非正弦周期电流电路分析(专业)

（2） 对各种频率的谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 78.5A单独作用 iS
电容断路，电感短路:
R
Cu L
U0 RI S0 2078 .5106 1.57 mV
（b)基波 is1 100sin106 t 作用
1
1C
106
1 1000 1012
1k
12.2 周期函数分解为付里叶级数
f (t) f (t kT ) 展开成付里叶级数：
f (t) a0 [a1 cos(1t) b1 sin(1t)] [a2 cos(21t) b2 sin(21t)]
[ak cos(k1t) bk sin(k1t)]
第12章 非正弦周期电流电路
重点 1. 周期函数分解为付里叶级数 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率
3. 非正弦周期电流电路的计算
12.1 非正弦周期信号
生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期 电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等 方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
1

2
0 f (t)sin(k1t)d(1t)
1


f (t)sin(k1t)d(1t)
12.2 周期函数分解为付里叶级数
f (t) f (t kT ) 展开成付里叶级数：
f (t) a0 [a1 cos(1t) b1 sin(1t)] [a2 cos(21t) b2 sin(21t)]
i
T
O
脉冲波形
u
u
tO
T
方波电压
tO
T 2T t
锯齿波
非正弦周期电路的分析方法----------谐波分析法
非正弦 周期量 (激励)
？
Fourier
不同频率 正弦量的和
正弦稳态分析
非正弦 稳态量 (响应)
叠加定理
各个正弦量 单独作用下 的响应分量
谐波分析法示意图
谐波分析法的实质是把非正弦周期电流电路的计算化为 一系列正弦电流电路的计算。
208.3 89.53 2
4.166 89.53mV 2
u5 4.166sin( 5t 89.53 ) mV
R
u
L
(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U0 1.57 mV
U 3

12.47 2

89.2 mV
iS
U1

5000mV 2
U 5

4.166 2
f (t)cos(k1t)dt
1

2 0
f (t)cos(k1t)d(1t)

1


f (t)cos(k1t)d(1t)
12.2 周期函数分解为付里叶级数
f (t) f (t kT ) 展开成付里叶级数：
f (t) a0 [a1 cos(1t) b1 sin(1t)] [a2 cos(21t) b2 sin(21t)]
－T/2
T/2 t
f (t) （3）奇谐波函数
T
f (t) f (t ) 2
a2k b2k 0
T/2
Tt
例1 周期性方波信号的分解
iS
解
图示矩形波电流在一个周期内
的表达式为：
Im
0tT 2
Im
t
i(s)
T 3T
T/2 T
0
t
2
2
1
直流分量： IO T
T
1
1

0
Em
cos(k1t )d (1t )

1

2
Em cos(k1t)d(1t)
2Em


0 cos(k1t)d(1t) 0
1
bk
2
0 f (t)sin(k1t)d(1t)
1

0
Em
sin( k1t )d (1t )
sin( 31t )

1 5
sin( 51t )
]
12.3 有效值、平均值、和平均功率
1. 非正弦周期函数的有效值

若: i(t ) I0 Ikm cos(kt k )
k 1
则: I 1 T i 2 t d (t)
T0
三角函数 正交性

1 T
T 0
k 1
利用三角函数的正交性，得：

P U0 I0 Uk Ik cos k ( k uk ik ) k 1
P PU0 0 IP01 UP21I1...c..o. s1 U2 I2 cos2
12.4 非正弦周期交流电路的计算
iS
Im
t
等效
例2. 求图示周期性矩形信号f(t)的 Em
傅里叶级数展开式及其频谱。
T/2 T
t
O
2
1t
解：f(t)在第一个周期内的表达式为 - Em
f (t)=Em
0≤t ≤(T/2)
f (t)=－Em
(T/2)≤t ≤T
则
1T
a0 T 0 f (t)dt 0
1
ak
2
0 f (t)cos(k1t)d(1t)
等效电源
iS
Im
T/2 T
等效
IS0
is1
is3
is is5
t
iS

Im 2

2Im

(sin t 1 sin
3
3t 1 sin
5
5
t )
IS0
is1
is3
is5
幅度频谱图
iS
Im
T/2 T
Akm
0.64I m
频谱图
0.21I m
t
0 3 5 7 k
iS

Im 2

2Im

(sin t 1 sin
3
3t 1 sin
5
5
t )
I m 2I m sin t 2I m sin 3t 2I m sin 5 t
2
3
5

Im 2
0.64Im
sin
t
0.21Im
sin
3t
0.13Im
sin
5
t

f (t)
0 iS (t) dt T
T /2
0 Imdt

Im 2
谐波分量： bk

1

2
0 iS ( t) sin k td ( t)

Im

(
1 k
cos
k
t)

0


0 2Im
k
K为偶数 K为奇数
2
ak
2
0
iS
(t ) cos
ktd (t )

2Im

a0 [ak cos(k1t) bk sin(k1t)] (k 1,2,3,) k 1
其中各个系数按下式求解：
1 T
1
a0 T
0
f (t)dt T
T 2

T 2
f (t)dt
证明
ak

2 T
T
0 f (t)cos(k1t)dt
2 T
T
2

T 2

I
0

k 1
I km
coskt
k
2
d (t)

I
2 0

k 1
I
2 km
2
I
I
2 0

I12

I
2 2


12.3 有效值、平均值、和平均功率
2. 非正弦周期函数的平均值

若 i(t ) I0 Ik cos(kt k ) k 1
1L 106 103 1k
XL>>R
Z(1 )

( R jX L ) ( jX C ) X L XC
R j( X L XC )
R

L RC

50k
is1 100 sin106 t μ A
U 1

I1

Z
(1）
100
10 6 2
50 103
I0
is1
is
is3
is5
T/ T
iS 2
Im 2

2Im

(sin
t

1 sin 3
3t

1 sin 5
5
t
)
I0
is1
is3
is5
iS
R
等效
I0
is1
is
is3
is5
R
C
C
L
L
12.4 非正弦周期交流电路的计算
1. 计算步骤
（1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开 成若干种频率的谐波信号；
[ak cos(k1t) bk sin(k1t)]

a0 [ak cos(k1t) bk sin(k1t)] (k 1,2,3,) k 1
工程上经常作如下变形：
a0


k1
ak2 bk2 [
ak ak2 bk2
cos(k1t)

5000 2
mV
(c)三次 is3 33.3sin 3 106 t谐波作用
X C3
1
31C

1 3106 1000 1012
0.33K
iS
X L3 31L 3106 103 3kΩ
R
Cu L
Z (31 )

(R R
jXL3)( jXC 3) j( XL3 XC 3)

A0 Akm cos(k1t k )
k 1
两种形式系数之间的关系为:
bk ak2 bk2
sin(
k1t)]

利用函数的对称性可使系数的确定简化 f(t)
（1）偶函数
f (t) f (t) bk 0
－T/2
T/2 t
（2）奇函数
f(t)
f (t) f (t) ak 0
374.5 89.190
U 3

IS 3

Z(31 )
106 33.3
2
374.5
89.190
12.47 89.20 mV 2
u3 12.47 sin( 3t 89.2 ) mV
(d)五次谐波
is5

100 5
sin 5 106
t
A 作用

1

2
Em sin(k1t)d(1t)
2Em

0
sin( k1t )d (1t )

2Em

[
1 k
cos(k1t )]0
2Em [1 cos(k )] k


0 4Em
k
k为偶数 k为奇数
因此可得
f
(t)

4Em

[sin(1t )

1 3
i
T
O
脉冲波形
u
u
tO
T
方波电压
tO
T 2T t
锯齿波
12.1 非正弦周期信号
生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期 电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等 方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化
f (t) f (t kT )


1 k
sin kt

0

0
AK
bK2

a
2 K
bK

2Im
k
K
arctan aK bK
0
is 的展开式为：
（K为奇数）
iS

Im 2

2Im

(sint

1 sin 3t
3

1 sin 5t
5
)
周期性方波波形分解 直流分量
谐波合成示意图
t t
基波
t
三次谐波
t
t
等效电源示意图
T 6.28S
iS
t
R
Cu L
解 （1）已知方波信号的展开式为：
iS

Im 2
2Im

(sin t 1 sin 3t
3
1 sin 5t )
5
78.5 100 sin 106 t 33.3sin( 3 106 )t
IS0
iS1
iS3
20 sin( 5 106 )t iS5
[ak cos(k1t) bk sin(k1t)]

a0 [ak cos(k1t) bk sin(k1t)] (k 1,2,3,) k 1
其中各个系数按下式求解：
2
bk T
T
0 f (t)sin(k1t)dt
2 T
T
2

T 2
f (t)sin(k1t)dt


89.53 mV
C
u U 0 u1 u3 u5
1.57 5000 sin t 12.47 sin( 3t 89.2 )
则其平均值为：
1
I AV
T
T
0 i(t )dt I0
12.3 有效值、平均值、和平均功率
3. 非正弦周期电流电路的平均功率
1T
P
u idt
T0

u(t ) U0 U km cos(kt uk )
k 1

i(t ) I0 Ikm cos(kt ik )
X C5

1
51C

5 106
1 1000 1012
0.2(KΩ)
iS
C
X L5 51L 5 106 103 5kΩ
Z(51 )
wk.baidu.com

(R jXL5)( jXC5) R j(5XL5 XC5)

208.3

89.53
U 5 I5s Z (51 ) 20 106
（2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号 分别应用相量法计算；
（注意:交流各谐波的 XL、XC不同，对直流C 相当于 开路、L相于短路。）
（3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
2. 计算举例
iS
例1 求u, 已知： I m
R 20 L 1mH、 T/2 T
C 1000pF I m 157μA、