数列中公共项问题的研究

数列中公共项问题的研究

专题：数列中公共项问题的研究

一、问题提出

问题1：（1）两个集合{}

1003,0,3,6,

,A a =-和{}

10015,19,23,27,

,B b =都

各有100个元素，且每个集合中元素从小到大都组成等差数列，则集合A B

中元素的最大值是多少？

（2）若将A

B

中元素按从小到大的顺序排列成数列{}n

c ，

试求数列{}n

c 的通项公式.3

12+=n c n

问题2：若数列{}n

a 的通项公式为23

2

n

n a

+=-

，数列{b }n

的通项

公式为n

b

534

n =--

．

设集合*

{|2,}n

A x x a n N ==∈，

*{|4,}

n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n

c 任

一项1

,n

c

A B c ∈是A

B

中的最大数，且10

265125

c

-<<-，求{}n

c 的通

项公式． 对任意*

n N ∈，223,41252(61)3

n

n a

n b n n =--=--=-+-，∴B A ⊂，∴A

B B

=

∵1

c 是A

B

中的最大数，∴1

c

17

=-，设等差数列{}n

c 的公差

为d ，则

∴265179125d -<-+<-，即5

27129

d -<<-，又4n

b 是一个以12-为公差等差数列，

∴*

12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724n

c

n

=-．

二、思考探究

探究1：已知数列{n

a }的通项公式为72

n

a

n =+，数列{n

b }

的通项公式为2

n

b

n =．若将数列{n

a }，{n

b }中相同的项按从

小到大的顺序排列后看作数列{n

c }， （1）求9

c 的值；961

（2）求数列{}n

c 的通项公式.

解：设2

27m n =+，考察m 模7的余数问题；

若k k k k k k k m 7,17,27,37,47,57,67------=时经验证可得： 当37,47--=k k m 时，存在满足条件的n 存在 故{n

c }中的项目依次为：

31252418171110

43,,,,,,,,b b b b b b b

b b 可求得数列{n

c }的通项公式为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫

⎝

⎛-⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=为偶数，为奇数，n n n n C n 2

2

267217

探究2：已知数列{}n

a 和{}n

b 的通项公式分别为319

n

a

n =-，

2n

n b =.将{}n

a 与{}n

b 中的公共项按照从小到大的顺序排列构

成一个新数列记为{}n

c .

（1）试写出1

c ，2

c ，3

c ，4

c 的值，并由此归纳数列{}n

c 的通

项公式；

（2）证明你在（1）所猜想的结论. 解：（1）1

1

172c

b a ===，3

2

392c

b a ===，5

3

5172c

b a ===，7

4

7482c

b a ===，

由此归纳：21

2n n

c -=.

（2） 由n

m

a

b =，得

21921

6

33

m m n ++==+，

∴(31)1

63

m n -+-=

，由二项式定理得

∴011122

211133(1)3(1)3(1)(1)1

63

m m m m m m m m m m m m C C C C C n ----+-+-+

+-+-+-=

，

∴

当m 为奇数时，n 有整数解， ∴21

212n n

n c

b --==.

类型：（1）两个等差数列取交集数列问题（方法：公式法）隔三差五问题

（2）一个等差数列和一个指数数列取交集数列问题（方法：余数分析法）

（3）一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题（方法：二项式定理）

探究3：

已知数列{x n }和{y n }的通项公式分别是x n ＝a n 和y n

＝(a＋1)n＋b(n∈N*)．

（1）当a＝3，b＝5时，

①试问x2，x4分别是数列{y n}中的第几项？

②记c n＝x2n，若c k是数列{y n}中的第m项(k，m∈N*)，试问c k＋1是数列{y n}中的第几项？请说明理由；

（2）对给定自然数a≥2，试问是否存在b∈{1，2}，使得数列{x n}和{y n}有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列{z n}；若不存在，说明理由．解(1)由条件可得x n＝3n，y n＝4n＋5.

①令x2＝9＝y m＝4m＋5，得m＝1，故x2是数列{y n}中的第1项．

令x4＝81＝y k＝4k＋5，得k＝19，故x4是数列{y n}中的第19项．(2分)

②由题意知，c n＝32n，

由c k为数列{y n}中的第m项，则有32k＝4m＋5，

＝32(k＋1)＝9×32k＝9×(4m＋5)＝36m＋45＝那么c k

＋1

4(9m＋10)＋5，

是数列{y n}中的第9m＋因9m＋10∈N*，所以c k

＋1