格林公式例题与习题

O
Bx
2
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
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内容小结
1. 格林公式 P d x Q d y Q P d x d y
L
2. 等价条件
D x y
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
( ydx
x d y)
L
令
则有
O
Bx
P y
k(x2 y2) r4
Q x
( x2 y2 0)
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
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取圆弧 AB : x π cos , y π sin ( : π 0)
2
2
2
W
AB
k r2
(y
dx
x d y)
y
A百度文库
L
πk
(3)
在 D 内是某一函数
的全微分,
即 d u(x, y) P dx Q dy (4) 在 D 内每一点都有 P Q .
y x
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说明: 根据定理2 , 若在某区域D内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
注： 求曲线积分时,若积分路径不是闭曲线，且难计 算，则可添加辅助线后，利用格林公式简化计算。
是某个函数的全微分, 并求
出这个函数及
证: 设 P xy2, Q x2 y,则 P 2xy Q
y
x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
(x, y)
du xy2 dx x2 ydy
(0,0)
( x,0)
0 y x2 y dy y x2 y dy
0
0
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2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点( x0, y0 ) D及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
(x,y)
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy
y y
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
L
( 格林公式 )
或
x y dxdy Pdx Qdy
DP Q
L
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格林公式
D
Q x
P y
d
xd
y
L
Pdx
Qd
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
1
A 2 L xd y y dx L xd y L y dx
例如,
椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
0
1 (1 e1) 2
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二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pdx Qdy L 与路径无关, 只与起止点有关.
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或
y dy 0 1 y2
π arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) O (1,0) ( x,0) x
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例7. 设质点在力场
作用下沿曲线 L :
由 A( 0, π ) 移动到 2
求力场所作的功W
y
A
解:
W
Fds
L
L
k r2
区域为D , 则
原式
(x2 3y) dx (y2 x) dy
L AO
( x2 3 y)dx ( y2 x) d y AO
(4)dxd y ( x2 3 y)dx
D
OA
y
4 dxd y 4 x2 dx
D
0
L D
8 π 64 3
O
Ax
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例5. 验证
例6.
验证
x
dy x2
yd y2
x
在右半平面
(
x
>
0
)
内存在原函
数 , 并求出它.
y
(x, y)
证: 令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
则
P x
y2 x2 (x2 y2)2
Q y
( x 0 ) O (1,0)
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数
0 x
y dy 0 x2 y2
P d x Q d y 在 D 内与路径无关. L
对 D 内任意闭曲线 L 有 P d x Q d y 0 L
在 D 内有 Q P x y
在 D 内有 d u P dx Q dy
P dx Qdy 0 为全微分方程
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(0 2π) 所围面积
1 2
2
0
π
(abcos2
absin2
) d
π ab
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
L 2xy dx x2 dy 0dx dy 0 D
y0
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
O x0
xx
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
3) 若已知 d u = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲
线 AB ,有
AB P(x, y)dx Q(x, y)dy
B A
P(
x,
y)
d
x
Q(
x,
一、 格林公式
区域 D 分类
单连通区域 ( 无“洞”区 域 多连) 通区域 ( 有“洞”区
L D
规定：域 D 边域界L) 的正向: 域的内部靠左
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P dxdy Pdx Qdy
D x y
y)d
y
D B
A
B
B
d u u u(B) u(A)
A
A
注: 此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4).
它类似于微积分基本公式:
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO,它与L 所围
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例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
解: 令P 0, Q xe y2, 则
y
B(0,1)
A(1,1)
D yx
利用格林公式 , 有
O
x
x e y2 dy D
x e y2 dy 1 ye y2 dy
OA