实变函数习题

第一章习题

2、(ii) ()1

1

1

n n n n n n n A B A B ∞

∞

∞

===-⊂-U U U

证明：对于1

1

,n n n n x A B ∞∞==∀∈-U U 1

1

n n n n x A x B ∞∞

==⇒∈∉U U 且

001,1,n n n x A n x B ⇒∃≥∈∀≥∉且对于 0001,n n n x A B ⇒∃≥∈-

()1

n n n x A B ∞

=⇒∈-U

22、具体构造[]0,1与()0,1之间的一个完全的一一映射.

解：记()0,1中的有理数点集为Q ；()0,1中的无理数点集为M

()0,1Q M =U ；[]{}0,10,1Q M =U U ,作映射

12132,,0,1,..........n n x M x x r r r r r r +∀∈→→→→→

所以[]()0,10,1与等价

29、求证：n R 中任一集合的导集是闭集.

证明：若()E ''=Φ,则E '为闭集,否则

要证明E '为闭集()E E '''⇔⊂

()x E x ''∀∈⇒为E '的聚点(){}{}0,,V x x E εε'⇒∀>-≠ΦI

(){}{}1,x V x x E ε'⇒∃∈-I

()(){}11,x V x x ε⇒∈-

()()

()110,,,2V x V x x E δδε⇒∃>⊂'

⇒∈使得

(){}{}11110,,V x x E δδ⇒∀>-≠ΦI

10,δ⇒∀>()11,V x δ中含有E 的无穷多个点

()1,V x δ⇒也中含有E 的无穷多个点 ()()1,,E V x E V x δε⊂I I

()x E E E '⇒∈'''

⇒⊂

从而E '为闭集

30、(i)设,A B 是任意的两个集合,若A B ⊂,则A B ''⊂.

证明：x A x '∀∈⇒为A 的聚点

(){}{}0,,V x x A εε⇒∀>-≠ΦI

A B ⊂

(){}{}0,,V x x B εε⇒∀>-≠ΦI

⇒x 为B 的聚点

⇒x B '∈ (ii)若A B A '⊂⊂,求证：B 是闭集. 根据(i)式可知B A B ''⊂⊂,则B 是闭集 32、n R 中任一集合的孤立点是至多可数的

证明：先来证明1R 中的孤立点是至多可数的

记B 为1R 中以有理数为端点的开区间全体所成的集合,(){},,m

n

n

m

B r r r r

Q =∈

则B 为可数集.

设A 为1

R 中的孤立点全体,则对于任意的x A ∈,则存在x 的一个以有理数为端点的邻域

(),x x αβ,使得 (){},x x A x αβ=I

`

对于每一个x A ∈,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个A 中的点,故对于A 中不同的两个点对应的邻域(),x x αβ，(),y

y α

β也不同.

令(){},x

x

D x A αβ=

∈

则A 与D 等价,而D B ⊂,则D 是至多可数集,从而A 是至多可数集,因此有限个至多可数集的直积是至多可数集.

33、若A 不可数,则A '也不可数.

证明：假设A '是至多可数集,则设B 为A 的孤立点全体,则B 为至多可数集

因为()A B A A '=U I ,A A A ''⊂I ,则A A 'I 为至多可数集 则A 为至多可数集与已知矛盾.

第二章习题

2、求证：()(){}*inf :,m E m Q E Q Q =⊂是开集

证明：因为E Q ⊂,所以()(){}

*inf :,m E m Q E Q Q ≤⊂是开集 又因为Q 是开集,而()1,n n n Q a b ∞

==U ,其中(),n n a b 为两两不交的开区间

()()}{*

11inf :,n n n n n m E l I E I I ∞∞

==⎧⎫

=⊂⎨⎬⎩⎭∑U 是开区间列

因为开区间是开集,但是开集不一定是开区间,所以

()}{11:,n n n n n l I E I I ∞∞

==⎧⎫

⊂⎨⎬⎩⎭

∑U 是开区间列(){}:,m Q E Q Q ⊂⊂是开集

因此()}{(){}11inf :,inf :,n n n n n l I E I I m Q E Q Q ∞∞

==⎧⎫

⊂≥⊂⎨⎬⎩⎭

∑U 是开区间列是开集

3、设12,G G 是两个不相交的开集,1122,E G E G ⊂⊂,

求证：()()()*

*

*

1212m E E m E m E =+U

证明：1G ∈ΩQ , 所以()()()()()**

*

121

2

1

1

2

1

C

m E E m E E G m E E G =+U U I U I

()()()()()()

**11211121C C m E G E G m E G E G =+I U I I U I

()()*

*

12m E m E =+

6、设()()**,,m A m B <∞<∞求证：()()()***m A m B m A B -≤∆

证明：要想证明()()()***m A m B m A B -≤∆,只需要证明

()()()()****m A B m A m B m A B -∆≤-≤∆

下面来证明()()()*

**m A m B m A B -≤∆,即证明：()()()***m A m A B m B ≤∆+

而()())(()()()*

****m

A B m B m A B B m A B m A ∆+≥∆=≥U U

同理可证明：()()()*

**m

A B m A m B -∆≤-

10、设{}1n n E ≥是可测集列,(i)求证：()lim

lim n n n n m E m E →∞→∞

⎛⎫≤ ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 证明：1lim n k n k n n E E ∞

∞

==→∞

=Q U I u u u r ,左右取测度