吕格尔 （德国）
兰伯特 （瑞士）
替换平行公设也 能展开新的无矛 盾的几何学道路
吗？
兰伯特
三角形的三内角之和小于 两个直角？ 过直线外一点，有无穷多 条直线不与该直线相交？ 怎么可能？？?
萨凯里，你没错 哦！只是结论似 乎与经验不符。 平行公设能证明 吗？
（2）不存在面积任意大的三角形； （3）同一直线的垂线和斜线不一定相交； （4）如果两个三角形的三个内角
相等，它们就全等。
庞加莱罗氏几何模型
圆C是一个非欧平面
z1 C
圆内任一点 z1都是 非欧平面内的点
z2
圆上任一点 z2都是无穷远点
罗氏几何五条公设
过圆内任意两点可以作一条非欧直线段。
。
一非欧直线可以沿两个方向无限延长。
高斯（德，1777－1855）
保守的高斯
但是，高斯感到自己的发现与当时流行的康德空间 哲学相抵触，担心受到世俗的攻击并激起学术界的 不满和社会的反对，因此，他生前一直没敢把自己 的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果 写在日记和与朋友的往来书信中。
他曾在给贝塞尔的一封信中说： 如果他公布自己的这些发现， “黄蜂就会围着耳朵飞”，并会 “引起波哀提亚人的叫嚣”。
（1）是古希腊wk.baidu.com学家所著的一部数 学著作；
（2）是世界上最著名、最完整且流 传最广的数学著作；
（3）是数学史上的第一座理论丰碑， 最大功绩是确立数学演绎范式。
（4）被誉为西方科学的“圣经”。
欧几里得《几何原本》的五条公设：
（1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。 （2）一条有限直线可以继续延长。 （3）以任意点为心及任意的距离可以画圆。 （4）凡直角都彼此相等。