非欧几何的诞生的意义
数学史复习资料
一、单项选择题1.关于古埃及数学的知识，主要来源于( )。
A.埃及纸草书和苏格兰纸草书B.兰德纸草书和莫斯科纸草书C.莫斯科纸草书和希腊纸草书D. 兰德纸草书和尼罗河纸草书2.以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( )。
A.爱奥尼亚学派B.伊利亚学派C.诡辩学派D.毕达哥拉斯学派3.最早记载勾股定理的我国古代名著是( )。
A.《九章算术》B.《孙子算经》C.《周髀算经》D.《缀术》4.首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( )。
A.中国B.印度C.阿拉伯D.古希腊5.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是( )。
A.斐波那契B.卡尔丹C.塔塔利亚D.费罗6.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”，其发现者是( )。
A.伽利略B.哥白尼C.开普勒D.牛顿7.对古代埃及数学成就的了解主要来源于( )A.纸草书B.羊皮书C.泥版D.金字塔内的石刻8.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？( )A.不可公度数B.化圆为方C.倍立方体D.三等分角9.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的( )A.棱柱B.棱锥C.棱台D.楔形体10.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是( )A.阿耶波多B.婆罗摩笈多C.马哈维拉D.婆什迦罗11.射影几何产生于文艺复兴时期的( )A.音乐演奏B.服装设计C.雕刻艺术D.绘画艺术12.微分符号“d”、积分符号“”的首先使用者是( )A.牛顿B.莱布尼茨C.开普勒D.卡瓦列里13.作为“非欧几何”理论建立者之一的年轻数学家波尔约是( )A.俄国人B.德国人C.葡萄牙人D.匈牙利人14.最早证明了有理数集是可数集的数学家是( )A.康托尔B.欧拉C.魏尔斯特拉斯D.柯西15.在1900年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题的数学家( )A.希尔伯特B.庞加莱C.罗素D.克莱因16．《周髀算经》和（）是我国古代两部重要的数学著作。
非欧几里得几何学（non-Euclidean
⾮欧⼏⾥得⼏何学（non-Euclidean geometry）⾮欧⼏⾥得⼏何学（non-Euclidean geometry）不同于欧⼏⾥得⼏何学的⼏何体系。
简称为⾮欧⼏何。
⼀般是指罗巴切夫斯基⼏何（双曲⼏何）和黎曼的椭圆⼏何。
它们与欧⽒⼏何最主要的区别在于公理体系中采⽤了不同的平⾏公理。
⾮欧⼏何起源于对欧⼏⾥得平⾏公设的讨论。
公元前3世纪初，欧⼏⾥得《⼏何原本》问世，开篇列出定义、公理和公设，其中第五公设是：同⼀平⾯内⼀条直线与另外两条直线相交，若在某⼀侧的两个内⾓之和⼩于⼆直⾓，则这⼆直线经过⽆限延长后在这⼀侧相交。
它不像其他公设那样显然，因此很快就引起⼈们的争议，认为欧⼏⾥得把它放在公理（公设）之列，不是因为它不能证明，⽽是找不到证明，这是欧⼏⾥得⼏何体系的唯⼀“污点”。
2000多年来，许多⼏何学家⽤不同的⽅法试图证明第五公设，可是都失败了，因为在他们的每⼀个所谓“证明”中都引进⼀个新的假定，⽽这个假定等价于第五公设。
公元2世纪，古希腊数学家托勒密试图从欧⼏⾥得其他9个公理、公设以及与平⾏公设⽆关的欧⼏⾥得命题1～28来证明平⾏公设，但假设了两直线平⾏后，另⼀与之相交直线⼀侧内⾓成⽴的东西也必在另⼀侧同样成⽴。
公元5世纪的普罗克洛斯基于亚⾥⼠多德⽤于证明宇宙有限的公理来证明平⾏公设，实际上是把⼀个有问题的公理⽤另⼀个来代替09世纪阿拉伯数学家塔⽐·伊本·库拉在《欧⼏⾥得著名的公设证明》中假设：如果两条直线与第三条直线相交，并且它们在（第三条直线的）某⼀侧靠近或相离，则它的（在第三条直线的）另⼀侧就相离或靠近。
13世纪的纳西尔丁在《平⾏线问题释疑》中也应⽤了这样的假设：同⼀平⾯上的若⼲直线，若在⼀个⽅向上是分离的，则它们在这个⽅向上就不会靠近。
他在此基础上证明了垂线与斜线⼀定相交，⾃⾓内任⼀点必可作⼀直线与⾓的两边都相交等命题，这些都与第五公设等价。
纳西尔丁的⼯作于1663年由英国数学家沃利斯重新阐发，引起欧洲⼈的重视。
非欧几何诞生的意义.doc
非欧几何诞生的意义谈及非欧几何我们就得从它的基础学科——欧式几何入手。
几何学的发源可以追溯的古埃及，几何学的本意是测量的意思，它是古埃及人进行土地测量时的各种经验成果的总结。
“据希腊历史学家Herodotus说，埃及是因为尼罗河每年涨水后需要重定农民土地的边界才产生几何的。
”古希腊人继承和发展了古埃及的几何学，爱奥尼亚学派的领袖和创立人泰勒斯（Thales）和他的学生毕达哥拉斯（Pythagoras）等著名的哲学家和数学家用演绎法将古埃及的“试验几何学”改造为“推理几何学”，晚期的毕达哥拉斯学派（公元前400年左右）已要求数学结果应当根据明白规定的公理用演绎法推出。
欧几里得（Euclid BC330-BC275）集几何学之大成，将前人分散的几何学成果概括总结加以系统化，写成了《几何原本》这部影响历史的著作。
《几何原本》共十三卷，其中五卷为平面几何，五卷为立体几何，三卷为数和比例。
欧几里得几何学是科学史上第一个公理化演绎系统，欧几里得从二十三个名词定义、五条公理（一切科学所共有的真理）、五条公设（只是为某一门科学所接受的第一性原理），共推导出467条定理。
《几何原本》虽然是前人成果的概括总结，“但整部书的陈述方式——一开头就摆出所有的公理，明确提出所有的定义，和有条不紊的一系列定理——这是欧几里得所独创的，此外，定理的《几何原本》的证明有一些遗漏和错误，并且在论证过程中引入了很多没有提出的假定，这些假定是因为在图形上看或直观上显然的事实而无意中用上去的。
另外，欧几里得时代并不十分看重演绎推理，“事实上，希腊人对于从简单演绎法得出的命题是不很看得起的。
希腊人把那些能从定理直接推出的结果称作系或衍论。
Proclus把这种无需非多大力气得出的结果陈作横财或红利。
”《几何原本》中的公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一直线与两直线相交且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
非欧几何的有什么作用
非欧几何的有什么作用黎曼几何本身也是一个自洽的知识体系。
黎曼几何和罗氏几何由于得出的很多结论都不符合欧氏几何，因此它们被统称为非欧几何。
为什么数学家们要“吃饱了撑的”，把我们生活的三维扭曲成各种形状，这种虚构出来的几何学体系有用么？要知道，欧几里得所确定的公理已经经过了两千多年的实践检验。
应该讲，罗巴切夫斯基和黎曼在构建各自的几何学体系时，也不知道它们有多少实际用途。
不过，黎曼作为数学家，他希望一些涉及到曲面的数学问题在解决的时候简单一些。
比如在一个三维的欧几里得空间，一个球面的方程是x^2+y^2+z^2=25，而在黎曼空间中，它就是R=5这么简单。
虽然它们在数学上是等价的，但是形式上差异很大。
黎曼就希望在解决球面和其它曲面的问题时，最好有形式上比较简单一致的表述方式。
但是，在黎曼几何诞生之后的半个多世纪里，它也没有找到太多实际的用途，真正让它为世人知晓的并非其他数学家，而是著名的物理学家爱因斯坦。
在爱因斯坦著名的广义相对论中，所采用的数学工具就是黎曼几何。
根据爱因斯坦的理论，一个质量大的物体（比如恒星），会使得周围的时空弯曲，牛顿所说的万有引力被描述为弯曲时空的一种几何属性，即它的曲率。
爱因斯坦用一组方程，把时空的曲率，其中的物质，能量和动量联系在一起。
之所以采用黎曼几何这个工具，而不是欧氏几何来描述广义相对论，是因为时空和物质的分布是互相影响的，并不像牛顿力学里面所认为的时空是固定的。
特别是在大质量星球的附近，空间被它的引力场弯曲了：在这样扭曲的空间里，光线走的其实是曲线，而不是直线。
1918年，爱丁顿爵士利用日食观察星光曲线的轨迹，证实了爱因斯坦的理论。
这件事也让黎曼几何成为了理论物理学家们很常用的工具。
比如，在过去30年中，物理学家对超弦的理论极度着迷，而黎曼几何（以及由它派生出的共形几何），则是这些理论的数学基础。
此外黎曼几何在计算机图形学和三维地图绘制等领域有广泛的应用。
特别是在计算机图形学中，今天计算机动画的生成离不开它。
欧氏几何与非欧几何
欧氏几何欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。
欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。
19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。
从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。
特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。
凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论。
如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。
1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类。
指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学。
在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。
根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。
欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。
《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。
在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。
在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。
非欧几何的诞生及其给我们的启示论文
非欧几何的诞生及其给我们的启示摘要：数学史上，非欧几何占有特殊的地位．以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨了其对数学学科本身、人类文化、哲学思想的影响；对数学科研者、数学教育工作者及高校学生的启示．关键词：非欧几何；罗巴切夫斯基几何；黎曼几何1 非欧几何的发展史1.1 问题的提出非欧几何的发展源于2 000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”．这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替．从古希腊时代开始到19 世纪的2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题．数学家们主要沿2 条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9 条公理、公设推导出平行公设来．沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795 年苏格兰数学家普雷菲尔（J.Playfair 1748-1819）给出的：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5 世纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy，约公元150 年）做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲尔公设．1.2 问题的解决1.2.1 非欧几何的萌芽沿第二条途径论证第五公设的工作在18 世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里（Saccharin 1667-1733）提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD开始，如果角A 和角B 是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C 和角D 是直角这个论断．萨凯里提出另2 个假设：(1)钝角假设：角C 和角D 都是钝角；(2)锐角假设：角C 和角D 都是锐角．最后在锐角假设下，萨凯里导出了一系列结果，因为与经验认识违背，使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法，开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特（Lambert1728-1777）所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形，其中3 个角为直角，而第5 个角有3 种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾，就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德（A.M.Legendar1752-1833）对平行公设问题也十分关注，他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”．这预示着可能存在着一种新几何．19 世纪初，德国人萨外卡特（schweikart 1780-1859）使这种思想更加明朗化．他通过对“星形几何”的研究，指出：“存在两类几何：狭义的几何（欧氏几何）星形几何．在后一个里面，三角形有一个特点，就是三角形内角之和不等于两直角”．1.2.2 非欧几何的诞生前面提到的一些数学家尤其是兰伯特，都是非欧几何的先驱，但是他们都没有正式提出一种新几何并建立其系统的理论．而著名的数学家高斯（Gauss 1777-1855）、波约（Bolyai 1802-1860）、罗巴切夫斯基（Lobatchevsky1793-1856）就这样做了，成为非欧几何的创始人．高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人．早在1792 年他就已经有一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第五公设不成立．1794 年高斯发现在他的这种几何中，四边形的面积正比于2 个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数，无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几何．他坚信这种几何在逻辑上是无矛盾的，并且是真实的，能够应用的，为此他还测量了3个山峰构成的三角形内角，他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出．但他的测量因为仪器的误差而宣告失败．遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的论著．人们是在他逝世后，从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法．匈牙利青年数学家波约在研究欧几里得第五公设的基础上建立了一种新几何，他称之为“绝对空间中的几何”，并写了一篇26 页的论文《绝对空间的科学》．本论文出版时作为附录附于其父的书《为好学青年的数学原理论著》．当时的波约已建立起非欧几何的思想，并且相信新几何不是自相矛盾的，在1823-11-23 给他父亲的信中，波约写道：“我已得到如此奇异的发现，使我自己也为之惊讶不止”[1]，在非欧几何的3 个发明人中，只有罗巴切夫斯基最早且系统地发表了自己的研究成果．罗巴切夫斯基曾卓越的指出：“直到今天，几何学中的平行线理论还是不完善的，从欧几里得时代以来，两千多年来徒劳无益的努力，促使我们怀疑在概念本身之中并未包括那样的真实情况，它是大家想要证明的，也是可以像别的物理规律一样单用实验（如天文检测）来检验．最后，我肯定了推测的真实性，而且认为困难的问题完全解决了”，“不论是如何给出的，只可以认为是说明，而且数学证明的完整意义不是不应该获得尊重的”[2]．他的工作是在前人的基础上，引用与欧氏第五公设相矛盾的命题，即直线外1 点可作2 条平行线为假设，并且把他同欧氏几何中其它公设和公理相联系．经过推理后，得出3 个结论：（1）用欧氏几何其它公设和公理不能证明欧氏第五公设，即第五公设是独立的；（2）与第五公设相矛盾的公设同欧氏几何其它公设、公理相结合，展开一系列推理，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何学；（3）这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性同物理学中的定理一样，只能凭实验，例如用天文观测来检验．这3条结论显然与欧氏几何不同，是一种全新的几何体系，是罗氏独创性思维的结晶．他的结论是在1826 年2 月的一次学术报告上以《简要叙述平行定理的一个严格证明》为题报告的．由于罗巴切夫斯基对非欧几何的特殊贡献，人们把这种几何称为罗氏几何．1.2.3 非欧几何的发展与确认非欧几何要获得人们的普遍接受，需要确实的建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义．罗巴切夫斯基终其一身努力最后并没有实现这个目标．1854 年，黎曼（G．F．B．Riemann 1826-1866）摆脱高斯等前人把几何对象局限在3 维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间．黎曼仿照传统的微分几何定义流形上2 点之间的距离、流形上的曲线和曲线之间的夹角．并以这些概念为基础，展开对n 维流形几何性质的研究．在n 维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻画曲面弯曲程度的曲率．他指出对于3 维空间，有以下3 种情形：(1)曲率为正常数；(2)曲率为负常数；(3)曲率恒等于0．黎曼指出后2 种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学．黎曼创造的几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何2 条直线都有公共点(交点)．在黎曼几何学中不承认平行线的存在．它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的．黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面．19 世纪70 年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱茵和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义．贝尔特拉米的模型是一个叫“伪球面”的曲面，它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得．贝尔特拉米证明，罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合：也就是说，对应于罗巴切夫斯基几何的每一断言，就有一个伪球面上的内蕴几何事实．这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义．克莱茵的模型比贝尔特拉米的简单明了．在普通欧氏平面上取1 个圆，并且只考虑整个圆的内部．他约定把圆的内部叫“平面”，圆的弦叫“直线”（根据约定将弦的端点除外）．可以证明，这种圆内部的普通（即欧氏）几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实．在克莱茵之后，庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了模型：在欧氏平面内划1 条直线，而使之分为上、下2 个平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所做出的半圆作为罗氏几何的直线，然后对如此规定了的罗氏元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立．这样一来，如果罗氏系统在今后出现了正、反2 个相互矛盾的命题的话，则只要按上述规定之几何元素之间的对应名称进行翻译，立即成为相互矛盾的2 个欧氏几何定理，从而欧氏几何就有矛盾了．因此，只要承诺欧氏几何是无矛盾的，那么罗氏几何一定也是相容的，这就把罗氏几何的相容性证明通过上述庞家莱模型转化为欧氏系统的相容性证明．由于人们承认欧氏几何是相容的，因此，罗氏几何也是相容的．这样一来，就使非欧几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性．至此，历经2 000 余a，非欧几何学作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了，也真正获得了广泛的理解，人们最初的愿望终于变成了现实．2 非欧几何发展史的启示非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤．在这里我们将沿着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义．M．克莱茵（M. Klein）在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么厉害．当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理，并且断定欧氏几何是唯一正确的．但在一百年后，高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”．2.1 对数学学科本身2.1.1 数学发展的相对独立性通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式，使人们清楚地看到数学可以有自己的逻辑体系存在，从而独立发展．数学发展的相对独立性突出表现为：数学理论的发展往往具有超前性，它可以独立于物理世界而进行，可以超前于社会实践，并反作用于社会实践，推动数学乃至于整个科学向前发展．19 世纪前，数学始终与应用数学紧密结合在一起，即数学不能离开实用学科而独立发展，研究数学的最终目的是为了解决实际问题．但是非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学，超越人们的经验．非欧几何为数学创造了一个全新的世界：人类可以利用自己的思维，按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考．于是数学被认为应当是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构．这种观点逐渐被人们了解，于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂[1]．2.1.2 数学的本质在于它的充分自由非欧几何的创立，使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与物理空间的不同．数学家创造出几何理论，然后由此决定他们的空间观．这种建立在数学理论基础上的空间观、自然观，一般并不能否定客观世界的存在等内容，它仅仅强调这样一些事实：人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造．物质世界现实与这种现实的理论，永远是两回事．正因为如此，人类探索知识、建立理论的认识活动才永远没有尽头．非欧几何的创立使人们认识到数学是人的精神的创造物，而不是对客观现实的直接临摹，这样就使数学获得了极大的自由，同时也使数学丧失了对现实的确定性．数学从自然界和科学中解脱出来，继续着它自己的行程．对此，M.克莱茵说：“数学史的这一阶段，使数学摆脱了与现实的紧密联系，并使数学本身从科学中分离出来了，就如同科学从哲学中分离出来，哲学从宗教中分离出来，宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样．现在可以利用乔治.康托的话了：‘数学的本质在于它的充分自由’”．2.1.3 几何观念的更新非欧几何的出现打破了欧氏几何一统天下的局面，使几何学的观念得到更新．传统欧氏几何认为空间是唯一的，而非欧几何的出现打破了这种观念，促使人们对欧氏几何乃至整个几何学的基础问题作深入探讨．2.2.1 非欧几何是敢于向传统挑战、勇于为科学献身的人类精神的产物高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何，但3 人对待新几何的态度是不同的．高斯很早就意识到了新几何的存在，但他没有向世人公布他的新思想，他受康特（Kant）唯心思想的影响，不敢向传统几何学界达2 000 a 之久的欧氏几何挑战，以致推迟了非欧几何的诞生．波约致力于平行公设的研究，终于发现了新几何．这其中还有一个故事，当高斯决定将自己的发现秘而不宣时，波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世，然而高斯回信给他的父亲F.波约中说：“夸奖他就等于称赞我自己．整篇文章的内容，你儿子采取的思路和获得的结果，与我在30 至35 年前的思考不谋而合”[3]，波约对高斯的回答深感失望，认为高斯想剽窃自己的成果，特别是在罗巴切夫斯基关于非欧几何的著作出版后，他更决定从此不再发表论文．罗巴切夫斯基在1826 年公开新几何思想后，并没有得到同代人的理解与赞扬，反而遭到讽刺和攻击，“可是没有任何力量可以动摇罗巴切夫斯基的信心，他像屹立在大海中的灯塔，惊涛骇浪的冲击，十足显出他刚毅的意志，他一生始终为新思想而斗争[4]”．在他双目失明时，还口授完成了《泛几何学》．3 人们发现新几何的过程启示我们：只有突破了对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；只有不畏艰难困苦，勇于为科学献身，才能追求、捍卫超越时代的真理．一般认为高斯、波约、罗巴切夫斯基3 人们同时发现了新几何，这是人们对历史的公正，但人们更喜欢称新几何为罗氏几何，这正是人们对罗巴切夫斯基为科学献身精神的高度赞扬．2.2.2 非欧几何精神促使人们树立宽容、包容一切的产物非欧几何的创立，解放了人类思想，新见解、新观点不断涌现，“数学显现为人类思想的自由创造物”[5]．数学的发展使康托由衷的说道：“数学的本质在于其自由”．这种思想活跃而且民主的艺术气氛，使数学以前所未有的速度向前发展．非欧几何曲折的创建历程及其所带来的数学的发展，使人们意识到自由创造、百家争鸣对科学发展的重要性，促使人们树立宽容、包容一切的精神与美德[6]．2.3 哲学思想方面2.3.1 认识论的变革法国哲学家、数学家彭加莱（Henri Poincare）说过[7]：非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源．简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的，束缚住任何理论的两难论题：即科学的原理要么（感官观察的事实）．他指出：原理可能是简单的任意约定，但是这些约定决不是同我们的心灵和自然界无关的，它们只能靠着一切人的默契才能存在，它们并且紧密地依赖着我们所生活的环境中的实际外界条件．事实上正是由于这一点，对于探索未知或目前无法感知的事物，我们可对自然界的认识作某种“默契约定”，这是认识一切事物的开始和基础．另外，我们在理论评判中，放弃非彼即此的评判，爱因斯坦就说过[8]：这种非彼即此的评判是不正确的．这些评判家、数学家的评判无疑是非欧几何创立后，其对思想、理论建立，特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的内在影响，像“相对论”的产生、特别是对时空的进一步认识，集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果．非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消[9,10]．2.3.2 打破人类的传统思维方式分析和评价一种理论的首要依据应该是看其是否有“相容性”，即它是否有或会得出自相矛盾的结论．如果一个理论尚不能“自圆其说”，说明这一理论要么还只是人类经验的一种简单表述和列举，还没有进化到“理论”的高度；要么至少还需要进一步完善和改进．本来非欧几_何与欧氏几何理论建立的前提是矛盾的，而欧氏几何已被普遍接受．是否接受非欧几何势必产生这样的问题，矛盾的前提是否一定能够导出矛盾的结果？传统的思维方式认为这是一定的，即矛盾的前提必然导致矛盾的结果．接受非欧几何就意味着要冲破这一传统思维方式的束缚．随着时间的推移，特别是非欧几何的成果的广泛应用，使人们认识到：我们在建立理论的过程中不能保证矛盾的前提一定能导出矛盾的结果．因此，在理论的建立过程中，相容性是必须具备的[11]，特别是在导出某个结论的过程中，我们必须清醒的认识到建立的理论体系是否具有无矛盾性、是否具有排中性．2.4 对数学科研者2.4.1 勇敢面对在科学探索路途上的暴风雨在科学探索的征途上，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗．罗巴切夫斯基的新学说，违背了2 000 多a 来的传统思想，动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威基础，同时也违背了人们的“常识”．他的学说一发表，社会上的嘲弄、攻击，甚至侮辱、谩骂，暴雨般地袭来：科学院拒绝接受他的论文；大主教宣布他的学说是“邪说”；大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“伪科学”，是一场“笑话”；即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着“对一个错误的怪人的宽容和惋惜态度”；连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何，如德国诗人歌德，在他的名著(浮士德)中写下了这样的诗句：“有几何兮，名曰：‘非欧’，自己嘲笑，莫名其妙”．面对种种攻击、嘲笑，罗巴切夫斯基毫不畏惧，寸步不让，他像屹立在大海中的灯塔，表现出一个科学家“追求科学需要的特殊勇敢”．罗巴切夫斯基坚信自己学说的正确性，为此奋斗一生．从1826 年发表了非欧几何体系后，又陆续出版了《关于几何原本》等8本著作．在他逝世前1 a，他的眼睛差不多瞎了，还口述，用俄、法2 种文字写成他的名著《泛几何学》．罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士．同样，一名数学工作者，特别是声望较高的学术专家，正确识别出那些已经成熟的或具有明显现实意义的科技成果并不难，难的是及时识别出那些尚未成熟或现实意义尚未显露出来的科学成果．数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折甚至会面临更多危机的．我们每一位科学工作者，既应当作一名勇于在逆境中顽强点头的科学探索者，又应当成为一个科学领域中新生事物的坚定支持者．2.4.2 正确对待数学领域里的成就数学是一门历史性或者说积累性很强的学科．重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包含原先的理论．如非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广．因此，有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被下一个人所破坏．惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼”[12]．克莱茵在考察第五公设研究的历史特别是从18～19 世纪非欧几何由“潜”到“显”转变的100 多a 的历史过程时指出：“任何较大的数学分支或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作，充其量，某些决定性步骤或证明可以归功于个人．这种数学积累特别适用于非欧几何”．事实上，自从《几何原本》以后到19 世纪，第五公设问题就像一块磁石一样广泛地吸引和激励着各个时代有才华的数学家为之奋斗．这就形成了一个在科学史上时间跨度最长、成员最多，并以传播和研究第五公设为范式的数学共同体．在这个共同体中，数学家相互交流思想，交换研究成果，对研究成果进行评议，形成不断竞争和激励的体制．罗巴切夫斯基也是从前人和自己的失败得到启迪，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．也可以说，罗氏几何的出现应归功与萨凯里、兰伯特等对第五公设的研究．在今天分支越来越细的数学领域里，精通多个领域的知识的数学家也越来越少．对此，数学科研者应团结，相互进行交流；用平和的心态对待已取得的成绩，不骄不躁．2.5 对数学教师和数学学习者2.5.1 在质疑问难中培养创新思维罗巴切夫斯基认为，作为一名优秀的数学教师，讲授数学必须叙述精确、严密，所有概念都应当完全清晰．因为在他看来，数学课程是以概念为基础的，几何学尤其如此．所以他在备课中，通过对欧氏几何的逻辑结构的全面思考，发现了其逻辑体系的缺陷，使他感到非常困惑．他决心在自己的教学实践中消除那些缺陷．后来他确实编写了一本几何教科书《几何学教程》（1883）．他不仅在教材中形成并贯彻了他的非欧几何思想，而且他关于非欧几何的研究，始终是和教学活动相结合的．他关于非欧几何的许多定理都是在授课过程中推导出来的，在学生中交流、修改和完善的．我们可以肯定的说，他创立非欧几何的伟大成果是从几何教育改革的角度切入的，是一个数学教育家取得伟大突破的成功范例．正如数学史家鲍尔加斯指出的“罗巴切夫斯基希望建立起在教学法意义上无可指责的几何学”，“这是促使他改革新几何的重要原因”．“他对教学法的探讨，获得了出色的、开创几何学发展新阶段的、作为人类研究和征服周世界围新方法的科学结论”．所以作为一名21 世纪的数学教师，在平时的教学过程中要不断的学习这个时代的新的知识，要勇于质疑你已经掌握的知识；教学中要引导学生广开思路，重视发散思维；教师要精选一些典型问题，鼓励学生标新立异、大胆猜想、探索，培养学生的创新意识．2.5.2 在教学中训练学生的创新思维罗巴切夫斯基刚开始是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明．在仅存下来的他的学生听课笔记中，就记载着他在1816-1817 学年度几何教学中给出的几个证明．但他很快就意识到证明是错误的．前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．“学起于思，思源于疑”，我们在探索知识的思维过程总是从问题开始，又在解决问题中得到发展．教师不仅要善于设。
论非欧几何的诞生
论非欧几何的诞生Non-Euclidean geometry又名非欧几里得几何，简称非欧几何。
通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。
非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊著名数学家欧几里得的《几何原本》，其中的公式五“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
”从古希腊时代开始到19世纪的2000对年来，数学家们始终对这条公设耿耿于怀，试图解决并证明它，但对第五公设既无法正面证明，也无法从反面推出矛盾。
从《几何原本》出现到19世纪初非欧几何问世，许多杰出的数学家提出了各种“证明”，然而结果却都是错误的。
因为所有这些“证明”中都默认了一条与第五公设相互等价的命题。
通俗地说所谓等价是指含义与本质完全一样只是表述的形式不同而已。
在长达两千年的漫长岁月中整个数学面貌已经焕然一新。
继解析几何和微积分诞生之后，新的数学分支纷纷脱颖而出。
无数困难问题得以解决。
许多数学家创立了复杂艰深的数学理论。
但是人们在看上去极其简单的第五公设问题面前却仍然一筹莫展。
大数学家们也不例外。
法国数学家达朗贝尔在1759年说。
第五公设问题是“几何原理中的家丑”。
18世纪，意大利的萨凯里提出用归谬法试图证明第五公设，萨凯里从四边形开始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D，这样第五公设便等价于角C和角D是直角这个论断。
萨凯里还提出了钝角和锐角的假设，但是因为与经验认识违背，但是放弃了最后结论，但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法。
其后瑞士数学家兰伯特所作的工作与萨凯里相似，他也考察了一类四边形，其中3个角为直角，而第四个角有三种可能性：锐角，直角，钝角。
之后兰贝特否定了钝角假设，也没有轻率地做出锐角假设导致矛盾的结论。
他没有像萨开里那样囿于第五公设真实性的顽固想法，而是大胆对第五公设的可证明性提出了怀疑。
在他的思想中甚至包含了非欧几何学可以存的想法，这是观念上的一个重要冲破。
非欧几何的产生是认识论的转变
非欧几何的产生是认识论的转变【摘要】认识论的演变对几何学的影响是一个重要的话题。
欧几里德几何作为传统几何学的代表，被认为是唯一正确的几何体系。
随着认识论的转变，非欧几何的产生成为可能。
非欧几何的突破性发现颠覆了欧几里德几何的基本假设，为哲学家如尼采提供了新的思考空间。
认识论转变对非欧几何的推动使得非欧几何在现代科学中得以应用。
非欧几何为认识论提供了新的视角，同时也促进了认识论的进一步发展。
认识论与几何学的关系仍有待深入研究，未来研究者需要更多地探索这两者之间的相互作用。
认识论的转变推动了非欧几何的发展，同时非欧几何也为认识论带来了新的启示，为我们提供了更广阔的研究视野。
【关键词】认识论、欧几里德几何、非欧几何、突破性发现、尼采哲学、科学应用、相互作用、转变、发展、新视角、关系、研究。
1. 引言1.1 认识论的演变认识论的演变指的是人类对于认识和知识的理论观点在历史上的发展演变过程。
从古代哲学家对于认识本质的讨论，到近现代科学革命对认识论观念的影响，认识论的演变一直贯穿着人类思想史的长河。
在古代，人们对于认识的探讨主要集中在认识的来源、本质和限度等方面。
古希腊哲学家柏拉图和亚里士多德对于认识的本质有着不同看法，柏拉图认为知识源于感性世界之上的理念世界，而亚里士多德则强调通过感觉和经验获取知识。
这些古代哲学家的思想奠定了后世认识论研究的基础。
随着欧洲文艺复兴和科学革命的兴起，认识论的研究逐渐转向对认识的过程和方法的探讨。
笛卡尔提出的怀疑主义、康德的批判哲学以及对于经验主义和理性主义的论辩，使得认识论观念逐渐趋向于理性主义和经验主义的综合。
这种认识论的发展为后来非欧几何的产生奠定了理论基础。
认识论的演变是人类对认识本质和过程进行思考和探讨的历史过程，它在一定程度上影响着人类对世界的认识和理解。
1.2 欧几里德几何与非欧几何在欧几里德几何与非欧几何的对比中，我们可以看到两者在几何学上的根本差异。
欧几里德几何是传统几何学的基础，以欧几里德公设为基础，建立在几何学的常规观念之上。
几何中的非欧几何和几何证明
几何中的非欧几何和几何证明几何学作为数学的一个重要分支，研究着空间和形状的关系。
传统欧几何中，我们通常研究的是平面几何和立体几何，但在20世纪，人们开始发现了非欧几何的存在，它颠覆了我们对传统几何的认识并带来了新的思维方式。
非欧几何的出现不仅丰富了几何学的研究领域，也对几何证明提出了新的挑战。
一、非欧几何的基本概念非欧几何诞生于19世纪，它与欧几何最大的区别在于第五公设的不同。
在欧几何中，第五公设也被称为平行公设，它规定了通过一点外一直线上的平行线只有一条。
而在非欧几何中，第五公设被拓展了，提出了多种关于平行线的不同假设。
这就导致了非欧几何与欧几何有着不同的几何性质。
非欧几何的两个经典例子是椭圆几何和双曲几何。
椭圆几何是典型的非欧几何，它的特点是不存在平行线，任意两条直线都会相交。
而双曲几何则是另一种非欧几何，它的特点是存在无数条平行线，且相交角的和小于180度。
二、非欧几何的影响和应用非欧几何的提出对几何学的发展产生了深远的影响。
首先，非欧几何推动了数学的发展。
它挑战了传统几何的思维方式，促使数学家们重新思考几何的基本原理和公设。
这对后来的研究起到了积极的推动作用，并且促成了更加深入的几何学研究。
其次，非欧几何对物理学的发展也有一定的贡献。
爱因斯坦的广义相对论理论中，空间被看作是弯曲的，而非欧几何正是提供了一种新的模型来描述这种弯曲的空间，从而有助于解释物理现象。
因此，非欧几何为物理学的发展提供了新的视角。
此外，非欧几何还在现代通信、计算机图形学等领域得到了广泛应用。
在通信领域，非欧几何被用来研究信号传输中的误差控制和编码技术。
在计算机图形学中，非欧几何被应用于三维模型的建模和渲染，能够更加真实地反映物体之间的关系。
三、几何证明的挑战几何证明是几何学的重要部分，它通过推理和逻辑推断来证明几何定理的正确性。
在传统欧几何中，几何证明的过程通常基于欧几里德几何的公理和定理，逻辑推理比较简单明确。
然而，在非欧几何中，几何证明面临着更大的挑战。
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何
关于欧⽒⼏何的第5公设及⾮欧⼏何关于欧⽒⼏何的第5公设及⾮欧⼏何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本⽂综述了由欧⽒⼏何到⾮欧⼏何的发展历史；评述了⾮欧⼏何的思想及其伟⼤意义；论述了欧⽒⼏何，罗⽒⼏何，黎曼⼏何的对⽴统⼀关系。
⽐较了三种⼏何的主要特征及适⽤范围。
关键词：第五公设，欧⽒⼏何，罗⽒⼏何，黎曼⼏何。
⼀、关于Euclid的《Elements》欧⼏⾥得的《⼏何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。
2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的⼀个第⼗世纪的《原本》希腊⽂⼿抄本，可能⽐泰恩本更早些。
3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。
4、现在看到的各种版本（⼀千多种版本）均⾮欧⼏⾥得⼿稿的传本，⽽是依据后⼈的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。
5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《⼏何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较⼤的修改，如删去了《原本》中的⾮⼏何部分内容，并将⼏何部分重新整理和编写。
把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平⾏公理；“过直线外⼀点，有⽽且只有⼀条直线与原直线平⾏”等等，编成了《新欧⼏⾥得⼏何原本》。
于是⾃19世纪开始，初等⼏何课本⼀般都是以此为兰本的改编本。
6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意⼤利传教⼠利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国⼈的拉丁⽂本15卷。
⼆百五⼗年之后，1857年，后9卷由英⼈伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英⽂版第15卷。
由于它们均系⽂⾔，并且名词，术语和现代有很⼤的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。
⼆、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建⽴数学”的观念，即：⼀个合乎逻辑的学科，应当是由⼀组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这⼀学科的其他所有命题。
非欧几何诞生的意义
非欧几何诞生的意义 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】Non-Euclidean geometry 非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。
所谓广义式泛指一切和不同的，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指和这两种几何。
1、解决了平行公理的独立性问题。
推动了一般公理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究，促进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发展。
2、证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发展，理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求，推动了科学，从而推动了社会的发展和进步。
在数学内部，各分支纷纷建立了自己的公理体系，包括被公认为最困难的概率论也在20世纪30年代建立自己的公理体系。
实际上公理化的研究又孕育了元数学的产生和发展。
3、非欧几何实际上预示了相对论的产生，就象微积分预示了人造卫星一样。
非欧几何与相对论和汇合是科学史上划时代的事件。
人们都认为是爱因斯坦创立了相对论，但是，也许爱因斯坦更清楚，是他和一批数学家Poincare,Minkouski, Hilbert等共同的工作。
出现动钟延缓，动尺缩短，时空弯曲等现象。
这些都是非欧几何与相对论的科学发现。
它不仅仅是解决了人们长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
非欧几何更是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。
Non-Euclidean geometry 非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。
所谓广义式泛指一切和不同的，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指和这两种几何。
1、解决了平行公理的独立性问题。
推动了一般公理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究，促进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发展。
非欧几何的基本特点
非欧几何的基本特点非欧几何是对传统欧几何的扩展与挑战，主要研究那些不遵循欧几里得第五公设（平行公设）的几何结构。
这种几何体系的提出，对数学、物理、哲学等领域产生了深远影响。
本文将从非欧几何的定义、基本特点、主要分支及其应用等方面进行详细探讨。
非欧几何的定义非欧几何是指不满足欧几里得几何中“通过平面上某一点，且不在直线上，可以画一条唯一的平行线”的公设的几何。
它建立了一种新颖的空间观念，揭示了在不同公理体系下，几何形状和性质可以发生剧变。
例如，在非欧几何中，平行线不是唯一的，因此形成了全新的数学结构和思维模式。
基本特点1. 平行公设的替代非欧几何最显著的特点就是对平行公设的替代。
在欧几里得几何中，只允许存在一条平行线通过一点，而在非欧几何中，这一限制被打破：超球面几何: 在球面上，任何两条直线（大圆）相交，因此不存在平行线。
双曲几何: 在双曲面上，对于一个给定点，可以画出无限多条不相交于该点的直线。
这种对平行线多样性的探索，使得非欧几何成为数学研究的重要领域。
2. 三角形和内角和单位三角形内角和在不同的非欧空间中表现出截然不同的特性：球面几何: 三角形内角和大于180度。
如在极地附近，三角形可以有较大的内角，例如近乎183度。
双曲几何: 三角形内角和小于180度。
例如，通过适当设定，可以构造出一个仅有90度内角和的小三角形。
以上特性使得研究三角形成为了非欧几何的重要内容，不同形式下三角形性质的变化为其提供了丰富的研究方向。
3. 空间结构与距离概念在非欧几何中，空间结构和距离的定义也与传统意义上有所不同。
例如：在球面几何中，距离通常由弧长来测量，而不是在平面上的直线距离。
在双曲空间中，随着空间维度增加，其距离测量也呈现出复杂化。
这些变化推动了对于“空间”的全新理解，特别是在较高维度情况下，更加复杂的距离计算有助于推动其他学科之间的相互交融，如物理学中的相对论模型等。
4. 曼哈顿几何曼哈顿几何是一种以城市街道网络为基础而发展的理论。
非欧几何的产生与发展
（2）不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物 不仅带来了近百年来数学的巨大进步， 理学、 理学、天文学和人类时空观念的变革都产生深远影响 1913年 1913年，物理学家给出了罗氏几何在相对论里的应用 1947年，人们在心理学的研究中，发现视觉空间最好 1947年 人们在心理学的研究中， 用罗氏几何来描述。 用罗氏几何来描述。
几何上的哥白尼——罗巴切夫斯基 罗巴切夫斯基 几何上的哥白尼
在创立和发展非欧几何的艰难历程上， 在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫 斯基始终没能遇到他的公开支持者， 斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几 何的另一位发现者德国的高斯也不肯公开支持他 的工作。1846年 的工作。1846年，他失去了在喀山大学的所有职 被迫离开终身热爱的大学工作。 务，被迫离开终身热爱的大学工作。 但是， 但是，罗巴切夫斯基从来没有动摇过对新几何远 大前途的坚定信念。直到1855 1855年 在身患重病， 大前途的坚定信念。直到1855年，在身患重病， 卧床不起的困境下， 卧床不起的困境下，这位双目已失明的老人也没 停止对非欧几何的研究， 停止对非欧几何的研究，口述发表了他的最后一 部巨著《泛几何学》 部巨著《泛几何学》。
懦弱的J 鲍耶 懦弱的J·鲍耶
1832年 1832年2月14日，父亲将小鲍耶的一篇有关非欧几 14日 何的论文寄给高斯， 何的论文寄给高斯，请高斯对他儿子的论文发表意 然而高斯回信说： 称赞他就等于称赞我自己。 见，然而高斯回信说：“称赞他就等于称赞我自己。 整篇文章的内容， 整篇文章的内容，你儿子所采取的 思路和获得的结果，与我在30 30至 思路和获得的结果，与我在30至35 年前的思考不谋而合。 年前的思考不谋而合。”小鲍耶对 高斯的答复深感失望。 1840年俄 高斯的答复深感失望。又1840年俄 国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几 何的德文著作出版后， 何的德文著作出版后，更使小鲍耶 灰心丧气， 灰心丧气，他从此便完全放弃了研 究数学。 究数学。
非欧几何的由来
非欧几何的由来非欧几何的由来作者：彭林文章来源：《中学数学教学参考》点击数：5450 更新时间：2007-3-17在数学史乃至整个科学史中，很少有一个分支能像非欧几何一样对人类认识史发生如此直接的影响。
它的创立，不仅决定了近百年来数学许多领域的发展。
而且对现代人文学、宇宙学、物理学的进步以及人类时空观念的变革都产生深远影响。
正如伟大的物理学家爱因斯坦所指出的：“已经有大量的根据可以说：从非欧几何发展起来的思想是极富有成效的”。
1、第五公设问题的发生非欧几何的产生与著名的欧几里得第五公设密切相关，它是数学家们为解决这个问题而进行长期努力的结果。
公元前三世纪欧几里得( Euclid)在其著作《原本》中从一些被认为是不证直明的事实出发，通过逻辑演绎建立了第一个几何学公理体系一一欧几里得几何学。
这个理论受到后世数学家的普遍称颂，被公认为是数学严格性的典范。
但是人们感到欧氏几何中仍然存在着某些瑕疵，其中最使数学家们关注的是欧氏公理系统中的所谓“第五公设”一一若两条直线被一直线截得的一组同侧内角之和小于二直角，则若适当延长这两条直线必在和小于二直角的一侧相交。
数学家们普遍认为这条公理所说明的事实并不像欧几里得的其他公理那样显而易见，它们似乎缺少作为一条公理所必需的直明性。
因此尽管人们并不怀疑第五公设本身的真实性，但却怀疑它作为公理的资格。
此便发生了数学史上有名的第五公设问题。
2、证明尝试的失败于是以证明第五公设为目的的种种尝试出现了。
从《原本》出现到19世纪初非欧几何问世，许多杰出的数学家提出了各种“证明”，然而结果却都是错误的。
因为所有这些“证明”中都默认了一条与第五公设相互等价的命题。
通俗地说所谓等价是指含义与本质完全一样只是表述的形式不同而已。
曾经用来证明第五公设的等价命题有许多。
其中较简单的有芬恩( Fenn)1769年提出的：“两相交直线不能同时平行于第三条直线”还有英国普雷非尔(Playfair, 1748-1819)提出的“过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行”等等。
非欧几何PPt
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高斯的生平
C.F,Gauss 是德国著名数学家、物理 学家、天文学家、大地测量学家。他有 数学王子的美誉，并被誉为历史上最伟 大的数学家天赋，据载他9岁时，用很 短的时间计算出了小学老师布置的任务： 对自然数从1到100的求和。但是据更 为精细的数学史书记载，高斯所解的并 不止1架到100那么简单，而是 81297+81095+….+100899（公差198， 项数100）的一个等差数列。
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非欧几何的诞生
欧几里得第五公理是说：过已知直线外 一点，有且只有一条直线与已知直线平 行。 19世纪初，俄罗斯人罗巴切夫斯基在 否定第五公理的同时，假设其反面之一： “过已知直线外一点，可作多于一条的 直线与已知直线平行”，得到了一系列 定理，并且认为他得到了一门新的几何 学。这是过去2000年以来的重大突破。
非欧几何
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非欧几里得几何
Non-Euclidean geometry 非欧几里 得几何是一门大的数学分支，一般来讲， 它有广义、狭义、通常意义这三个方面 的不同含义。所谓广义是泛指一切和欧 几里得几何不同的几何学，狭义的非欧 几何只是指罗氏几何，至于通常意义的 非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何 这两种几何。
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非欧几何的诞生
最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容 并且可以描述物质空间、像欧式几何一 样正确的新几何学的是高斯。但是高斯 害怕这种理论会遭到当时教会力量的打 击和迫害不敢公开发表了自己的看法， 也是在书信中向自己的看法，也不敢站 出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们 的新理论。
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黎曼几何的创立与应用--
一、非欧几何的产生 自从公元前 3 世纪欧几里得著述《几何原本》，它所构建的几何体系就一直 被认为是“物质空间和此空间内图形性质的正确理想化”[1]，它代表着人们直 观而先验式的数学观。2000 年来许多数学家以欧氏几何公理为基础在其上建立 起了数学的大厦。然而在此期间数学家们一直对一个问题耿耿于怀，这个问题来 自欧几里得的第五公设（也称平行公设）。 第五公设：当两条直线被第三条直线所截，如有一侧的两个同侧内角的和小 于两直角，则这两条直线适当的延长后就在同侧的内角和小于两直角的那一侧相 交。 它的叙述过于冗长和复杂，这与数学简明之美是不相称的。而且欧几里得本 人似乎也不太喜欢它，他在“证完了不需要平行公设可证的所有定理之后”才开 始使用平行公设。[2]因此在欧几里得以后的每个时代里，各国的数学家中都有 人试图寻求一个更加自然的公设来代替它或者通过证明第五公设来实现“排除任 何谬误的欧几里得”，而非欧几何的发展就在数学家们试图证明欧氏几何的真理 性中开始了。 在许多数学家的各种努力尝试中，萨凯里、克吕格尔、兰伯特等人的研究走 到了一个关键的地方：“一种假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几 何”[3]他们算是非欧几何的先行者。真正突破欧氏几何束缚的是高斯，小包耶 和罗巴切夫斯基。高斯最早认识到存在非欧几何，然而因为不想受到攻击他并未 声明。在高斯去世后整理出的与朋友的通信中，人们才了解到他的想法。小包耶 在独立工作得到非欧几何体系后将成果发给高斯。在这个年轻人急于得到高斯肯
并不神秘的非欧几何，它究竟讲的是什么？今天带你搞懂
并不神秘的非欧几何，它究竟讲的是什么？今天带你搞懂欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言)科学体系。
它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成,欧洲数学2000年发展史，几乎有四分之三的时间里欧氏几何一统天下，对科学和哲学的影响极其深远。
直到魏尔斯特拉斯发起的分析算术化运动使代数从欧氏几何中完全脱离以及非欧几何的诞生才结束了欧氏几何的统治地位。
其中，非欧几何的诞生影响着现代自然科学、现代数学和数学哲学的发展，今天我们就来谈一下非欧几何与发展。
欧氏几何第五公设问题掀起的风波欧几里得的《几何原本》标志着非欧几何的诞生，在《几何原本》里，欧几里得给出了 23 条定义、5条公理、5条公设，由此推证出48个命题。
公理是指在任何数学学科里都适用的不需要证明的基本原理，公设则是几何学里的不需要证明的基本原理。
近代数学则对此不再区分，都称“公理”。
这五大公设中，由于第五公设的内容和叙述比前四条公设复杂，所以引起后人的不断研究和探讨。
因为前四条公设都可以用《几何原本》中的其余公设、公理和推论证明，而人们始终相信欧氏几何是物理空间的正确理想化，所以众多数学家就尝试用前4个公设、5个公理以及由它们推证出的命题来证明第五公设，然而都没有成功。
第五公设难题：如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。
论证的不成功引发了数学家的疑义，数学界由此开始了对“第五公设难题”的讨论。
数学家还尝试用更简单、明畅的语言来叙述这条公设，从而更好地理解它并解决它，古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世纪就曾经试图重现陈述它，然而这些替代性陈述效果并不比原来的文字更好。
直到 18 世纪普莱菲尔才算总结出一个比较简单的替代性公设：过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”。
（我们中学教材就常用这个叙述形式来替代第五公设。
）从公元前三世纪一直到公元十八世纪期间，近2000 年的时光过去，整个数学体系已经初具雏形。
非欧几何(Non-Euclidean.
非欧几何（Non-Euclidean geometry）简介福州大学林鸿仁非欧几何就是非欧几里得几何，是针对欧几里得几何而言的，非欧几何通常指的是罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。
众所周知，素有“几何之父”之称的古希腊的数学家欧几里得( Euclid，希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年-前275年）有一本传世之作叫《几何原本》，已经传了两千多年了。
其中的基本内容，至今还是我们孩子们学习的课程，包括《平面几何》和《立体几何》。
西方的几何学大概兴于公元前7世纪的古埃及，对古代埃及人来说，几何学就是“测地术”，几何是在测量地块中获得的，是一种经验的几何知识，所以大都十分零散杂乱，缺乏系统。
古希腊的欧几里得首先觉察到，很有必要对这些“上帝的杰作”进行整理，于是特地到古埃及的亚历山大，收集整理并于公元前3世纪写成《几何原本》这一巨著，开创了数学理论的系统化逻辑化的先河，除了使几何成为一门独立学科之外，也成为西方科学研究方法的典范。
欧几里得的《几何原本》全书共分13卷，包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。
在每一卷中，欧几里得都采用了完全不同的叙述方式，先提出公理、公设和定义，再将命题进行逻辑推理和证明。
他先后对直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何等进行系统的论述。
在这里，作为定义的基本概念，如点、线、面、直角等，已不是具体的图形或图像，而是抽象的一般概念；推演定理的方法，也尽量避开直观，而采用“三段论式”的逻辑方法。
欧几里得的成功之处在于，从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，用很少的几个公理公设，令人信服地推出了很多的定理，而且它们与现实世界又是一致的。
欧几里得建立的这一个几何学公理体系一直受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范。
因此，在相当长的历史时期里，人们一直把几何称为“欧几里得几何”简称“欧氏几何”，并把它奉为金科玉律。
但由于时代的局限，他的5条公设中的第5条一直被质疑。
非欧几何的产生
编号（学号）：本科学生毕业论文（设计）手册题目：非欧几何与平行第五公社 学院名称：数学与信息学院 专业名称：数学与应用数学 年 级：2008级 学生姓名：何蓉学 号：200808140609指导教师： 杨孝斌 职称/学历：教授●评定等级标准：“优”（90分以上）； “良”（80～89）； “中”（70～79）； “及格”（60～69）； “不及格”（60以下）。
教务处 制目录（一）毕业论文（设计）承诺书…………………（二）毕业论文（设计）任务书…………………（三）开题报告…………………………………………………………（四）指导教师指导毕业论文内容记录表…………………………………（五）指导教师评价表（毕业论文）……………………………………（六）指导教师评价表（毕业设计）……………………………………………（七）评阅人评价表（毕业论文）…………………（八）评阅人评价表（毕业设计）………………（九）答辩评分参考标准…………………………………………………（十）答辩记录……………………………………………………（十一）毕业论文（设计）撰写规范与要求…………（十二）毕业论文（设计）格式及排版要求…………西华师范大学本科学生毕业论文（设计）承诺书本人承诺：在即将开始的毕业论文（设计）过程中，严格遵守学术道德规范和学校纪律，在学院和指导教师的安排与指导下，独立完成毕业论文（设计）工作，不弄虚作假，不请人代做毕业论文（设计）或抄袭别人的成果。
按照“西华师范大学本科生毕业论文（设计）规定”的要求，完成毕业论文（设计）的撰写、答辩、装订整理等工作。
学生签名：何蓉2012年 3 月 28 日西华师范大学本科学生毕业论文（设计）任务书注：1、任务书由指导老师填写。
2、任务书必须在第七学期开学一周内下达给学生。
附件三：西华师范大学本科学生毕业论文（设计）开题报告附件四：西华师范大学本科学生毕业论文（设计）指导记录表附件五：西华师范大学本科学生毕业论文评价表（指导教师用）附件六：西华师范大学本科学生毕业设计评价表（指导教师用）西华师范大学本科学生毕业论文评价表（评阅人用）西华师范大学本科学生毕业设计评价表（评阅人用）附件九：西华师范大学本科学生毕业论文（设计）答辩评分参考标准附件十：西华师范大学本科学生毕业论文（设计）答辩记录附件十一：西华师范大学本科生毕业论文（设计）撰写规范与要求撰写毕业论文（设计）是培养学生综合运用本学科的基本知识和基本技能，分析、解决实际问题和某些理论问题，培养学生科学研究、创新意识、创新能力，提高学生素质的重要途径，是高校教学的重要实践环节。
非欧几何
对非欧几何的认识摘要：本文简单的介绍了公理化体系中的基本概念，对非欧几何的产生进行了阐述。
介绍了两种非欧几何——罗氏几何，黎氏几何.即罗氏几何在欧氏几何公理化体系的基础上对平行公理进行修改，改为：过直线外一点至少可以做两条直线与已知直线平行，从而推出一个新的几何体系。
而黎氏几何则在此基础上将平行公理修改为：平面上任何两条直线都相交或者说平面上不存在平行直线。
本文还对非欧几何诞生的意义及应用进行了探讨。
关键字：公理化体系非欧几何罗氏几何黎氏几何引言为了研究非欧几何，必须对公理化体系有较清楚地认识，所以本文从公理化体系着手，简单介绍公理化体系的概念，由公理化体系引出“第五公设问题”再由此引出非欧几何的产生.非欧几何所包含的内容是本文重点要讨论的问题，即第三部分内容：简介非欧几何的主要内容.最后简单介绍非欧几何产生的几何意义及应用以结束本文。
1 简单叙述公理化体系及其产生人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的研究和发现，推动了几何学不断向前发展.德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上在他1898年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系，这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体系.希尔伯特不仅提出了建立一个公理体系所应遵循的原则就是在一个几何公理体系中采取哪些公理，应该包含多少条公理，应考虑如下三个方面的问题：第一、和谐性（共存性）在一个公理体系中，各条公理应该是不矛盾的，他们和谐而共存在同一系统中，这显然是必要条件.给定一组公理，具体挑选一组事物，使这组公理得到满足，就是说给这组公理做了一个实现或解.实现这些公理的对象的集合，构成这一公理的一个模型，而这一公理体系若能以某种方法用模型来实现，那么这个公理体系就是和谐的.第二、独立性，公理体系中的每一条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引申出来的.如果公理体系中有一个公理可以从其余的公理中推导出来，它就不是独立的，可以把它从公理体系中挪走，减少一个公理.但是应当注意，一种几何可以用不同的公理体系作为基础，因此去掉多余的公理后，一般说来，可以得到不同的最少个数的体系，因此最少个数的公理体系不是唯一的.第三、完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题.设一个∑，如果在∑和的'∑对象之间能够建立这样的一一对应，使得公理体系具有两个模型∑和'∑中元素之间的相互关系或命题总是'∑中相应元素间的相互关系或命题相对应，则称这两个模型是同构的，如果一个公理体系中的各个模型是同构的，那么这个公理体系就称它为完备的.这种用公理系统来定义几何学的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里德在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法.公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公理化理论中，由于涉及的对象不予定义，因此就不必探究对象的直观形象是什么，指专门研究抽象的对象之间的关系、性质.从公理法的角度看，我们可以任意的用点、线、面代表具体的事物，只要这些具体事物间满足公理中的结合关系，顺序关系，合同关系等，使这些关系满足公理系统中所规定的要求，则构成了几何学.这里的几何学研究对象更加广泛，几何学的含义比欧几里德时代更为抽象.2 欧氏几何公理化体系及第五公设问题欧氏几何的公理体系不止一组，当各组彼此是等价的.在欧氏几何的所有公理体系中，希尔伯特系统概念和陈述最简单，如下所述：第一组、结合公理公理1 通过任意给定的两点有一直线.公理2 通过任意给定的两点至多有一直线.公理3 每一直线上至少有两点，至多有三点不共线.公理4 通过任意给定不共线的三点有一平面，每平面上至少有一点.公理5 通过任意给定不共线的三点，至多有一平面.公理6 若一直线上的两点在一平面上，则这一直线上的每一点都不在这平面上.公理7 若平面上有一公共点，则至少还有一公共点.公理8 至少有四点不同在一平面上.第二组、顺序公理公理1 若点B 在两点A 、C 之间，则A 、B 、C 是一直线上的不同点，且B 也在C 、A 之间.公理2 对于任意两点A 、B 直线AB 上至少有一点C 存在，使得B 在A 、C 之间.公理3 在共线的三点中，一点在其它两点之间的情况不多于一次.公理4 设A 、B 、C 是不共线的三点，L 是平面ABC 上部通过A 、B 、C 中任何一点的直线，若直线L 通过线段AB 的一个点，则直线L 要通过线段AC 或BC 的内点.第三组、合同公理公理1若A 、B 是直线L 上的两点，A ′是同一或另一直线L ′上的点，则在L ′上点A ′给定的一侧有一点且仅有一点B ′使线段A ′B ′合同于或等于线段AB ，且对于每一线段AB 要求AB 合同BA.公理2 线段A ′B ′及A 〞B 〞都与同一线段AB 合同，则A ′B ′与A 〞B 〞合同.公理3 设AB 与BC 是直线L 上没有公共内点的两线段，而A ′B ′和B ′C ′是同一或另一直线L ′上的两线段，也没有公共内点.若AB ≡A ′B ′及BC ≡B ′C ′，则AC ≡A ′C ′ .公理 4 在平面π上给定了AOB ∠，在同一或另一平面'π上给定一直线'L ，且在以'L 为边缘的半平面'H 上有射线''AO 在'L 上，则过点'O 在半平面'H 内有唯一的射线 ''B O 使得AOB B O A ∠=∠'''公理5 在ABC ∆与'''C B A ∆之间，若AB ≡A ′B ′，AC ≡A ′C ′，∠B ′A ′C ′=∠BAC ，则AOB B O A ∠=∠'''第四组、连续公理公理1 设AB 与CD 是任意两线段，在直线AB 上存在着有限个点n A A A 21使得1A 在2A 和A 之间，2A 在 1A 和3A 之间，等等.且线段n n A A A A AA 1211, ，与线段CD 合同，最后使得点B 在点A 和n A 之间.公理2 设直线L 上有由线段组成的一个无穷序列11B A ，22B A 其中在后的每一线段都包含在前一个内部，并且任意给定一线段，总有一个自然数n 使得线段n n B A 比它小，那么在直线L 上存在一点X 落在每条线段11B A ， 22B A 的内部.第五组、平行公理设有一直线及线外一点，在这直线和这点确定的平面上，经过这点最多有一条直线与该直线平行.以上便是欧氏几何公理体系的全部内容，由此便可推到处欧氏几何的全部内容.了解了欧氏几何的公理化体系，现在回过头来谈谈欧几里德的第五.欧氏几何公理化体系中的五个公设是：○1给定两点，可以连接一线段. ○2线段可以无限延长. ○3给定一点为中心和通过任意一点可以作一圆. ○4所有直角彼此相等. ○5如果一条直线与两条直线相交，并且在同一侧所交出的两角之和小于两个直角，这两条直线无限延长后，必在该侧相交.长期以来，人们对欧氏几何公理系统中前四个公设没有异议，而对第五公设特别注意，这是因为:第一，它没有其他公理那样简单，第二，可能连欧几里德本人也曾试着证明过第五公设，因为欧氏《几何原本》中前二十八个命题都未曾利用过第五公设，似乎是欧几里德本人也推迟使用它.第五公设能不能从欧氏表中挪走，用其余的公设、公理将它作为定理证出来，便是著名的“第五公设问题”.人们在假设平行公理不成立的时候，自然想到做出与“过已知直线外一点，可作一条也只可作一条直线与已知直线平行”相悖的假设.如假设“过已知直线外一点，可作出多于一条的直线平行于已知直线”，然后，人们总是在这一假定下希望通过一长串的推理，从中得出两个相互矛盾的命题，但都以失败而告终.德国的高斯是真正预见到非欧几何的第一人，1792年，当他15岁时，已经有了第五公设不可证和非欧几何的思想萌芽．以后相继得到许多这方面的重要结果．但他动摇徘徊了25年之久，直到1817年才牢固树立起坚定信念．不幸的是，由于康德的唯心主义空间学说和在 数学界占统治地位的所谓现实空间只能是欧氏空间这旧传统观念，给高斯以很大的精神压力，因而毕其一生关于此问题也没有发表什么见解．匈牙利的J-波尔约是预见到非欧几何的第二人，他在青年时代就醉心于第五公设的证明．不顾父亲的劝告，坚持研究，终于建立了非欧几何．1823年11月3日，他高兴地写信告诉父亲：“我已从乌有中创造了另一个新奇的世界．”当他父亲把J-波尔约的研究成果写信告诉高斯的时候，高斯感到十分吃惊，回信说：“这和我40年来沉思的结果不谋而合．”J-波尔约看到高斯的回信，大大刺伤了自己的自尊心，怀疑高斯剽窃他的成果．从此消沉下去，不再研究这一问题．只有俄国的罗巴切夫斯基无愧于享有这门新学说的创建者和捍卫者的光荣称号．他试图证明第五公设，并在独立的在完成一个个推论被严密论证后发现了一个新的几何体系，之后他不顾来自各方面的嘲讽和压力，忠实的捍卫着这一伟大的理论成果，并于1826年2月23日在喀山大学数理系做了《几何学原理的扼要阐述，暨平行线定理的一个严格证明》的报告上宣读了他关于非欧几何的研究工作.我们称这一天文非欧几何的诞生日.3 简介非欧几何的主要内容非欧几何是一门大的数学分支，一般说来，它有广义、狭义和通常意义三个方面不同的含义.所谓广义的非欧几何时泛指一切和欧几里德几何学不同的几何学，而狭义的几何学只是指罗氏几何而言，通常意义上的非欧几何，就是指罗氏几何和黎氏几何这两种几何.下面重点阐述罗氏几何和黎氏几何.罗氏几何罗巴切夫斯基几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方仅仅是把欧氏几何平行公理用“从直线外一点至少可以做两条直线和已知直线平行”来替代，其他公理相同.故罗氏几何公理可表述为：第一组：结合公理；第二组：顺序公理；第三组：合同公理；第四组：连续公理；（前四组公理如前所述欧氏几何公理体系）第五组：平行公理，过直线外一点，至少可以做两条直线和已知直线平行.这五组公理推出一个新的几何体系，又称为双曲形几何，其模型可描述为：在欧氏平面上取一个圆∆，在圆∆内作为非欧平面，圆内任意一点P 称为非欧点，圆的边界点用∆∂表示，∂垂直的圆弧或直线段称为非欧直线.由此∂上的点是非欧平面上的无穷远点，在∆内与∆所有过原点的直线都是非欧直线，两条非欧直线间的夹角，由交点处两圆弧切线间的夹角来度量，此即在圆内建立了一个无限的非欧平面.如图所示：其中，非欧直线L与∆∂的交点是A、B，过L外一点Z作两条非欧直线分别与之相切于A、B两点，此两条直线为过Z点与L平行的非欧直线.由于平行公理不同经过演绎推理引出一连串新的不同于欧氏几何的几何命题，且因为罗氏几何除了第五组平行公理之外，其余四条公理全部采用欧氏几何的公理，故凡不涉及到平行公理的几何命题在欧氏几何中成立，在罗氏几何中同样正确，在欧氏几何中凡涉及到平行公理的命题在罗氏几何中均不成立.例如,欧氏几何中同一直线的垂线和斜线相交；垂直于同一直线的两条直线互相平行；存在相似的多边形；过不同在一条直线上的三点可以做且仅可以做一个圆；而罗氏几何中，同一直线的垂线和斜线不一定相交；垂直于同一直线的两条直线，当两端延长时可以离散到无穷；不存在相似的多边形；过不同在一条直线上的三点，不一定可以做一个圆.同时，在这个新的几何中一些与平行公理有关的命题被新的定理代替，如：三角形的内角和小于180°；两三角形若三组对应角分别相等则两三角形必然全等.黎氏几何欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理，顺序公理，连续公理及合同公理都是相同的，其不同之处在于平行公理.欧氏几何讲：“过直线外一点犹且只有一条直线与已知直线平行”，罗氏几何中：“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”，而黎氏几何则提出：“过直线外一点，不能做出直线与已知直线平行”.这与前面四条公理结合即形成另一种新的非欧几何体系，称之为黎氏几何.因为黎曼几何公理化体系同欧氏几何的公理化体系也仅在第五组平行公理上有所不同，故黎氏几何的公理化体系可表述为：第一组：结合公理；第二组：顺序公理；第三组：合同公理；第四组：连续公理；（前四组公理如前所述欧氏几何公理体系）第五组：平行公理，即平面上任何两条直线都相交，或者平面上不存在相交直线.黎曼提出的非欧几何又称为椭圆几何，如图所示：首先，对图形的基本对象点、直线、平面作如下约定：第一，点：把欧氏球面上对径的两点同一起来，看成一点，这个约定点称为黎曼几何的点.第二，直线：把欧氏球面上对径点合一后，得到的大圆约定为黎曼几何中的直线.第三，平面：把对径点合一后的欧氏球面约定为黎曼几何中的平面.上图中，A点为一黎曼点.大圆APA是一条封闭的黎曼直线.其模型又可描述为：若将球面上的大圆视为直线，那么球面上的几何中任何两条直线都相交，而且存在两个交点.亦即，黎曼于1851年所作论文《论几何学作为基础的假设》中明确提出的一条基本规定：同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）.其实际意义可认为是：赤道为一大圆，所有的纬线也都是大圆，它们均为与赤道垂直的，且交于南北极，有两个交点.我们可以推导出在该模型上三角形的内角和必然大于180°；一条直线的所有垂线都相交于一点.同时，黎曼几何学中不承认有平行直线的存在，另一基本规定是：直线可以无限延长，但总长度有限，故我们可以将黎氏几何的模型看作一个经适当修改的球面.4 探讨非欧几何的产生所具有的几何意义及其应用非欧几何产生的几何意义首先，随着几何学的不断发展，非欧几何的产生引起了数学家们对几何基础的研究，从而从根本上改变了人们的几何观念，扩大了几何学的研究对象，对几何学的研究对象由性质进入到抽象空间，即更一般的空间形式，使几何学的发展进入了一个以抽象为特征的新阶段.其次，几何学本身也从其传统的束缚中被解放出来，并在这基础上发现了大批有趣的几何，如：非阿基米德几何，非笛沙格几何，非黎曼几何，有限几何，等等.非欧几何的产生，也引发了一些重要的数学分支的产生，数学家们围绕着几何的基础问题，几何的真实性问题或者几何的应用可靠性问题的讨论，在完善数学基础的过程中，相继出现了一些新的数学分支，如数的概念，分析基础，数学基础，数理逻辑，等.非欧几何的应用我们知道，非欧几何的出现不仅仅影响了人们的价值观，思维方式，世界观及人类的文化，更重要的是非欧几何对一般难以把握的，据一般生活更远的实际中得到了广泛的应用.比如，近代的黎曼几何在相对论中有重要的应用.广义相对论中，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里是一种近似均匀的，而整个时空是不均匀的.物理学里广义相对论中的空间几何即是黎曼几何.在日常生活中，就是说在我们所处的这个不大不小，不远不近的空间里，欧氏几何是适用的；延伸到宇宙空间中或者原子核世界里，罗氏几何更加适用；在地表研究航海，航空等实际问题则更多的需要用到黎曼几何.参考文献[1]郑崇友、王汇淳等编著几何学引论 [M] 北京高等教育出版社 1994[2]朱德祥编高等几何 [M] 北京高等教育出版社 1983年9月[3]傅章秀编几何基础 [M] 北京北京师范大学出版社 1984[4]梅向明、刘增贤编高等几何 [M] 北京高等教育出版社 1983[5]方德植陈亦培编射影几何 [M] 北京高等教育出版社 1983年2月[6]姚俊凡编高等几何讲义 [M] 贵州贵州人民出版社 1981Carries out official duties the physics and chemistry system tolookat the non- European geometryAuthor：HUANG Xiaolin Supervisor：XU TianchangAbstract：In this paper,basic conceptions in the system of Axiomatizing are briefly introduced and some statements of the generation of non-Euclidean geometries are given.Two forms of the non-Euclidean geometries: Lobachevskian geometry and Ricmmanian geometry will be discussed.The Lobachevskian geometry is a new geometry which is given by changing the parallel postulate in the system of Axiomatizing of Euclidean geometries to : through one point beyond a given line ,there are at least two lines parallel to the given line.In the Ricmmanian geometry,the parallel postulate is changed to: two arbitrary lines in a surface always intersect or there exist no parallel lines.Furthermore,the significance of the generation of non-Euclidean geometries is studied in this paper.Key words：system of Axiomatizing; non-Euclidean geometries;Lobachevskian geometry; Ricmmanian geometry.。
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非欧几何的诞生的意义
朱晨1105 161101150 非欧几何的产生具有三个重大意义：
1、解决了平行公理的独立性问题。
推动了一般公理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究，促进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发展。
2、证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发展，理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求，推动了科学，从而推动了社会的发展和进步。
在数学内部，各分支纷纷建立了自己的公理体系，包括被公认为最困难的概率论也在20世纪30年代建立自己的公理体系。
实际上公理化的研究又孕育了元数学的产生和发展。
3、非欧几何实际上预示了相对论的产生，就象微积分预示了人造卫星一样。
非欧几何与相对论和汇合是科学史上划时代的事件。
人们都认为是爱因斯坦创立了相对论，但是，也许爱因斯坦更清楚，是他和一批数学家Poincare,Minkouski, Hilbert等共同的工作。
出现动钟延缓，动尺缩短，时空弯曲等现象。
这些都是非欧几何与相对论的科学发现。