2017年清华大学自主招生数学试题解析
江苏省淮阴中学2017高三清华北大自主招生数学训练题4
数学自主招生训练题（4）1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.722. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B.120C.144D.3 3. 已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.()8bc b c +>B.()ab a b +>C.612abc ≤≤D.1224abc ≤≤4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.π+31 B.π+32 C.π231+ D.π232+5.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |=|b |1=，a ·b 0=，点Q 满足(2=a +b )，曲线==P C |{a +θcos b }20,sin πθθ≤≤，区域=Ω正视图 侧视图 俯视图},0|{R r R r P <≤≤<，若Ω C 为两段分离的曲线，则（A ）31<<<R r （B ）R r ≤<<31（C ） 31<<≤R r （D ）R r <<<316.若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f ′（x ）满足f ′（x ）＞k ＞1，则下．8.已知，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）9.在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .10.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .11.在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且1,9BE BC DF DC λλ==，则A E A F 的最小值为 .12.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2=2py （p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 ．13．如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB=2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面FGH ； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC ，AB⊥BC，CF=DE ，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．14．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．15.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．16．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．17．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．18.已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-.数学自主招生训练题（4）答案1-8.BBAAACDA 9.1516 10.8 11. 2918 12.为平面，则：，则：；=|cos；14.===+++﹣=﹣（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为个进行组合，即进行组合，即进行组合，即=，=，=0 ﹣1 1EX=0×）×+1×．=的方程为+y的方程为+=1，由于+y，即（|=2﹣，所以，|m|•|x|=|m|•，设在（，6．时，△≤0，时，1+x2=，0≤a时，函数）当＜a≤1＞＞18 （I ）解：由()f x =n nx x -，可得'()f x =1n n nx --=()11n n x --，其中n N *∈，且2n ≥. 下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时.令'()f x =0，解得1x =，或1x =-.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递减，在()1,1-内单调递增。
2017清华自招试题
2017清华自招试题1 下列函数中，有两个零点的是（ ）A ()2x f x e x =--B ()1x f x e x =--C ()3ln f x x x =-D 1()3ln f x x x =+2 设,A B 是抛物线2y x =上的两点，是坐标原点，若OA OB ⊥，则（ ）A ||||2OA OB ⋅≥B ||||OA OB +≥C 直线AB 过抛物线2y x =的焦点D O 到AB 的距离小于等于1 3 设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ）A ()f x 有极小值，但无最小值B ()f x 有极大值，但无最大值C 若方程()f x b =恰有一个实根，则36b e> D 若方程()f x b =恰有三个不同实根，则360b e <<4 已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos ()(sin 1)0b C a c b C a c ++-=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 则（ ）ABC 3B π= D 4B π=5 过ABC 的重心作直线将ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ）A 最小值为34B 最小值为45C 最大值为43D 最大值为546 已知方程sin (0)kx x k =>在区间(3,3)ππ-内恰有5个实数解12345x x x x x <<<<，则（ ）A 55tan x x =B 5295122x ππ<< C 245,,x x x 成等差数列 D 123450x x x x x ++++=7 已知实数,x y 满足22545x y xy --=，则222x y +的最小值是（ ） A 53 B 56C 59D 2 8。
2017年清华大学自主招生笔试面试指导
2017年清华大学自主招生考试笔试、面试综合素质测试指导攻略第一部分：清华大学2017年自主招生实施办法第二部分：清华大学自主招生笔试特点及备考第三部分：清华大学自主招生面试特点及备考第四部分：清华大学自主招生笔试、面试历年真题解析第一篇清华大学自主招生实施办法根据《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》、《教育部关于进一步完善和规范高校自主招生试点工作的意见》的要求，我校将全面贯彻落实党的教育方针，围绕“综合评价、多元择优、因材施招、促进公平”的人才选拔理念，开展2017年自主招生工作。
一、机构与原则我校自主招生工作在清华大学招生工作领导小组的领导下，由清华大学招生办公室负责具体工作的组织和实施。
自主招生认定及录取工作按照综合评价、公平公正、宁缺毋滥的原则择优确定认定、录取名单，学校纪委、监察部门全程监督，并接受社会监督。
二、招收类型及申请条件具有各类特长及创新潜质的优秀高中毕业生均可申请。
申请学生应至少具备以下特质之一，并提供相关证明材料：1.研究创作类：在科技发明、研究实践、文学创作等方面具有突出表现的学生。
2.突出才能类：在人文与社会、创新与设计等方面具有突出才能或在相关学习实践中取得优异成绩的学生。
3.学科奥赛类：在数学、物理、化学、生物、信息学等学科具有学科特长，且在学科奥林匹克竞赛中表现突出的学生。
三、招生专业2017年我校自主招生录取人数不超过教育部核准的自主招生计划;各招生专业及对应的初试测试科目如下：招生专业类包含专业测试科目理科类建筑学(含城乡规划)数学与逻辑理科综合(物化) 建筑环境与能源应用工程土木工程水利科学与工程环境工程(含全球环境国际班)机械工程(含实验班)测控技术与仪器能源与动力工程(含烽火班)车辆工程(含车身方向)工业工程电气工程及其自动化电子信息类计算机科学与技术自动化软件工程计算机科学实验班航空航天类(含钱学森力学班)工程物理(含能源实验班)化学工程与工业生物工程高分子材料与工程材料科学与工程数学与应用数学物理学数理基础科学化学化学生物学(化生基础科学班)生物科学医学实验班药学生物医学工程临床医学(协和)经济与金融(国际班)会计学信息管理与信息系统社会科学实验班法学(含国际班)新闻学(新闻与传播)理科试验班类(新雅书院)文科类经济与金融(国际班)数学与逻辑文科综合(文史) 会计学人文科学实验班人文科学实验班(经学)人文科学实验班(出土文献)英语(含世界文学与文化实验班)社会科学实验班法学(含国际班)新闻学(新闻与传播)文科试验班类(新雅书院)说明：1、“人文科学实验班(经学)”专业申请条件：1)热爱中国文化，品行端正，以学习与研究儒家经典为终身职志;2)受过较系统的蒙学教育，能背诵《三字经》、《百家姓》、《千字文》、《笠翁对韵》、《龙文鞭影》;3)有较好的经学基础，能背诵“四书”(《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》)，以及《周易》、《诗经》中的一种;4)有初步的文字学基础，学习过《说文解字》，能用篆书默写540部首，能简单讲解“六书”。
2017年北大自主招生数学试题及答案
5
13
）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 无法确定
D. 前三个答案都不对
答案 A．
5
B.
20 5,
Å3 ã
3
C.
20 , 20
D. 前三个答案都不对
3
解析 C．
13. 正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内，已知该正方形的边长为 1 ，且 |P A|2 + |P B|2 = |P C|2 ，则 |P D|
的最大值为（ ） √
A. 2 + 22 2 D. 前三个答案都不对
答案 A．
） B. −1.5 D. 前三个答案都不对
19. 动圆与两圆 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 − 6x + 7 = 0 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 抛物线
D. 前三个答案都不对
答案 B．
4
20.
在
△ABC
中， sin A = 4 ， cos B = 4 ，则该三角形是（
√ B. 2 6 D. 前三个答案都不对
答案 D．
6. 已知三角形三条中线长度分别为 9, 12, 15 ，则该三角形面积为（ ）
A. 64
B. 72
C. 90
D. 前三个答案都不对
答案 B．
7. 已知 x 为实数，使得 2, x, x2 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍，则这样的实数 x 的个
3π
ã
的值为（
）
5
5
A.
1 1+ √
5
C.
1+
1 √
清华大学自主招生数学试题解析
• 1・2017年清华大学自主招生暨领军计划试题解析已知-•根绳子放在数轴的[0・斗」区阳丄二线密度二皿-护.求绳子的质屋- 解答加解答 件先冇cos 単十 i iin 4?5二(cos 警cos 夸一 sin 警sin 弩: 二 cos + isin再I ] i 归纳法，可得3 警+ Tn 警,1 E.世到 ttJ -' = 1,则 cw 1 — w -' TW " - C4J _'：7W + ru _l —2 COS 〒 T tv ' + ⑴ 二 2cCrS 号.战/(tw )/(a/ )f( OJ ? )/(oi 1)/(w)/(w _1 )/(w 2 )/(«"*)(4?十 W 十 2)(^~2十 J 十 2)(^ 十 y + 2)(W _1 + 胪 + 2) (1 十洞十2^ + w -] + 1 + 2M + 2w a 十 2w l + 4)(1 十 4 2^ + OJ -2 + 1 + 2^ + 2^ + 2M _r + 4)(6 + Gcos^ + 4cos 警)(6 + g 警 + Seos 警)(6 + ficos y - 4tos yj(6 + 4cOH 弩- E 阮、(6 - 6孕y + isin ^,/(x) = x z 十龙+若则f (川)几』〉的值为+ i^cos ^sin 警 + sin 警cos 弩 5-75-l)(6 + ?5- 1、4• 1・《高校自主招生一数学》 贾广素工作室• 2 •=11.若 0「门 +flCOS （A ：-l ）= 0 有唯--解,则（A.厲的值唯• B. 口的值不唯一C 门的值不存在D.以上都不对解答选A.因为f （兀）=217 +acos （A ：-l ）关于x = l 对称,所以若f （x ）^唯一零点,则零点只 能为1.将兀=1彳弋入，得到a = T,此时f （x ） =2|x_11 -cos （x-l ）,^检验« = -1符合 题意"04已知皿1 *2 ,衍皿&€ ｛1、Z ，3,4：｝ ,口3皿4》为口I ■吐.心皿4中不同数字的种类哀如N （1J23） =3,N （122,1｝二2,求所有的256个（血心gg ）的排列所得 7V （"l 山2 ,如■心）的平均值为（）.解答选D-N 5\心、a 3心）为1的个数为4；N （心•如，為虫J 为2的个数为CS （CS+2Q ） = 84； N （尙0 心皿Q 为3的个数为二144*N （Q i *2 *麻3皿4 ）为球的个数为A] — 24.117^从而 iijfR^^6(4xi + 84X2+114X3 + 24X1) = ^.在△/WC 中 *sinZ/l + sinz^/?sinz^C 的最大值为(解答选E市积化和差公式得sin^A + sin^Bsm^C=sin^A + y (cost^B - ZC) - cos(^B + 乙CM-sin^A - -^COB ^A + ~|~cos(Z 百—乙 C) 冬 sin^A - -^-cosZ^/4 + 令Y I s + (_ 4)- Z 卩)+ YA - 32175 64A- iB.1 +75D.无报大值4《高校自主招生一数学》贾广素工作室在= = + j时取等号*四人做一道选项为A.B，C.D的选择题•四牛同学的对话知厂赵:我选A.钱:我选B,GD当屮的-个一孙古我选C李古我选6四个人毎人只选了…个选项川1' R倂不相同'我中貝有一个人说谥•则说谎的人町能是诽1 解答孙或李.用列衣法•只中O代表选该选项.X代表没有选该选项一如赵说谎•则无人选A（见表1八弟盾一表1A B C D赵XX孙0O如钱说谎,则赵、钱均选A（见表2）-矛曲.表2A H C赵O践O如孙说谎.则可得如表3所示的情况:成7..O _______X• 3 *《高校自主招生一数学》贾广素工作室如李说谎.则川'得in* 4所示的悄况•成立.表4A B C D赵O钱X OO0X已知2・ lvC?C, I 2 + IV I = 1 H, I z2 + H'2 I 二4?则I ZW I (解答选注意到1 - | z + w | - - | (z w)21 = \ z2w2+ 2zw | , 从【对冇1 | z2 + | - 21 ziv | 与I $ 21 砂| 一］护+ \沪从而（最小值可以取测例如辽二捋7.⑷二上尹,最大值亦可以取到’例如辽二今+寺人⑷二-3 +丄)2 21往四面体PABC ABC为等边三角形，边长为乳“二乳珂？二4./V二乳贝W四而体P/W0的体积为（）.A. 3B. 2屈C. /1TD. /10解答选C件先PC2= PB Z+ BC\故PB±反\设P到底而的高足PH.则BC± UH ZABH =30°设PH = h.AH =a^H^b,CH = c”山余弦定理得+ A2= 32・护+护二学,+ h2 -5\07A.有最大值普B有最大值号C有最小值另 D.有最小值号* 5 *如图［所示，已知曲线+ / = l 以及直线i lt y =弄仏；y = _yx,曲线E 与八交于A,B 两点“与h 交于C-D 两点.在E 上任找一点P (不与A^.C-D 重合几直线AP.M 分 别与仏交于M,N两点，则(A,B. C, D. 解答选BC•设P 的坐标为(利小八则乎+冗二I •此吋PA 的方程为v 42ya - -7—匕-找)・Xo - V2円?的方程为+ ©)•分别与方程尸-专工联立,可得_ 72 y a + ~2X ^尤 M 二-； -------_号-列+屈09二 yri .对于函数=e i (jt-l)a (x-2),H 下选项正确的是( A.冇2个极大值 B冇2个扱小值 U 1是极大值点 解答BC, 求导数：/"(x) = e^ECx - l)2(x -2) -- I)C A -2) +=c T (x + /3)(x -^/3)(JT - 1).则f 〔C 右2个极小值门是极大值点.D. 1是极小值点(x - I}2]10在椭圆上存在2个不同的点Q,使得丨021，二丨OM I 丨(釈 在椭圆上存在4个不同的点Q,使得丨％］—|OM| |QV| 在椭圆上存在2亍不同的点0使得住椭圆上存在4个不同的点0使得△NfAsAQMO rfl 对称性，不奶设A RC D 的塑标分别为-罟- - 72图!0M\ \ 0N\ - 0M - ON -\OM\\ON\ = \ 0A\\可^\OQ\2= \o^\ \o^\’可选Wt A/.C2四点.若△MXIsAQTfO.则只能选耽刈•觸足A + 2y + 3z- 100的非负整数解的组数为(A 883B 884 C. 885).D 886Zy种数00—5C5110—484920-474830—4546h・・h・・33u1表5解的组数为51 + 49 + 4W + 46 + 45 + - + 4 + 3 + 1 + 0 =百甘 4.{(x t y，z) | x +2y + 3z^l，JC,y T z>0} ■求V的体积+这是-个玄角呗休•三条玄角边丘是1以寺.故休积为春一已知f(x)=c2x +e -ax.^ X^).均右只站孑厶求a的取值范围一解答rtl f (X) = c21 + c1- m符/CO) = 2,又f (JC ) =2c^J + c J- ◎该导歯数在［th +«■)上递増‘故贾求 f (0)=3-^>0,即a<3.州图2所小』为闘山II屈心• f E在岡.11运动JL满出/AM-艸+则-W)* 6 ** 7・的中点E 的轨迹为（）-A.圆B.稱圆 U 双曲线的一支 D.线段解答选入 由E 为中点'得PE Z + QE& 二 BE 2 十 OE 2 BO-=厝.做动点到两疋点距离的平方和为足f （因此动点E 的轨迹为慎1 一15L_已知椭圜方程为为苴右准线上一点，过P 向椭圆作切蜒，切点分别为恻的左恆点対几则（ 人解答选AU汁先汴.意到结论:在椭圆准线上作取一点•过该点作椭•圆的两条切线*那么两切点的连 线必过该准线村应的倩点（虚明略）-应用结论•可知/XF/W 的周氏九定值•且越AH 乖胃于横轴吋它的值忌小.此时JT] Xi 码，骷"百€ （1,2,3,4,5,6? T 且 JC],x z T x 3T x 4，嘉■站各不相同，则禰足心一5忌+ 10x a - 10氐+ 5x s -x a = 0的解的组数为參少?解答6.首先心-应是5的倍数点x 产1皿之或机=6t x fi = L 考虑方程-+ 10的—10盟」5心 一 5 或-5x-i + 10氏 一 W 鹤 + 5嘉二一 5* 即-x 2 - 2X 3 - 2x x + A :5 = I或—X2 + 2^3 — 2也 + Jts - — 1注意到肌-乱不足2的倍数•战由上面的方服有也-耳厂乳軌-心一 -1或若砧-应一 -1心-占二]・或者X 5 _ X? = -3、心-心=1或若也-也二】* -工4二-1故这个方程有M+3二6纽解.已知 A e { - KOJ ZV e (2,3,4,5,映射 f ： A^B. li^ 足 x 十 f(x) +球J ）为壷数.求f 的个数. 解答50.A. \AB\的扯小值为1 C. AFA13的周艮为定值B. \AB\的毘小值师 D. A MB 的面积为定值' 8 -注意到 X + /(JC ) +xf(x) = <x + l)(f(x) +1)-1. + 十 1)为偶数. 故若x 为偶数，则f (巧为奇数•即f(0)二3或和N - “的取值任意，由乘法原 理可得,答案为2x5a ^50.解答选匚一注总到公式fm 二故dH 错误.另一方血M ©/? *从而川门币二0-故F (丽｝=- 最后•如 A 二 0•则 P(AB)>0.U 知实数厲』满足a 2+ a =3b 2 +2乩且 H 则C 解答a ACD若 a<b,则 / + a<h~ + b<2( b 2+ b)<3b~ + = 矛盾.另一方面■若3b 2 + 2b= a 2 + a^(2h)2 + 2b>3b 2 +2乩矛盾.最U 若 b^2a 侧 a 2a ~ 3b~ + 2b^3(2a¥ +4a^>a - + a * 矛盾. 故得选项为ACD1 + A ：| 4 1 + A2 +I + X t0]7 ~卿( hA.显窍有】个乩小于1 B 虽务有2个在小于2 C. mHx {, --■, x 2 di?} ^2 (J17D. max { x } T , JC 2 AU \ ^2 016解答ABD.如有2个绪小于】・则上式左边大于占 + j ])•矛盾一 如有3个摘小于厶则匕式左边大于占+出+占■不质. 再注意到x t =^=-= ^01T = 2O16是一组解点匚不陇立. 如 max{jt! ,Xi»***tX aM7 }<2 Olfii 则―-—+ ―1— + ■■■ + -------- ! ----- > --------- 1 --- + -------- - ---- + ■■■ + ------ ! -----1 + 利 h1 + X 2O I 7 1 +2 0161 +2 0161 +2 016矛质.已知事件月—n<P<l?)<lt!WiJ(A . /n = i -re/?)C, H 丽=0B . p(^|A)= i-r(B)D. P(J\B)=QA. b<aB a<bC a<2b D. b<2a已知严■，总期均为大于o 的实数.a故答案选AB6 ' 8 -《高校自主招生一数学》 贾广素工作室入｛和 + 几 + zd 是等比数列B.若存在 m .>1— y… - z m ,则 JCi = yi = Zi1 q 1U 若心二-才忌二才则= ( - 1)"亠尹D 以上均不正确解答选BC首先*当首项^i = ^i-zi= 0时・皿+几十為｝不是等比数列.其次，若存在啣>l,s = % =昭，解方程组可得x…L -i = y^-i = z^-t =2x Mt 从而递推 可得Xi 二力=巧，一 1 弓 ’ 1出次*由Xi = 一忑心二亍得｝■] + Zi - 2x2 + X] =2,则幷“*斗爲二3 •不，根据递推式用為=(-1)”十右.故答棗选BCA 3 n r., =0. 5 B. 3 H * r h =0,6 C. 3 M r fl = () 7 [>, 3 » < =0,8 解答选2假设不存在航’便得 仏=0 5.则山H =O^ioo =0. 85,必存亦「使得hVU •硏5.若k 是偶数•不妨设血二三⑴汀汕笆筈於3<*・不符令题意;若血是奇数"设氐二加T-l.f炭厂+，只能f 矛氐所以选项A 正确 4= 08同理可得选项D 正确. 如果此人第2、86次全部投中•排除B,C.一同学打球■记g 为投起次后的命中率，已知心—AsFL 版则一足有().。
2017清华自主招生笔试真题
2017清华自主招生笔试真题
清华大学也有自主招生，那么清华自主招生真题都有哪些呢?下面YJBYS小编为大家整理了2017清华自主招生笔试真题，欢迎阅读参考!
备注：2015-2017年清华大学自主招生、筑梦、领军计划笔试共用一套试卷。
一、考试模式
考试模式：机考系统分发和回收考卷。
考生更加安全高效，阅卷也更为及时准确，还可大大降低作弊的可能性。
考试科目：
文科——数学、语文
理科——数学、物理
试卷结构：试题不仅引入多选题，而且采用单选题、多选题混合编排的方式，用以区分不同水平的学生，也增加了能力考查的力度。
多选题学生全部选对得满分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
科目分数：每科100分
考试内容：语文——30题，数学——40题，物理——30题，数学和物理都难度大于高考
考试时间：三个小时8:30-11:30
考察方向
数学与逻辑和物理探究着重考查学生较高层次的思维能力以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。
阅读与表达重点考查学生的文学文化水平和各类文章的阅读水平等能力，在考查学生语言运用能力的同时也考查了学生的写作能力。
二、数学真题。
清华大学领军计划2017数学
清华大学2017年领军计划测试数学学科一、选择题:共25小题，在每小题的四个选项中，有一项或多项符合题目要求.1.已知复数12z z 、，有12||1z z ，2212||z z 4，则12||z z ________.（）A.最大为52 B.最大为74C.最小为32D.最小为542.已知2()f x x ax b ，当[1,1]x 时，|()|2f x ，则________.（）A.2aB.2aC.1b D.1b 3.ABC △为等边三角形，边长为3，平面外一点P 满足3,4,5PA PB PC ，则P ABCV =________.（）C.2D.24.有序数对1234{,,,}a a a a 中，1234,,,{1,2,,9}a a a a 。
记1234(,,,)N a a a a 表示此数对中不同数的个数，例如(1,1,2,2)2N ，(1,2,3,1)3N ，则所有的1234(,,,)N a a a a 的平均值为________.（）A.17564B.17364C.8732D.89325.不定方程23100x y z 非负整数解的组数为________.（）A.884B.885C.886D.8876.已知221x xy y ，则max ()x y 和max x 为________.（）A.max ()x y B.max ()1x y C.max xD.max 1x 7.12y x 交椭圆22182x y 于A B 、，椭圆上有一点P ，PA ，PB 分别交12y x 于C D 、。
则________.（）A.椭圆上一点Q ，使得2||||||OQ OD OC 的Q 有且仅有4个B.椭圆上一点Q ，使得2||||||OQ OD OC 的Q 有且仅有2个C.y 轴上一点Q ，使OQ C ODQ 的Q 有且仅有2个D.y 轴上一点Q ，使OQ C ODQ 的Q 有且仅有4个8.已知椭圆2214x y ，P 是右准线上一点，PA PB 、与椭圆相切于A B 、.1F 为椭圆左焦点.则下列选项正确的是________.（）A.min ||1AB B.min 1||2ABC.1F AB △的周长为定值D.1F AB △的面积为定值9.ABC △中，则sin sin sin A B C 的最大值________.（）A.32 B.不存在C.12D.3410.已知多项式4322(2)(42)410x x m x m x m 恒成立，则m 的取值范围为________.（）A.[0,) B.(,0] C.1,12D.1,211.已知12||2,||1z z ，则12z z 与1z 夹角的最大值为________.（）A.π6B.π3������第13题图������第14题图C.π4D.π212.已知{1,0,1},{2,3,4,5,6}A B .f 是一个从A 到B 的映射，则满足对x A ，()()x f x xf x 为奇数的映射f 的种数为________.（）A.40 B.50C.60D.7013.如图，对等腰ABC △，111842BC BD BE BF ，则下列对,,DB DA EB EA FB FA 的大小关系的描述中，正确的有________.（）A.DB DA EB EA FB FAB.DB DA FB FA EB EAC.FB FA DB DA EB EAD.EB EA FB FA DB DA 14.如图，有一半径为1的14圆，点P 在弧BC 上移动.连接PB PC 、，AD PC 于D ，AE PB 于E .则四边形ADPE 的面积的最大值为___.（）A.215.已知2()f x x ax b 在(1,1)x 上有两个零点。
清华大学自主招生试题 数学 Word版含解析
一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x yf xy++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)−kx 有（ ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=3π，且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3 (C)△ABC 的面积为33(D)△ABC 的外接圆半径为337.设函数2()(3)xf x x e =-，则（ ）(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36e(D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ）（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ）(A)13 (B)23(C)22 (D)6313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ）(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=12，则k 的值有2个(C)若D 为三角形，则0<k ≤23(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=（ ） (A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A −B)=0.2，则（ ）(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为23(D)z 的实部的最大值为1320.设m,n 是大于零的实数，a =(mcosα,msinα)，b =(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a =(2m α2m α),12b =(2n β2n β)，记θ=α−β，则（ ）(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2mn θ(C)112222||44a b mn θ-≥(D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足：1a =6，13n n n a a n++=，则（ ） (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ） （A ）ρ=1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+，则（ ）（A ）()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 的定义域是(−1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13，则n 的最小值为（ ）(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则22x y + ）(A)最小值为45 (B)最小值为25(C)最大值为1 (D)最大值为12328.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0，则（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer## 1.【解析】2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+--=212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()333(cossin )22i i ππππ-+-+ =cos 0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]663i ππ-+- 31sin )6623i i ππ+=1，选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅2211221111(1)(1)x x x x ++2121111x x +++11122||||x x +⋅=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥2||||OA OB ⋅22,正确；答案(C),直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(111x x -)x-y+1=0的距离2111()1x x -+1，正确。
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WORD格式.资料.2021年清华大学自主招生暨领军方案试题1．函数f(x)(x2a)e x有最小值，那么函数g(x)x22xa的零点个数为〔〕A．0B．1C．2D．取决于a的值【答案】C【解析】注意f/(x)e x g(x)，答案C．2．ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c．以下条件中，能使得ABC的形状唯一确定的有〔〕A．a1,b2,cZB．A1500,asinA csinC2asinC bsinB C．cosAsinBcosC cos(B C)cosBsinC0,C600 D．a3,b1,A600【答案】AD．3．函数f(x) x21,g(x) lnx，以下说法中正确的有〔〕A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行C．f(x),g(x)有且只有一个交点D．f(x),g(x)有且只有两个交点专业.整理.WORD 格式.资料 .【答案】BD【解析】注意到y x1为函数g(x)在 (1,0)处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线y 2 4x 的焦点F 作直线交抛物线于A,B 两点，M 为线段AB 的中点．以下说法中正确的有〔〕3一定相离A ．以线段AB 为直径的圆与直线x2B ．|AB|的最小值为 4C ．|AB|的最小值为2D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线x1的距离为1(|AF||BF|)1|AB|，于是以线段AB 为直径3 2212, 1的圆与直线x1一定相切，进而与直线x一定相离；对于选项B ，C ，设A(4a 2,4a)，那么B( )，124aa于是 |AB| 4a22，最小值为4AB中点到准线的距离的 2倍去得到最小值；．也可将|AB|转化为4a 2对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与1|BM|不一定相等，因此命题错误．2225．F 1,F 2是椭圆C:x 2y21(ab0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．以下说法中正确的有a b〔〕A ．a 2b 时，满足 F 1PF 2 900的点P 有两个B ．a2b 时，满足F 1PF 2900的点P 有四个C ． PF 1F 2的周长小于4aa 2D ． PF 1F 2的面积小于等于2专业.整理.WORD格式.资料.【答案】ABCD．【解析】对于选项A，B，椭圆中使得F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C，F1PF2的周|PF1||PF2|sinF1PF21|PF1|2长为2a2c4a；选项D，F1PF2的面积为1|PF2|1a2．2222 6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对．四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是〔〕A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．7．AB为圆O的一条弦〔非直径〕，OC AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有〔〕A．O,M,B,P四点共圆B．A,M,B,N四点共圆C．A,O,P,N四点共圆D．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A，OBM OAM OPM即得；对于选项B，假设命题成立，那么MN为直径，必然有MAN为直角，不符合题意；对于选项C，MBN MOP MAN即得．答案：AC．8．sinA sinB sinC cosA cosB cosC是ABC为锐角三角形的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B专业.整理.WORD格式.资料.【解析】必要性：由于sinB sinC sinB sin(B)sinB cosB1，2类似地，有sinC sinA1,sinB sinA1，于是sinA sinB sinC cosA cosBcosC．不充分性：当A,B C4时，不等式成立，但ABC不是锐角三角形．29．x,y,z为正整数，且x y z，那么方程1111的解的组数为〔〕x y z2A．8B．10C．11D．12【答案】B【解析】由于11113，故3x6．2x y z x假设x3，那么(y6)(z6)36，可得(y,z)(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)；假设x4，那么(y4)(z4)16，可得(y,z)(5,20),(6,12),(8,8)；假设x 5，那么3112,y20,y5,6，进而解得(x,y,z)(5,5,10)；10y z y3假设x6，那么(y3)(z3)9，可得(y,z)(6,6))．答案：B．10．集合A{a1,a2, ,a n}，任取1 i j k n,a i a j A,a j a k A,a k a i A这三个式子中至少有一个成立，那么n的最大值为〔〕A．6B．7C．8D．9【答案】B11．10,610,1210，那么以下各式中成立的有〔〕A．tan tan tan tan tan tan3B．tan tan tan tan tan tan3专业.整理.WORD格式.资料.C．tan tan tan3tan tan tanD．tan tan tan3tan tan tan【答案】BD【解析】令x tan,y tan,z tan，那么yx z y x z3，所以1xy1yz1zxyz3(1xy),z y3(1yz),x z3(1zx)，以上三式相加，即有xyyzzx3．类似地，有113(11),113(11),113(11)，以上三式相加，即有x y xy y z yz z x zx111x y z3．答案BD．xy yz zx xyz12．实数a,b,c满足a bc 1，那么4a14b14c1的最大值也最小值乘积属于区间〔〕A．(11,12)B．(12,13)C．(13,14)D．(14,15)【答案】B【解析】设函数f(x)4x1，那么其导函数f/(x)2，作出f(x)的图象，函数f(x)的图象在x14x13处的切线y221(x1)21，以及函数f(x)的图象过点(1,0)和(3,7)的割线73342y4x1，如图，于是可得4x14x1221(x1)21，左侧等号当x1或77777334x3右侧等号当x121，当a b1时取得；最小值为时取得；时取得．因此原式的最大值为c2337，当a b1,c3时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为73(144,169)．答案B．42专业.整理. WORD 格式.资料 .13．, ,z,yz1, x 2 y 221，那么以下结论正确的有〔 〕x y Rx zA ．xyz 的最大值为B ．xyz 的最大值为427C ．z 的最大值为2D ．z 的最小值为133【答案】ABD14．数列{a n }满足a 11,a 2 2,a n26a n1 a n (nN*)，对任意正整数n ，以下说法中正确的有〔〕A ．a n 2 1a n2a n 为定值B．a n1(mod9) 或a n 2(mod9)C ．4a n1a n 7为完全平方数D．8a n1a n 7为完全平方数【答案】ACD【解析】因为a n22a n3a n1a n22(6an2a n 1)an1a n226a n2an1a n 2 1a n 2(an26a n 1)a n 2 1 a n 21a n2a n ，选项A 正确；由于a 311，故a n 2 1 a n2a n a n 2 1 (6a n1a n )a na n 2 16a n 1a n a n 27，又对任意正整数恒成立，所以4a n1a n 7(a n1a n )2,8a n1a n7(a n1a n )2，应选项C 、D 正确．计算前几个数可判断选项B 错误．说明：假设数列{a n }满足a n 2 pa n 1a n ，那么a n 21a n2a n 为定值．15．假设复数z 满足z11，那么z 可以取到的值有〔 〕zA ．1B ． 1C ．51 D ．512222【答案】CD专业.整理.WORD格式.资料.【解析】因为|z|1z11，故51|z|51，等号分别当z51i和z51i时|z|z2222取得．答案CD．16．从正2021边形的顶点中任取假设干个，顺次相连构成多边形，假设正多边形的个数为〔〕A．6552B．4536C．3528D．2021【答案】C【解析】从2021的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2021个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有2021个，因此所求的正多边形的个数就是2021的所有约数之和减去2021 k和1008．考虑到202125327，因此所求正多边形的个数为(12481632)(139)(17)202110083528．答案C．17．椭圆x2y21(a b0)与直线l1:y1x,l2:y1x，过椭圆上一点P作l1,l2的平行线，a2b222a分别交l1,l2于M,N两点．假设|MN|为定值，那么〔〕bA．2B．3C．2D．5【答案】C【解析】设点P(x,y)，可得111111，成心M(x0y0,x0y0),N(x0y0,x0y0)00224242|MN|1x024y02为定值，所以a2416,a2，答案：C．4b21b4说明：〔1〕假设将两条直线的方程改为ya1M,N，使得|MN| kx，那么；〔2〕两条相交直线上各取一点b k为定值，那么线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆．18．关于x,y的不定方程x21652y的正整数解的组数为〔〕A．0B．1C．2D．3【答案】B专业.整理.WORD格式.资料.19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以假设干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数a,b,c相乘的时候，可以有(ab)c,(ba)c,c(ab),b(ca),等等不同的次序．记n个实数相乘时不同的次序有I n种，那么〔〕A．I22B．I312C．I496D．I5120【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得I n C n1A n n 1Cnn1n!n1．答案：AB．2n2(n1)!C2n1关于卡特兰数的相关知识见?卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利?．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是，乙击败丁的概率是．那么甲刻冠军的概率是．【答案】【解析】根据概率的乘法公式，所示概率为0.3(0.5 0.3 0.5 0.8)．21．在正三棱锥P ABC中，ABC的边长为1．设点P到平面ABC的距离为x，异面直线AB,CP的距离为y．那么limy．x3【答案】2【解析】当x时，CP趋于与平面ABC垂直，所求极限为ABC中AB边上的高，为3．2专业.整理. WORD 格式.资料 .22．如图，正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，中心为O,BF1BC,A 1E 1A 1A ，那么四面体OEBF2 4的体积为 ．1【答案】96【解析】如图，V OEBF V OEBF1V GEBF1V EGBF11V EBCC 1B 1 1 ．2 22 16 962sin 2nx)dx23．(x )2n1(1．【答案】02)2n 1(1 sin 2nx)dxx2n1(1 sin 2nx)dx 0．【解析】根据题意，有 (x24．实数x,y 满足(x 2 y 2)3 4x 2y 2，那么x 2 y 2的最大值为．【答案】1【解析】根据题意，有(x 2y 2)34x 2y 2(x 2 y 2)2，于是x 2y 2 1，等号当x 2y 21 时取得，2因此所求最大值为 1．25．x,y,z 均为非负实数，满足(x 1)2 (t 1)2 (z 3)227 ，那么xy z 的最大值与最小值分别22 4为．【答案】22 32【解析】由柯西不等式可知，当且仅当(x,y,z)(1,1,0)时，xy z 取到最大值3．根据题意，有22专业.整理. WORD 格式.资料 .x 2 y 2 z 2 x2y3z 13 ，于是 13 (x yz)23(x yz)y,解得xy z223 ．于是4 42x y z 的最小值当(x,yz)(0,0,223)时取得，为22 3．2226．假设O 为ABC 内一点，满足S AOB :S BOC :S COA4:3:2 ，设AOABAC ，那么．【答案】23【解析】根据奔驰定理，有2 4 299 ．327．复数zcos2isin2，那么z 3z 2z 2 2．33z1 3【答案】2i2【解析】根据题意，有z3z 2z 221 z 2zcos5isin51 3i ．z3 32228．z 为非零复数，z ,40的实部与虚部均为不小于1的正数，那么在复平面中，z 所对应的向量OP 的10 z端点P 运动所形成的图形的面积为.【答案】2001003 3003x y1,R)，由于401,【解析】设zxyi(x,y 40z ，于是 10 1040y如图，弓形面积为z|z|2 40x1, 1,x 2y 2 x 2 y 21202(sin 6)100 100，四边形ABCD 的面积为21(10 3 10)101003100.2632专业.整理.WORD 格式.资料 .于是所示求面积为2(100100)(1003100)200 1003300.333，那么sin4xsin2xsinxsinx 29．假设tan4xcos4xcos2xcos2xcosx．3cos8xcos4x cosx【答案】3【解析】根据题意，有sin4x sin2xsinx sinxcos8xcos4xcos4xcos2x cos2xcosx cosx(tan8x tan4x) (tan4x tan2x) (tan2xtanx)tanxtan8x3．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个 4 4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有种填法．【答案】44100031．设A 是集合{1,2,3, ,14}的子集，从A 中任取 3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，那么A中元素个数的最大值为 ．【答案】8【解析】一方面，设A {a 1,a 2, ,a k }，其中kN *,1 k 14．不妨假设a 1 a 2a k ．假设k 9，由题意，a 3 a 1 3,a 5 a 37，且a 5a 3 a 3 a 1，故a 5a 17．同理a 9a 5 7．又因为a 9 a 5 a 5 a 1，所以a 9a 1 15，矛盾！故k8．另一方面，取 A {1,2,4,5,10,11,13,14}，满足题意．综上所述， A 中元素个数的最大值为8．专业.整理。
清华等17所高校自主招生笔试真题
清华等17所高校自主招生笔试真题清华等17所高校2017年自主招生笔试真题南开大学6月10日、11日，南开大学2017年自主招生考试顺利举行，533名考生参加了现场测试。
笔试题量很大，涵盖了语文、数学知识的学科能力测试，更多地考查学生的思辨能力和平时知识的积累。
1、“祝考生考得都会，蒙得都对”是一个什么命题并证明清华大学2017年6月10日，清华大学率先开始了自主选拔测试，2017年有近6000多人参加清华初试，2017年清华自主招生、领军计划、自强计划笔试采用同一套试卷进行测试。
清华大学初试采用笔试形式，考试科目为：数学与逻辑、理科综合(物化)、文科综合(文史)，学生依据填报的专业类参加其中两个科目的考试。
初试结果将在报名系统内公布。
据悉，2017年清华笔试在全国44个城市设有61考点，相比去年增加25个考点，其中，每个城市还设有多个考点。
考试安排：初试时间：2017年6月10日上午9：00-12：00复试时间：2017年6月16日-18日，(具体测试时间以报名系统内公布为准)。
笔试题型：理科：数学30题，物理20题，化学18题，一共68题，180分钟合在一起考的。
文科：数学35题，语文12题，历史20题。
笔试试题文科综合(文史)类笔试试题：考题有明清时的自然经济瓦解、抗日战争、诗词等内容，不是考知识点记忆，主要考查阅读面、逻辑思维深度等，数学与逻辑难度较大。
化学试题成为新考查内容今年化学成为新考查内容。
刘震表示，新增化学试题注重对学科基础内容的考查、综合多模块内容、加强化学学科的应用性、创新试题的设问模式，充分体现化学学科的学术价值，考查了考生的基础知识、综合能力、科学素养和创新精神，关注环境问题，讨论产生酸雨的原因及危害、食品中的增塑剂与人体健康等社会焦点问题。
物理试题注重基本概念的准确理解和灵活运用。
通过采用单选和多选题随机编排的方式，来考查学生构建正确、合理的物理模型，综合运用物理知识分析、解决实际问题的能力，同时增加了能力考查的区分度。
XXX2017年自主招生考试数学试题 Word版含答案
XXX2017年自主招生考试数学试题 Word版含答案1.XXX2017年面向全省自主招生考试《科学素养》测试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知$a=\frac{5+35-3}{5-35+3}$，$b=$，则二次根式$a^3b+ab^3+19$的值是（）A、6.B、7.C、8.D、92.有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）begin{cases}4x\geq3(x+1)\\2x-<a\end{cases}$A、$\frac{3}{452}$B、$\frac{1}{993}$C、$\frac{1}{452}$ D、$\frac{1}{165}$3.已知一次函数$y=kx+b$的图像经过点（3,0），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，满足条件的函数有（）A、2个B、3个C、4个D、5个4.若实数$a\neq b$，且a、b满足$a^2-8a+5=0$，$b^2-8b+5=.$则A、-20.B、2.C、2或20.D、2或205.对于每个非零自然数n，抛物线$y=x-\frac{b-1}{a-1}$的值为$\frac{2n+1}{n(n+1)}$，其中$x+$与x轴交于A$_n$、B$_n$以及A$_{2017}$、B$_{2017}$的值是（）表示这两点间的距离，则A、$\frac{2017}{2016}+\frac{2018}{2017}$B、$\frac{2016}{2017}+\frac{2018}{2017}$ C、$\frac{2016}{2017}+\frac{2017}{2016}$ D、$\frac{2017}{2016}+\frac{2017}{2016}$6.已知$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边，则下列式子一定正确的是（）A、$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ac$B、$\frac{a+bc}{a+b+1c+1}c$ D、$a^3+b^3>c^3$7.如图，从$\triangle ABC$各顶点作平行线$AD\parallel EB\parallel FC$，各与其对边或其延长线相交于D，E，F.若$\triangle ABC$的面积为1，则$\triangle DEF$的面积为（）A、3.B、3C、D、28.半径为2.5的圆$\odot O$中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知$A、$\frac{169}{25}$B、$\frac{32}{43}$C、$\frac{3}{4}$ D、$\frac{5}{6}$二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9.若分式方程$\frac{x-a}{x+1}=a$无解，则$a$的值为_________满足$a<1$，则方程$\frac{x-a}{x+1}=a$的解为$x=\frac{a}{1-a}$，当$a\geq1$时，分母$x+1$始终大于分子$x-a$，方程无解。
2017年清华、北大自主招生数学模拟试卷(笔试试题附解析 )
2017年清华、北大自主招生数学模拟试卷（笔试试题附解析 ）一、填空题（共12小题，每题10分，计120分）． 1. 如图，在三棱锥中ABC D -中，已知AB =2，3-=⋅BD AC ．设AD =a ，BC =b ，CD =c ，则c 2ab +1的最小值为 ．2. 若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n 为四位三角形数，则所有四位三角形数的个数为 ． 3. 已知函数b a 、满足21≤≤-a ，且1202≤-≤a b ，则ab b a w 8316322++= b a 34+-的取值范围是 ．4. 若存在满足下列三个条件的集合A 、B 、C ，则称偶数n 为“萌数”：⑴ 集合A 、B 、C为集合{}n M ，，，，⋅⋅⋅=321的3个非空子集，A 、B 、C 两两之间的交集为空集，且M C B A = ；⑵ 集合A 中所有数均为奇数，集合B 所有数均为偶数，所有的3的倍数都在集合C 中；⑶ 集合A 、B 、C 所有元素的和分别为321S S S 、、，且321S S S ==．对于以下4个说法：① 8是“萌数”；② 60是“萌数”；③ 68是“萌数”；④ 80是“萌数”；其中正确的是 ．（填所有正确的序号） 5. 若()n k m k =︒-∏=451212csc ，其中*∈N n m ,且2,≥n m ，则n m +的值是 ．13922=+y x 6. 如图，设斜率为()0 >k k 的直线l 与椭圆C ：交于A 、B 两点，OB OA ⊥．当A O B ∆面积取最大值时，直线l 的方程为 ．7. 若离散型随机变量Y X ,满足32≤≤X ，且1=XY ，则()()Y E X E 的取值范围为 ． 8. 已知0,≥b a ，1=+b a ，则229402213b a M +++=的最大值与最小值之和是 ．9. 已知z 是实部虚部均为正数的复数，则对于说法：① ()z z -2Re 被2整除；② ()z z -3Re 被3整除；③ ()z z -4Re 被4整除；④ ()z z -5Re 被5整除；正确的是 ．（填所有正确的序号）10. 在圆锥内部放有一个球，它与圆锥的侧面和底面都相切，则球的表面积与圆锥的表面积之比最大为 ．AB第1题DC第6题11. 六边形ABCDEF 内接于圆O ，且13+===CD BC AB ，1===FA EF DE ．则此六边形的面积为 ．12. 已知n x x x ，，，⋅⋅⋅21()4≥n 是满足121=+⋅⋅⋅++n x x x 的非负实数，则21432321x x x x x x x x x n +⋅⋅⋅++的最大值是 ． 二、解答题（共2小题，13题25分，14题35分，计60分）． 13. ⑴ 函数()()b x a x x x f +++--=1323()R b a ∈<，0．(Ⅰ) 令()()31++--=a b x f x h ，判断()x h 的奇偶性，并讨论()x h 的单调性． (Ⅱ) 若()()x f x g =，设()b a M ,为()x g 在[]02，-的最大值，求()b a M ,的最小值．⑵ 设Z ∈a ，已知定义在R 上的函数()a x x x x x f +--+=6332234在区间()21，内有一个零点0x ，()x g 为()x f 的导函数．(Ⅰ) 求()x g 的单调区间；(Ⅱ) 设[)(]2,,100x x m ∈，函数()()()()m f x m x g x h --=0，求证：()()00<x h m h ；(Ⅲ) 求证：存在大于0的常数A ，使得对任意的正整数p ，q ，且[)(]2,,100x x q p ∈，满足401Aqx q p ≥-．14. ⑴ 设数列{}n a 满足221=-+n n a a ，2≤n a ，⋅⋅⋅=，，，321n ． 证明：若1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列． ⑵ 数列{}n a 各项均为正数，且对任意*∈N n ，满足21n n n ca a a +=+（常数0>c ）．(Ⅰ) 求证：对任意正数M ，存在*∈N N ，当N n >时，有M a n >；(Ⅱ) 设，n S 为数列{}n b 的前n 项和，nn ca b +=11求证：对任意0>d ，存在*∈N n ，当N n >时，有d ca S n <-<110．参考答案一、填空题（共12小题，每题10分，计120分）． 1 考点：立体几何（三棱锥） {难度：★★☆☆☆}答案：22 考点：计数，排列 {难度：★★★☆☆}答案：16813 考点：代数式求值 {难度：★★☆☆☆}答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-574121， 4 考点：集合、数论、分类讨论 {难度：★★★☆☆}（ 2017年中学生学术能力测试 ）答案：①③④5 考点：三角函数（三倍角公式） {难度：★★★☆☆}答案：916 考点：解析几何（直线与椭圆） {难度：★★☆☆☆}答案：333+=x y 或333-=x y 7 考点：随机变量 {难度：★★★★☆}答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡24251，8 考点：导数，放缩 {难度：★★★☆☆}答案：11510433++9 考点：复数，费马小定理 {难度：★★★☆☆}（ 2017年中学生学术能力测试 ）答案：②④10 考点：立体几何（球与圆锥） {难度：★★☆☆☆}（ 2017年全国高中数学联赛 天津预赛 ）答案：2111 考点：平面几何（特征分析思想，转换法） {难度：★★★☆☆}答案：()3249+图1 → 图2（将小三角形重新组合）12 考点：基本不等式 {难度：★★★★☆}（ 2017年IMO ，中国国家队选拔考试 ）答案：161二、解答题（共2小题，13题25分，14题35分，计60分）．13考点：函数、导数讨论的应用{难度：★★★☆☆} (25分)①② 2017年天津高考数学（理）【解析】（Ⅰ）由432()2336f x x x x x a =+--+，可得32()()8966g x f x x x x '==+--， 进而可得2()24186g x x x '=+-.令()0g x '=，解得1x =-，或14x =. 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-，(,)4+∞，单调递减区间是(1,)4-. （Ⅱ）证明：由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--.（III ）证明：对于任意的正整数 p ，q ，且00[1)(,],2px x q∈， 令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--. 由（II ）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点； 当0(,2]m x ∈时，()h x 在区间0(),x m 内有零点.所以041|2|()p x q g q -≥.所以，只要取()2A g =，就有041||p x q Aq-≥.13考点：数列，数学归纳法{难度：★★★★☆} (35分)（2017年全国高中数学联赛浙江预赛）（2013年清华大学自主招生）。
2017年清华自主招生试题及解答
2017年清华自主招生数学试题及解答清华自主招生试题以选择题为主，最大的特点是不定项选择，不是单选题。
这很考察学生的能力，学生必须4个选项都思考过，才能把答案做对。
高考题中的一些特殊解法（如排除法）在此就失效了。
另外从考察的知识点来看，题目比较灵活，解答的方法，平时课堂里都有训练，但是对能力的考察要求一点都不低，要求学生具备用已知的方法去解决新问题的能力。
考试范围也突破了高考的范围，例如复数的要求就远超过高考，另外还有极点极线、不定方程、空间几何等一些问题，难度上来说，个人感觉应该介于高考和竞赛之间。
1.已知复数ab ，，满足||1a b +=，22||||4a b +=，则||ab A.有最大值114B.有最大值52C.有最小值54D.有最小值322.若方程|1|210x acos x -+-=（）有唯一解，则A .a 的值唯一 B.a 的值不唯一 C.a 的值不存在 D.以上都不对3.四面体PABC ，3PA AB AC BC ====，45PB PC ==，，则四面体PABC 的体积为C.2D.24.有序数对a b c d （，，，），其中{}1234a b c d =，，，，，，，记N a b c d （，，，）为数对中不同数的个数，例如1122212333NN ==（，，，），（，，，），则所有N （a ，b ，c ，d ）的平均值为 A.8732B.114C.17764D.175645.不定方程23100x y z ++=的非负整数解的组数为 A.884B.885C.886D.8876.已知221x xy y ++=，则 A.x+yB.x+y 的最大值为1C.xD.x 的最大值为17.已知椭圆22182x y +=，直线2x y =交椭圆于A ，B 两点，P 为椭圆上一点，直线PA.，PB 分别交直线2xy =于C ，D 两点，则A.椭圆上存在2个不同点Q ，满足2OQ OD OC =⨯B.椭圆上存在4个不同点Q ，满足2OQ OD OC =⨯C.y 轴上存在2个不同点Q ，满足OQC ODQ ∠=∠D.y 轴上存在4个不同点Q ，满足OQC ODQ ∠=∠8.已知椭圆2214x y +=，P 是右准线上一点，PA ，PB 分别于椭圆相切于A ，B 两点，F 为椭圆左焦点，则A.AB 的最小值为1B.AB 的最小值为2C.△FAB 的周长为定值D.△FAB 的面积为定值9.在△ABC 中， sin A sinBsinC +的最大值为A.32B.不存在10.已知不等式4322242410x x m x m x m -++-+++>（）（）恒成立，则m 的范围是 A.[0，+∞）B.（-∞，0]C.[1,12]D.（-∞，1]11.已知复数12z z ，，满足121|2z z ==，|，则复数12z z -与1z ，所对应的向量的夹角的最大值为 A.6πB.3π C.4π D.2π 12.已知集合A={-1，0，1}，B={2，3，4，5，6}，f 是集合A 到集合B 的映射，满足对Vx A x f x xf x ∈++，（）（）是奇数，则映射f 的个数有（ ）个.A.40B.50C.60D.70 13.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，点D ，E ，F 是底边BC 上的点，满足18BC=14BD=12BE=BF ，则DB DAEB DA FB FA →→→→→→⋅⋅⋅，，大小关系为 A.DB DA EB DA FB FA →→→→→→⋅>⋅>⋅ B.DB DA FB FA EB DA →→→→→→⋅>⋅>⋅ C.FB FA DB DA EB DA →→→→→→⋅>⋅>⋅D.EB DA FB FA DB DA →→→→→→⋅>⋅>⋅14.如右图，有一个半径为1的圆，B ，C 是圆上两点，且AB AC ⊥。