第1讲基本公式、直线的斜率与直线方程

第1讲 基本公式、直线的斜率与直线方程

【2013年高考会这样考】

1．考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；考查过两点的斜率公式． 2．求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等)． 3．直线常与圆锥曲线结合，属中高档题．

【复习指导】

1．本讲是解析几何的基础，复习时要掌握直线方程的几种形式及相互转化的关系，会根据已知条件求直线方程．

2．在本讲的复习中，注意熟练地画出图形，抓住图形的特征量，利用该特征量解决问题往往能达到事半功倍的效果．

基础梳理

1．数轴上的基本公式 (1)直线坐标系 一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．

(2)向量的有关概念

①位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．

②从点A 到点B 的向量，记作AB →.点A 叫做向量AB →的起点，点B 叫做向量AB →

的终点，

线段AB 的长叫做向量AB →的长度，记作|AB →

|.

③数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量． 2．平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点的距离公式

已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则d (A ，B )＝|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)中点公式

已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22

.

3．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角：①定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②倾斜角的范围为0°≤α<180°.

(2)直线的斜率：①定义：直线倾斜角α(当α≠90°时)的正切值叫直线的斜率．常用k 表示，k ＝tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．

②过两点的直线的斜率公式：给定两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)，则过这两点的直线的斜率k ＝y 2－y 1

x 2－x 1

(其中x 1≠x 2)．

4．直线方程的五种形式

名称

方程

适用范围

点斜式

y －y 1＝k (x －x 1) 不含垂直于x 轴的直线

斜截式 y ＝kx ＋b

不含垂直于x 轴的直线

续表 两点式

y －y 1y 2－y 1＝x －x 1

x 2－x 1 (x 1≠x 2，y 1≠y 2)

不含垂直于坐标轴的直线 截距式 x a ＋y b ＝1 (ab ≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直

线 一般式

Ax ＋By ＋C ＝0 (A ，B 不同时为零)

平面直角坐标系内的直线都适用

一条规律

直线的倾斜角与斜率的关系：

斜率k 是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k ＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率． 两种方法

求直线方程的方法：

(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程；

(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．

两个注意

(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．(2)在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．

双基自测

1．(人教B 版教材习题改编)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( )． A.23 B.32 C ．－23 D ．－32

解析 k ＝0－23－0

＝－23.

答案 C

2．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )． A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 解析 直线的斜率为：k ＝tan α＝3，又∵α∈[0，π)∴α＝60°. 答案 B

3．(2011·龙岩月考)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－3

4

.则直线l 的方程为( )．

A ．3x ＋4y －14＝0

B ．3x －4y ＋14＝0

C ．4x ＋3y －14＝0

D ．4x －3y ＋14＝0

解析 由y －5＝－3

4

(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.

答案 A

4．(2012·烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )． A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x ＋y ＋3＝0 D ．x －y ＋3＝0 解析 由两点式得：y －3

1－3＝x －0

2－0

，即x ＋y －3＝0.

答案 B 5．(2012·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析 ∵k AC ＝

5－36－4＝1，k AB ＝a －3

5－4

＝a －3. 由于A 、B 、C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.

答案 4

考向一 直线的倾斜角与斜率

【例1】►若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )．

A.⎣⎡⎭⎫π6，π3

B.⎝⎛⎭⎫π6，π2

C.⎝⎛⎭⎫π3，π2

D.⎣⎡⎦

⎤π3，π2 [审题视点] 确定直线l 过定点(0，－3)，结合图象求得．

解析 由题意，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫

π6，π2.

答案 B

求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直

角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y ＝tan α的单调性求k 的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．

【训练1】 (2012·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )．

A ．－1＜k ＜15

B ．k ＞1或k ＜1

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