环路定理

B r r RB E • dl
q
dr q ( 1 1 )
A
RA 40r2
40 RA RB
2.如图已知+q 、-q、R
①求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功
a Aoc
uo
uc
0
(q
4 0 3R
q )
4 0 R
d
b
c
q
q 0 q
6 0 R
RRR
② 将单位负电荷由
O电场力所作的功
AO u uo 0
r R qdl
q
u
rR 8 0rR 4 0r
rR
du qdl
8 0 rR
Rr qdl
q
u
Rr 8 0rR 4 0 R
方法二 定义法
q
由高斯定理求出场强分布 E 4 0r 2 r R
r r
由定义 u E • dl
0
rR
P
rR
Rr r r r
u E • dl E • dl
rR
P(x, y)
•
Q r l r2 r1 l cos
r1r2 r 2
r2
r r1
u q l cos
q O q
X
40 r 2
l
其中 r2 x2 y2
cos x
x2 y2
u
1
4 0
(x2
px
3
y2)2
课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的电点荷 4.0109C r=5cm
①求 uo
q1
静电场的基本
若＝0 2U＝0 拉普拉斯方程
微分方程
例1．利用场强与电势梯度的关系， 计算均匀带电 细圆环轴线上一点的场强。
解:
u u(x) 1
q
40 R2 x2
u 1
q
Ex
x
x
(
4 0
) R2 x2
1
qx
4 0 (R2 x2 ) 32
Ey Ez 0
rr E Exi
1
4 0
• 在证明Gauss定理中，说电力必须与r2成反比，那 么 在 环 路 定 理 的 证 明 中 是 否 也 必 须 要 求 与 r2 成 反 比？
• 答：不一定 如弹性力 f kr 也有类似性质
哪些力具有做功与路径无关这种性质？
引力 重力
引入引力势能 引入重力势能
势函数
弹性力 静电力
引入弹性势能 引入静电势能
U (r) 1 q
4 0 r
微分
dU (r)
1
4 0
q r2
dr
因为相邻等势面电势差为一定值，所以有
dr r , dU U
r 4 0 r 2 U
q
半径之差∝r2
定值
而
E
1 r2
r 越 大 r 2越 大，等 势面 间 距越 大，越 稀，E越 小
r 越 小 r 2越 小，等 势面 间 距越 小，越 密，E越 大
于静电场力沿任意闭合回路做功
恒等于零
Edl 0
在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径
L从 p——Q——P，电场力所做的功为
Q
P
A q0
E dl q0
P(
E
L1 )
d
l
q0
E dl
Q( L2 )
L
Q
Q
q0
E
p(L1 )
dl
q0
E dl 0
p(L2 )
Edl 0
讨论
d
R O
l
P
r
R
0
R
q
40r 2
dr
u
r
q
4 0 r 2
dr
r
q
4 0 R
q
4 0r
课堂练习 ：1.求等量异号的同心带电球面的电势差 已知+q 、-q、RA 、RB
解: 由高斯定理
0 r RA r RB E
q
4 0r 2 RA r RB
由电势差定义
q q
RA
•
RB
uAB uA uB
L
S
对静电场方程积分形式进行变换可以得到
一组静电场的基本微分方程
S
E
dS
EdV
V
q
0
1
0
V
dV
E
0
有源
无旋
E dl ( E) dS 0 E 0
L
S
E
0
场方程的微分形式
E 0
将E U代入 E 0
E (U ) 2U 0
得 2U 泊松方程, 0
q2
u 4 q1 28.8102V
4 0 r
O
r
q4
q3
②将 q0 1.0109 c 从 0 电场力所作的功
A0 q0 (u u0 ) q0 (0 28.8102 ) 28.8107 J
③求该过程中电势能的改变
A0 W W0 28.8107 0 电势能
例2、求均匀带电圆环轴线
r i
q
•
y
•B
r
O
l
l
•
q
A
•
x
电势计算的两种方法：
根据已知的场强分布，按定义计算
r r
uP E • dl P
由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
u
ui
qi
4 0 ri
u
du
dq
4 0r
例1 、求电偶极子电场中任一点P的电势
由叠加原理
Y
uP
u1
u2
q
4 0 r1
q
4 0 r2
q(r2 r1)
4 0 r1r2
§4 环路定理
静电场力做功与路径无关
• 电荷间的作用力是有心力 ——环路定理 • 讨论静电场的环流
流速场的环流
0 有旋
v dl 0 无旋
静电场：电力线不闭合
Edl 0
可以猜到静电场的环流为零
证明
• 单个点电荷产生的场
– 把试探电荷q0从P移到Q
APQ
Q
F dl
P
(
dq ) rP
1
4 0
dq rP
讨论
• 电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量， 与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。
• 电势UP：P与无穷处电势差 • 电势零点 选取
– 可以任意选取，两点间的电势差与电势零点选择无关。 – 对有限大小的带电体，一般选择无穷远为电势零点
• 问题
– 选无穷远为零点， 总是合适么？
Q
Q
F cosdl Fdr
P
P
rQ Fdr qq0
rP '
4 0
rQ dr r rP' 2
APQ
qq0
4 0
rQ dr r rP ' 2
qq0
4 0
来自百度文库
1 rp'
1 rQ
q0
rQ E(r)dr
rP '
静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关
点电荷组产生的场
q1, q2 , , qn
E E1 E2 En
U n
cos
U l
U n
结论：两等势面间U沿Δn 方向的变化率比沿 其他任何方向的变化率都大
• 电势梯度
– 方向： 沿电势变化最快的方向
– 大小： U
n
在三维空间
U n
U或gradU
电势梯度与场强的关系
Q
U P E dl En
Δn 很小， 场强E变化不大
U U
E lim
n 0 n n
• 在电场中把试探电荷从P移至Q电场力所做的功
Q
Q
APQ
P
F dl
q0
q0 Q P E1
E dl P Q dl
P
E2
dl
Q P
En
dl
q0
4
0
q1 rp1
q1 rQ1
q2 rp 2
q2 rQ 2
qn rpn
qn rQn
P到 q1 的距离
Q到q1的 距离
每项均与路径无关，只与位置有关
任意有限大的带电体产生的电场
• 可以将带电体无限分割成微元，每一个 微元均为一点电荷 ——点电荷组
• 结论：在任何电场中移动试探电荷时， 电场力所做的功除了与电场本身有关外， 只与试探电荷的大小及其起点、终点有 关，与移动电荷所走过的路径无关
静电场的环路定理
• 静电场力做功与路径无关 等价
电势梯度
• 场有分布，沿各方向存在不同的方向微商
• 梯度：最大的方向微商
– 如 速度梯度 温度梯度等
• 沿l的方向微商可以表示为
U
U
lim
l l o l
若取垂直方向，即场强方向n，则沿该方向的
方向微商为 U lim U 显然 n l cos
n n o n
有
U n
U l
1
cos
,或 U l
电场强度和电势
• 已知场强 • 已知电势
可求电势 可否求场强？
等势面
等势面与电力线处处正交 证明：设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元
位移dl电场力所做的元功
dA q0 E dl q0Edlcos 0 cos 0
E dl
2
– 等势面密集处场强大，稀疏处场强小
– 证明：设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差 为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以 点电荷为例，其电势为
（位）
任何作功与路径无关的力场，叫做“保守力场” （“势场”），可以定义势函数，引入势能
电势能、电势差、电势
电场力 的功
定义
Q
静电场与 q0有能量交换
APQ q0 P E dl WPQ WP WQ (WQ WP )
电势能的 改变量
q0在 P点 的电势能
q0在 Q点 的电势能
电势增量
• 可以与重力做功类比
从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功
单位正电荷的电势能差
空间某点的电势值
• 为了确定某点的值，还需要选择零点
• 一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为
U ( p) U P
AP q0
E dl
P
两点之间电势差可表为两点电势值之差
Q
Q
UPQ
Edl
P
Edl
P
E dl U (P) U (Q)
Y
上的电势分布。 已知：R、q
解:方法一 微元法
dl
r
Z
R
O
x
P• X
du
dq
4 0r
dl 4 0r
方法二 定义法 由电场强度的分布
qx
2R dl 2R
uP
du
0 4 0r 4 0r
E 4 0 ( x2 R2 )32
qxdx
q
u
Edx
xp
xp4 0 ( x 2
R2
3
)2
4 0 R2 x 2
单位：1V(伏特）＝1J/C
电势叠加原理
• 点电荷组有
Ui
1
4 0
qi ri
UP
Edl
P
P E1 dl
P E2 dl
P Ek dl
U P1 U P2 U Pk U pi
i
连续带电体有
UP P E dl dU
dU 1
40
P
drq2 dr
1
4 0
E U(gradU)
i j k x y z
矢量微分算符
直角坐标系表示
• E总是沿着指向电势减少的方向——E与Δn相反 • 在数学场论中把
U : 称作梯度
A: A:
称作散度 称作旋度
静电场的基本方程的微分形式
• 数学场论公式
A dS AdV 面积分 体积分
S
V
A dl ( A) dS 线积分 面积分
qx r (R2 x2)32 i
例2．计算电偶极子电场中任一点的场强
解：
u
u(x,
y)
1
4 0
(x2
px y2)32
Ex
u x
x
(
1
4 0
(x2
px y2)32
)
Ey
u y
( y
1
4 0
(x2
px y2)32
)
B点(x=0) A点(y=0)
r E
p
4 0 y3
r i
r E
p
20 x3
– 电场力做正功，电势能将减少 – 电场力做负功，电势能将增加
电势的定义
0 电场付出能量，能量减少
APQ WPQ
( 电 势 能 的 减 少，与 场 源 和q0均 有 关
0 电场吸收能量，能量增加
• 从中扣除q0,即引入电势
WPQ
q0
APQ q0
UPQ
Q
E dl
P
P、Q两点之间的电势差定义为
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q
解: 方法一 叠加法 (微元法)
任一圆环 dS 2 Rsin Rd dq dS 2 R2 sind
dq 1 2 R2 sin d
d
du
R
l
40l 40
l
q sin d
O
r
P
8 0l
rR
由图 l2 R2 r2 2Rr cos 2ldl 2rRsind