粒子碰撞物理学第二章(2016)
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（1）原子核碰撞 入射离子通过弹性碰撞把能量传给靶原子核，使靶原子获得能量反冲。由于是同靶原子 核碰撞的能量损失，所以也叫核能量损失或弹性能量损失。这一种机制主要是低速入射粒子 的能量损失的主要方式。 （2）激发和电离 入射的离子通过与靶内电子的相互作用，而把能量传给靶电子，从而使一些靶原子达到 激发态或者电离态。入射粒子用于激发或电离的这部分能量损失通常也叫电子能量损失，或 者称为非弹性能量损失。这种损失能量的机制是高速入射粒子损失能量的主要方式。 （3）光子产生和发射
M1v0 sin M1v1 sin( )
1/ 2 2 2 2 M cos M M sin 2 2 1 2 1 v1 v0 M1 M 2
பைடு நூலகம்
等式两边各乘以M1/2进而可得出： 其中
E1=kE0
E1 v1 k 2 E0 v0
2
E1 E0,v0
碰撞参数
φ
ψ T=E2
在图上，考虑两个半径为R0的硬球碰撞，入射球的质量和能量分别为M1和E0，而开 始处于静止状态，被碰撞原子的质量为M2，碰撞时两球心间距为2R0，碰撞前入射球前 进线与被碰撞原子之间的距离为P，我们称之为碰撞参数（这是一个很重要的物理参量）。 碰撞的结果，入射球由原来的运动方向被偏离了φ角，而将能量T=E2移交给被碰球，也 就是靶原子，使其偏移ψ角。对于给定的子弹和靶原子核而言，决定传输能量T的因素， 是入射离子的初始能量E0，碰撞参数P和碰撞中起作用的几种力学性质。对于弹性碰撞， 利用经典力学理论就可以算出T与P，E的函数关系。
1 r V r Z1 Z 2 e TF ( ) r a
2
r r r TF ( ) 1 ( )( ) 2 3 a a a
1 / 2
加入了修正函数，比较适用于能量在104～105eV的各种注入离子。
§2.1原子间的相互作用势
6、林哈德势（Lindhard）：
这样 可见，要求出碰撞后的能量损失，也就是能量传递，必须先求出散射 角θ，下面我们将详细推导出它的表达式。
在质心系中，入射离子和被撞原子相对于质心的速率分别为：
于是在质心系中，两粒子相互作用始点或终点处，相对于质心的 动能之和
还可以求出质心的动能：
质心动能与Ec之和为系统总动能，该值恰好等于入射离子的初始动能，这就是能量守恒。
具有碰撞参数为P的所有离子都将会偏离φ角，进入一个以被碰撞原子为中心， 半角为φ的锥体面上，同理，以被碰撞参数为P+dp入射的离子，将进入半角为 φ+dφ的锥面上。dp取极限小时，可以认为处于p+dp面积元的所有入射离子有相
同的碰撞参数P。这个环形的面积元我们就称之为碰撞参数为P，散射角为φ的
微分散射截面dζ。它的物理意义是粒子碰撞的散射角为φ的几率。
在入射离子的速度高到达到相对论速度的情况下，入射粒子会在穿过介质时减速而发射
光子，从而把损失的能量变成光子能量。 （4）核反应 当入射粒子和靶的组合满足一定条件，而且碰撞能量达到一定的反应阈能时，会发生核 反应，核反应也会用掉入射离子的部分能量。
《粒子同固体相互作用物理学》
第二章 离子在固体中的碰撞和散射
§2.1原子间的相互作用势
要合理方便地研究离子同原子间的弹性碰撞问题，首先要取一个简化的、 合理的相互作用势V(r)，这是十分必要的。
历史上不同的相互作用势函数模型：
1.硬球模型（刚性球）V(r)=∞，r<2R0 V(r)=0, r>2R0
M cos M 2 M 2 sin 2 1/ 2 2 1 1 M1 M 2
（为入射离子弹性碰撞后与碰撞前能量之比，称为运动学因子，在离子束分析技术中，我们要经 常用这个参数。）
一束均匀而平行的离子束射向静止的原子，根据硬球模型，只有那些碰 撞参数在P≤2R0的入射离子发生散射，因而面积4πR02决定了碰撞总截 面。
实验室系内，入射粒子以 v0运动，靶原子M2可当作静止不动。碰撞以后，两个粒子分别以速度V1
和V2向φ和ψ方向散射。（如图所示） 用质心系描写的碰撞情况画在右图。由于质心系是零动量系，两个粒子先是相对而来，速度分别为
v0-vc和-vc。碰撞以后又相背而去。根据动量和能量守恒定律可知，两个粒子碰撞后的速度数值将分别
由于固体中原子的间距是很小的，因此检验这些相互作用势的实 验做起来相当困难。所以只能间接地用离子的散射实验，以及注 入离子在固体中的统计分布和计算机模拟来修正这些作用势（加
不同的修正系数）。因为一般来讲，仅对表达式中系数做一定的
修正，这比建立一个新的表达式方便容易得多。
例如，以测得的入射离子在固体中的统计分布为实验根据，确定
因此，在入射粒子行进的过程中，p相同的靶原子从入射离子得 到的能量T是相同的。
将这个式子变形，求导，我们还可以得到散射截面与T的关系：
§2.4 阻止本领
我们已经知道，一个入射粒子打进固态材料中，它在固体中穿行时在
整个路径上都必将与固体中的原子发生一系列的碰撞和散射等相互作 用，同时在这个过程中，通过一定的方式，逐渐损失掉自身的能量， 这些能量或者传递给靶原子了，或者转换成其它形式的能量了。
由此可得出入射离子散射后保留能量E1
而被撞原子的能量E2则为：（也就是传递给被撞原子的能量）
从这式子可以看出，当质心系散射角从零增加到π时，入射离子 能量从E0减少到E0[1-4M1M2/(M1+M2)2]，传递给被撞原子的能量则 从0增加到（最大值）：
这是对头碰撞的情况，散射角最大， 能量传递最大。
d [( p dp) 2 p 2 ] 2pdp d (p 2 )
由于T取决于φ角，所以能量传递T+dT也由φ+dφ决定，因此上述微分截面也可称为 T+dT范围内能量传递微分截面。
§2.3 散射角与散射截面
这一节我们来求两体碰撞过程中的散射角φ及一般的散射截面。
讨论这类碰撞问题，比较方便的做法是同时应用两个坐标系：实验室系和质心系。在碰撞之前，在
§2.2弹性散射和微分散射截面
我们先从硬球模型入手来讨论弹性散射和微分散射截面。可以说采用
相互作用势的硬球模型来讨论离子同固体的相互作用问题在一定程度 上也是有它合理性的。
在离子注入中，入射离子和靶原子之间发生碰撞的最远距离，不超过晶体靶中原子点阵 间距的一半（大约是1～3Å之间）。而最小的碰撞间距不会小于0.1Å，整个间距很小。 如果我把这个间距忽略掉，那么可以设想，有一个半径为 R0的硬球来代替被碰撞的原 子。即把每个原子当成一个半径为R0的理想弹性硬球。弹性碰撞只发生在r= 2R0处，在 r>2R0处则不发生相互作用，这种碰撞称为硬球碰撞。实验上在弹性相互作用时，硬球 模型是一种相当合理的近似，且处理方法又很简便。我们在这里用这种模型来引入微分 散射截面这个概念。当然在实际的离子注入过程中，入射离子跟靶原子之间的实际相互 作用势比这要复杂的多，以此推出的结论自然也会有些不一样。
7、韦尔森（Welson）势 ：
V r 0.18818 e 3.2r 0.5099 e 0.94235 r 0.2802 e0.4026 r 0.02817 e0.2016 r
适用于高能和低能离子注入，属于比较精确的分析势。
§2.1原子间的相互作用势
以上这些作用势都是一定程度的近似表达法。目前还未找到一个 很确定的相互作用势来适合于所有离子原子对之间的通用相互作 用势。也就是说，这些相互作用势中的任一种势都不可能在离子 的全部能区，全部范围内都适用。
Z1 Z 2 e 2 r V r 0 ( ) r a
ks r 0 ( ) (a / r ) S 1 a s
同样采用了修正函数，取不同的S值（S=1,2,3,4，……）可适用于不同的 作用距离。 也称作负幂势，其缺点是不能用一个单一的解析式表达所有范围内的势函 数。
§2.1原子间的相互作用势
§2.1原子间的相互作用势
3.Born-Mayer势：
r V r A exp( )
常数A和ρ 可用弹性模量和晶格常数等物理量来确定。
Z1 Z 2 e 2 V r r
§2.1原子间的相互作用势
4.玻恩（Born）屏蔽库仑势：
Z1Z 2e 2 r V r exp( ) r a
保持不变。因此质心系内的计算相对简单。算出结果以后，再把各个速度转换到实验室系去就行了。
转换时用到的速度矢量相加关系画在上图中，从中可推算出以下有用的结果：
2
2
2
M 2 sin tg M 1 M 2 cos
把每个粒子相对于质心速度的速度矢量相加，不难导出碰撞后 入射粒子和被碰原子的实验室系里的速度：
至于离子采取什么方式损失，或者说交换掉自己带的能量，取决于入 射粒子和靶的组合情况，还取决于粒子所带能量的高低。
运动的离子在固体靶物质中的能量损失机制（或者说方式），可以有以下 几种类型： （1）原子核碰撞 （2）激发和电离 （3）光子产生和发射
（4）核反应
运动的离子在固体靶物质中的能量损失机制
硬球势函数虽然是一种不符合实际的作用势，然而这种近似却为理论计算 带来极大的方便。
2.库仑相互作用势：
Z1 Z 2 e 2 V r r
这适用于两个刚性的，没有结构（可看作点电荷）的带电粒子之间的相互作用， 比如两个不带电子的原子核之间的碰撞，如质子。在某些特殊场合下，也用可 来近似处理。
假如实际情况可以归结为以上两种情况，那问题解决起来就很简单了。但离子和原子的结 构并不是那么简单，它们有复杂的结构，是多维度的，而且每种原子的结构还都不一样，这就 使得精确讨论这个问题变得很复杂了，难以入手了。
a a0 (Z
2/3 1
Z
2 / 3 1/ 2 2
)
a0 0.53
o
考虑到原子结构，也就是考虑到核外电子结构对库仑势的屏蔽作用，所以 引入屏蔽因子。使用范围介于原子K层半径和点阵间距之间。 并不是一个很好的势函数。
§2.1原子间的相互作用势
5、托马斯—费米势（Thomas—Fermi） ：
根据能量守恒定律
将r1和r2代入，可得
① 再根据角动量守恒定律，有
② 将②代入 ①，得
③
（利用了② 和③式）
对两边积分即可求出散射角：
（积分起始点为什么这 么取？）
积分后，可得
这就是我们最后得到的质心系中散射角的表达式，求出与P对应的θ值后， 可以根据T(θ)～θ关系【T(θ)=Tmaxsin2θ/2】求出对应的T，而后可求出散 射截面ζ(E,T)来。
但由这个式子可以看出，要算出θ进而算出能量损失，还需要知道两粒子间 的相互作用势，下面我们选取一个非屏蔽的库仑势来求一下散射角θ。
代入库仑势
Z1 Z 2 e 2 V r r
B称为碰撞直径，它是两个以速度v0作相对运动的同号荷电离子的最 小逼近距离（取p=0可得）。
利用上式，即可以求出
我们再回到质心系中：下面是质心系中入射离子和被撞原子的轨迹
我们用极坐标来处理这个问题，坐标原点为质心，α角为角坐标， M1和M2与质心的距离分别为r1和r2，这里他们分别满足：
r是两原子间距离，Rm是原子间接近的最小距离，此时连线垂直于极轴， M1的径向和横向速度分别为：ѓ1和r1 à ，M2的速度分别为ѓ2和r2 à ，在没 有外力约束的情况下，，系统的总能量是守恒的，且在r=±∞时，V(r)=0
入射离子的初始条件（包括能量和位置参数），然后确定离子原
子间相互作用势和原子结构即可计算出离子在固体中的最终分布 （就像咱们下面几节课要做的一样）。
将多次碰撞进行统计平均，然后与实验比较，根据二者的差别反
述来修正相互作用势，比如对修正系数或修正函数进行修正，多 次的反复修正直到理论与实际的相互作用势和统计分布参数符合 到满意为止。
碰撞后两者的速度分别为V1和V2，从能量守恒出发，有
1 1 1 2 2 2 E0 M 1v0 M 1v1 M 2 v2 E1 E2 2 2 2
根据动量守恒，平行于中心连线的动量分量为：
M1v0 cos M1v1 cos( ) M 2v2
垂直于中心线的动量： 利用上式可得到：
M1v0 sin M1v1 sin( )
1/ 2 2 2 2 M cos M M sin 2 2 1 2 1 v1 v0 M1 M 2
பைடு நூலகம்
等式两边各乘以M1/2进而可得出： 其中
E1=kE0
E1 v1 k 2 E0 v0
2
E1 E0,v0
碰撞参数
φ
ψ T=E2
在图上，考虑两个半径为R0的硬球碰撞，入射球的质量和能量分别为M1和E0，而开 始处于静止状态，被碰撞原子的质量为M2，碰撞时两球心间距为2R0，碰撞前入射球前 进线与被碰撞原子之间的距离为P，我们称之为碰撞参数（这是一个很重要的物理参量）。 碰撞的结果，入射球由原来的运动方向被偏离了φ角，而将能量T=E2移交给被碰球，也 就是靶原子，使其偏移ψ角。对于给定的子弹和靶原子核而言，决定传输能量T的因素， 是入射离子的初始能量E0，碰撞参数P和碰撞中起作用的几种力学性质。对于弹性碰撞， 利用经典力学理论就可以算出T与P，E的函数关系。
1 r V r Z1 Z 2 e TF ( ) r a
2
r r r TF ( ) 1 ( )( ) 2 3 a a a
1 / 2
加入了修正函数，比较适用于能量在104～105eV的各种注入离子。
§2.1原子间的相互作用势
6、林哈德势（Lindhard）：
这样 可见，要求出碰撞后的能量损失，也就是能量传递，必须先求出散射 角θ，下面我们将详细推导出它的表达式。
在质心系中，入射离子和被撞原子相对于质心的速率分别为：
于是在质心系中，两粒子相互作用始点或终点处，相对于质心的 动能之和
还可以求出质心的动能：
质心动能与Ec之和为系统总动能，该值恰好等于入射离子的初始动能，这就是能量守恒。
具有碰撞参数为P的所有离子都将会偏离φ角，进入一个以被碰撞原子为中心， 半角为φ的锥体面上，同理，以被碰撞参数为P+dp入射的离子，将进入半角为 φ+dφ的锥面上。dp取极限小时，可以认为处于p+dp面积元的所有入射离子有相
同的碰撞参数P。这个环形的面积元我们就称之为碰撞参数为P，散射角为φ的
微分散射截面dζ。它的物理意义是粒子碰撞的散射角为φ的几率。
在入射离子的速度高到达到相对论速度的情况下，入射粒子会在穿过介质时减速而发射
光子，从而把损失的能量变成光子能量。 （4）核反应 当入射粒子和靶的组合满足一定条件，而且碰撞能量达到一定的反应阈能时，会发生核 反应，核反应也会用掉入射离子的部分能量。
《粒子同固体相互作用物理学》
第二章 离子在固体中的碰撞和散射
§2.1原子间的相互作用势
要合理方便地研究离子同原子间的弹性碰撞问题，首先要取一个简化的、 合理的相互作用势V(r)，这是十分必要的。
历史上不同的相互作用势函数模型：
1.硬球模型（刚性球）V(r)=∞，r<2R0 V(r)=0, r>2R0
M cos M 2 M 2 sin 2 1/ 2 2 1 1 M1 M 2
（为入射离子弹性碰撞后与碰撞前能量之比，称为运动学因子，在离子束分析技术中，我们要经 常用这个参数。）
一束均匀而平行的离子束射向静止的原子，根据硬球模型，只有那些碰 撞参数在P≤2R0的入射离子发生散射，因而面积4πR02决定了碰撞总截 面。
实验室系内，入射粒子以 v0运动，靶原子M2可当作静止不动。碰撞以后，两个粒子分别以速度V1
和V2向φ和ψ方向散射。（如图所示） 用质心系描写的碰撞情况画在右图。由于质心系是零动量系，两个粒子先是相对而来，速度分别为
v0-vc和-vc。碰撞以后又相背而去。根据动量和能量守恒定律可知，两个粒子碰撞后的速度数值将分别
由于固体中原子的间距是很小的，因此检验这些相互作用势的实 验做起来相当困难。所以只能间接地用离子的散射实验，以及注 入离子在固体中的统计分布和计算机模拟来修正这些作用势（加
不同的修正系数）。因为一般来讲，仅对表达式中系数做一定的
修正，这比建立一个新的表达式方便容易得多。
例如，以测得的入射离子在固体中的统计分布为实验根据，确定
因此，在入射粒子行进的过程中，p相同的靶原子从入射离子得 到的能量T是相同的。
将这个式子变形，求导，我们还可以得到散射截面与T的关系：
§2.4 阻止本领
我们已经知道，一个入射粒子打进固态材料中，它在固体中穿行时在
整个路径上都必将与固体中的原子发生一系列的碰撞和散射等相互作 用，同时在这个过程中，通过一定的方式，逐渐损失掉自身的能量， 这些能量或者传递给靶原子了，或者转换成其它形式的能量了。
由此可得出入射离子散射后保留能量E1
而被撞原子的能量E2则为：（也就是传递给被撞原子的能量）
从这式子可以看出，当质心系散射角从零增加到π时，入射离子 能量从E0减少到E0[1-4M1M2/(M1+M2)2]，传递给被撞原子的能量则 从0增加到（最大值）：
这是对头碰撞的情况，散射角最大， 能量传递最大。
d [( p dp) 2 p 2 ] 2pdp d (p 2 )
由于T取决于φ角，所以能量传递T+dT也由φ+dφ决定，因此上述微分截面也可称为 T+dT范围内能量传递微分截面。
§2.3 散射角与散射截面
这一节我们来求两体碰撞过程中的散射角φ及一般的散射截面。
讨论这类碰撞问题，比较方便的做法是同时应用两个坐标系：实验室系和质心系。在碰撞之前，在
§2.2弹性散射和微分散射截面
我们先从硬球模型入手来讨论弹性散射和微分散射截面。可以说采用
相互作用势的硬球模型来讨论离子同固体的相互作用问题在一定程度 上也是有它合理性的。
在离子注入中，入射离子和靶原子之间发生碰撞的最远距离，不超过晶体靶中原子点阵 间距的一半（大约是1～3Å之间）。而最小的碰撞间距不会小于0.1Å，整个间距很小。 如果我把这个间距忽略掉，那么可以设想，有一个半径为 R0的硬球来代替被碰撞的原 子。即把每个原子当成一个半径为R0的理想弹性硬球。弹性碰撞只发生在r= 2R0处，在 r>2R0处则不发生相互作用，这种碰撞称为硬球碰撞。实验上在弹性相互作用时，硬球 模型是一种相当合理的近似，且处理方法又很简便。我们在这里用这种模型来引入微分 散射截面这个概念。当然在实际的离子注入过程中，入射离子跟靶原子之间的实际相互 作用势比这要复杂的多，以此推出的结论自然也会有些不一样。
7、韦尔森（Welson）势 ：
V r 0.18818 e 3.2r 0.5099 e 0.94235 r 0.2802 e0.4026 r 0.02817 e0.2016 r
适用于高能和低能离子注入，属于比较精确的分析势。
§2.1原子间的相互作用势
以上这些作用势都是一定程度的近似表达法。目前还未找到一个 很确定的相互作用势来适合于所有离子原子对之间的通用相互作 用势。也就是说，这些相互作用势中的任一种势都不可能在离子 的全部能区，全部范围内都适用。
Z1 Z 2 e 2 r V r 0 ( ) r a
ks r 0 ( ) (a / r ) S 1 a s
同样采用了修正函数，取不同的S值（S=1,2,3,4，……）可适用于不同的 作用距离。 也称作负幂势，其缺点是不能用一个单一的解析式表达所有范围内的势函 数。
§2.1原子间的相互作用势
§2.1原子间的相互作用势
3.Born-Mayer势：
r V r A exp( )
常数A和ρ 可用弹性模量和晶格常数等物理量来确定。
Z1 Z 2 e 2 V r r
§2.1原子间的相互作用势
4.玻恩（Born）屏蔽库仑势：
Z1Z 2e 2 r V r exp( ) r a
保持不变。因此质心系内的计算相对简单。算出结果以后，再把各个速度转换到实验室系去就行了。
转换时用到的速度矢量相加关系画在上图中，从中可推算出以下有用的结果：
2
2
2
M 2 sin tg M 1 M 2 cos
把每个粒子相对于质心速度的速度矢量相加，不难导出碰撞后 入射粒子和被碰原子的实验室系里的速度：
至于离子采取什么方式损失，或者说交换掉自己带的能量，取决于入 射粒子和靶的组合情况，还取决于粒子所带能量的高低。
运动的离子在固体靶物质中的能量损失机制（或者说方式），可以有以下 几种类型： （1）原子核碰撞 （2）激发和电离 （3）光子产生和发射
（4）核反应
运动的离子在固体靶物质中的能量损失机制
硬球势函数虽然是一种不符合实际的作用势，然而这种近似却为理论计算 带来极大的方便。
2.库仑相互作用势：
Z1 Z 2 e 2 V r r
这适用于两个刚性的，没有结构（可看作点电荷）的带电粒子之间的相互作用， 比如两个不带电子的原子核之间的碰撞，如质子。在某些特殊场合下，也用可 来近似处理。
假如实际情况可以归结为以上两种情况，那问题解决起来就很简单了。但离子和原子的结 构并不是那么简单，它们有复杂的结构，是多维度的，而且每种原子的结构还都不一样，这就 使得精确讨论这个问题变得很复杂了，难以入手了。
a a0 (Z
2/3 1
Z
2 / 3 1/ 2 2
)
a0 0.53
o
考虑到原子结构，也就是考虑到核外电子结构对库仑势的屏蔽作用，所以 引入屏蔽因子。使用范围介于原子K层半径和点阵间距之间。 并不是一个很好的势函数。
§2.1原子间的相互作用势
5、托马斯—费米势（Thomas—Fermi） ：
根据能量守恒定律
将r1和r2代入，可得
① 再根据角动量守恒定律，有
② 将②代入 ①，得
③
（利用了② 和③式）
对两边积分即可求出散射角：
（积分起始点为什么这 么取？）
积分后，可得
这就是我们最后得到的质心系中散射角的表达式，求出与P对应的θ值后， 可以根据T(θ)～θ关系【T(θ)=Tmaxsin2θ/2】求出对应的T，而后可求出散 射截面ζ(E,T)来。
但由这个式子可以看出，要算出θ进而算出能量损失，还需要知道两粒子间 的相互作用势，下面我们选取一个非屏蔽的库仑势来求一下散射角θ。
代入库仑势
Z1 Z 2 e 2 V r r
B称为碰撞直径，它是两个以速度v0作相对运动的同号荷电离子的最 小逼近距离（取p=0可得）。
利用上式，即可以求出
我们再回到质心系中：下面是质心系中入射离子和被撞原子的轨迹
我们用极坐标来处理这个问题，坐标原点为质心，α角为角坐标， M1和M2与质心的距离分别为r1和r2，这里他们分别满足：
r是两原子间距离，Rm是原子间接近的最小距离，此时连线垂直于极轴， M1的径向和横向速度分别为：ѓ1和r1 à ，M2的速度分别为ѓ2和r2 à ，在没 有外力约束的情况下，，系统的总能量是守恒的，且在r=±∞时，V(r)=0
入射离子的初始条件（包括能量和位置参数），然后确定离子原
子间相互作用势和原子结构即可计算出离子在固体中的最终分布 （就像咱们下面几节课要做的一样）。
将多次碰撞进行统计平均，然后与实验比较，根据二者的差别反
述来修正相互作用势，比如对修正系数或修正函数进行修正，多 次的反复修正直到理论与实际的相互作用势和统计分布参数符合 到满意为止。
碰撞后两者的速度分别为V1和V2，从能量守恒出发，有
1 1 1 2 2 2 E0 M 1v0 M 1v1 M 2 v2 E1 E2 2 2 2
根据动量守恒，平行于中心连线的动量分量为：
M1v0 cos M1v1 cos( ) M 2v2
垂直于中心线的动量： 利用上式可得到：