博弈论课程补充

博弈论课程补充

无限策略博弈分析

在无限策略、连续策略空间的博弈中，仍然可以以纳什均衡概念为基础进行博弈分析。下面以“古诺双寡头垄断博弈”为例进行分析。

古诺（1838）的双寡头垄断模型被认为最早提出了纳什定义的均衡。这里研究的是古诺模型最简单的情况，在完全信息动态博弈、不完全信息博弈静态博弈条件的研究将对这个模型进行不同的变形。

由于市场容量总是有限的，在一定的价格水平上一个市场能够销售出特定产品的数量肯定是有限的。如果向该市场投放的商品超出该数量，则必须降低才能全部销售出去。换言之，在任何一个市场上，能够将商品全部销售出去的价格，也称为市场出清价格，是投放到该市场上商品数量的函数。

设市场有1,2两家厂商生产同质产品，厂商1的产量为q 1，厂商2的产品为q 2，则市场总供给为Q=q 1+q 2，市场出清价格P(可以将产品全部卖出去的价格)是市场总供给的函数P=P(Q)=a-Q （更精确的表述为：Qa 时，P(Q)=0）.设两厂商生产q i 的总成本c(q i )=cq i ,即企业不存在固定成本，且生产每单位产品的边际成本为常数c ,这里假定c

在该博弈中，博弈参与人为厂商1和厂商2，两博弈的战略空间是他们可选择的产量，因为产量是连续可分的，因此两厂商都有无限多种可选策略。该博弈中两博弈方的得益是两厂商各自的利润，即各自的销售收入减去各自的成本，即

u 1=q 1P(Q)-c 1q 1=q 1[a-(q 1+q 2)]-cq 1

u 2=q 2P(Q)-c 2q 2=q 2[a-(q 1+q 2)]-cq 2

两博弈方的得益（利润）都取决于双方的产量水平。

利用纳什均衡的概念，如果两博弈方的一个策略组合（*2*1,q q ）满足其中的*

1q 和*2q 相互是对对方的最佳策略，就构成一个纳什均衡。如果可以证实它是该博弈唯一的纳什均衡，则可以预言理性的博弈方（厂商）将分别选择这两个产量。

根据纳什均衡的定义，（*2*1,q q ）应当是下列最大值问题的解。

利用微积分求极值的方法，可以知道，该问题的解就是对每个厂商的收益函

数求一阶导数并令其等于0，即可求出纳什均衡。

解这一对方程组得

这一对产量组合就是古诺双寡头垄断模型的纳什均衡。可以对这一结果进行效率评价。

这一对产量组合就是古诺双寡头垄断市场上，每个厂商都从自身利润最大化

出发选择了最优产量

3c

a-

。市场总产量为

3)

(2c

a-

，每个厂商的纳什均衡利润为

9)

(2

c

a-

。

可以将这个结果与完全垄断市场做一比较。在完全垄断市场上只有一个厂商，这时他会选择q i使自己的利润u i=q i(a-q i-c)的最大化，容易解出其垄断产量

应为q m=(a-c)/2,并可赚取垄断利润

4)

(2

c

a-

.

当市场上有两家企业即双寡头垄断时，要使两家厂商总的利润最大化，两厂商的产量之和q1+q2应当等于垄断产量q m,比如q1=q2=q m/2时就可以满足这一条

件。这时每个厂商的利润为

8)

(2

c

a-

，大于上述纳什均衡利润。因此，从两厂商的总体来看，根据总体利益最大化确定产量效率更高，如果两厂商考虑合作，联合起来决定产量，先定出使总收益最大的产量，然后各自生产一半，则各自可分享到比只考虑自身利益的独立决策行为更高的利润水平。

但是，在独立决策、缺乏协调机制的两个企业之间，上述合作的结果并不容易出现，即使出现了也往往是不稳定的。因为各生产一半实现最大总利润的产量组合不是纳什均衡，每一厂家都有动机单独偏离它；因为垄断产量较低，相应的市场价格就比较高。因此，产量博弈的古诺模型也是一种囚徒困境。

在上面讨论的两寡头古诺模型汇中，对厂商2的任意产量q2，厂商1的最佳对策产量q1就是使自己在厂商2生产q2的情况下利润最大化的产量，即q1是最大化问题的解。

这样就得到了对于厂商2的每一个可能的产量，厂商1的最佳对策产量的计算公式，它是厂商2的一个连续函数，称这个连续函数为厂商1对厂商2产量的一个反应函数，记为

同样的方法，可以求出厂商2对于厂商1产量q 1的反应函数

两个反应函数构成的方程组的解，即满足纳什均衡的条件；两厂商的产量选择（战略）均是对手战略的最优反应。

对于一个一般的博弈，只要得益是策略的多元连续函数，都可以求每个博弈方针对其他博弈方策略的最佳反应构成的函数，也就是反应函数，解出的各个博弈方反应函数的交点就是纳什均衡。这种利用反应函数求博弈的纳什均衡的方法称为“反应函数法”。

作为学习和进化结果的纳什均衡

古诺模型的结果在现实中是如何实现的？可以用学习调整过程来解释该均衡结果。假定博参与人反复逐个设定它们的产量，每个参与人所选择的产量是对其对手在前一阶段选择产量的最优反应。因此，如果参与人1在阶段0中行动，并选择的产量是对其对手在前一阶段选择产量的最优反应。因此，如果参与人1

在阶段0中行动，并选择01q ，则参与人2在阶段1的产量是)(01212q r q ，其中r 2

是厂商2的反应函数，继续迭代这一过程

这一过程可能终结在一种稳定状态上，其产量水平是常数。这一过程从一开始点均衡收敛到纳什均衡，也就是说，纳什均衡是全局稳定的。

完全信息静态博弈的典型应用

可以用完全信息静态博弈的分析方法解释的分析方法解释许多经济现象，古诺寡头竞争就是最古老而典型的博弈分析。

1、豪泰林价格竞争模型

在古诺模型中，产品是同质的。在这个假设下，如果企业的竞争战略是价格而不是产量，伯川德证明，即使只有两个企业，在均衡情况下，价格等于边际成本，企业的利润为0，与完全竞争市场均衡一样。这便是所谓的“伯川德悖论”。

解开这一悖论的方法之一是引入产品的差异性。如果不同企业生产的产品是有差异的，替代弹性就不会是无限的，此时消费者对不同企业的产品有着不同的偏好，价格不是他们唯一感兴趣的变量。在存在产品差异性。如果不同企业生产的产品是有差异的，替代弹性就不会是无限的，此时消费者对不同企业的产品有着不同的偏好，价格不是他们唯一感兴趣的变量。在存在产品差异的情况下，均衡价格不会等于边际成本。