相似三角形的性质和判定复习讲义

相似三角形的性质与判定复习讲义

一、知识梳理

（一）、相似三角形的性质：

1、相似三角形的对应角 ，对应边 。

2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于 。

3、相似三角形对应周长的比等于 。

4、相似三角形对应面积的比等于 。

注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若不能确定，则应进行分类讨论。 例1．如图，已知△ABC ，AB=6，AC=4，D 为AB 边上一点，且AD=2，E 为AC 边上一点（不与A 、C 重合），若△ADE 与△ABC 相似，则AE=（ ）

A ．2

B ．43

C ．3或34

D ．3或4

3 练习1．（2008•毕节地区）已知△ABC 的三条长分别为2cm ，5cm ，6cm ，现将要利用长度为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC 相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（ ）

A ．10cm ，25cm ，30cm ．

B. 10cm ，30cm ，36cm 或10cm ，12cm ，30cm

C ．10cm ，30cm ，36cm

D ．10cm ，25cm ，30cm 或12cm ，30cm ，36cm

例2．如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB ＝5，求：

（1）AG / AF ；

（2）△ADE与△ABC的周长之比；

练习2．两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为32cm2，那么小三角形的面积为（）A．10cm2B．14cm2C．16cm2D．18cm2

练习3．（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）

A．4：3B．3：4C．16：9D．9：16

（二）、相似三角形的判定：

1、判定两个三角形相似的条件：

（1）平行截割：。

（2）两角对应相等：。

（3）两边夹：。

（4）三边比：。

2、判定两个三角形相似的一般步骤：

（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角

（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。（3）若找不到相等的角，就分析三边是否对应成比例。

3、等积式的证明思路

遇等积，化等比；

横找、竖找定相似；

不相似，莫生气，等线等比来代替；

平行线转比例，两端各自拉关系。

例题1、（2012•铁岭）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE ⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）求线段AE的长．

练习1、（2012•株洲）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度．

例题2、（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B

（1）求证：△ADF∽△DEC；

6，AF=43，求AE的长．

（2）若AB=8，AD=3

练习2、（2013•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E．

（1）求证：△APB∽△PEC；

（2）若CE=3，求BP的长．

例题3、如图，平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，BE交CD于F。

试说明：CD·BC=AE·FC

练习3、如图，P是ABCD的边DC的延长线上的一点，连接AP交DB、BC于M、N，求证：AM2=MN·NP

例题4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°边AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，BG⊥AB交EF于的G。求证：CF是EF与FG的比例中项。

练习4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，M是CD上的点，DH⊥BM于H，DH、AC的延长线

交于E。求证：（1）△AED∽△CBM；（2）AE·CM=AC·CD