高考数学第九章解析几何9.6双曲线文新人教A版
2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：第九章 解析几何9.6
第九章
知识梳理 考点自诊
9.6 双曲线
必必备备知知识识··预预案案自自诊诊 关键能力·学案突破
学科素养·微专题
-2-
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的 距离的差的绝对值 等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点 , 两焦点间的距离叫做 双曲线的焦距 .
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且
a>0,c>0.
(1)当 2a<|F1F2| (2)当 2a=|F1F2|
时,点P的轨迹是双曲线; 时,点P的轨迹是两条射线;
(3)当 2a>|F1F2| 时,点P不存在.
第九章
知识梳理 考点自诊
9.6 双曲线
1 2
(������������
+
������������1 ),
|������������|=√3,则双曲线的方程为( D )
上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为
( D)
A.13
B.12
C.23
D.32
解析:由 c2=a2+b2=4,得 c=2,
所以点 F 的坐标为(2,0).
将 x=2 代入 x2-���3���2=1,得 y=±3,所以 PF=3.
又点 A 的坐标是(1,3),故△APF 的面积为12×3×(2-1)=32,故选 D.
解析:以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,建立平面
直角坐标系,则 A(-2,0),B(2,0),C(3,√3),由|MA|-|MB|=2 知点 M 的轨迹, 即曲线 PQ 的方程为 x2-���3���2=1(x>0),
高中数学讲义：解析几何专题双曲线(解析版)
圆锥曲线第2讲 双曲线【知识要点】 一、双曲线的概念 1. 双曲线的第一概念：平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的核心，两个核心之间的距离叫做焦距。
注1：在双曲线的概念中，必需强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作），不但要小于这两个定点之间的距离（记作），而且还要大于零，不然点的轨迹就不是一个双曲线。
具体情形如下：（ⅰ）当时，点的轨迹是线段的垂直平分线； （ⅱ）当时，点的轨迹是两条射线； （ⅲ）当时，点的轨迹不存在； （ⅳ）当时，点的轨迹是双曲线。
专门地，假设去掉概念中的“绝对值”，那么点的轨迹仅表示双曲线的一支。
注2：假设用M 表示动点，那么双曲线轨迹的几何描述法为（，），即。
2. 双曲线的第二概念：平面内到某必然点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。
二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程（1）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）； （2）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）.注：假设题目已给出双曲线的标准方程，那其核心究竟是在轴仍是在轴，要紧看实半轴跟谁走。
假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴；假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴。
2. 等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即），咱们把如此的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为（）注：假设题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，那么咱们可设该等轴双曲线的方程为（），再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。
进一步讲，假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点；假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点。
三、双曲线的性质以标准方程（，）为例，其他形式的方程可用一样的方式取得相关结论。
（1）范围：，即或；1F 2F a 22120F F a <<a 221F F c 202=a 21F F c a 22=c a 22>c a 220<<a MF MF 221=-ca 220<<c F F 221=2121F F MF MF <-e 1>e x 12222=-b y a x 0>a 0>b y 12222=-b x a y 0>a 0>b x yx x y yb a 22=λ=-22y x 0≠λλ=-22y x 0≠λλ0>λx 0<λy 12222=-b y a x 0>a 0>b ax ≥a x ≥a x -≤（2）对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）极点：左、右极点别离为、； （4）核心：左、右核心别离为、； （5）实轴长为，虚轴长为，焦距为；（6）实半轴、虚半轴、半焦距之间的关系为；（7）准线：； （8）焦准距：；（9）离心率：且. 越小，双曲线的开口越小；越大，双曲线的开口越大；（10）渐近线：； （11）焦半径：假设为双曲线右支上一点，那么由双曲线的第二概念，有，；（12）通径长：.注1：双曲线（，）的准线方程为，渐近线方程为。
高考绿色通道 双曲线
3．设△ABC 是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以 A、B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为 1＋ 2 A. 2 C．1＋ 2 1＋ 3 B. 2 D．1＋ 3 ( )
第八模块 平面解析几何
数学
高考总复习人教A版 · (文)
解析：由条件知：AB＝BC＝2c，AC＝2 3c， ∴2 3c－2c＝2a， 3＋1 c 1 ∴e＝ ＝ ＝ . a 2 3－1
x2 y2 B. － ＝1(x≥ 2) 2 14 x2 y2 D. － ＝1 或 x＝0 2 14
第八模块 平面解析几何
数学
高考总复习人教A版 · (文)
解：(1)由条件，知|PF2|－|PF1|＝2，且 |F1F2|＝3－1＝2，故点P的轨迹为一条射线， 选C. (2)如右图，动圆M与两圆C1 、C2 都相 切，有四种情况：①动圆M与两圆都相外 切，②动圆M与两圆都相内切；③动圆M与 圆C1 外切、与圆C2 内切．④动圆M与圆C1 内切、与圆C2 外切．在①②情况下，显然， 动圆圆心M的轨迹方程为x＝0；在③的情况 下，设动圆M的半径为r，则
第八模块 平面解析几何
数学
高考总复习人教A版 · (文)
x2 y2 【例 3】 (2009·重庆卷)已知双曲线 2－ 2＝1(a>0， a b b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0)．若双曲线上 sin∠PF1F2 a 存在点 P 使 ＝ ，则该双曲线的离心率的取值 sin∠PF2F1 c 范围是__________．
焦点， ∴|BC|－|BA|＝10，|AC|＝12， sinA－sinC |BC|－|BA| 10 5 ∴ ＝ ＝ ＝ . sinB |AC| 12 6
第八模块 平面解析几何
新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何双曲线教案理解析版
基础知识整合１．双曲线的概念平面内与两个定点F１，F２（|F１F２|＝２c>0）的距离的差的绝对值为常数（小于|F１F２|且不等于零）的点的轨迹叫做错误!双曲线．这两个定点叫做双曲线的错误!焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的错误!焦距．集合P＝{M|||MF１|—|MF２||＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a，c为常数且a>0，c>0：（１）当错误!a<c时，M点的轨迹是双曲线；（２）当错误!a＝c时，M点的轨迹是两条错误!射线；（３）当错误!a>c时，M点不存在．２．双曲线的标准方程和几何性质续表a，b，c的关系,错误!c２＝a２＋b２（c>a>0，c>b>0）双曲线中的几个常用结论（１）焦点到渐近线的距离为Ｂ．（２）实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．（３）双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）．（４）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!.（５）双曲线的离心率公式可表示为e＝错误!.１．（２0１8·浙江高考）双曲线错误!—y２＝１的焦点坐标是（）Ａ．（—错误!，0），（错误!，0）Ｂ．（—２,0），（２,0）Ｃ．（0，—错误!），（0，错误!）Ｄ．（0，—２），（0,２）答案B解析因为双曲线方程为错误!—y２＝１，所以焦点坐标可设为（±c,0），因为c２＝a２＋b２＝３＋１＝４，c＝２，所以焦点坐标为（±２,0），选Ｂ．２．（２0１9·宁夏模拟）设P是双曲线错误!—错误!＝１上一点，F１，F２分别是双曲线的左、右焦点，若|PF１|＝9，则|PF２|等于（）Ａ．１Ｂ．１7Ｃ．１或１7 Ｄ．以上均不对答案B解析根据双曲线的定义得||PF１|—|PF２||＝8⇒|PF２|＝１或１7．又|PF２|≥c—a＝２，故|PF２|＝１7，故选Ｂ．３．（２0１9·湖北模拟）若双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线经过点（３，—４），则此双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，点（３，—４）在渐近线上，∴错误!＝错误!，又a２＋b２＝c２，∴c２＝a２＋错误!a２＝错误!a２，∴e＝错误!＝错误!.故选Ｄ．４．已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的焦距为１0，点P（２,１）在C的渐近线上，则C 的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案A解析∵点P（２,１）在曲线C的渐近线y＝错误!x上，∴１＝错误!，∴a＝２Ｂ．又∵错误!＝错误!＝５，即４b２＋b２＝２５，∴b２＝５，a２＝２0，故选Ａ．５．（２0１8·北京高考）若双曲线错误!—错误!＝１（a>0）的离心率为错误!，则a＝________.答案４解析在双曲线中，c＝错误!＝错误!，且e＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，错误!＝错误!，a２＝１6，∵a>0，∴a＝４．6．已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线为２x＋y＝0，一个焦点为（错误!，0），则a＝________；b＝________.答案１２解析由题可知双曲线焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±错误!x，又一条渐近线为２x＋y＝0，即y＝—２x，∴错误!＝２，即b＝２a.又∵该双曲线的一个焦点为（错误!，0），∴c＝错误!.由a２＋b２＝c２可得a２＋（２a）２＝５，解得a＝１，b＝２．核心考向突破考向一双曲线的定义例１（１）（２0１9·山西模拟）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0）的一条渐近线方程为２x＋３y＝0，F１，F２分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF１|＝２，则|PF２|＝（）Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１0答案C解析由题意得错误!＝错误!，解得a＝３．因为|PF１|＝２，所以点P在双曲线的左支上．所以|PF２|—|PF １|＝２a，解得|PF２|＝8．故选Ｃ．（２）（２0１9·河南濮阳模拟）已知双曲线x２—y２＝４，F１是左焦点，P１，P２是右支上的两个动点，则|F１P１|＋|F１P２|—|P１P２|的最小值是（）Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１6答案C解析设双曲线的右焦点为F２，∵|F１P１|＝２a＋|F２P１|，|F１P２|＝２a＋|F２P２|，∴|F１P１|＋|F １P２|—|P１P２|＝２a＋|F２P１|＋２a＋|F２P２|—|P１P２|＝8＋（|F２P１|＋|F２P２|—|P１P２|）≥8（当且仅当P１，P２，F２三点共线时，取等号），∴|F１P１|＋|F１P２|—|P１P２|的最小值是8．故选Ｃ．触类旁通双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF１|—|PF２||＝２a，运用平方的方法，建立与|PF１|·|PF２|的联系.即时训练１．虚轴长为２，离心率e＝３的双曲线的两焦点为F１，F２，过F１作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF２的周长为（）Ａ．３Ｂ．１6＋错误!Ｃ．１２＋错误!Ｄ．２４答案B解析由于２b＝２，e＝错误!＝３，∴b＝１，c＝３a，∴9a２＝a２＋１，∴a＝错误!.由双曲线的定义知，|AF２|—|AF１|＝２a＝错误!，１|BF２|—|BF１|＝错误!，２１＋２得|AF２|＋|BF２|—（|AF１|＋|BF１|）＝错误!，又|AF１|＋|BF１|＝|AB|＝8，∴|AF２|＋|BF２|＝8＋错误!，则△ABF２的周长为１6＋错误!，故选Ｂ．２．已知F是双曲线错误!—错误!＝１的左焦点，A（１,４），P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．答案9解析设双曲线的右焦点为F１，则由双曲线的定义，可知|PF|＝４＋|PF１|，所以当|PF１|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F１共线时，满足|PF１|＋|PA|最小，|AF１|即|PF １|＋|PA|的最小值．又|AF１|＝５，故所求的最小值为9．考向二双曲线的标准方程例２（１）（２0１7·全国卷Ⅲ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝错误!x，且与椭圆错误!＋错误!＝１有公共焦点，则C的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案B解析由y＝错误!x可得错误!＝错误!.１由椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（３,0），（—３,0），可得a２＋b２＝9．２由１２可得a２＝４，b２＝５．所以C的方程为错误!—错误!＝１．故选Ｂ．（２）已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为错误!.若经过F和P（0,４）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案B解析由题意可得错误!＝错误!，即c＝错误!Ａ．又左焦点F（—c,0），P（0,４），则直线PF的方程为错误!＝错误!，化简即得y＝错误!x＋４．结合已知条件和图象易知直线PF与y＝错误!x平行，则错误!＝错误!，即４a＝bＣ．故错误!解得错误!故双曲线方程为错误!—错误!＝１．故选Ｂ．触类旁通即时训练３．（２0１9·西安模拟）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线平行于直线l：y＝２x＋１0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案A解析依题意，双曲线的渐近线为y＝２x，故错误!＝２１；在直线y＝２x＋１0中，令y＝0，故x＝—５，所以a２＋b２＝２５２.联立１２，解得a２＝５，b２＝２0．４．（２0１8·天津高考）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为２，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d１和d２，且d１＋d２＝6，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案C解析设双曲线的右焦点坐标为F（c,0）（c>0），则xA＝xB＝c，由错误!—错误!＝１可得，y＝±错误!，不妨设A错误!，B错误!，双曲线的一条渐近线方程为bx—ay＝0，据此可得，d１＝错误!＝错误!，d２＝错误!＝错误!，则d１＋d２＝错误!＝２b＝6，则b＝３，b２＝9，双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝２，据此可得，a２＝３，则双曲线的方程为错误!—错误!＝１．考向三双曲线的几何性质角度错误!双曲线离心率问题例３（１）（２0１8·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点F（c,0）到一条渐近线的距离为错误!c，则其离心率的值是___．答案２解析因为双曲线的焦点F（c,0）到渐近线y＝±错误!x，即bx±ay＝0的距离为错误!＝错误!＝b，所以b＝错误!c，因此a２＝c２—b２＝c２—错误!c２＝错误!c２，a＝错误!c，e＝２．（２）（２0１6·山东高考）已知双曲线E：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且２|AB|＝３|BC|，则E的离心率是________．答案２解析由已知得|AB|＝|CD|＝错误!，|BC|＝|AD|＝|F１F２|＝２c.因为２|AB|＝３|BC|，所以错误!＝6c，又b２＝c２—a２，所以２e２—３e—２＝0，解得e＝２，或e＝—错误!（舍去）．触类旁通求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b２＝c２—a２和e＝错误!转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.即时训练５．双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F１，F２，过F１作倾斜角为３0°的直线交双曲线右支于M点，若MF２⊥x轴，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析如图所示，在Rt△MF１F２中，∠MF１F２＝３0°，F１F２＝２c，∴MF１＝错误!＝错误!c，MF２＝２c·tan３0°＝错误!c，∴２a＝MF１—MF２＝错误!c—错误!c＝错误!c⇒e＝错误!＝错误!.6．已知点F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点，过点F１且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF２是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（错误!，２错误!）Ｃ．（１＋错误!，＋∞）Ｄ．（１,１＋错误!）答案D解析依题意，0<∠AF２F１<错误!，故0<tan∠AF２F１<１，则错误!＝错误!<１，即e—错误!<２，e ２—２e—１<0，（e—１）２<２，所以１<e<１＋错误!，故选Ｄ．角度错误!双曲线的渐近线问题例４（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则其渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!x Ｂ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!x Ｄ．y＝±错误!x答案A解析∵e＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＝e２—１＝３—１＝２，∴错误!＝错误!.因为该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，故选Ａ．（２）（２0１9·深圳调研）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x—２y＝0，则它的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２答案A解析依题意设双曲线的方程是错误!—错误!＝１（其中a>0，b>0），则其渐近线方程是y＝±错误!x，由题知错误!＝错误!，即b＝２a，因此其离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.触类旁通即时训练7．（２0１8·全国卷Ⅲ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则点（４,0）到C的渐近线的距离为（）Ａ．错误!Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．２错误!答案D解析因为e＝错误!＝错误!＝错误!，所以错误!＝１，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以点（４,0）到渐近线的距离d＝错误!＝２错误!.故选Ｄ．8．（２0１9·河北武邑中学模拟）过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点与x轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为错误!，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析设A（x0，y0），由题意，得x0＝c，代入渐近线方程y＝错误!x中，得y0＝错误!，即A错误!，同理可得B错误!，则错误!×错误!×c＝错误!.整理，得错误!＝错误!，即双曲线的离心率为错误!.故选Ｄ．考向四直线与双曲线的位置关系例５已知双曲线Γ：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）经过点P（２,１），且其中一焦点F到一条渐近线的距离为１．（１）求双曲线Γ的方程；（２）过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．解（１）∵双曲线错误!—错误!＝１过点（２,１），∴错误!—错误!＝１．不妨设F为右焦点，则F（c,0）到渐近线bx—ay＝0的距离d＝错误!＝b，∴b＝１，a２＝２，∴所求双曲线的方程为错误!—y２＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），直线AB的方程为y＝kx＋m.将y＝kx＋m代入x２—２y２＝２中，整理得（２k２—１）x２＋４kmx＋２m２＋２＝0．∴x１＋x２＝错误!，１x１x２＝错误!.２∵错误!·错误!＝0，∴（x１—２，y１—１）·（x２—２，y２—１）＝0，∴（x１—２）（x２—２）＋（kx１＋m—１）（kx２＋m—１）＝0，∴（k２＋１）x１x２＋（km—k—２）（x１＋x２）＋m２—２m＋５＝0．３将１２代入３，得m２＋8km＋１２k２＋２m—３＝0，∴（m＋２k—１）（m＋6k＋３）＝0．而P∉AB，∴m＝—6k—３，从而直线AB的方程为y＝kx—6k—３．将y＝kx—6k—３代入x２—２y２—２＝0中，判别式Δ＝8（３４k２＋３6k＋１0）>0恒成立，∴y＝kx—6k—３即为所求直线．∴P到AB的距离d＝错误!＝错误!.∵错误!２＝错误!＝１＋错误!≤２．∴d≤４错误!，即点P到直线AB距离的最大值为４错误!.求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是：１设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题.错误!即时训练9．设双曲线C：错误!—y２＝１（a>0）与直线l：x＋y＝１相交于两个不同点A，Ｂ．（１）求双曲线C的离心率e的取值范围；（２）设直线l与y轴的交点为P，取错误!＝错误!错误!，求a的值．解（１）将y＝—x＋１代入双曲线错误!—y２＝１（a>0）中，得（１—a２）x２＋２a２x—２a２＝0．所以错误!解得0<a<错误!且a≠１．又双曲线的离心率e＝错误!＝错误!，所以e>错误!且e≠错误!，即e∈错误!∪（错误!，＋∞）．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），P（0,１），因为错误!＝错误!错误!，所以（x１，y１—１）＝错误!（x２，y２—１），由此得x１＝错误!x２．由于x１，x２是方程（１—a２）x２＋２a２x—２a２＝0的两根，且１—a２≠0，所以x１＋x２＝错误! x２＝—错误!，x１x２＝错误!x错误!＝—错误!，消去x２得—错误!＝错误!，由a>0，解得a＝错误!.。
高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第4节双曲线课件理(1)ppt版本
F1,F2,点 P 在双曲线 E 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( )
(A)11 (B)9 (C)5
(D)3
解析:(1)|PF1|=3<a+c=8,故点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义得 |PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF2|=9,故选B.
答案: (1) B
(2)已知圆 C:(x-3)2+y2=4,定点 A(-3,0),求过定点 A 且和圆 C 外切的动圆圆心 M
提示:若A>0,B<0表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0表示焦点在
y轴上的双曲线,当上述两种条件都不满足时,不表示双曲线,所以
Ax2+By2=1表示双曲线的条件是AB<0.
知识梳理
1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的 差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点 的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的 焦点 ,两焦点间的距离叫 做双曲线的 焦距 . 2.双曲线的标准方程及简单几何性质
y0 3 3 y0 3 3,
所以点 P 的坐标是(8,±3 3 ).
答案:(8,±3 3 )
5.(2016 河北质量监测)若双曲线 x2 - y 2 =1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐 a2 b2
近线的距离等于焦距的 1 ,则该双曲线的离心率是
.
4 解:设双曲线的一个焦点为(c,0),一条渐近线为
考查角度 2:由离心率或渐近线确定双曲线方程. 高考扫描:2015 高考新课标全国卷Ⅱ
【例 3】 (1)(2015 高考广东卷)已知双曲线 C: x2 - y 2 =1 的离心率 e= 5 ,且其右
a2 b2
4
高考数学一轮复习第九章解析几何6双曲线课件新人教A版理
2
=1
9
2
9
=1
-19考点1
考点2
考点3
2
(2)已知 F1,F2 分别为双曲线
2
−
2
2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P
为双曲线上一点,PF2 与 x 轴垂直, ∠PF1F2=30°,且虚轴长为 2 2,
则双曲线的标准方程为( D )
2
2
2
2
2
A. 4 −
C.
4
−
8
2
=1 B. 3 −
又| |=3,所以|PM|=3b,|PF2|=4b,且|PF1|=4b-2a.
2
在△PF1F2 中,由余弦定理可得
|2 |2 +|1 2 |2 -|1 |2
cos∠PF2F1= =
2×|2 |×|1 2 |
3
(4)2 +(2)2 -(4-2)2
=
2×4×2
代入 a2+b2=c2,解得 = ,
2
3
4
5
2
2
3.已知直线 l:kx+y- 2k=0(k≠0)与双曲线 C: 2 − 2 =1(a>0,b>0)的
4
一条渐近线平行,且这两条平行线间的距离为 ,则双曲线 C 的离心
3
率为(
)
B.2 2
D.3
A.2
C. 2
关闭
4
|- 2|
3
1+ 2
由题意得,|k|= ,由这两条平行线间的距离为 ,即
2
2
关闭
2 2
2
∴-y
a22=c
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线 理
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.6 双曲线理1.双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<F1F2时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>F1F2时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】 巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a －y 2b ＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a －y 2b ＝t (t ≠0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1 (mn <0).【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ³ )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( ³ )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )1.(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________. 答案5解析 由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2解析 与双曲线x 24－y 216＝1有相同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 216λ＝1.由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.3.双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为____________. 答案 y ＝±2x解析 方程化为：x 2－y 2－1m＝1，依题意得：－1m ＝2，∴m ＝－14. 双曲线方程为x 2－y 24＝1， 其渐近线为x 2－y 24＝0，即y ＝±2x .4.已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为________. 答案3解析 双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±mmx ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋3m ＋1＝3.5.(教材改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 答案x 28－y 28＝1 解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (3，－1)代入，得a 2＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1.题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 双曲线定义的应用例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________.答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得MC 1－AC 1＝MA ，MC 2－BC 2＝MB ，因为MA ＝MB ，所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2， 即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于C 1C 2＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7). 解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0). 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25.∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0).∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 思维升华 求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求出a 、b 、c 的值.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值.(1)(2015²课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________________.(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________. 答案 (1)x 24－y 2＝1 (2)x 216－y 29＝1解析 (1)由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则|PF 1－PF 2|＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. 题型二 双曲线的几何性质例3 (1)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为________.(2)(2015²山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________. 答案 (1)2 (2)32解析(1)如图， ∵FB →＝2FA →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴b a＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(b a)2＝4，∴e ＝2.(2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－b ax .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ²bax ，∴x ＝2pb a，y ＝2pb 2a2，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴k AF ＝2pb2a 2－p22pba.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ²k OB ＝－1， ∴2pb2a 2－p22pb a²⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.思维升华 (1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c a转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.(1)(2015²重庆改编)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________. (2)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是______. 答案 (1)±1 (2)62解析 (1)由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c,0)，左，右顶点分别为A 1(－a,0)，A 2(a,0)，易求B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， 则kA 2C ＝b 2aa －c，kA 1B ＝b 2aa ＋c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ²kA 2C ＝－1，即b 2aa ＋c ²b 2aa －c＝－1，∴b 4a 2c 2－a2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝±b a＝±1.(2)F 1F 2＝2 3.设双曲线的方程为x 2a －y 2b＝1.∵AF 2＋AF 1＝4，AF 2－AF 1＝2a ， ∴AF 2＝2＋a ，AF 1＝2－a . 在Rt△F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴AF 21＋AF 22＝F 1F 22，即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a＝32＝62. 题型三 直线与双曲线的综合问题例4 (1)(2015²四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB ＝________. 答案 4 3解析 右焦点F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23， ∴A (2,23)，B (2，－23)，∴AB ＝4 3.(2)若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点.①求k 的取值范围；②若AB ＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值.解 ①由⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*) ∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝ 2k 2－4 1－k 2³ －2 >0，即⎩⎨⎧k >1，－2<k <2，所以1<k < 2.故k 的取值范围是{k |1<k <2}. ②由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴AB ＝1＋k 2² x 1＋x 2 2－4x 1x 2 ＝21＋k 22－k 2k 2－12＝63， 整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1<k <2，∴k ＝52， 所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m ). ∵点C 是双曲线上一点. ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2，0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程；(3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求DF 1＋DG 的最小值.解 (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，半焦距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3.两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6， 故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.(3)由已知，得DF 1－DF 2＝2， 即DF 1＝DF 2＋2，所以DF 1＋DG ＝DF 2＋DG ＋2≥GF 2＋2，当且仅当G ，D ，F 2三点共线时取等号.因为GF 2＝ 1－2 2＋22＝5，所以DF 2＋DG ＋2≥GF 2＋2＝5＋2，故DF 1＋DG 的最小值为5＋2.12.忽视“判别式”致误典例 (14分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”.致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误. 规范解答解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意.[2分]设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .[4分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0).① [7分] ∴x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k2. 由题意，得k 1－k2－k2＝1，解得k ＝2.[10分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解.[13分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点.[14分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.(2)本题属探索性问题.若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程.(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.[方法与技巧]双曲线标准方程的求法：(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n＝1 (mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1 (AB <0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值. [失误与防范]1.区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1).3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1.(2015²广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为______________.答案x 216－y 29＝1解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.2.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________. 答案3解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的一个焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故AB ＝2b 2a ，依题意2b2a＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 3.(2014²江西改编)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为__________.答案x 24－y 212＝1 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b ).由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4，∴ a －4 2＋ －b 2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16. 而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.4.(2015²课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→²MF 2→<0，则y 0的取值范围是____________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0). ∵MF 1→²MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 5.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P 使得PF 1＋PF 2＝3b ，PF 1²PF 2＝94ab ，则该双曲线的离心率为________.答案 53解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，PF 1＝r 1，PF 2＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ， 又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2.又r 1²r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2²3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝b a2＋143 2＋1＝53. 6.(2015²北京)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.答案33解析 双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33.7.已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，则n ＝________.答案 5解析 因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去).8.若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →²FP →的取值范围为______________. 答案 [3＋23，＋∞)解析 由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1，∴OP →²FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)， ∴OP →²FP →≥3＋2 3.9.(2014²浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足PA ＝PB ，则该双曲线的离心率是________.答案52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b)， 所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a2).设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为PA ＝PB ，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2， 所以e ＝c a ＝52. 10.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →²OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝ －62k 2＋36 1－3k 2 ＝36 1－k 2 >0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又OA →²OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11.(2015²重庆改编)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是____________. 答案 (－1,0)∪(0,1) 解析 由题作出图象如图所示.由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a,0)， F (c,0).易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a c －a ，∴k CD ＝a a －cb 2.∵k AC ＝b 2aa －c ＝b 2a a －c，∴k BD ＝－a a －cb 2. ∴l BD ：y －b 2a ＝－a a －cb 2(x －c )，即y ＝－a a －c b 2x ＋ac a －c b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a a －cb 2(x －c )，即y ＝a a －c b 2x －ac a －c b 2－b 2a .∴x D ＝c ＋b 4a 2 a －c.∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2 a －c .∴b 4a 2 c －a<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ， ∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<ba<1.∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1,0)∪(0,1).12.设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1＝A 2B 2，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是______________. 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤233，2 解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2. 13.已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________. 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且PQ ＝QA ＋PA ＝4b ＝16，由双曲线定义，得PF －PA ＝6，QF －QA ＝6. ∴PF ＋QF ＝12＋PA ＋QA ＝28， 因此△PQF 的周长为PF ＋QF ＋PQ ＝28＋16＝44.14.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________. 答案 53解析 由定义，知PF 1－PF 2＝2a . 又PF 1＝4PF 2，∴PF 1＝83a ，PF 2＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22²83a ²23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.15.已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234. (1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连结BP 交椭圆于点M ，连结PA 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积. 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1.(2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，AB ＝10， 设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点， 所以P 点坐标为(2x 0－5,2y 0).将M 、P 坐标分别代入椭圆和双曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2025＋y 29＝1， 2x 0－5 225－4y 29＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0.解得x 0＝－52或x 0＝5(舍去).∴y 0＝332.由此可得M (－52，332)，∴P (－10,33).当P 为(－10,33)时，直线PA 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)，即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y29＝1，得2x 2＋15x ＋25＝0.∴x ＝－52或－5(舍去)，∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴.∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2³12³10³332＝15 3.。
2024年新高考版数学专题1_9.3 双曲线及其性质(分层集训)
A. 22
2
B. 4 10
5
答案 D
C. 7
D. 10
4.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C:
x a
2 2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方
程为y= 5 x,且与椭圆 x2 + y2 =1有公共焦点,则C的方程为 ( )
2
12 3
A. x2 - y2 =1
8 10
B. x2 - y2 =1
C.互为共轭的双曲线的离心率为e1、e2,则e1e2≥2
D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
答案 CD
7.(多选)(2021广东揭阳4月联考,9)已知一组直线x±2y=0,则以该组直线为
渐近线的双曲线的方程可能是 ( )
A.x2-4y2=1 B.4y2-x2=1
C.x2- y2 =1
4
答案 ABD
y
k1
x2 y2 16
x
1 2
m,
1(x 1),
得
(16-
k12
)x2+(
k12
-2k1m)x-
1 4
k12
+k1m-m2-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=
k12 2k1m k12 16
,x1x2=
1 4
k12
m2 k1m k12 16
16
,
则|TA|=
设其方程为 x2 - y2 =1(a>0,b>0,x≥a),
a2 b2
则2a=2,2c=2 17 ,解得a=1,c= 17 ,
则b2=c2-a2=( 17 )2-12=16,
高考数学第九章解析几何单元质检卷文新人教A版(2021学年)
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单元质检卷九解析几何(时间：１０0分钟满分：150分)一、选择题(本大题共１2小题，每小题5分，共60分)1。
“a=3”是“直线ａx+２y+３a=０和直线3x+(a—1）y=a—7平行”的()A.充分不必要条件ﻩB。
必要不充分条件C。
充要条件D。
既不充分也不必要条件2。
(2017宁夏石嘴山第三中学模拟,文５）双曲线C:=１的渐近线方程为y=±ｘ,则曲线Ｃ的离心率为(）Ａ．B。
ﻩＣ。
ﻩ D.3。
(201７湖南岳阳一模,文9)已知直线l:=1(a〉０,b〉0)将圆C:x2+ｙ2－2x—4y+4=0平分,则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值为(）Ａ．8ﻩB。
4 C。
2ﻩＤ．14。
(2017辽宁沈阳一模,文７)圆x2+y2—４x-4y—10=0上的点到直线x+y—8=0的最大距离与最小距离的差是(）Ａ。
18 B.6 C。
5 D。
45.（20１７福建厦门一模，文2）已知双曲线＝１(ａ〉0,b〉0)的一条渐近线为y=ｘ，则双曲线的离心率为（)A．B。
２C．ﻩＤ。
6.（20１7湖北武汉二月调考,文7)已知直线l:mx+y—１=０(m∈R)是圆Ｃ：ｘ2+y2-４x＋2y+1=０的对称轴,过点A（—２,m)作圆C的一条切线,切点为Ｂ,则|AB｜为(）A.4 B。
《志鸿优化设计》2022年高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第九章解析几何9.6双曲线
《志鸿优化设计》2022年高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第九章解析几何9．6双曲线考纲要求1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，明白其简单几何性质．2．明白得数形结合的思想．3．了解双曲线的简单应用，了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做______．这两个定点叫做双曲线的____，两焦点间的距离叫做双曲线的____．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范畴x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1____，A2____顶点坐标：A1____，A2____渐近线y＝____y＝____离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的______，它的长|A1A2|＝______；线段B1B2叫做双曲线的______，它的长|B1B2|＝____；____叫做双曲线的实半轴长，____叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)1．双曲线x216－y29＝1的焦距为()．A．10 B.7 C．27 D．52．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两焦点，P是双曲线上一点，且3 |PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()．A ．4 2B ．8 3C ．24D ．483．设双曲线x2a2－y29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 4．若双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )．A. 5B ．5C. 2D ．25．(2021届广东深圳南头中学高三12月月考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y2＝12x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于3，则该双曲线的标准方程为( )．A.x23－y26＝1B.x212－y224＝1C.x227－y218＝1D.y218－x227＝16．已知双曲线x2a －y22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为__________．一、双曲线的定义及应用【例1－1】 已知定点A (0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．【例1－2】 △PF1F2的顶点P 在双曲线x2a2－y2b2＝1上，F1，F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2＝θ.求△PF1F2的面积S.方法提炼1．求点的轨迹方程时，第一要依照给定条件，探求轨迹的曲线类型．若能确定是哪种曲线，则用待定系数法求得相应方程，这种做法能够减少运算量，提高解题速度与质量．在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，依旧双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．2．在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a ，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．请做演练巩固提升4二、求双曲线的标准方程【例2】 依照下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)． 方法提炼求双曲线的标准方程的差不多方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再依照a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．假如已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线的方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．请做演练巩固提升2 三、双曲线的几何性质【例3】 (2021重庆高考)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝__________.方法提炼依照双曲线的特点，考查较多的几何性质确实是双曲线的离心率和渐近线．求离心率或离心率的取值范畴的方法通常是依照条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．求渐近线方程的关键是分清两种位置下的双曲线所对应的渐近线方程．请做演练巩固提升1莫忽略对轨迹中x 范畴的界定【典例】 (12分)(2021四川高考)如图，动点M 与两定点A(－1,0)，B(1,0)构成△MAB ，且直线MA ，MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C.(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝x ＋m(m ＞0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ|＜|PR|，求|PR||PQ|的取值范畴．规范解答：(1)设M 的坐标为(x ，y)，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在． 因此x ≠1且x ≠－1.现在，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1.由题意，有y x ＋1·yx －1＝4，(3分)化简可得4x2－y2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x2－y2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(4分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，4x2－y2－4＝0消去y ，可得3x2－2mx －m2－4＝0.(*)关于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m)2－4×3(－m2－4)＝16m2＋48＞0，而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1.(6分)结合题设(m ＞0)可知，m ＞0，且m ≠1. 设Q ，R 的坐标分别为(xQ ，yQ)，(xR ，yR)， 则xQ ，xR 为方程(*)的两根．因为|PQ|＜|PR|，因此|xQ|＜|xR|，xQ ＝m －2m2＋33，xR ＝m ＋2m2＋33. 因此|PR||PQ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪xR xQ ＝21＋3m2＋121＋3m2－1 ＝1＋221＋3m2－1.(9分) 现在1＋3m2＞1，且1＋3m2≠2， 因此1＜1＋221＋3m2－1＜3，且1＋221＋3m2－1≠53，因此1＜|PR||PQ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪xR xQ ＜3，且|PR||PQ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪xR xQ ≠53.(11分)综上所述，|PR||PQ|的取值范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3.(12分) 答题指导：(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±ab x.(4)若利用弦长公式运算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情形．(5)直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．1．(2021浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )．A ．3B ．2 C. 3 D.22．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x2＋y2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )．A.x25－y24＝1 B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1D.x26－y23＝13．已知F1，F2为双曲线C ：x2－y2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F1PF2＝60°，则|PF1||PF2|＝( )．A ．2B ．4C ．6D ．8 4．(2021天津高考)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：x24－y216＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(5，0)，则a ＝__________，b ＝__________.5．双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范畴．参考答案 基础梳理自测 知识梳理1．双曲线 焦点 焦距2．(－a,0) (a,0) (0，－a) (0，a) ±b a x ±ab x 实轴 2a 虚轴 2b a b基础自测1．A 解析：∵c2＝16＋9＝25， ∴c ＝5,2c ＝10.2．C 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3|PF1|＝4|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6. 又|F1F2|＝10，∴△PF1F2是直角三角形．∴S ＝12×6×8＝24.3．C 解析：由渐近线方程可知b a ＝32，因此a ＝23b ＝23×3＝2.4．A 解析：焦点(c,0)到渐近线y ＝ba x 的距离为bca2＋b2＝2a ，则b ＝2a.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴离心率e ＝ca ＝ 5.5．y ＝±2x 解析：∵焦点坐标为(－3，0)，∴a ＞0且a ＋2＝3，∴a ＝1.∴双曲线方程为x2－y22＝1，渐近线方程为y ＝±2x. 考点探究突破【例1－1】 解：设F(x ，y)为轨迹上的任意一点， 因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上，因此|FA|＋|CA|＝2a ，|FB|＋|CB|＝2a(其中a 表示椭圆的长半轴长)． 因此|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|. 因此|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋(－5)2＝2， 即|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．因此点F 的轨迹方程是y2－x248＝1(y ≤－1)．【例1－2】 解：设双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示． 由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos θ＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2－|F1F2|2＋2|PF1||PF2|2|PF1||PF2|＝4a2－4c22|PF1||PF2|＋1＝－2b2|PF1||PF2|＋1，∴|PF1||PF2|＝2b21－cos θ.在△F1PF2中，由正弦定理，得S △F1PF2＝12|PF1||PF2|sin θ＝sin θ1－cos θ·b2. 【例2】 解：(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x29－y216＝14， 即x294－y24＝1.(2)设双曲线方程为x216－k －y24＋k＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)．∴所求双曲线方程为x212－y28＝1.【例3】 324 解析：因为F1为左焦点，PF1垂直于x 轴，因此P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－bc 3a . 又因为P 点为直线与双曲线的交点，因此c2a2－b2c29a2b2＝1，即89e2＝1，因此e ＝324. 演练巩固提升1．B 解析：由题意可知椭圆的长轴长2a1是双曲线实轴长2a2的2倍，即a1＝2a2，而椭圆与双曲线有相同的焦点． 故离心率之比为c a2c a1＝a1a2＝2.2．A 解析：由题意得，x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0.又圆C 的标准方程为(x －3)2＋y2＝4，半径长为2，圆心坐标为(3,0)．∴a2＋b2＝32＝9，且|3b|a2＋b2＝2，解得a2＝5，b2＝4.∴该双曲线的方程为x25－y24＝1.3．B 解析：不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线的定义得：|PF1|－|PF2|＝2.两边平方得|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4.① 在△PF1F2中，cos 60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8，② 由①②可解得|PF1||PF2|＝4.4．1 2 解析：∵C1与C2的渐近线相同， ∴b a ＝2.又C1的右焦点为F(5，0)， ∴c ＝5，即a2＋b2＝5.∴a2＝1，b2＝4，∴a ＝1，b ＝2.5．解：直线l 的方程为x a ＋yb ＝1， 即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d1＝b(a －1)a2＋b2.同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d2＝b(a ＋1)a2＋b2.∴s ＝d1＋d2＝2ab a2＋b2＝2ab c .由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c2－a2≥2c2. 因此得5e2－1≥2e2， 即4e4－25e2＋25≤0.解不等式，得54≤e2≤5. 由于e ＞1，∴离心率e 的取值范畴是⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.。
2022数学第九章解析几何9
9。
6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1。
双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的等于非零常数（小于|F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做，两焦点间的距离叫做。
集合P=｛M｜||MF1｜—｜MF2||=2a｝，|F1F2｜=2c,其中a〉0,c>0，且a，c为常数。
（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；（2)若a c,则点M的轨迹是两条射线；(3)若a c，则点M不存在。
2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1（a〉0，b>0）；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2 a2−x2b2=1（a>0,b〉0)。
3。
双曲线的性质续表1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0，b>0)上一点M（x0，y0)的切线方程为x0x a2−y0yb2=1.2。
双曲线x2a2−y2b2=1（a〉0,b〉0）的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0，y0)为双曲线上任意一点，且不与点F1,F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2tanθ2。
3。
若点P（x0，y0）在双曲线x2a2−y2b2=1（a〉0,b>0）内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。
4。
双曲线中点弦的斜率公式设点M(x0,y0）为双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0，b〉0)的弦AB(不平行y轴)的中点,则k AB·k OM=b2a2,即k AB=b2x0a2y0。
5.双曲线的焦半径公式双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0，b〉0)的焦点为F1（—c，0），F2(c，0），当点M(x0，y0)在双曲线右支上时,|MF1｜=ex0+a,｜MF2|=ex0-a；当点M（x0，y0)在双曲线左支上时,|MF1｜=-ex0-a，|MF2|=—ex0+a。
6。
若P是双曲线右支上一点,F1，F2分别为双曲线的左、右焦点,则｜PF1|min=a+c,｜PF2|min=c—a。
新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的证明范围最值问题教案文
一、知识梳理１．直线与圆锥曲线的位置关系的判定（１）代数法：把圆锥曲线方程C１与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax２＋bx＋c＝0．方程ax２＋bx＋c＝0的解l与C１的交点a＝0b＝0无解（含l是双曲线的渐近线）无公共点b≠0有一解（含l与抛物线的对称轴平行（重合）或与双曲线的渐近线平行）一个交点a≠0Δ＞0两个不相等的解两个交点Δ＝0两个相等的解一个交点Δ＜0无实数解无交点位置关系．２．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x１，y１），B（x２，y２），则|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!错误!＝错误!|y１—y２|＝错误!错误!.常用结论圆锥曲线以P（x0，y0）（y0≠0）为中点的弦所在直线的斜率如下表：圆锥曲线方程直线斜率椭圆：错误!＋错误!＝１（a>b>0）k＝—错误!双曲线：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）k＝错误!抛物线：y２＝２px（p>0）k＝错误!二、习题改编（选修１１P6２例５改编）过点（0，１）作直线，使它与抛物线y２＝４x仅有一个公共点，这样的直线有（）Ａ．１条Ｂ．２条C．３条Ｄ．４条解析：选Ｃ．结合图形分析可知，满足题意的直线共有３条：直线x＝0，过点（0，１）且平行于x 轴的直线以及过点（0，１）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0）．一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）直线l与抛物线y２＝２px只有一个公共点，则l与抛物线相切．（）（２）直线y＝kx（k≠0）与双曲线x２—y２＝１一定相交．（）（３）与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．（）（４）直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．（）（５）过点（２，４）的直线与椭圆错误!＋y２＝１只有一条切线．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）×二、易错纠偏错误!（１）没有发现直线过定点，导致运算量偏大；（２）不会用函数法解最值问题．１．直线y＝kx—k＋１与椭圆错误!＋错误!＝１的位置关系为（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不确定解析：选Ａ．直线y＝kx—k＋１＝k（x—１）＋１恒过定点（１，１），又点（１，１）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．２．抛物线y＝x２上的点到直线x—y—２＝0的最短距离为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!C．２错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．设抛物线上一点的坐标为（x，y），则d＝错误!＝错误!＝错误!，所以x＝错误!时，d min＝错误!.第１课时圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题证明问题（师生共研）（２0１8·高考全国卷Ⅲ节选）已知斜率为k的直线l与椭圆C：错误!＋错误!＝１交于A，B 两点，线段AB的中点为M（１，m）（m>0）．（１）证明：k<—错误!；（２）设F为C的右焦点，P为C上的点，且错误!＋错误!＋错误!＝0.证明：|错误!|，|错误!|，|错误! |成等差数列．【证明】（１）设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＋错误!＝１，错误!＋错误!＝１．两式相减，并由错误!＝k得错误!＋错误!·k＝0．由题设知错误!＝１，错误!＝m，于是k＝—错误!.由题设得0<m<错误!，故k<—错误!.（２）由题意得F（１，0）．设P（x３，y３），则（x３—１，y３）＋（x１—１，y１）＋（x２—１，y２）＝（0，0）．由（１）及题设得x３＝３—（x１＋x２）＝１，y３＝—（y１＋y２）＝—２m<0．又点P在C上，所以m＝错误!，从而P错误!，|错误!|＝错误!.于是|错误!|＝错误!＝错误!＝２—错误!.同理|错误!|＝２—错误!.所以|错误!|＋|错误!|＝４—错误!（x１＋x２）＝３．故２|错误!|＝|错误!|＋|错误!|，即|错误!|，|错误!|，|错误!|成等差数列．错误!圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题．（２0２0·江西七校第一次联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）经过点M错误!，其离心率为错误!，设直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．（１）求椭圆C的方程；（２）已知直线l与圆x２＋y２＝错误!相切，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．解：（１）因为e＝错误!＝错误!，a２＝b２＋c２，所以a２＝２b２，所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．因为错误!在椭圆上，所以错误!＋错误!＝１，b２＝１，a２＝２，所以椭圆C的方程为错误!＋y２＝１．（２）证明：因为直线l与圆x２＋y２＝错误!相切，所以错误!＝错误!，即３m２—２k２—２＝0，由错误!得（１＋２k２）x２＋４kmx＋２m２—２＝0，Δ＝１6k２m２—４（１＋２k２）（２m２—２）>0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!，所以y１y２＝（kx１＋m）（kx２＋m）＝k２x１x２＋km（x１＋x２）＋m２＝错误!，所以错误!·错误!＝x１x２＋y１y２＝错误!＋错误!＝错误!＝0，所以OA⊥OB.范围问题（师生共研）已知曲线M由抛物线x２＝—y及抛物线x２＝４y组成，直线l：y＝kx—３（k>0）与曲线M 有m（m∈N）个共同点．（１）若m≥３，求k的最小值；（２）若m＝４，自上而下记这４个交点分别为A，B，C，D，求错误!的取值范围．【解】（１）联立x２＝—y与y＝kx—３，得x２＋kx—３＝0，因为Δ１＝k２＋１２>0，所以l与抛物线x２＝—y恒有两个交点．联立x２＝４y与y＝kx—３，得x２—４kx＋１２＝0．因为m≥３，所以Δ２＝１6k２—４8≥0．因为k>0，所以k≥错误!，所以k的最小值为错误!.（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），C（x３，y３），D（x４，y４），则A，B两点在抛物线x２＝４y上，C，D两点在抛物线x２＝—y上，因为x１＋x２＝４k，x１x２＝１２，x３＋x４＝—k，x３x４＝—３，且Δ２＝１6k２—４8>0，k>0，所以k>错误!.所以|AB|＝错误!·错误!，|CD|＝错误!·错误!，所以错误!＝错误!＝４错误!＝４错误!.所以k>错误!，所以0<错误!<１，所以错误!∈（0，４）．错误!求解圆锥曲线中有关参数的取值范围问题，关键是构建与参数有关的不等关系，主要方法有：（１）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；（２）建立已知参数与未知参数之间的等量关系，利用已知参数的范围，求新参数的范围；（３）利用隐含的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；（４）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等式，从而确定参数的取值范围；（５）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．若直线l与椭圆错误!＋x２＝１交于不同的两点M，N，如果线段MN被直线２x＋１＝0平分，求直线l的斜率的取值范围．解：因为直线x＝—错误!与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x＝—错误!相交，所以直线l不可能与x轴垂直．设直线l的方程为y＝kx＋m，由错误!得（k２＋9）x２＋２kmx＋m２—9＝0．Δ＝４k２m２—４（k２＋9）（m２—9）>0，即m２—k２—9<0，设M（x１，y１），N（x２，y２），则x１＋x２＝错误!.因为线段MN被直线２x＋１＝0平分，所以２×错误!＋１＝0，即错误!＋１＝0．由错误!得错误!错误!—（k２＋9）<0，因为k２＋9>0，所以错误!—１<0，即k２>３，解得k>错误!或k<—错误!.所以直线l的斜率的取值范围为（—∞，—错误!）∪（错误!，＋∞）．最值问题（师生共研）已知椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>0）的一个焦点为F（—１，0），左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（１）当直线l的倾斜角为４５°时，求线段CD的长；（２）记△ABD与△ABC的面积分别为S１和S２，求|S１—S２|的最大值．【解】（１）由题意，c＝１，b２＝３，所以a２＝４，所以椭圆M的方程为错误!＋错误!＝１，易求直线方程为y＝x＋１，联立方程，得错误!消去y，得7x２＋8x—8＝0，Δ＝２88＞0，设C（x１，y１），D（x２，y２），x１＋x２＝—错误!，x１x２＝—错误!，所以|CD|＝错误!|x１—x２|＝错误!错误!＝错误!.（２）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝—１，此时△ABD与△ABC面积相等，|S１—S２|＝0；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x＋１）（k≠0），联立方程，得错误!消去y，得（３＋４k２）x２＋8k２x＋４k２—１２＝0，Δ>0，且x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!，此时|S１—S２|＝２||y２|—|y１||＝２|y２＋y１|＝２|k（x２＋１）＋k（x１＋１）|＝２|k（x１＋x２）＋２k|＝错误!，因为k≠0，上式＝错误!≤错误!＝错误!＝错误!错误!，所以|S１—S２|的最大值为错误!.错误!圆锥曲线中的最值问题常涉及不等式、函数的值域问题，总体上主要有两种方法：（１）几何法利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解．（２）代数法把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数解析式，然后利用函数的思想、不等式的思想等进行求解．（２0２0·河北省九校第二次联考）已知抛物线C：y２＝２px（p>0）的焦点为F，若过点F且斜率为１的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8．（１）求抛物线C的方程；（２）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求错误!·错误!的最小值．解：（１）由题意可知F错误!，则直线MN的方程为y＝x—错误!，代入y２＝２px（p>0）得x２—３px＋错误!＝0，设M（x１，y１），N（x２，y２），则x１＋x２＝３p，因为|MN|＝8，所以x１＋x２＋p＝8，即３p＋p＝8，解得p＝２，所以抛物线C的方程为y２＝４x.（２）设直线l的方程为y＝x＋b，代入y２＝４x，得x２＋（２b—４）x＋b２＝0，因为直线l为抛物线C的切线，所以Δ＝0，解得b＝１，所以l为y＝x＋１．由（１）可知，x１＋x２＝6，x１x２＝１，设P（m，m＋１），则错误!＝（x１—m，y１—（m＋１）），错误!＝（x２—m，y２—（m＋１）），所以错误!·错误!＝（x１—m）（x２—m）＋[y１—（m＋１）][y２—（m＋１）]＝x１x２—m（x１＋x）＋m２＋y１y２—（m＋１）（y１＋y２）＋（m＋１）２，（y１y２）２＝１6x１x２＝１6，２所以y１y２＝—４，y错误!—y错误!＝４（x１—x２），所以y１＋y２＝４×错误!＝４，错误!·错误!＝１—6m＋m２—４—４（m＋１）＋（m＋１）２＝２（m２—４m—３）＝２[（m—２）２—7]≥—１４，当且仅当m＝２，即点P的坐标为（２，３）时，错误!·错误!取得最小值为—１４．[基础题组练]１．过椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若错误!<k<错误!，则椭圆离心率的取值范围为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．由题意知B错误!，所以k＝错误!＝错误!＝１—e.又错误!<k<错误!，所以错误!<１—e<错误!，解得错误!<e<错误!.２．已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0），斜率为１的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为（４，１），则双曲线C的渐近线方程是（）Ａ．２x±y＝0 Ｂ．x±２y＝0Ｃ．错误!x±y＝0 Ｄ．x±错误!y＝0解析：选Ｂ．设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!—错误!＝１１，错误!—错误!＝１２，由１—２得错误!＝错误!，结合题意化简得错误!＝１，即错误!＝错误!，所以双曲线C的渐近线方程为x±２y＝0．３．抛物线C：y２＝２px（p>0）的准线与x轴的交点为M，过点M作C的两条切线，切点分别为P，Q，则∠PMQ＝．解析：由题意得M错误!，设过点M的切线方程为x＝my—错误!，代入y２＝２px得y２—２pmy ＋p２＝0，所以Δ＝４p２m２—４p２＝0，所以m＝±１，则切线斜率k＝±１，所以MQ⊥MP，因此∠PMQ ＝错误!.答案：错误!４．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A（２，４），则|PA|—|PF|的最小值为．解析：如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝４，所以|PF|＝４—|PF′|，所以|PA|—|PF|＝|PA|＋|PF′|—４．当且仅当P，A，F′三点共线时，|PA|＋|PF′|取最小值|AF′|＝错误!＝５，所以|PA|—|PF|的最小值为１．答案：１５．（２0２0·长春市质量监测（二））已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F１，F２，设P是椭圆C上一点，满足PF２⊥x轴，|PF２|＝错误!，椭圆C的离心率为错误!.（１）求椭圆C的标准方程；（２）过椭圆C的左焦点且倾斜角为４５°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．解：（１）由题意知，离心率e＝错误!＝错误!，|PF２|＝错误!＝错误!，得a＝２，b＝１，所以椭圆C的标准方程为错误!＋y２＝１．（２）由条件可知F１（—错误!，0），直线l：y＝x＋错误!，联立直线l和椭圆C的方程，得错误!消去y得５x２＋8错误!x＋8＝0，设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝—错误!，x１·x２＝错误!，所以|y１—y２|＝|x１—x２|＝错误!＝错误!，所以S△AOB＝错误!·|y１—y２|·|OF１|＝错误!.6．设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B 的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|＝２|MA|，直线OM的斜率为错误!.（１）求E的离心率e；（２）设点C的坐标为（0，—b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.解：（１）由题设条件知，点M的坐标为错误!，又k OM＝错误!，从而错误!＝错误!.进而a＝错误!b，c＝错误!＝２b，故e＝错误!＝错误!.（２）证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为错误!，可得错误!＝错误!.又AB＝（—a，b），从而有错误!·错误!＝—错误!a２＋错误!b２＝错误!（５b２—a２）．由（１）的计算结果可知a２＝５b２，所以错误!·错误!＝0，故MN⊥AB.[综合题组练]１．（２0２0·河南阶段性测试）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上的点到右焦点F（c，0）的最大距离是错误!＋１，且１，错误!a，４c成等比数列．（１）求椭圆的方程；（２）过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M （m，0），求实数m的取值范围．解：（１）由已知可得错误!解得错误!所以椭圆的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意得F（１，0），设直线AB的方程为y＝k（x—１）．与椭圆方程联立得错误!消去y可得（１＋２k２）x２—４k２x＋２k２—２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，y１＋y２＝k（x１＋x２）—２k＝错误!.可得线段AB的中点为N错误!.当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0．当k≠0时，直线MN的方程为y＋错误!＝—错误!错误!，化简得ky＋x—错误!＝0．令y＝0，得m＝错误!.所以m＝错误!＝错误!∈错误!.综上所述，m的取值范围为错误!.２．（２0２0·广州市综合检测（一））已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y＝错误!x 与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F２，椭圆C的另一个焦点是F１，且错误!·错误!＝错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）若直线l过点（—１，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△F２PQ的内切圆面积的最大值．解：（１）设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），因为点M在直线y＝错误!x上，且点M 在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F２（c，0），所以点M错误!.因为错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!，所以c＝１．所以错误!解得错误!所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．（２）由（１）知，F１（—１，0），过点F１（—１，0）的直线与椭圆C交于P，Q两点，则△F２PQ的周长为４a＝8，又S△F２PQ＝错误!·４a·r（r为△F２PQ的内切圆半径），所以当△F２PQ的面积最大时，其内切圆面积最大．设直线l的方程为x＝ky—１，P（x１，y１），Q（x２，y２），则错误!消去x得（４＋３k２）y２—6ky—9＝0，所以错误!所以S△F２PQ＝错误!·|F１F２|·|y１—y２|＝错误!.令错误!＝t，则t≥１，所以S△F２PQ＝错误!，令f（t）＝３t＋错误!，则f′（t）＝３—错误!，当t∈[１，＋∞）时，f′（t）>0，f（t）＝３t＋错误!在[１，＋∞）上单调递增，所以S△F２PQ＝错误!≤３，当t＝１时取等号，即当k＝0时，△F２PQ的面积取得最大值３，结合S△F２PQ＝错误!·４a·r，得r的最大值为错误!，所以△F２PQ的内切圆面积的最大值为错误!π.。
(新课标)高考数学大一轮复习-第九章 解析几何 9.7 双曲线(一)课件 文
线，有相同的渐近线、相等的焦距．
(6)双曲线形状与 e 的关系：k＝ba＝
c2－a2 a
＝
ca22－1 ＝
e2－1，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线
的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开
口就越开阔．
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线． (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线． (3)双曲线方程mx22－yn22＝λ(m>0，n>0，λ ≠0)的渐近线方程是 mx22－yn22＝0，即mx ±yn＝0.
归纳拓展 (1)求双曲线的标准方程时，若不知道焦点的位置，可直接设 双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)． (2)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线的“六点”(两个 焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条 渐近线)，“两三角形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形， 双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互关系．
(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对 值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
思考题 1 (1)(2015·福建理)若双曲线 E：x92－1y62 ＝1 的左、
右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|＝3，则|PF2|
等于( )
A．11
B．9Leabharlann C．5例 1 (1)已知两圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，
动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是( )
2020届高考数学一轮第九单元解析几何第讲双曲线理新人教A版
即|PC|－|PA|＝2，
因为0<|PC|－|PA|<|AC|，
所以由双曲线的定义，知点P
的轨迹是以A，C为焦点，2为实轴
长的双曲线的左支，其中a＝1，c＝3， 所以b2＝c2－a2＝9－1＝8. 故所求的轨迹方程为x2－y82＝1(x≤－1)． 答案：x2－y82＝1(x≤－1)
x2 4
＋
y2 3
＝1的左、右焦点，平面内
一个动点M满足|MF1|－|MF2|＝2，则动点M的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
解：对于椭圆有c2＝a2－b2＝4－3＝1，
所以椭圆的左、右焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)， 因为|MF1|－|MF2|＝2＝|F1F2|， 所以M点的轨迹为一条射线． 答案：D
10
2．(2018·浙江卷)双曲线x32－y2＝1 的焦点坐标是( ) A．(－ 2，0)，( 2，0) B．(－2，0)，(2，0) C．(0，－ 2)，(0， 2) D．(0，－2)，(0，2) 解：因为双曲线方程为x32－y2＝1， 所以 a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在 x 轴上， 所以 c＝ a2＋b2＝ 3＋1＝2， 即得该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．
A. 5
B．2
C. 3
D. 2
37
解：(方法 1)如图，过点 F1 向 OP 的反向延长线作垂线， 垂足为 P′，连接 P′F2，
由题意可知，四边形 PF1P′F2 为平行四边形，且△PP′F2 是直角三角形．
因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝ 6a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝ 2a＝b， 所以 c＝ a2＋b2＝ 3a，所以 e＝ac＝ 3.
高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件
cm,则|AD|=(
A.12 10 cm
B.6 38 cm
C.38 cm
D.6 37 cm
)
答案 (1)B
(2)D
解析(1)由题可知 a2=3-m,b2=m,所以 c= 3.
1
因为|OP|=2|F1F2|,所以
PF1⊥PF2.
又∠PF1F2=30°,所以|PF1|=3,|PF2|= 3,
所以由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=3- 3=2 3-,解得
3 3
m= 2 .故选
B.
(2)以双曲线的对称中心为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
因为双曲线的离心率为2,
2
所以可设双曲线的方程为 2
依题意可得 2a=30,则
−
2
=1(a>0).
2
3
2
a=15,即双曲线的方程为152
因为|AB|=36 cm,所以 A 的纵坐标为 18.
1 2
)
2.(多选)已知双曲线
2
C:12
−
A.实轴长是虚轴长的 2 倍
B.焦距为 8
C.离心率为 3
D.渐近线方程为 x± 3y=0
2
=1,下列对双曲线
4
C 的判断正确的是(
)
答案 BD
解析 由双曲线
2
C:12
−
2
=1,可得
4
a2=12,b2=4,则 c2=a2+b2=16,
所以 a=2 3,b=2,c=4.所以选项 A 不正确,选项 B 正确;
当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;
当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.