启东中学2020届高三年级5月模拟试卷数学(理)试题 含答案
江苏省南通市启东中学2020届高考数学预测试卷(一) (含答案解析)
江苏省南通市启东中学2020届高考数学预测试卷（一）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题“∃x∈R，使x2+x+1<0”的否定是______．2.设复数z=2ii+1，则z+z=__________．3.下面的伪代码执行后的结果是______ ．4.2014巴西足球世界杯最终以德国队高举大力神杯而落幕，专家认为：“中国的孩子既没时间也没场地踢球，现在急需足球这样的全民健身运动，当从民族的高度、战略的高度发展足球”，以下是某新闻媒体进行的网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“中立”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持中立不支持20岁以下80045020020岁以上(含20岁)10015030045人，则n=______ ．5.设x，y满足约束条件{x+3y≥3x−y≥1y≥0，则z=x+y的取值范围是______．6.若2√2cos2α=sin(π4−α)，则sin2α=______ ．7.已知四棱锥P−ABCD的三视图如下图所示，则四棱锥P−ABCD的体积为__________；四棱锥P−ABCD的表面积__________．8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中对几何学的研究比西方早一千多年．在该书中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC =3，鳖臑A 1−BCC 1的体积为2，则阳马A 1−BCC 1B 1外接球表面积的最小值为______．9. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x +2)=f(x).当0<x ≤1时，f(x)=x 3−ax +1，则实数a 的值为________．10. 已知数列121×3，223×5，325×7，…，n 2(2n−1)×(2n+1)，…S n 为其前n 项和，计算得S 1=13，S 2=35，S 3=67，S 4}=109.观察上述结果，归纳计算S n = ______ ．11. 已知F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点，若△POF 为等边三角形，则C 的离心率为______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x −1)2+(y −2)2=1，过x 轴上的一个动点P 引圆C的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则线段AB 长度的取值范围是______ ．13. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =4，点P 是DC 边的中点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为_____________．14. 已知正实数x ，y 满足x +y +3=xy ，则x +y 的最小值为__________．二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=2AC ，D ，E 分别为AA 1，BC 1的中点，DC 1⊥BD ．求证：(1)DE//平面ABC ；(2)DC 1⊥BC ．16.如图，已知角α的终边与单位圆相交于点P(35,45 )，求(1)sinα；(2)cosα．17.“神州”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D).当返回舱距地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°.D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．(1)求B，C两救援中心间的距离；(2)D救援中心与着陆点A间的距离．18. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为−34．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．19. 已知函数f(x)=ax 3−x +1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,3)．(1)求a 的值；(2)求函数f(x)的极值．20. 已知数列{3n ·a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且满足a 1=13，S 3=9．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求a 1+a 2+⋯+a n ．21. 已知矩阵M =[−12523]，向量a ⇀=[416]，求M 3a ⇀．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =12t y =√32t −1(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是ρ=2√2sin(π4+θ)．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P(0,−1).若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求|PA|+|PB|的值．23. 随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”(无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志)已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A 的概率为p(0<p <1)，需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A ，若化验结果呈阳性则含A ，呈阴性则不含A.若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A 时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．(1)若p =13，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；(2)现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合(即化验次数的期望值更小)，并说明理由．24. 已知O 为坐标原点，点P 在抛物线C ：y 2=4x 上(P 在第一象限)，且P 到y 轴的距离是P 到抛物线焦点距离的12．(1)求点P 到x 轴的距离；(2)过点(0,1)的直线与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N ，且QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求证：1λ+1μ为定值．-------- 答案与解析 --------1.答案：∀x∈R，x2+x+1≥0解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，使x2+x+1<0”的否定是：∀x∈R，x2+x+1≥0．故答案为：∀x∈R，x2+x+1≥0利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．2.答案：2解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简得到z，再由共轭复数的概念得到z，进而求出结果．【详解】=1+i,∴z=1−i,∴z+z=2．解：∵z=2ii+1故答案为2．3.答案：41解析：解：由已知中的源代码，我们可模拟程序的运行过程：当i=1时，S=0，进入循环，S=1；当i=2时，S=1，进入循环，S=3；当i=3时，S=3，进入循环，S=10；当i=4时，S=10，进入循环，S=41；i=5>4．故答案为：41．模拟程序的运行过程，即可得出结论．本题主要考查了程序框图、伪代码的认识的知识点，根据条件列表解决问题，是解决本题的关键，属于基础题．4.答案：100解析：【分析】利用分层抽样的定义，建立方程，即可得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，考查学生的计算能力，属于基础题．【解答】由题意800+10045=800+100+450+150+200+300n ，解得n =100．故答案为：100．5.答案：[2,+∞)解析：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由x ，y 满足约束条件{x +3y ≥3x −y ≥1y ≥0作出可行域如图，化目标函数z =x +y 为y =−x +z ，由图可知，当直线y =−x +z 过点A 时直线在y 轴上的截距最小，由{x +3y =3x −y =1，解得A(32,12)， z 有最小值为2，无最大值．故z =x +y 的取值范围是[2,+∞)．故答案为：[2,+∞)6.答案：1或−1516解析：解：∵2√2cos2α=sin(π4−α)，∴2√2(cos 2α−sin 2α)=√22(cosα−sinα)，∴cosα−sinα=0，或cosα+sinα=14，。
江苏省南通市2020届高三数学下学期5月模拟考试试题含解析
江苏省南通市2020届高三数学下学期5月模拟考试试题（含解析）一､填空题1. 已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =____．【答案】{}2,3,4 【解析】由题意可得：{}{}|014|15B x x x x =<-<=<< ，则{}2,3,4A B ⋂=.2. 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为____． 【答案】34i - 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，求得34i +，再根据共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i - ．【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数的共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线210x y --=上方的概率为_______.【答案】14【解析】 【分析】连续掷两次骰子分别得到共有36个基本事件，再根据点P 在直线210x y --=上方，利用列举法，求得基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n ，共有36个基本事件， 其中点P 在直线210x y --=上方，即满足不等式210x y --<，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,6)，共有9个基本事件，所以概率为91364P ==. 故答案为：14. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，利用列举法求得所有事件包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可得，点到准线的距离也是4，从而可得p ，即可求抛物线的焦点到准线的距离.【详解】因为抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，所以由抛物线定义可知该点到准线的距离也是4，即142p+=， 所以6p，即该抛物线的焦点到准线的距离为6.故答案为：6【点睛】本题主要考查抛物线的定义，根据定义两种距离的相互转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.5. 执行如下的程序框图，若14p =，则输出的n 的值为______.【答案】4【解析】 【分析】根据程序框图，逐步进行运算，直到退出循环体，输出n .【详解】第一次运算：2,2S n ==；第二次运算：6,3S n ==；第三次运算：14,4S n ==； 此时退出循环体，输出的n 的值为4. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查根据程序框图求解运算结果，“还原现场”是常用的求解方法，侧重考查数学运算的核心素养. 6. 函数()22log 32y x x =--的值域为______.【答案】(],2-∞ 【解析】 【分析】令232t x x =--，由二次函数知识求解t 的范围，结合对数函数单调性可得值域. 【详解】令232t x x =--，则2log y t =，因为2232(1)44t x x x =--=-++≤，且2log y t =为增函数， 所以2log 42y ≤=. 故答案为：(],2-∞.【点睛】本题主要考查复合函数的值域问题，换元法是常用的方法，把复合函数拆分为简单函数进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.7. 在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________． 【答案】40 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，可把条件357911100a a a a a ＋＋＋＋＝化为720a =，再将条件9133a a －表示为72a ，即可．【详解】根据等差数列的性质，357911100a a a a a ＋＋＋＋＝可化为75100=a即720a =又9133a a －=513913a a a a ++-=59a a +=72a =40．【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+； （2）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；8. 现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【答案】128π 【解析】分析：由圆锥的几何特征，现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可求出答案.解析：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ， 则由题意得R=10，由1802Rl π=，得16l π=， 由2lr π=得8r =.由222R r h =+可得6h =.∴()231164612833V r h cm πππ==⋅⋅=∴该容器的容积为3128cm π.故答案为128π.点睛：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．9. 已知() 0?αβπ∈，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tanα的值为_______．【答案】311【解析】分析：利用两角和与差的正切函数公式，即可化简求值． 详解：由11tan(),tan 25αββ-==-， 则11tan()tan 325tan tan[()]111tan()tan 11125αββααββαββ--+=-+===--+⨯． 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中把角转化为()ααββ=-+和熟记两角和与差的正切公式是解答的关键，着重考查了转化意识和推理、运算能力．10. 已知实数,x y 满足40{210440x y x y x y +-≤-+≥+-≥，则3z x y =+-的取值范围是 ．【答案】[1,7] 【解析】【详解】试题分析：平面区域如图所示：因为0,3x y ≥≤，所以333z x y x y x y =+-=+-=-+，即3y x z =+-，则当13x y =⎧⎨=⎩时，1min z =，当4x y =⎧⎨=⎩时，7max z =，即z 的取值范围为[1,7].故答案为：[1,7].11. 若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为________【答案】1- 【解析】 【分析】将f （x ）＝a sin （x 6π+）（x 3π-）转化为f （x ）2=（a +1）sin x +（322a -）cos x ，利用偶函数的概念可求得a 的值．【详解】∵f （x ）＝a sin （x 6π+）（x 3π-）＝a （2sin x 12+cos x ）12sin x 2-x ）=a +1）sin x +（322a -）cos x 为偶函数，∴f （﹣x ）＝f （x ）， ∴a +1＝0， ∴a ＝﹣1． 故答案为-1【点睛】本题考查三角函数的化简，三角恒等变换，考查函数的奇偶性，求得f （x ）2=（a +1）sin x +（322a -）cos x 是关键，属于中档题． 12. 在ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】先根据cos 2sin sin A B C =求出tan tan 1B C =-，结合和角公式可求tan tan tan tan()11tan tan B CA B C B C+=-+=-=-.【详解】因为cos 2sin sin A B C=，所以cos()cos cos sin sin 2sin sin B C B C B C B C -+=-+=，即有cos cos sin sin B C B C -=，tan tan 1B C =-；tan tan tan tan()11tan tan B CA B C B C+=-+=-=-.故答案为：1.【点睛】本题主要考查和差角公式，三角形内角间的关系是求解的线索，和角的正切公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13. 已知函数()221,0,,0x x mx x f x e e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是______. 【答案】2,4e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先判定函数的奇偶性，结合导数研究函数的性质，结合函数图象可得实数m 的取值范围.【详解】0x >时，2()e x f x mx =+，221()x xf x mx e mx e --=+=+， 所以()()f x f x -=，因为函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，该定义域关于原点对称，所以函数()f x 为偶函数.若函数()f x 有四个不同的零点，则函数()f x 在()0,∞+上有两个不同的零点.当0x >时，令()0f x =得20xe mx +=，即2e xm x=-，令2(),0xe g x x x=->，则函数()f x 在()0,∞+上有两个不同的零点时，直线y m =与函数()g x 的图象在()0,∞+上有两个不同的交点.3232e e (2)e ()x x x x g x x x x -'=-=，令3(2)0xx e x-=得2x =， 当02x <<时，3(2)e ()0x x g x x -'=>，()g x 为增函数；当2x >时，3(2)()0xx e g x x-'=<，()g x 为减函数；所以2max()(2)4e g x g ==-，作出图象如图，由图可知2e 4m <-，所以实数m 的取值范围是2e ,4m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：2e ,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查函数的零点，根据零点个数求解参数的范围，一般结合函数的图象进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.14. 已知[)0,2θ∈π，若关于k ()33sin cos sin cos k θθθθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为______. 【答案】0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π 【解析】 【分析】将不等式变形为33sin sin cos cos k k θθθθ-≥，构造函数()6g x kx x =-，可知当2k ≤-时，函数()y g x =在[)0,+∞上为减函数，可得出cos sin 0θθ≥≥，进而可求得θ的取值范围.【详解】由()33sin cos k θθ≤-，可得33sin cos k k θθ≥构造函数()6g x kx x =-，当2k <-且当0x ≥，()610g x kx '=-<，此时，函数()y g x =在[)0,+∞上为减函数，由于33sin cos k k θθ()()sin cos g g θθ≥， 所以，cos sin 0θθ≥≥，所以，0tan 1θ≤≤，[)0,2θπ∈，0,4πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.综上可得θ的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π. 故答案为：0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π.【点睛】本题主要考查恒成立问题，构造函数，判断单调性，结合单调性把抽象不等式转化为具体不等式，侧重考查数学抽象的核心素养. 二､解答题15. 已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，．（1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．【答案】（1）6π-；（2）ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,k Z ∈【解析】 【分析】（1）由1sin cos 2θθ+=，两边平方可得sin22θ=-，结合ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，可得π23θ=-，即π6θ=-；（2）由（1）知，()22πsin sin 6f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为1πsin 226x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间.【详解】（1）由1sin cos 2θθ+=，得()2sin cos 12θθ+=-即22sin 2sin cos cos 12θθθθ++=-，所以sin22θ=-． 因为ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以ππ222θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以π23θ=-，即π6θ=-．（2）由（1）知，()22πsin sin 6f x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 所以()()11π1cos21cos 2223f x x x ⎡⎤⎛⎫=---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1πcos 2cos223x x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 11cos2222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令πππ2π22π+262k x k -≤-≤， 得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈．【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：(1) 代换法：①若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =，AC 交BD 于O ，锐角PAD △所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =.（1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接OQ ，根据比例线段，证明//PA OQ ，可得//PA 平面QBD ；（2）通过面面垂直转化为线面垂直，然后可得BD ⊥平面PAD ，进而可证BD AD ⊥. 【详解】（1）如图，连接OQ ， 因为//AB CD ，2AB CD =， 所以2AO OC =， 又2PQ QC =， 所以//PA OQ ，又OQ ⊂平面QBD ， PA ⊄平面QBD ， 所以//PA 平面QBD .⊥于H，（2）在平面PAD内过P作PH AD=，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD平面ABCD ADPH⊂平面PAD，所以PH⊥平面ABCD，⊥，又BD⊂平面ABCD，所以PH BD△是锐角三角形，所以PA与PH不重合，因为PAD即PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，⊥，所以BD⊥平面PAD，又PA BD ⊥.【点睛】本题主要考查空间线面平行的证明和线线垂直的证明，线面平行一般通过线线平行来证明，准确作出辅助线是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养. 17. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：224x y+=，直线l：43200x y+-=.43,55A⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN垂线交l于点P. （1）若//MN l，求PMN的面积；（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明. 【答案】（1）33（2）直线PM与圆O相切，证明见解析.【解析】又AD⊂平面PAD，所以BD AD【分析】（1）根据直线平行可得直线MN的方程，然后求出弦长和高，可得三角形的面积；（2）联立方程求出点p的坐标，利用向量数量积证明PM OM⊥，进而可得直线PM与圆O 的位置关系.【详解】（1）因为//MN l ，设直线MN 的方程为430x y c ++=， 由条件得，4343055c ⨯+⨯+=，解得5c =-，即直线MN 的方程为4350x y +-=.因为34OA k =，43MN k =-，所以1OA MN k k ⋅=-，即OA MN ⊥，所以MN ==. 又因为直线MN 与直线l间的距离3d ==，即点P 到直线MN 的距离为3，所以PMN的面积为132⨯=. （2）直线PM 与圆O 相切，证明如下：设00(,)M x y ，则直线MN 的斜率000035354545y y k x x --==--，因为OP MN ⊥，所以直线OP 的斜率为005453x y ---，所以直线OP 的方程为005453x y x y -=--.联立方程组0054,5343200,x y x y x y -⎧=-⎪-⎨⎪+-=⎩解得点P 的坐标为()()000000453454,4343y x y x y x --⎛⎫- ⎪--⎝⎭， 所以()()00000000453454,4343y x PM x y y x y x --⎛⎫=-⎪--⎝⎭--，由于()00,OM x y =，22004x y +=，所以()()0000220000004534544343x y y x PM OM x y y x y x --⋅=-----()()000000453454443x y y x y x ---=--000012164043x y y x -+=-=-， 所以PM OM ⊥，即PM OM ⊥，所以直线PM 与圆O 相切，得证.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，三角形面积求解的关键是求解弦长，侧重考查数学运算的核心素养.18. 如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面.问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？【答案】答案见解析 【解析】 【分析】设出正三角形长为l ，设EF x =，表示出体积，利用导数求解最值. 【详解】设正三角形长为l ，如图，设EF x =，则3BF =3GF l = 若以EF 为底､GF 为高，则圆柱底面半径12xr π=232211112433x V r h l lx ππππ⎛⎫⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭，302l x << ())211232342xV x lx x l ππ'=-+=--当03x <<时，10V '>323lx <<时，10V '<；所以()311max363l V V π==若以GF 为底､EF为高，则圆柱底面半径2r =223222221443V r h x x x l x πππ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭，02x <<222144V x x l π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，令20V '=，得1x =2x =当0x <<时，20V '>2x <<时，20V '<； 所以()322maxV V ==因为()()3321maxmax 36l V V π=>=，所以以GF 为底､EF为高，且EF =.【点睛】本题主要考查导数的实际应用，根据实际题目情景，构建目标函数式，结合导数求解最值问题，侧重考查数学运算的核心素养.19. 设n S 数列{}n a 的前n 项和，对任意n *∈N ，都有1()()n n S an b a a c =+++（a b c ，，为常数）．（1）当3022a b c ===-，，时，求n S ； （2）当1002a b c ===，，时， （ⅰ）求证：数列{}n a 是等差数列；（ⅱ）若对任意,m n *∈N ，必存在p *∈N 使得p m n a a a =+，已知211a a -=，且1111129nii S =∈∑[，），求数列{}n a 的通项公式． 【答案】(1) 1(31)2nn S =-. (2) （ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1n a n =+.【解析】 【分析】（1）利用项和公式求出{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，再求n S . (2) （ⅰ）证明112n n n a a a +-+=即证数列{}n a 是等差数列.（ⅱ）先求得19211a <≤，所以11a =或12a =，再求n a ，再检验11111[29ni iS =∈∑，）即得数列{}n a 的通项公式.【详解】（1）当0a =，32b =，2c =-时，()1322n n S a a =+-．① 当1n =时，()111322S a a =+-，所以11a =． 当2n ≥时，()111322n n S a a --=+-．②①－②得：13n n a a -=．因为11a =，所以10n a -≠，所以13nn a a -=， 所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以()13131132n nn S -==--．（2）（ⅰ）当12a =，0b =，0c =时，()12n n nS a a =+．③ 当2n ≥时，()11112n n n S a a ---=+．④③－④得：()()1121n n n a n a a --=--，⑤ 所以()111n n n a na a +-=-．⑥⑤－⑥得：()()()111121n n n n a n a n a +--+-=-．因为2n ≥，所以112n n n a a a +-+= 即11n n n n a a a a +--=-， 所以{}n a 是等差数列．（ⅱ）因为211a a -=，所以1d =．因为p m n a a a =+，所以11122a p a m n +-=++-，所以11a p m n =--+．因为*,,p m n N ∈，所以1a Z ∈．又因为1111129a ≤<， 所以19211a <≤，所以11a =或12a =． 当11a =时，n a n =，()12nn n S +=，11122111ni in S n n =⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭∑， 所以121141139S S +=> 不符合题意． 当12a =时，1n a n =+，()32n n n S +=，所以1111211111931239ni iS n n n =⎛⎫=-++< ⎪+++⎝⎭∑满足题意． 所以1n a n =+．【点睛】(1)本题主要考查项和公式求数列的通项，考查数列性质的证明，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2) 类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和. 20. 若实数0x 满足()00p x x =，则称0x x =为函数()p x 的不动点． （1）求函数()ln 1f x x =+的不动点；（2）设函数()323g x ax bx cx =+++，其中a b c ，，为实数．① 若0a =时，存在一个实数01[,2]2x ∈，使得0x x =既是()g x 的不动点，又是()g x ' 的不动点（()g x '是函数()g x 的导函数），求实数b 的取值范围；② 令()()()'0h x g x a =≠，若存在实数m ，使m ，()h m ，()()h h m ，()()()h h h m 成各项都为正数的等比数列，求证：函数()h x 存在不动点．【答案】（1）函数()ln 1f x x =+的不动点为1；（2）①5,114b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，②见解析. 【解析】 【分析】(1)结合函数的单调性可得函数()ln 1f x x =+的不动点为1;(2)由题意得到方程组，消去c 可得实数b 的取值范围是5,114b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(3)满足题意时()()()()()()()()()h m qm h h m qh m h h h m qh h m ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，，结合导函数与原函数的性质讨论计算即可证得结论.【详解】（1）由题意可知，ln 1x x +=．令()ln 1x x x ϕ=-+，0x >． 故()11'1x x x xϕ-=-=． 列表：所以，方程ln 1x x +=有唯一解1x =． 所以函数()ln 1f x x =+的不动点为1．（2）① 由题意可知20000032bx cx x bx c x ⎧++=⎨+=⎩，消去c ，得200311b x x =-+，01,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,114b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ② ()()2'32h x g x ax bx c ==++． 由题意知m ，()h m ，()()h h m ，()()()h h h m 成各项都为正数的等比数列，故可设公比为q ，则()()()()()()()()()h m qm h h m qh m h h h m qh h m ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，，故方程()h x qx =有三个根m ，()h m ，()()h h m ．又因为0a ≠，所以()()2'32h x g x ax bx c ==++为二次函数，故方程()h x qx =为二次方程，最多有两个不等的根． 则m ，()h m ，()()h h m 中至少有两个值相等． 当()h m m =时，方程()h x x =有实数根m ， 也即函数()h x 存在不动点，符合题意；当()()h h m m =时，则()qh m m =，2q m m =，故21q =，又因为各项均为正数，则1q =，也即()h m m =，同上，函数()h x 存在不动点，符合题意；当()()()h h m h m =时，则()qh m qm =，()h m m =， 同上，函数()h x 存在不动点，符合题意； 综上所述，函数()h x 存在不动点．【点睛】新定义型创新题是数学考题的一大亮点，求解此类问题通常分三大步骤进行：（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效地输出.其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点. 21. 已知矩阵12a M b -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，对应的变换把点()2,1变成点()7,1-．（1）求a ，b 的特征值； （2）求矩阵M 的特征值．【答案】（1）a ，b 的值分别为4，3；（2）矩阵M 的特征值为2和5． 【解析】 【分析】（1）点()2,1在矩阵M 的变换下得到点()7,1-，利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a ，b 的值；（2）先求矩阵M 的特征多项式()f λ，令()0f λ=，从而可得矩阵M 的特征值． 【详解】（1）因为矩阵12a M b -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应得变换把点()2,1变成点()7,1-， 所以127211a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即217,41,a b -=⎧⎨-+=-⎩，解得4,3,a b =⎧⎨=⎩所以a ，b 的值分别为4，3．（2）由（1）得4123M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，所以()()()()()414322523fλλλλλλλ-==---=---．令()0f λ=，解得2λ=或5λ=， 所以矩阵M 的特征值为2和5．【点睛】本题主要考查二阶矩阵与平面列向量的乘法，考查矩阵M 的特征值．关键是写出特征多项式，从而求得特征值． 22. [选修4—4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3x ty t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，求直线l 被圆C 截得的弦长．【答案】14 【解析】 【分析】由题意，消去参数即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的极坐标方程，再利用圆的弦长公式，即可求解弦长. 【详解】解：直线l 的参数方程(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0．圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝＝2． 又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2＝．【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 23. 对任意实数t ，不等式321212t t x x -++≥-++恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】1526x -≤≤ 【解析】 【分析】先利用分段讨论求解321y t t =-++的最小值，再利用分段讨论求解双绝对值不等式.【详解】设()321f t t t =-++，即()132,,214,3,232,3,t t f t t t t t ⎧-+<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩所以()f t 的最小值为72，所以72122x x -++≤.当2x <-时，不等式即为()()72122x x ---+≤，解得32x ≥-，矛盾； 当122x -≤≤时，不等式即为()()72122x x --++≤，解得21x ≥-，所以1122x -≤≤；当12x >时，不等式即为()()72122x x -++≤，解得56x ≤，所以1526x <≤.综上，实数x 的取值范围是1526x -≤≤.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法，利用分段讨论法是常用方法，侧重考查数学运算的核心素养. 24. 已知()22201221nn n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+.（1）求1232n a a a a +++⋅⋅⋅+的值；（2）求1234212111111n na a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-的值. 【答案】（1）221n -.（2）1nn -+ 【解析】 【分析】（1）利用赋值法进行求解，令0x =得，01a =；令1x =得，2012322nn a a a a a ++++⋅⋅⋅+=.从而可求结果.（2）根据二项式系数与k a 关系及组合数性质得到1222212111211122k k k k n n n n n C C n C C ++++⎛⎫+-=- ⎪+⎝⎭，然后累加可求1234212111111n na a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-的值. 【详解】（1）令0x =得，01a =；令1x =得，2012322nn a a a a a ++++⋅⋅⋅+=. 于是2123221nn a a a a +++⋅⋅⋅+=-. （2）2,1,2,3,,2kk n a C k n ==⋅⋅⋅，首先考虑()()()()()12121!21!1!2!1121!21!k k n n k n k k n k C C n n ++++-+-+=+++()()()!2!21121!k n k n k k n -+-++=+()()()()2!2!222221!21k nk n k n n n n C -++==++，则1221211211122k k k n n n n C n C C +++⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭， 因此1222212111211122k k k k n n n n n C C n C C ++++⎛⎫+-=- ⎪+⎝⎭. 故1234212111111n na a a a a a --+-+⋅⋅⋅+- 133521212121212121212111111122n n n n n n n n n n C C C C C C -+++++++⎛⎫+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1212121211121112222211n n n n n n n C C n n n +++⎛⎫++⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查二项式定理及组合数的性质，二项式系数和的问题一般通过赋值法进行求解，组合数的性质利用公式进行转化是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养. 25. 甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢.此时，两人正在游戏，且知甲再赢m (常数1m )次就获胜，而乙要再赢n (常数n m >)次才获胜，其中一人获胜游戏就结束.设再进行ξ次抛币，游戏结束. （1）若2m =，3n =，求概率()4P ξ=；（2）若2n m =+，求概率()()2,3,,1P m k k m ξ=+=⋅⋅⋅+的最大值(用m 表示). 【答案】（1）38.（2）()()2111221C C 2m m m m m +-++⋅【解析】 【分析】（1）根据比赛4次结束，可知甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，利用独立重复试验公式可求结；（2）先表示出()P m k ξ=+，构造函数，作商比较，判断出单调性，结合单调性可得最大值. 【详解】（1）依题意，游戏结束时，甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，()()()33123311113422228P C C ξ==⨯⨯+⨯⨯=.（2）依题意，()()()11111CC2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅()2,3,,1k m =⋅⋅⋅+.设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()()()1111!21!1!1111!21!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦.而()()()()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦≥+++-⎡⎤⎣⎦ (*) ()()()32221220k m k m k m m m ≤⇔-++---- ()()2220k m k k m m ≤⇔--+--.()因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---<2704m m ⇔--<(显然在*1,m m >∈N 时恒成立)，所以2220k k m m -+-->.又因为k m ≤，所以()恒成立，从而(*)成立.所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)， 所以()f k 的最大值为()()()()21112211CC2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221CC2m m m mm+-++⋅.【点睛】本题主要考查独立重复试验，赛制问题注意结束的情况有两种，先分清类别再进行求解，最值问题主要是判断单调性，组合数有关的单调性判断一般借助比较法进行，侧重考查数学运算的核心素养.。
江苏省南通巿启东中学2025届高三第一次高考模拟考试数学试题
江苏省南通巿启东中学2025届高三第一次高考模拟考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A ．12ω=B ．6282f π+⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．34D ．224．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21r r 6．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．7．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A 5B 5C 10D 10 8．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（） A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<9．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b -=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．2]B ．(2,3]C ．2,5]D ．3,5]10．i 是虚数单位，21iz i=-则||z =（ ） A ．1 B ．2C 2D ．2211．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，5)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>12．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．)+∞B ．[)2,+∞C．(D ．(]1,2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A ．48B ．72C ．90D ．96 【答案】D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．2．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ）A ．()p q ⌝∨为真命题B ．p q ∨为真命题C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B【解析】【分析】由2x y =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解【详解】由函数2x y =是R 上的增函数，知命题p 是真命题．对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>；当10x +<，即1x <-时，11x x +=--，由1x x --≤，得12x =-，无解， 因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.3．已知101 1M dxx=+⎰，2cosN xdxπ=⎰，由程序框图输出的S为（）A．1 B．0 C．2πD．ln2【答案】D【解析】试题分析：111ln(1)|ln21M dx xx==+=+⎰，2cos sin|12N xdx xππ===⎰，所以M N<，所以由程序框图输出的S为ln2.故选D．考点：1、程序框图；2、定积分．4．已知不重合的平面,,αβγ和直线l，则“//αβ”的充分不必要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．lα⊥且lβ⊥C．αγ⊥且γβ⊥D．α内的任何直线都与β平行【答案】B【解析】【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. lα⊥且lβ⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到lα⊥且lβ⊥，满足；C. αγ⊥且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除.故选：B .【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力. 5．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】【分析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||x y x=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解.【详解】∵35log |1|1x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-， 其图象可由35log ||x y x =的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到， ∵35log ||x y x=为奇函数，图象关于原点对称， ∴35log |1|1x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称. 可排除A 、D 项.当0x >时，35log |1|01x y x +=>+，∴B 项不正确. 故选：C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.6．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2] 【答案】A【解析】【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【详解】 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ， 若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a，∴b a 22224a b e a +=…， 2e ∴…，故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．7．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4CD ．【答案】B【解析】【分析】根据焦距即可求得参数m ，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线222:14x y C m-=的焦距为故可得(224m +=，解得216m =，不妨取4m =；又焦点()F ，其中一条渐近线为2y x =-，由点到直线的距离公式即可求的4545d ==.故选：B.【点睛】 本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.8．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】D【解析】【分析】对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=可判断； 对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得242||164832BE m m =++，再由222||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断.【详解】如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+，代入抛物线C 的方程，有2480y my --=．设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则124y y m +=，128y y =-．所以()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=． 则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以②正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知， A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．由上，有124y y m +=，21244x x m +=+，则()()2224212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+． 于是，222222421212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 代入21244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++， 所以()()22224224416124a r m m m -=+-++=．所以③正确．故选：D【点睛】 本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.9．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 1C ．2D 1【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（2-1）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 【详解】 直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx+p 2＝0，∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1， 丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨222p p =+=p ，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（2-1）p ， 2c ＝p ，∴离心率e 221c a ===+-1， 故选：D ．【点睛】 本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．163【答案】D【解析】【分析】 根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】 由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为1122223⨯⨯⨯+11622223⨯⨯⨯⨯=.故选D. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.11．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0- 【答案】A【解析】【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.12．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)- 【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以函数'()f x 是偶函数.22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+--， 即22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x--=--+--， 又22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x-=+----， 所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，22'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22'()01f x x =>-， 则函数()f x 在(1,1)-上为单调递增函数.又在(0,1)上，()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增. 由(1)(1)f ax f x +<-， 可得11111ax x ax ⎧+<-⎨-<+<⎩，对11[,]62x ∈恒成立， 则1120ax x a x ⎧+<-⎪⎨-<<⎪⎩，21120a x a x⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩对11[,]62x ∈恒成立，，得3140a a -<<-⎧⎨-<<⎩， 所以a 的取值范围是(3,1)--.故选：A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【百强校】江苏省启东中学2020届高三上学期期终复习数学考试试题(1,无答案)
江苏省启东中学2019~2020学年度期终复习一数学试卷一、单项选择题 (本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 ．)1．设集合{1A =，9，}m ，2{B m =，1}，若B A ⊆，则满足条件的实数m 的值为( )A ．1或0B ．1，0或3C ．0，3或3-D ．0，1或3-2．函数0()f x =的定义域为( )A ．[3-，3]2B ．[3-，33)(22--U ，3)2C ．[3-，3)2D ．[3-，33)(22--U ，3]23．已知幂函数()(f x kx k α=∈R ，)α∈R 的图象过点1(2，则k α+=( )A ．12B ．1C ．1-D ．24．若函数2()|log |f x x =的定义域为[a ，]b ，值域为[0，2]，则b a -的最小值为( )A ．34B ．3C ．2D ．325．已知函数4|log |04()1342x f x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，≤，， ，若a b c <<且()()()f a f b f c ==，则(1)c ab +的取值范围是( ) A ．(16，64) B ．(8，32) C ．(4，6) D ．(2，3)6．若函数||1()()13x f x m =+-的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．1m <B ．1m ≥C ．01m ≤≤D ．01m <≤ 7．已知函数22log (3)2()212x x x f x x ---<⎧⎪=⎨-⎪⎩，，，≥，满足(2)1f a -=，则()f a = ( )A ．2-B ．1-C ．1D ．28．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，且(1)(2)f ax f x +-≤对任意1[2x ∈，1]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．20a -≤≤B ．10a -≤≤C ．01a ≤≤D ．31a -≤≤二、多项选择题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9．恽之玮、张伟、袁新意、吴忠涛、刘志鹏、朱歆文……2000级的北大数院本科生逐渐成为中 国数学新一代领军人物．其中，恽之玮、张伟、朱歆文和袁新意四人的友情持续了十几年， 他们的数学品味相同，但风格各异，常常在一起讨论问题，不断的相互促进与挑战。
2020年江苏省南通市启东中学高三数学理模拟试题含解析
2020年江苏省南通市启东中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数f(x) (x∈R)是奇函数，函数g(x) (x∈R)是偶函数，则()A．函数f(x)g(x)是偶函数B．函数f(x)g(x)是奇函数C．函数f(x)＋g(x)是偶函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数参考答案：B略2. 若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．3参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=2x+3y为，由图可知，当直线过A时，z有最小值为2×1+3×1=5．故选：C．【点评】本题考查了线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．3. 对于任意，则满足不等式的概率为（）A B C D参考答案：A略4. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，则m=( )A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组即可解得m的值．解答：解：在等比数列中，∵S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，∴a m=S m﹣S m﹣1=﹣11﹣5=﹣16，a m+1=S m+1﹣S m=21﹣（﹣11）=32，则公比q=，∵S m=﹣11，∴，①又，②两式联立解得m=5，a1=﹣1，故选：C．点评：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的计算和应用，考查学生的计算能力．5. 抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．参考答案：B略6. （2﹣i）（﹣2+i）=（）A．﹣5 B．﹣3+4i C．﹣3 D．﹣5+4i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（2﹣i）（﹣2+i）=﹣4+2i+2i﹣i2=﹣3+4i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．7. 函数的最小正周期是（）A． B． C． D．参考答案：B考点：1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.8. 已知m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题是真命题的是（）A．若，，则 B.若，，则C.若，，则D.若，，则参考答案：B对于答案A，有的可能，故不是真命题；对于答案C，直线也可以与平面相交，不是真命题；对于答案D中的直线，有的可能，故不是真命题，应选答案B。
江苏省启东市2020届高三数学下学期期初考试试题含解析
江苏省启东市2020届⾼三数学下学期期初考试试题含解析江苏省启东市2020届⾼三数学下学期期初考试试题（含解析）⼀、填空题：本⼤题共14⼩题，每⼩题5分，共70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，则UA =____.【答案】{}2,3 【解析】【分析】结合所给的集合和补集的定义，可得U A 的值.【详解】解：由全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，可得：{}2,3U A =，故答案为：{}2,3.【点睛】本题主要考查集合和补集的定义，相对简单. 2.复数3ii+（i 是虚数单位）的虚部为____. 【答案】3- 【解析】【分析】直接利⽤复数代数形式的乘除运算化简，可得原复数的虚部. 【详解】解：(3)313131i i i ii ii i +?+-+===-?-，故原复数的虚部为3-，故答案为：3-.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题. 3.某⾼级中学⾼⼀、⾼⼆、⾼三年级的学⽣⼈数分别为1100⼈、1000⼈、900⼈，为了解不同年级学⽣的视⼒情况，现⽤分层抽样的⽅法抽取了容量为30的样本，则⾼三年级应抽取的学⽣⼈数为____. 【答案】9 【解析】【分析】先求出抽样⽐，由此可求出⾼三年级应抽取的学⽣⼈数.【详解】解：由题意可得：抽样⽐30111001000900100f ==++，故⾼三年级应抽取的学⽣⼈数为：19009100=，故答案为：9.【点睛】本题主要考查分层抽样的相关知识，求出抽样⽐是解题的关键. 4.如图是⼀个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =+++=-=，应填答案1011． 5.函数()22log 43y x x =+-的定义域为____.【答案】()14-, 【解析】【分析】由对数函数真数⼤于0，列出不等式可得函数的定义域. 【详解】解：由题意得：2043x x +-＞，解得：4x -1＜＜，可得函数的定义域为：()14-,，故答案为：()14-,.【点睛】本题主要考查函数的定义域及解⼀元⼆次不等式，属于基础题型.6.劳动最光荣.某班在⼀次劳动教育实践活动中，准备从3名男⽣和2名⼥⽣中任选2名学⽣去擦教室玻璃，则恰好选中2名男⽣的概率为____. 【答案】310【解析】【分析】分别计算出从5名学⽣中选出 2名学⽣的选法，与从3名男⽣选出 2名男⽣的选法，可得恰好选中2名男⽣的概率.【详解】解：由题意得：从5名学⽣中选出 2名学⽣，共有2510C =种选法；从3名男⽣选出 2名男⽣，共有233C =种选法，故可得恰好选中2名男⽣的概率为：2325310C C =，故答案为：310【点睛】本题主要考察利⽤古典概型概率公式计算概率，分别计算出从5名学⽣中选出 2名学⽣的选法，与从3名男⽣选出 2名男⽣的选法是解题的关键.7.已知抛物线y 2=8x 的焦点恰好是双曲线()222102x y a a -=>的右焦点，则该双曲线的离⼼率为______.【解析】【分析】求出抛物线的焦点，可得c 的值，由双曲线⽅程，可得a 的值，可得双曲线的离⼼率. 【详解】解：易得抛物线y 2=8x 的焦点为：(2,0)，故双曲线()222102x y a a -=>的右焦点为(2,0)，2c =可得：2222a +=，a =故双曲线的离⼼率为：c e a ===.【点睛】本题主要考查抛物线的性质及双曲线的离⼼率，相对简单，注意利⽤双曲线的性质解题.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若366,8S S ==-，则9S =____. 【答案】42- 【解析】【分析】由3S ，63S S -，96S S -成等差数列，代⼊366,8S S ==-可得9S 的值. 【详解】解：由等差数列的性质可得：3S ，63S S -，96S S -成等差数列，可得：633962()S S S S S -=+-，代⼊366,8S S ==-，可得：942S =-，故答案为：42-.【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的性质，相对不难. 9.已知α是第⼆象限⾓，且sin 5α=，()tan 2αβ+=-，则tan β=____. 【答案】34- 【解析】【分析】由α是第⼆象限⾓，且sin α=，可得tan α，由()tan 2αβ+=-及两⾓和的正切公式可得tan β的值.【详解】解：由α是第⼆象限⾓，且sin α=，可得cos α=1tan 2α=-，由()tan 2αβ+=-，可得tan tan 21tan tan αβαβ+=--?，代⼊1tan 2α=-，可得3tan 4β=-，故答案为：34-.【点睛】本题主要考查同⾓三⾓函数的基本关系及两⾓和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性.10.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知A ，B 两点在圆x 2＋y 2=1上，若直线0x y +-=上存在点C ，使△ABC 是边长为1的等边三⾓形，则点C 的横坐标是______. 【答案】6 【解析】【分析】设点(,6)C x x -，连接,,,AC AB CO BO ,由△ABC 是边长为1的等边三⾓形，故四边形AOBC 为菱形,由3OC =，可得点C 的横坐标.【详解】解：设点(,6)C x x -，连接,,,AC AB CO BO ,由△ABC 是边长为1的等边三⾓形，故四边形AOBC 为菱形，=60120o o ACB AOB OAC OBC ∠=∠∠=∠=，，在OAC ?中：2222cos OC OA AC OA AC OAC =+-∠, 可得：222111211()32OC =+--=，3OC =223(6)x x =+-，解得：62x =， 6【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，相对不难.11.设m 为实数，若函数f (x )=x 2－mx －2在区间()2-∞，上是减函数，对任意的12,112m x x ??∈+，，总有12()()4f x f x -≤，则m 的取值范围为____. 【答案】[]46，【解析】【分析】由函数f (x )=x 2－mx －2在区间()2-∞，上是减函数可得4m ≥，由12,112m x x ??∈+，，可得()f x 在此区间的最⼤、最⼩值，化简12()()4f x f x -≤，可得m 的取值范围. 【详解】解：由题意：函数f (x )=x 2－mx －2的对称轴为：2mx =，由其在区间()2-∞，上是减函数，可得22m≥，可得4m ≥；由4m ≥，1122m m ??∈+，，且11222m m m +-≤-，故当12,112m x x ??∈+，时，max ()(1)3f x f m ==-，2min ()()224m m f x f ==-+，由12()()4f x f x -≤，可得23(2)44mm ---+≤，化简可得：24120m m --≤，可得：26m -≤≤，综合可得：46m ≤≤，故答案为：[]46，. 【点睛】本题主要考查⼆次函数的单调性及函数的最值，属于中档题型.12.如图所⽰，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC =，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若4 5AF BC ?=-，则AE AC ?=____.【答案】229【解析】【分析】过点D 做DG AF ,可得16EF AF =，15BF BC =，4155AF AB AC =+由45AF BC ?=-可得2cos 3BAC ∠=，可得541()655AE AC AB AC AC ?=+?，代⼊可得答案.【详解】解：如图，过点D 做DG AF ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =, 12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =，同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,由45AF BC ?=-，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +?-=-+?=-,可得：14244422cos 5555BAC ?-?+??∠=-,可得：2cos 3BAC ∠=，255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ?=?=+?=?+=+?=, 故答案为：229. 【点睛】本题主要考查平⾯向量的线性运算和平⾯向量的数量积，由题意作出DG AF 是解题的关键.13.若实数,x y 满⾜：0x y <<，则22y x y x x y--+的最⼩值为____. 【答案】23【解析】【分析】将原式化简为1212x y yx--+，令y t x=，则1t ＞，令12()1,(1)12f t t t t =+--+＞，对()f t 求导数，可得()f t 的最⼩值，可得答案.【详解】解：由题意得：212212y x x yy x x yy x-=--+-+，令yt x=，则1t ＞， 1221211212121t t t t t t t=-=-=+-+-+-+-原式，设12()1,(1)12f t t t t=+--+＞，可得： 22222'2222222212(2)2(1)(2)2(1)82()(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)t t t t t t f t t t t t t t t t -++--++---=-+===-+-+-+-+，令'()0f t =，可得4t =+，其中4t =-可得当(1,4t ∈+时，'()0f t ＜，()f t 单调递减；当(4)t ∈++∞时，'()0f t ＞，()f t 单调递增；可得当4t =+时，原式有最⼩值，代⼊可得：12(41133333f +==+--+=，故可得22y x y x x y --+的最⼩值为3，故答案为：3. 【点睛】本题主要考察利⽤导数求函数的最值，其中利⽤换元法对原式进⾏换元是解题的关键.14.若函数2ln ,0()1,0x a x x f x x ax x ?-->=?++≤?恰有3个不同的零点，则a 的取值范围是____. 【答案】(,1)(2,)-∞-+∞【解析】【分析】去绝对值，分0a x e <≤、a x e >与0x ≤进⾏讨论，对()f x 进⾏化简，同时对()f x 求导，结合函数有3个不同的零点，可得a 的取值范围.【详解】解：（1）当0a x e <≤时，()ln f x x x a =--+，因为()f x 递减，()0a a f e e =-<，0x →时，()f x →+∞，所以()f x 在(0,]ae -有1个零点；当a x e >时，()ln f x x x a =-+-，因为1()xf x x-'=，①1a e ≥，即0a ≥时，()f x 在(,)a e +∞上递减，所以()()0a a f x f e e <=-<，即()f x 在(,)a e +∞没有零点；②1a e <，即0a <时，()f x 在(,1)a e 上递增，在(1,)+∞上递减，因为()0a a f e e =-<，(1)1f a =--，所以10a -<<时，()f x 在(,)a e +∞没有零点；1a =-时，()f x 在(,)a e +∞有1个零点；1a <-时，()f x 在(,)a e +∞有2个不同的零点. （2）当0x ≤时，2()1=++f x x ax ，当2a <时，()f x 在(,0]-∞上没有零点；当2a =时，()f x 在(,0]-∞有1个零点；2a >时，()f x 在(,0]-∞有2个不同的零点. 综上，当1a <-或2a >时()f x 恰有三个不同的零点.【点睛】本题主要考查函数的零点与利⽤导数判断函数的单调性与零点，属于难题. ⼆、解答题：本⼤题共6⼩题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD //平⾯BCC 1B 1，AD ⊥DB .求证：（1）BC //平⾯ADD 1A 1；（2）平⾯BCC 1B 1⊥平⾯BDD 1B 1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由直线与平⾯平⾏的性质可得：由AD //平⾯BCC 1B 1，有AD //BC ，同时AD 平⾯ADD 1A 1，可得BC //平⾯ADD 1A 1；（2）由（1）知AD //BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ，同时由直四棱柱性质可得DD 1⊥BC ，BC ⊥平⾯BDD 1B 1，可得证明.【详解】解：（1）因为AD //平⾯BCC 1B 1，AD 平⾯ABCD ，平⾯BCC 1B 1∩平⾯ABCD =BC ，所以AD //BC .⼜因为BC 平⾯ADD 1A 1，AD 平⾯ADD 1A 1，所以BC //平⾯ADD 1A 1.（2）由（1）知AD //BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1⊥平⾯ABCD ，BC 底⾯ABCD ，所以DD 1⊥BC ，⼜因为DD 1平⾯BDD 1B 1，DB 平⾯BDD 1B 1，DD 1∩DB =D ，所以BC ⊥平⾯BDD 1B 1，因为BC 平⾯BCC 1B 1，所以平⾯BCC 1B 1⊥平⾯BDD 1B 1【点睛】本题主要考查线⾯平⾏的性质及⾯⾯垂直的证明，熟悉相关定理并灵活运⽤是解题的关键.16.已知△ABC 的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin B =b sin2A . （1）求⾓A ；（2）若a =5，△ABC 的⾯积为23ABC 的周长. 【答案】（1）3π；（2）12. 【解析】【分析】（1）由正弦定理可得：sin A sin B =2sin B sin A cos A ，可得cos A 的值，可得⾓A 的⼤⼩；（2）由△ABC 的⾯积为23A的值，可得bc 的值，由余弦定理可得b c +的值，可得△ABC 的周长.【详解】解：（1）由a sin B =b sin2A 及正弦定理，得sin A sin B =2sin B sin A cos A ，因为sin A >0，sin B >0，所以1cos 2A =，⼜()0,πA ∈，所以π3A =. （2）由△ABC 的⾯积为23，得1sin 232bc A =，⼜π3A =，所以8bc =. 在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos b c bc A a +-=，因为a =5，所以2233b c +=，所以()249b c +=，所以12a b c ++=，即△ABC 的周长为12.【点睛】本题主要考查利⽤正弦定理、余弦定理解三⾓形，注意灵活运⽤定理解题. 17.如图1，已知正⽅形铁⽚A B C D ''''边长为2a ⽶，四边中点分别为E ，F ，G ，H ，沿着虚线剪去⼤正⽅形的四个⾓，剩余为四个全等的等腰三⾓形和⼀个正⽅形ABCD （两个正⽅形中⼼重合且四边相互平⾏），沿正⽅形ABCD 的四边折起，使E ，F ，G ，H 四点重合，记为P 点，如图2，恰好能做成⼀个正四棱锥（粘贴损耗不计），PO ⊥底⾯ABCD ，O 为正四棱锥底⾯中⼼，设正⽅形ABCD 的边长为2x ⽶.（1）若正四棱锥的棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全⾯积S ；（2）请写出正四棱锥体积V 关于x 的函数，并求V 的最⼤值.【答案】（1）2(232)a ；（2）242032a V x a ax x =-<<33165m .【解析】【分析】（1）连接OH 交BC 于点H ′，由正⽅形ABCD 边长为2x ，所以HH′=a －x . 可得PO 的长及PB 的长，由PB AB =得可得x 的值，可得正四棱锥的全⾯积4SBC ABCD S S S ?=+正⽅形，计算可得答案；（2）可得13ABCD V S PO =??正⽅形，可得V 关于x 的函数，对其求导，利⽤导数可得V 的最⼤值.【详解】解：在图1中连接OH 交BC 于点H ′，因为正⽅形ABCD 边长为2x ，所以HH′=a －x . 在图2中，OH ′=x ，PH ′=a －x ，由勾股定理得，正四棱锥的⾼2222()PO PH OH a x x ''---22a ax =-（1）在直⾓三⾓形POB 中，2OB x =，所以2222(2)2PB OB PO a ax x =+-+ 由PB AB =22(2)22a ax x x -+=，整理得，()22324ax a +=，解得31x -=（13x --=舍去）. 所以，正四棱锥的全⾯积4SBC ABCD S S S ?=+正⽅形 2142()42x a x x =-+24(232)ax a ==平⽅⽶.（2）2211(2)233ABCD V S PO x a ax =??=?-正⽅形所以242032aV x a ax x =-<<.因为245423V a x ax =-，设245()2,02af x a x ax x =-<<，则234()410f x a x ax '=-32(25)ax a x =-，令()0f x '=得，25ax =，当()20,5a x ∈时，()0f x '>，()f x 在区间()20,5a 上递增；当()2,52a a x ∈时，()0f x '<，()f x 在区间()2,52a a上递减. 所以当25ax =时，()f x 取得最⼤值，此时3max 1652()5a V V a ==⽴⽅⽶. 【点睛】本题主要考查正四棱锥的⼏何性质，正四棱锥棱长、⾼、表⾯积、体积的计算，需建⽴函数模型并求其最值，属于难题.18.已知椭圆221193y x C +=：，椭圆()2222210y x C a b a b+=>>：经过椭圆C 1的左焦点F 和上下顶点A ，B .设斜率为k 的直线l 与椭圆C 2相切，且与椭圆C 1交于P ，Q 两点.（1）求椭圆C 2的⽅程；（2）①若4OP OQ =?，求k 的值；②求PQ 弦长最⼤时k 的值.【答案】（1）22163x y +=；（2）①3±322. 【解析】【分析】（1）分别求出C 1的左焦点与上下顶点的坐标，可得椭圆C 2的a b 、的值，可得椭圆C 2的⽅程；（2）①设直线l 的⽅程为y kx m =+与椭圆C 2联⽴，由直线l 与椭圆2C 相切，可得0?=，可得k m 与的关系，同时直线l 与椭圆C 1的⽅程联⽴，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由韦达定理结合4OP OQ =?，即12124x x y y +=，代⼊可得k 的值；②由①知222121212()()1PQ x x y y k x =-+-+-，可得PQ 关于k 的函数，化简利⽤基本不等式可得PQ 弦长最⼤时k 的值.【详解】解：（1）由题意可知，椭圆C 1的左焦点(60)F ，上下顶点(0,A ，(0,B ，所以椭圆C 2的左顶点为(0)F ，上下顶点A ，(0,B ，所以a =b =所以椭圆C 2的⽅程为22163x y +=.（2）设直线l 的⽅程为y kx m =+与椭圆C 2：22163x y+=⽅程联⽴，消去y 得，()222124260k xkmx m +++-=，因为直线l 与椭圆2C 相切，所以()()2222216412260k m k m ?=-+-=，整理得，22630k m +-=，直线l 与椭圆C 1的⽅程联⽴得，()222136390k x kmx m +++-=，其中()()22222136********k m k m k ?=-+-=>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则22121222263918,131313km m k x x x x k k k -+=-==+++. ①因为4OP OQ =?，所以12124x x y y +=，即12121212()()x x y y x x kx m kx m +=+++ 221212(1)()k x x km x x m =++++222222218(1)61313k k k m m k k+=-+++ 22153413k k+==+，所以k =.②由①知12PQ x =-==，设2131k t +=>，则PQ ==. 所以当1k =±时，PQ 的长最⼤，最⼤值为2. 【点睛】本题主要考察椭圆的标准⽅程，直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆的基本性质，联⽴直线与椭圆⽅程组求解，属于难题.19.已知函数22()2x ef x x mx=++，其中0m ≤（1）当0m =时，求()f x 在0x =处的切线⽅程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若存在12,x x (12x x ≠)，使得12()()0f x f x ''==，证明：12()()1f x f x ?>.【答案】（1）10x y -+=；（2）当02m ≤≤时，()f x 的递增区间是(,)-∞+∞，⽆递减区间；当2m <<()f x 的递增区间是(-∞和)+∞，递减区间是；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）对()f x 求导，可得(0)f 与(0)f '的值，可得()f x 在0x =处的切线⽅程；（2）令()0f x '=，可得2(2)(2)0x m x m +-+-=，对其分0?≤，>0?进⾏讨论，可得m 的取值范围及()f x 的单调区间；（3）由（2）知，2m <<12122x x x x m +==-，可得12()()f x f x ?关于m的函数，对其求导可得其单调性，可得证明.【详解】解：因为0m ≤<220x mx ++>对R x ∈恒成⽴，所以()f x 定义域为R ，且()2222(2)(2)()2x e x m x m f x x mx ??+-+-??'=++，（1）当0m =时，(0)1f =，()()222222()2xe x xf x x -+'=+，所以(0)1f'=，所以()f x 在0x =处的切线⽅程为：10x y -+=.（2）令()0f x '=得，2(2)(2)0x m x m +-+-=，（※）①当2(2)4(2)(2)(2)0m m m m ?=---=+-≤，即22m -≤≤时，⼜0m ≤<，所以02m ≤≤时，()0f x '≥，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②当>0?，解得2m <-或2m >，⼜0m ≤<2m <<由⽅程（※）解得，1x =，2x =，当12(,)(,)x x x ∈-∞?+∞时，()0f x '>，()f x 的递增区间是12(,),(,)x x -∞+∞；当12(,)x x x ∈时，()0f x '<，()f x 的递减区间是12(,)x x .综上，当02m ≤≤时，()f x 的递增区间是(,)-∞+∞，⽆递减区间；当2m <<()f x 的递增区间是(-∞和)+∞，递减区间是.（3）由（2）知，2m <<12122x x x x m +==-，所以121222112222()()22x x e e f x f x x mx x mx ?=?++++，因为2(2)2i i x m x m =-+-，1,2i =，代⼊上式得12121222()()22x x e e f x f x x m x m ?=?++12124(2)(2)x x e x m x m +=++1221212442()x x e x x m x x m +=+++2222448(8)m m e e m e m -==--，令224()(8)x e g x e x =-，2x <<则()()22222224e (28)4e (4)(2)()0e 8e 8xxx x x x g x xx+-+-'==>--，所以()g x 在(2,上单调递增，所以()(2)1g x g >=，即证得12()()1f x f x ?>.【点睛】本题主要考查导数的⼏何意义，及利⽤导数求函数的极值、单调性及证明不等式，属于难题.20.已知数列{}n a 和2n a n都是等差数列，11a =.数列{}n b 满⾜11122n n i n i i a b n ++-==--∑.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：{}n b 是等⽐数列；（3）是否存在⾸项为1，公⽐为q 的等⽐数列{}n c ，使得对任意,2n n ∈≥*N ，都有1n n n a c b -≤≤成⽴？若存在，求出q 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析；（3）存在，. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，可得1(1)(1)n a n d dn d =+-=+-，N n *∈，由2na n是等差数列，可得222321,,23a a a 成等差数列，可得222321223a a a ?=+，求出d 的值，可得{}n a 的通项公式；（2）将11122nn i n i i a b n ++-==--∑展开，可得11212(1)22n n n b b n b nb n +-+++-+=--，将1n +代⼊此式⼦相减，可得112121n n n b b b b ++++++=-，再将1n +代⼊此式⼦相减，可得122n n b ++=，此时3n ≥，验证1,2n n ==时也满⾜可得{}n b 是等⽐数列；（3）设存在1n n c q -=对任意,2n n *∈≥N ，都有1n n n a c b -≤≤恒成⽴，即1112n n n q ---≤≤，,2n n *∈≥N ，易得1q >，由由11n n q --≤得，ln(1)ln 1n q n -≥-，可得设ln (),1x f x x x =≥，对其求导，可得其最⼩值，可得q 的取值范围.【详解】解：（1）因为数列{}n a 是等差数列，设{}n a 的公差为d ，则1(1)(1)n a n d dn d =+-=+-，N n *∈，因为2n a n是等差数列，所以222321,,23a a a 成等差数列，即222321223a a a ?=+，221(1)1(12)3d d +=++，解得1d =，当1d =时，n a n =，此时22n a n n n n==是等差数列.故n a n =.（2）由11122nn i n i i a b n ++-==--∑，即11212(1)22n n n b b n b nb n +-+++-+=--，①所以21212(1)23n n n b b nb n b n +++++++=--，②②-①得，112121n n n b b b b ++++++=-，③所以，2212121n n n b b b b +++++ ++=-，④④-③得，122n n b ++=，即3n ≥时，12n nb -=，在①中分别令12n =，得，121,2b b ==，也适合上式，所以12n n b -=，N n *∈，因为12n nb b +=是常数，所以{}n b 是等⽐数列. （3）设存在1n n c q -=对任意,2n n *∈≥N ，都有1n n n a c b -≤≤恒成⽴，即1112n n n q ---≤≤，,2n n *∈≥N ，显然1q >，由112n n q --≤可知，12q <≤，由11n n q --≤得，ln(1)ln 1n q n -≥-，,2n n *∈≥N . 设ln (),1x f x x x=≥，因为21ln ()xf x x -'=，所以当(1,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 递增；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 递减. 因为ln 2ln 3(2)(3)23f f =<=，所以ln 3 ln 3q ≥，解得q ≥综上可得，存在等⽐数列{}n c ，使得对任意,2n n *∈≥N ，都有1n n n a c b -≤≤恒成⽴，其中公⽐q的取值范围是.【点睛】本题主要等差数列的基本性质、递推法求数列的通项公式，及数列与导数的综合，综合性⼤，属于难题.选做题选修4—2：矩阵与变换21.已知矩阵00a M b ??=的⼀个特征值λ=2，其对应的⼀个特征向量是11α??=.求矩阵M 的另⼀个特征值以及它的逆矩阵.【答案】2-，102102. 【解析】【分析】将特征值于特征向量代⼊，可得关于b a 、⽅程，可得b a 、的值，求出矩阵M ,可求出其另⼀个特征值，可得其逆矩阵.【详解】解：由题意，λ＝2是矩阵M 的⼀个特征值，所以2M αα=，所以0112011a b=，所以2a b ==，由⽅程22()402f λλλλ-==-=-.所以2λ=或2λ=-，所以M 的另⼀个特征值－2. ⼜因为02240-?=-≠，所以矩阵M 的逆矩阵为1102102M -=?. 【点睛】本题主要考查矩阵与逆矩阵的相关知识，属于矩阵的特征值与特征向量的相关知识并灵活运⽤是解题的关键. 选修4—4：极坐标与参数⽅程22.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线l的参数⽅程为112x y t ?=+=，(t 为参数)，以坐标原点为。
【解析】江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题
江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学试卷（测试内容：三角、平面向量、复数）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.若复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为________.【答案】－1【分析】利用复数的运算法则求出，根据虚部的概念即可得出．【详解】，∴的虚部为，故答案为.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知点P(tan α，c os α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【答案】二【分析】由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．【详解】因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为二．点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号．3.设向量 =（1,0）， =（−1,m）,若，则m=_________.【答案】-1.【分析】根据坐标表示出，再根据，得坐标关系，解方程即可.【详解】，，由得：，，即.【点睛】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①；②.4.已知复数z满足（是虚数单位），则=________.【答案】【分析】利用复数的运算法则求出，根据模长的概念即可得出结果．【详解】复数z满足（为虚数单位），∴，则，故答案为.【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.化简：________.【答案】1【分析】逆用两角和的正切公式：即可求得答案．【详解】∵，∴，∴．故答案为1.【点睛】本题考查两角和的正切函数公式的在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，逆用公式是关键，属于中档题．6.若，则 __________.【答案】【分析】先利用同角三角函数的基本关系把1换成，，分子分母同时除以，最后把的值代入即可求得答案．【详解】即答案为.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．7.在锐角△ABC中，，．若△ABC的面积为，则的长是____．【答案】由题可知：，又为锐角三角形，所以，由余弦定理8.已知，且．则的值为_____.【答案】【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求和，根据诱导公式化简所求后即可代入求值．【详解】∵，且，∴，，∴，故答案.【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及诱导公式的应用，三角函数齐次式值的求法，属于基础题.9.已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于____.【答案】 【分析】 先根据函数在区间上的最小值是确定的取值范围，求出的范围得到答案． 【详解】函数在区间上的最小值是，而的取值范围是，当，时，函数有最小值，∴，且，，∴，，，∵，∴的最小值等于， 故答案为．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力，属于中档题.10.设为锐角，若，则的值为_______.【答案】【分析】由条件求得的值，利用二倍角公式求得和的值，再根据，利用两角差的正弦公式计算求得结果．【详解】∵为锐角，，∴，∴，．故，故答案为.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．11.已知函数．若函数的图象关于直线x＝2π对称，且在区间上是单调函数，则ω的取值集合为______.【答案】是一条对称轴，，得，又在区间上单调，，得，且，得，，集合表示为。
启东中学2020届高三年级5月模拟试卷物理试题含答案
启东中学2020届高三年级5月模拟试卷理综物理14．下列说法正确的是（ ）A ．查德威克发现中子的核反应是：941214260Be+He C+n →B ．机场、车站和重要活动场所的安检门可以探测人随身携带的金属物品，是利用静电感应的工作原理工作的C ．考古专家发现某一骸骨中146C 的含量为活着的生物体中146C 的14，已知146C 的半衰期为5 730年，则确定该生物死亡时距今约22920年D ．根据t x v ∆∆=，当∆t 非常小时，tx ∆∆就可以表示物体在t 时刻的瞬时速度，这应用了类比法15．2020年2月2日，在7000多人10天10夜的鏖战下湖北省首个“小汤山模式”医院—武汉蔡旬火神山医院成功交付。
下图是火神山医院的施工现场，几十台吊车正如火如荼的运行。
如图所示，一台吊车用互成角度的绳子吊起货物，两段绳子与水平方向的夹角均为600。
绳的质量不计，且绳子能承受的最大拉力为N 3700，已知货物质量为200kg ，重力加速度g 取10m/s 2。
要使绳子不被拉断，则货物上升的最大加速度为（ ）A ．0.2 m/s 2B ．0.4m/s 2C ．0.5 m/s 2D ．1m/s 216．有a 、 b 、c 、d 四颗地球卫星：a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b 处于离地很近的近地圆轨道上正常运动；c 是地球同步卫星；d 是高空探测卫星。
各卫星排列位置如图，则有（ ）A ．a 的向心加速度等于重力加速度g600B ．b 在相同时间内转过的弧长最长C ．d 的运动周期有可能是20 hD ．把a 直接发射到b 运行的轨道上，其发射速度大于第一宇宙速度17．如图，质量为m 的一辆小汽车从水平地面AC 上的A 点以速度0v 沿斜坡行驶到B 点刚好减速至0．B 距水平地面高h ，以水平地面为零势能面，重力加速度为g. 小汽车从A 点运动到B 点的过程中(空气阻力忽略不计)，下列说法正确的是（ ）A ．合外力做功为2021mvB ．合外力做功为mghC ．小汽车的机械能一定增加D ．牵引力做功大于2021mv mgh 18．如图所示，带正电的物体A 带电量q =0.01C ，质量为2kg ，物体B 不带电，质量为1kg 。
江苏省启东市2020届高三下学期期初考试数学试题含附加题(含解析)
的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修 4-2：矩阵与变换] 21．（10 分）已知矩阵������ = [0������ ���0���]的一个特征值 λ＝2，其对应的一个特征向量是������ = [11]．求矩阵 M 的另一
2
18．（16
分）已知椭圆������1：
������2 9
+
������2 3
=
1，椭圆������2：
������2 ������2
+
������2 ������2
=
1(������＞������＞0)经过椭圆
C1 的左焦点
F
和上下顶点
A，B．设斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C2 相切，且与椭圆 C1 交于 P，Q 两点．
．
10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 两点在圆 x2+y2＝1 上，若直线������ + ������ − √6 = 0上存在点 C，使△
ABC 是边长为 1 的等边三角形，则点 C 的横坐标是
．
11．设
m
为实数，若函数
f（x）＝x2﹣mx﹣2
在区间（﹣∞，2）上是减函数，对任意的
x1，x2∈[1，
璃，则恰好选中 2 名男生的概率为
．
7．已知抛物线 y2＝8x 的焦点恰好是双曲线������2 − ������2 = 1(������＞0)的右焦点，则该双曲线的离心率为
．
������ 2
8．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝6，S6＝﹣8，则 S9＝
．
9．已知 α 是第二象限角，且������������������������ = √55，tan（α+β）＝﹣2，则 tanβ＝
2020届江苏省南通市启东中学高三下学期高考预测卷(一)数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市启东中学高三下学期高考预测卷（一）数学试题一、填空题1．命题“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是_______. 【答案】x ∀∈R ，212x x +≥【解析】原命题为特称命题，其否定为全称命题. 【详解】“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是x ∀∈R ，212x x +≥ 故答案为：x ∀∈R ，212x x +≥ 【点睛】本题考查对特称命题进行否定. 对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．2．复数41i 2i 1i z -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭的共轭复数z =__________． 【答案】12i -【解析】由题意得，41i 2i 1i z -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭12i =+ ，则12z i =-3．根据如图所示伪代码，最后输出的i 的值为______．【答案】7【解析】按照伪代码运行程序，直到满足10S ≥时输出i 即可. 【详解】按照伪代码运行程序，输入1S =，1i =，则112S =+=，123i =+=，不满足10S ≥，循环；235S =+=，325i =+=，不满足10S ≥，循环；5510S =+=，527i =+=，满足10S ≥，输出7i =.故答案为：7. 【点睛】本题考查根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.4．“中国式过马路”的大意是凑够一撮人即可走，跟红绿灯无关.部分法律专家的观点为“交通规则的制定目的就在于服务城市管理，方便行人，而‘中国式过马路’是对我国法治化进程的严重阻碍，反应了国人规则意识的淡薄.”某新闻媒体对此观点进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“中立”和“不支持”态度的人数如表所示：支持中立不支持 20岁以下70045020020岁及以上 200150300在所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取100人，则持“支持”态度的人中20岁及以上的有_________人 【答案】10【解析】参与调查人数共2000人，抽取100人，抽样比为1001200020=，据此按分层抽样即可求出结果. 【详解】因为参与调查人数共2000人，抽取100人， 所以抽样比为1001200020= 根据分层抽样知，在持“支持”态度的人中20岁及以上的有12001020⨯=人， 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了分层抽样，数据处理实际问题，属于容易题.5．已知x ，y 满足约束条件20x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则+2+1y z x =的取值范围为______.【答案】2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义求得范围． 【详解】根据约束条件作出可行域如下图所示：，由2x y x y =⎧⎨+=⎩得点()11A ，，由20x y y +=⎧⎨=⎩得()20B ，，由0x yy =⎧⎨=⎩得()00O ，， +2+1y z x =的几何表示可行域内的动点与定点()12P ，--的连线的斜率， 所以202022,10123OP PB k k ----====----， 所以+2+1y z x =的取值范围为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查一元一次不等式组表示的可行域，求非线性之斜率型目标函数的最值，属于中档题．6．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝_______.【答案】2【解析】利用二倍角公式化简已知条件，并转化为只含tan α的表达式，由此求得tan α的值，进而求得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=，化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得，23tan 2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯. 故答案为：2 【点睛】本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基础题.7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点,E F 分别为,PA PD 的中点，则平面BCFE 将四棱锥P ABCD -所分成的上下两部分的体积的比值为______．【答案】35【解析】先连接,FA FB ，则下面部分几何体的体积为58F ABCD B AEF V V V --+=，上面部分几何体的体积为5388V V V -=，然后运算即可得解. 【详解】解：设四棱锥P ABCD -的体积为V ， 连接,FA FB ，则下面部分几何体的体积为F ABCD B AEF V V --+， 其中12F ABCD V V -=，B AEF V -=11112448B APF B ADP P ABD V V V V ---===， 所以58F ABCD B AEF V V V --+=，则上面部分几何体的体积为5388V V V -=，故平面BCFE 将四棱锥P ABCD -所分成的上下两部分的体积的比值为35， 故答案为：35．【点睛】本题考查空间几何体的体积．重点考查了利用体积分割的方法求解，属中档题． 8．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著.其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈.已知直三棱柱111A B C ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，153AA =，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为______. 【答案】33:50π【解析】根据题意，先确定阳马，鳖膈几何体的结构特征，再分别求得鳖膈的体积与其外接球的体积即可. 【详解】 如图所示：阳马为四棱锥 C 1A 1B 1AB ，鳖膈为三棱锥C 1-ABC ， 因为AB BC ⊥，3AB =，4BC =，153AA = 所以鳖膈的体积为1111134531033232V AB BC CC =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 其外接球的半径为：()22111553522R AC ==+=，体积为：34500533ππ⨯=， 鳖膈的体积与其外接球的体积之比为：50010333503ππ=， 故答案为：3350π 【点睛】本题主要考查棱柱的结构特征以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.9．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-+.当01x <≤时，2020()log f x x =-，则1()(2019)(2020)2020f f f ++=__________. 【答案】1【解析】由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =，再结合(1)(1)f x f x +=-+可得()f x 的周期为4，然后利用函数的性质将自变量化简到(0,1]上进行求解 【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，且(0)0f =.又因为(1)(1)f x f x +=-+，所以(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-， 可得(4)()f x f x +=，所以奇函数()f x 的周期为4， 所以202011()(2019)(2020)log (1)(0)20202020f f f f f ++=-+-+ 20201(1)(0)1log 101f f =-+=++=.故答案为：1. 【点睛】此题考查函数的奇偶性、周期性，考查运算能力，属于中档题10．1T 是一个边长为1的正三角形，2T 是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形，依次类推1n T +是对n T 中所含有的所有正三角形都去掉中间一份（如图），记n S 为n T 的面积，12n n Q S S S =++⋅⋅⋅+，则n Q =________33(1())4n-【解析】由图结合归纳推理可得数列{}n S 3为首项，34为公比的等比数列，然后结合等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】解：由图可知，后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的三倍， 即第n 个图形中剩下的三角形个数为13n -，又后一个图形中剩下的三角形的边长是前一个的12倍， 所以第n 个图形中剩下的每一个三角形的边长为11()2n -11()4n -， 即n S=13)4n -， 即数列{}n S34为公比的等比数列，则1214n n Q S S S =++⋅⋅⋅+==-3())4n -，3())4n-.【点睛】本题考查了等比数列的综合应用，重点考查了归纳推理，属中档题.11．已知A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且以AB 为直径的圆过F ，当6ABF π∠=，该椭圆的离心率是_______.1【解析】根据题意，由圆的圆周角的性质得出90AFB ∠=，且2AB c =，由于6ABF π∠=，则AF c =，BF =，利用椭圆的定义得2AF BF a +=，即可得出a 和c 的关系，从而可求出椭圆的离心率.【详解】解：由题意知，以AB 为直径的圆过F ，点F 为椭圆的右焦点， 则90AFB ∠=，且2AB c =， 又6ABF π∠=，则AF c =，BF =，设椭圆的左焦点为E ，由椭圆的对称性可得AE BF =由椭圆的定义得2AF BF AE AF a +=+=，则2c a +=，即：1==c a ，所以31e =-. 故答案为：31-.【点睛】本题考查椭圆的离心率和简单几何性质，以及椭圆定义的应用和圆的性质的应用. 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:24C x y -+=，点A 是直线20x y -+=上的一个动点，直线,AP AQ 分别切圆C 于,P Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为______．【答案】)22,4⎡⎣【解析】设AC x =，利用点到直线距离公式可知22x ≥，将PQ 长表示为关于x 的函数，求得函数值域即为所求范围. 【详解】由圆的方程知：圆心()2,0C ，半径2r ，设AC x =，则20222x -+≥=,AP AQ 为圆C 的切线，CP AP ∴⊥，CQ AQ ⊥，2224AP AQ AC r x ∴=-=-AC 是PQ 的垂直平分线，22444241AP PC x PQ AC x⋅-∴=⨯==-，22x ≥214112x∴≤-<，224PQ ∴≤<，即线段PQ 长的取值范围为)22,4⎡⎣.故答案为：)22,4⎡⎣. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到圆的切线的性质；解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用函数求值域的方法求得结果.13．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．【答案】0 【解析】【详解】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+． 由PQ 与MN 共线，所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=．答案：0 点睛：（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到1()2MN DC AB =+是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈，再根据向量的数量积运算求解．（2）也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++两式相加得到1()2MN DC AB =+．14．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________ 【答案】1.4【解析】根据等式两边范围确定,x y 满足条件，再根据二次函数性质求xy 的最小值. 【详解】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+()1121x y x y ∴-++≥=-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.4【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、解答题15．如图，矩形ACMN 所在平面与菱形ABCD 所在平面互相垂直，交线为AC ，ACBD O =，E 是MN 的中点.（1）求证：//CE 平面NBD ；（2）若点F 在线段CM 上，且OF NO ⊥，求证：NO ⊥平面FBD . 【答案】（1）见详解；（2）见详解【解析】（1）证出四边形OCEN 是平行四边形，进而得到//ON CE ，利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）证出ND NB =，又O 是BD 中点，可得NO BD ⊥，又已知OF NO ⊥，借助线面垂直的判定定理，即可得证. 【详解】（1）连接ON ，OF ，如图，ABCD 是菱形，∴O 是AC 的中点，又E 是矩形ACMN 的边MN 的中点，//EN CO ∴且EN CO =，∴四边形OCEN 是平行四边形，//ON CE ∴，又ON ⊂平面NBD ，CE ⊄平面NBD ， //CE ∴平面NBD .（2）平面ACMN ⊥平面ABCD ，且平面ACMN ⋂平面ABCD AC =， 又NA ⊂平面ACMN ，且NA AC ⊥，NA ∴⊥平面ABCD ，NA AD ∴⊥，NA AB ⊥，由勾股定理知：2222,ND NA AD NB NA AB =+=+，ND NB ∴=，又O 是BD 中点， NO BD ∴⊥，又OF NO ⊥且OFBD O =，NO ∴⊥平面FBD .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.16．如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转π3得1OP ，1OP 逆时针旋转π3得2OP ，…，1n OP -逆时针旋转π3得n OP ．（1）若0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求点1P 的横坐标；（2）若点2020P 的横坐标为45，求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（12）2425- 【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cos α、sin α的值，再利用两角和的余弦公式即可求解；（2）根据得2020P 的横坐标4cos(2020)35πα+⨯=的值，化简得π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用同角三角函数关系和二倍角公式可求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【详解】（1）因为点034,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，根据三角函数的定义可得4sin 5α，3cos 5α=根据题意可知点1P 的横坐标为πππ3143cos cos cos sin sin 333525210ααα-⎛⎫+=-=⨯-⨯=⎪⎝⎭ （2）根据题意可知点2020P 的横坐标为2020π4π4cos cos 335αα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以2πππ24sin 22sin cos 33325ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式、诱导公式、两角和的余弦公式，属于中档题．17．我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多.某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角πAOB 3∠=，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证(如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内)在圆弧的两端点A ，B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里．()1求海域ABCD 的面积；()2现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点19.判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由． 【答案】（1）2200π(3平方海里)； （2）这艘不明船只没进入了海域ABCD ．. 【解析】()1利用扇环的面积公式求出海域ABCD 的面积；()2由题意建立平面直角坐标系，利用坐标求出点P 的位置，判断点P 是否在海域ABCD 内． 【详解】()π1AOB 3∠=，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD ，AB 100=AD BC 20∴==，OA OB AB 100===， OD OA AD 10020120∴=+=+=， ()()2222ABCDπ12200π3S πOD OA π120100(2π63∴=⋅-=-=平方海里)，()2由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P 在圆B 上，即22(x 100)y 7600-+=⋯①， 点P 也在圆A 上，即22(x 50)(y 503)1600-+-=⋯②； 由①②组成方程组，解得30303x y =⎧⎪⎨=⎪⎩903x y =⎧⎪⎨=⎪⎩又区域ABCD 内的点满足22x y 1000022x y 14400+≥⎧⎪+≤⎨⎪⎩，由2230(303)360010000+=<，∴点()30,303不在区域ABCD 内，由2290(503)1560014400+=>，∴点()90,503也不在区域ABCD 内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD ．【点睛】本题考查了圆的方程模型应用问题，是中档题．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>.（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为32，求椭圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围；（3）如图，过原点O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于P ，Q ，R ，S 四点，设原点O 到四边形PQRS 一边的距离为d ，试求1d =时a ，b 满足的条件.【答案】（1）2214x y +=；（2）32,,2⎛⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）22111a b +=. 【解析】（1）由题意可得22224a c e a abc =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得即可；（2）直线l 的方程为2y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．与椭圆方程联立，由△0>，解得k 的取值范围．可得根与系数的关系．若AOB ∠为锐角，则0OA OB >，把根与系数的关系代入又得到k 的取值范围，取其交集即可．（3）当P 在y 轴上，Q 在x 轴上时，直线PQ 的方程为1x y a b+=，由1d =得22111a b +=；当P 不在y 轴上时，设直线PS 的斜率为k ，()11,P x kx ，则直线RQ 的斜率为1k-，221,Q x x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用面积公式，即可得答案；【详解】解：（1）由题意可得222242a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b ==，，所以椭圆的标准方程为2214x y += （2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线l ：2y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()221416120kx kx +++=. ∵2OP OQ ⋅=-，∴,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）又1221614k x x k-+=+，1221214x x k =+ 由0900AOB OA OB ︒<∠<︒⇔⋅>，∴12120OA OB x x y y ⋅=+> 所以()()()()212121212121222124OA OB x x y y x x kx kx k x x k x x ⋅=+=+++=++++∴22k -<<（2），综上由（1）（2）得2,22k ⎛⎛⎫∈--⋃⎪⎝⎭⎝⎭. （3）由椭圆的对称性可知PQSR 是菱形，原点O 到各边的距离相等.当P 在y 轴上，Q 在x 轴上时，直线PQ 的方程为1x y a b+=，由1d =得22111a b +=，当P 不在y 轴上时，设直线PS 的斜率为k ，()11,P x kx ，则直线RQ 的斜率为1k-，221,Q x x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭由22221y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222111k x a b =+（1），同理22222111x a k b =+（2） 在Rt OPQ △中，由1122d PQ OP OQ ⋅=⋅，即222PQ OP OQ =⋅ 所以()()22222222121112x x x x kx x kx x k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤-++=+⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 化简得22222211k k x x +=+，222222221111k k k ak b a b ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，即22111a b +=.综上，1d =时a ，b 满足条件22111a b+=. 【点睛】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、直线的点斜式、分类讨论思想方法等是解题的关键． 19．已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e=的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式； （2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围.【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e= 可知()a f x x '=，1y x e'=， 两图象在点(),P s t 处有相同的切线， 所以两个函数切线的斜率相等，即1as e s⨯=，化简得s = 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =，综合上述两式可解得1a =， 所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+，()()22221m x x mx x g x x-+=-='+， 因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根， 由根与系数的关系知121x x =+，122mx x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<，()()2222111ln g x x m x x x -+=， 将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-，令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得t =当12t ⎛∈⎝时，()0h t '<，()h t在12⎛ ⎝单调递减；当t ⎫∈⎪⎭时，()0h t '>，()h t在⎫⎪⎭单调递增； 所以()min 11h t h ===， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭， 即()21g x x的取值范围是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.20．设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零等差数列，满足2369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()*n N ∈的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等差数列，（i ）求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++； （ii ）是否存在正整数,m n ，使12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()1*11,23n n n a n b n N -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭（2）13144323n n n n T -=--⋅⋅（i ）（ii ）(9,2)及(3,3).【解析】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，将已知条件用1,a d 表示，解方程组，即可求出n a ；令1111,,2,n n n n b S n b S S -==≥=-，得出{}n b 为等比数列，即可求出通项； （2）（i ）由题意121,,,,,n n n nn n b x x x b +成等差数列，求出nk x 的通项公式，进而求出1,3nnk n n k n x T ==∑就为数列{}3n n的前n 项和，利用错位相减法即可求解； （ii ）根据已知得出,m n 的函数关系，利用**,m N n N ∈∈，结合函数值的变化，即可求解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0 则由条件369a a a +=，可得()()111258a d a d a d +++=+，1a d ∴=，又由25796a a a +=，可得()()()21114668a d a d a d +++=+， 将1a d =代入上式得254954d d d +=，24949d d ∴=01n d d a n ≠∴=∴=由423n n S b += ①当2n ≥时，11423n n S b --+= ②①-②得：14220n n n b b b -+-=11(2)3n n b b n -∴=≥又111142302b b b +=∴=≠ {}n b ∴是首项为12，公比为13的等比数列，故()1*1123n n b n N -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()1*11,23n n n a n b n N -⎛⎫∴==∈ ⎪⎝⎭（2）①在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,,n n nn x x x ，因为121,,,,,n n n nn n b x x x b +成等差数列，设公差为n d则11111112323(2)113(1)nn n n n n b b d n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-+-++， 则111233(1)n nk n n nkx b kd n -⎛⎫=+=-⎪+⎝⎭， 11111(1)233(1)23n nnk nn k n n nx n n -=+⎛⎫∴=⋅-⋅= ⎪+⎝⎭∑， 11212212211333n n n nn n nT x x x x x x ∴=+++++++=+++ ① 则231111133333n n n n n T +-=++⋯++ ② ①-②得：2111111332111111133333323313nn n n n nn n n n T +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++-=-=--⎪⎝⎭-， 13144323n n n n T -∴=--⋅⋅ ②若12m n ma T a +=，因为n a n =，所以m a m =， 则13111144323222n n n m m m -+--==+⋅⋅， 1111443232n n n m---=⋅⋅，从而3321432n n n m--=⋅， 故()23234623462323323323n n n n n n n n m n n n --++⋅+===+------， 当1n =时，*10232m N =+=-∉-， 当2n =时，*14292m N =+=∈， 当3n =时，*213m N =+=∈，下证4(*)n n N ≥∈时，有32346n n n -->+， 即证3690n n -->， 设()369(4)xf x x x =--≥，则4()3ln 3636360xxf x '=->-≥->，()f x ∴在[4,)+∞上单调递增，故4n ≥时，43693649480n n -->-⨯-=>即4601323n n n +<<--，从而4n ≥时，m 不是整数故所求的所有整数对为(9,2)及(3,3). 【点睛】本题考查等差数列的通项基本运算和前n 项和，考查由前n 项求等比数列的通项，考查错位相减法求前n 项和，以及不定方程的求解，考查计算、推理能力，属于较难题. 21．已知二阶矩阵M 有特征值14λ=及属于特征值4的一个特征向量123e ⎛⎫= ⎪⎝⎭并有特征值21λ=-及属于特征值1-的一个特征向量211e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，11α-⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求矩阵M ； （2）求5M α.【答案】（1）1232M ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）511α-⎛⎫= ⎪⎝⎭M . 【解析】（1）利用矩阵的运算法则进行求解；（2）利用矩阵的乘法法则进行求解．【详解】 （1）设a b M c d ⎛⎫=⎪⎝⎭， 则22843312a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴2382312a b c d +=⎧⎨+=⎩①又()1111111a b c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴11a b c d -=-⎧⎨-=⎩② 由①②可得1a =，2b =，3c =，2d =，∴1232M ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）易知()210131α⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，∴()65111M αα-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查矩阵的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，0απ≤≤）.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线l 的极坐标方程是6πθ=.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求OA OB ⋅的值. 【答案】（1）24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭；（2）1 【解析】（1）先将曲线C 的参数方程通过消去参数α得出其普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）设1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立射线l 与曲线C 的极坐标方程，得出121ρρ=，根据极坐标的定义即可求解OA OB ⋅的值. 【详解】（1）消去参数α得()()22230x y y -+=≥，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得22(cos 2)(sin )3ρθρθ-+=，即24cos 10ρρθ-+=.所以曲线C 的极坐标方程为24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭.（2）将6πθ=代入24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭得210ρ-+=， 设1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则121ρρ=，于是121OA OB ρρ⋅==. 【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，以及对极坐标的定义的理解. 23．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征()MERS 和严重急性呼吸综合征()SARS 等较严重疾病. 而今年出现的新型冠状病毒()19COVID -是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株. 人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等. 在较严重病例中感染可导致肺奖、严重急性呼吸综合征、贤衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性. 根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为()01p p <<，现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下三种方案: 方案一：逐个化验；方案二：四个样本混在一起化验； 方案三: 平均分成两组化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”.（1）若14p =，求2个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率； （2）若14p =，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、 三中哪个最“优”?（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且“方案二”比“方案一”更“优”，求p 的取值范围.【答案】（1）716；（2）方案二最“优”，理由见解析；（3）0,12⎛- ⎝⎭. 【解析】（1）可求得2个疑似病例均为阴性的概率，再利用对立事件的概率公式可求得事件“2个疑似病例样本混合化验结果为阳性”的概率；（2）分别计算出方案一、二、三中将该4例疑似病例样本进行化验所需次数的数学期望，比较三种方案中检测次数的期望值大小，可得出最“优”方案；（3）求出方案二的数学期望，可得出关于p 的不等式，进而可求得实数p 的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，2个疑似病例均为阴性的概率为2191416⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此，该混合样本呈阳性的概率为9711616-=； （2）方案一：逐个检验，检验次数为4；方案二：混合在一起检测，记检测次数为X ，则随机变量X 的可能取值为1、5，()4181114256P X ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，()8117551256256P X ==-=， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，方案二的期望为()811752391525625664E X =⨯+⨯=； 方案三：由（1）知，每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1，概率为916；若呈阳性则检测次数为3，概率为716. 设方案三的检测次数为随机变量Y ，则Y 的可能取值为2、4、6，()2981216256P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭，()129712641616256P Y C ==⋅⋅=，()2749616256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭. 所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：所以，方案三的期望为()8112649152462562562564E Y =⨯+⨯+⨯=. 比较可得()()4E X E Y <<，故选择方案二最“优”；（3）方案二：记检测次数为X ，则随机变量X 的可能取值为1、5，()()411P X p ==-，()()4511P X p ==--，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为()()()()4441511541E X p p p ⎡⎤=-+⨯--=--⎣⎦，由于“方案二”比“方案一”更“优”，则()()45414E X p =--<，可得()4114p ->，即()2112p ->，解得012p <<-，故当012p <<-时，方案二比方案一更“优”. 【点睛】本题考查事件概率的计算，同时也考查了利用数学期望进行决策，考查计算能力，属于中等题.24．如图，已知点P 是x 轴下方（不含x 轴）一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PD DA λ=，PE EB λ=，其中λ为常数，且D 、E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M ．（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点，过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点，求证：若1l 和2l 的斜率都存在，则1l 与2l 的交点N 在直线PM 上；（3）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值．【答案】（1）230x y -+=；（2）详见解析；（3）证明详见解析，定值为1+λλ． 【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，得到211230x x --=和222230x x --=，即得,A B 的坐标，即得弦AB 所在的直线方程；（2）先求出1:690l x y --=，2:210l x y ++=，再求出交点(1,3)N -，即得证；（3）先求出直线PM 的方程为0x x =，得到200(12)(1)M x y y λλλ+-+=，20Q y x =，即得线段PQ 与QM 的比. 【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PD DA =，3PE EB =，可得111323(,)44x y D +-+，221323(,)44x y E +-+， 由D 点在C 上可得：2112313()44y x -++=，化简得：211230x x --=，同理可得：222230x x --=，∵A 、B 两点不同，不妨设(3,9)A ，(1,1)B -， ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=．（2）由（1）可知，(3,9)A ，(1,1)B -，设11:9(3)l y k x -=-，与2:C y x =联立，并令0∆=，可得16k =，同理2l 的斜率22k =-，∴1:690l x y --=，2:210l x y ++=，解方程组得交点(1,3)N -，而直线PM 的方程为1x =，得证．（3）设00(,)P x y ，211(,)A x x ，222(,)B x x ，由PD DA λ=，得20101(,)11x x y x D λλλλ++++，代入2yx ，化简得：22101002(1)0x x x y x λλλ-++-=， 同理可得：22202002(1)0x x x y x λλλ-++-=，显然12x x ≠，∴1x 、2x 是方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=的两个不同的根，∴1202x x x +=，20012(1)y x x x λλ+-⋅=，∴1202M x x x x +==，即直线PM 的方程为0x x =， ∵2220012(12)(1)2M x y x x y λλλ+-++==，20Q y x =， ∴200(1)(1)M Q x y y y λλλ+-+-=，200Q P y y x y -=-，所以线段PQ 与QM 的比为200200(1)(1)1Q PM Q y y x y y x y y λλλλλ-==+-+--+∴线段PQ 与QM 的比为定值1λλ+．【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程的求法，考查抛物线的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.。
2025届江苏省启东中学高三压轴卷数学试卷含解析
2025届江苏省启东中学高三压轴卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( ) A ．22y x = B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x =3．已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．45B ．45-C ．45iD ．45-i 4．函数()xf x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．5．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π6．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．3B 3C ．1-D ．18．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1-D ．()()1,00,1-9．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨-⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<10．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个11．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（ ） ①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-； ②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数； ③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ； ④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1． A ．1B ．2C ．3D ．412．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=（ ）A ．18-B ．63-C ．18D ．63二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通巿启东中学2020届高三冲刺模拟数学试卷含解析【含高考模拟卷15套】
江苏省南通巿启东中学2020届高三冲刺模拟数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB边上的中线的长为( ) A ．37B ．34C ．32或37D ．34或372．已知三个村庄A ，B ，C 构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC 内任取一点M 建一大型生活超市，则M 到A ，B ，C 的距离都不小于2千米的概率为A ．25B ．35 C ．115π-D ．15π3．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（=新工件的体积材料利用率原工件的体积）（ ）A ．89π B ．169π C ．34(21)- D ．312(21)-4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．85．若双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>上存在一点P 满足以OP 为边长的正方形的面积等于2ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．51,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．71,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ．7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ 6．已知59290129(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则7a =（ ）A ．9B ．36C ．84D ．2437．已知函数()()2101xx f x x e+=•，则函数()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知正四面体P ABC -的棱长为2，D 为PA 的中点，,E F 分别是线段AB ，PC （含端点）边上的动点，则DE DF +的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．2D ．229．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若222sin 2sin ,()6a C A a c b =+=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为（ ）A ．3B ．C ．12 D ．110．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的23，得到函数()()sin (0,0,)2g x A x A πωϕωϕ=+>><的图象.已知函数()g x 的部分图象如图所示，则函数()f x （ ）A ．最小正周期为23π，最大值为2 B ．最小正周期为π，图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．最小正周期为23π，图象关于直线6x π=对称 D ．最小正周期为π，在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减11．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．4B ．3C ．2D ．112．设双曲线C ：221(0)8x y m m-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线C 交于M ，N两点，其中M 在左支上，N 在右支上.若22F MN F NM ∠=∠，则MN =（ ）A ．82B ．8C ．42D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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启东中学2020届高三年级5月模拟试卷
数学试题（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．已知集合2 U {|4410}x x x =-+≥，{|20}B x x =-≥，则U C B =（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(,2]-∞
C ．12（,2)
D ．1122∞U (-,)（,2) 2．己知
32(,)a i b i a b R i -=+∈，其中i 为虚数单位，则复数z a bi =-在复平面内的对应点
在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3. 在正项等比数列{}n a 中，若4122=a a ，则
72a （）-=（ ） A ．－2 B ． 2 C ．4 D ．16
4．251(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭展开式中x 3的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20
5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著
《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输
入的b a ,分别为135，180，则输出的a ＝( )
A ．0
B ．5
C ．15
D ．45
6．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，直线9=x 与双曲线C 的两条渐近线的交点分别
为P ，Q ，O 为坐标原点．若OPQ ∆为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．2
B ．233
C ．34 D. 2
7．东京夏季奥运会推迟至2021年7月23日至8月8日举行，此次奥运会将设置4⨯100米男女
混泳接力赛这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员
参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完
成，且每名运动员都要出场。
若中国队确定了备战该项目的的4名运动员名单，其中女运动
员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳，剩下2名运动员四种泳
姿都可以承担，则中国队参赛的安排共有( )
A ．144种
B ．8种
C ．24种
D ．12种
8．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1玉石，AB =10cm ，AC =6cm ，BC =8cm ，AA 1=4cm ，
若将此玉石加工成一个球，则此球的最大表面积为（ ）cm 2.
A. 38π
B. π332
C. π16
D. π364
9．已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<
>>+=A x A x f 的部分图象如图 所示，若将函数)(x f 的图象向右平移
3π个单位，得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 的单调
递增区间为（ ）
A ．()3232,k k k 5π11π⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦
Z B ．()3434,k k k 5π11π⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦
Z C ．()2,233k k k π5π⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦
Z
D ．()4,433k k k π5π⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦
Z 10. 定义在R 上的奇函数)(x f 在∞（-，0）
上是增函数，若21log 5a f ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，2(log 4.1)b f =，
0.8(2)c f =，则,,a b c 的的大小关系为（ ）
A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．a b c << 11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，下列
说法中：
①PQ 可能与平面CDD 1C 1平行；②PQ 与BC 所成的角的最大值为3
π； ③CD 1与PQ 一定垂直； ④AB PQ 2≥.
⑤PQ 与DD 1所成的最大角的正切值为
25. 其中正确个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
12．已知P 是曲线x e y C =：1上任意一点，点Q 是曲线x x y C ln 2=
：上任意一点，则|PQ |的最小
值是（ ）
A ．22ln 1-
B ．22ln 1+
C ．2
D ．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量(2,3)a =r ，(3,)b m =r ，且0a b ⋅=r r ，则向量a r 在向量()a b -r r 上的投影
为 .
14．某省级示范校新校区计划今年九月招生，学校决定面向全国招聘优秀老师，其中数学科今年
计划招聘女教师a 名，男教师b 名．若b a ,满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧<≤-≥-，，
，
7252a b a b a 若设该校今年计划招聘
数学科教师最多z 名，则z ＝_________.
15．已知B A ,是抛物线x y 22=上的两个动点，O 为坐标原点且满足0=⋅，直线AB
与
x 轴交于点M ，当BM AM 2=时直线AB 斜率为 .
16．已知数列{}n a 满足n n a a a 44,411-
==+，且)2)(2()2)(2()(3221--+--=a a a a n f )2)(2()2)(2(143--++--++n n a a a a Λ，若对3≥∀n ）
（*∈N n ，都有m m n f 2)(2-≥
恒成立，则m 实数的最小值为 ．
三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个
试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，8,7==c a .
（1）若7
34sin =C ，求角A ； （2）若ABC ∆的面积为310，求ABC ∆周长.
18.（本小题满分12分）随着时代的发展和社会的进步，“农村淘宝”发展十分迅速，促进“农产品
进城”和“消费品下乡”，“农产品进城”很好地解决了农产品与市场的对接问题，使农民收入逐
步提高，生活水平得到改善，农村从事网店经营的人收入逐步提高.西凤脐橙是四川省南充市
的特产，因果实呈椭圆形、色泽橙红、果面光滑、无核、果肉脆嫩化渣、汁多味浓，深
受人
们的喜爱.为此小王开网店销售西凤脐橙，每月月初购进西凤脐橙，每售出1吨西凤脐橙获利
润800元，未售出的西凤脐橙，每1吨亏损500元．经
市场调研，根据以往的销售统计，得到一个月内西凤
脐橙市场的需求量的频率分布直方图如图所示．小王
为下一个月购进了100吨西凤脐橙，以x (单位：吨)
表示下一个月内市场的需求量，y (单位：元)表示下
一个月内经销西凤脐橙的销售利润．
（1）将y 表示为x 的函数；
（2）根据频率分布直方图估计小王的网店下一个月销售利润y 不少于67 000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频
率作为需求量取该区间中点值的概率，(例如：若需求量x ∈[80,90)，则取x ＝85，且x =85
的概率等于需求量落入[80,90)的频率)，求小王的网店下一个月销售利润y 的分布列和数学
期望.
19.（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB //DC ，∠ABC =90°，AB =2DC =2BC ，E 为AB 的中点，沿DE 将ΔADE 折起，使得点A 到点P 位置，且PE ⊥EB ，M 为PB 的中点， N 是BC 上的动点(与点B ，C 不重合).
（1）求证：平面EMN ⊥平面PBC ；
（2）是否存在点N ，使得二面角B —EN —M
的余弦值为6
6?若存在，确定N 点 位置；若不存在，说明理由.
20. （本小题满分12分）已知椭圆M ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点
P 2⎫⎪⎪⎭
. （1）求椭圆M 的方程；
（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC
面积的最大值.
21.(本小题满分12分)已知函数21()ln 2,2f x m x x x m R =+
-∈ （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）若函数()f x 有两个极值点
1212,()x x x x <且12()0f x ax -≥恒成立，求实
数a
的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，
已知曲线1=1:=x C y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
（t 为参数），在以坐标原点为极
点，
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程=4cos ρθ．
（1）写出曲线1C 极坐标方程和2C 的直角坐标方程；
（2）已知M （1, 1），曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点，试求点M 到弦AB 的中点的距离.
23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）
设函数f (x )＝|x ＋1|.
（1）求不等式f(x)≤5－f(x－3)的解集；
（2）已知关于x的不等式2f(x)＋|x＋a|≤x＋4在[－1，1]上有解，求实数a的取值范围．。