高次幂取模
高精度取模
分析思路
456 mod 13 可以写成如下过程： 456=400+50+6 若不看 0 则为 4 , 5 , 6 三位数， 这样就把一个很多位数的数字分成了每位都是单 独的，在数组中也是这种形式。 我们首先从第一位开始,依次到末尾，如下： ((4%13*10+5)%13*10+6)%13 = 1 ① 这样做为什么可以呢？ (400%13+50%13+6%13)%13=1 ② 这样大家都比较明白，因为这是同余定理。
参考代码
long hmod(long a,long k,long m) { if(!k) return s[t[k]]; //边界处理 long i,ans=1,tmp=hmod(a,k-1,m); //进入下一层 for(i=0;i<10;i++) ans=ans*tmp%m; //10次方运算 return ans*s[t[k]]%m; //返回这一层的计算结果 }
（高精度幂） 单精度
Hale Waihona Puke 模单精度这个标题可能有点不好理解，举例如下： a b mod m ,这是不是快速幂取模的内容，不是， 要注意这里的 b 是高精度数，也就是说 b 有可能 上百位。但是思想也有快速幂取模中的分治。 那是否就是按照b/2/2…/2的那种形式呢？ 因为b为高精度，所以我们尽量避免程序中出现 关于高精度的除法，即使是除以单精度。
续上
为什么上面的两个式子是等价的？ 也许你已经发现①式中有几处*10，若将%13都 去除那么①的结果就是456。 这样一来相信那样做的道理就不用我来解释了。 大家思考一下便会理解其中的奥妙。 有了这样的等式高精度模单精度就不成问题了！
参考代码
读入及转换为整型数略。 long ans=0; for(i=1;i<=n;i++) ans=(ans*10+a[i])%m; a数组代表高精度数，m代表要模的单精度，ans 为最终的结果。
高次幂方程怎么解
高次幂方程怎么解
高次幂方程的解法一般比较复杂，没有一般的通解公式。
以下列举一些常见的解法：
1.因式分解法：如果高次幂方程能够因式分解，则可以将其转化为一组一次或低次幂方程，从而求得解。
2.换元法：有些高次幂方程可以通过一些特殊的代换或变换，转化为比较容易解决的一次或低次幂方程。
常见的代换包括三角函数代换、指数函数代换等。
3.数值法：有时候高次幂方程的解很难用代数方法求出来，可以使用数值法逼近其解。
常见的数值法包括牛顿迭代法、二分法、割线法等。
4.根号解法：一些高次幂方程可以通过根号解法转化为无理数方程，从而求解。
常见的根号解法包括拉格朗日等价形式法和积和变换法。
总之，高次幂方程的解法需要根据具体情况而定，有时候需要多种解法结合才能求出其解。
矩阵快速幂取模
矩阵快速幂取模参考博客1：据说，矩阵快速幂在递推式优化上相当神奇，⽽且效率很⾼。
两矩阵相乘，朴素算法的复杂度是O(N^3)。
如果求⼀次矩阵的M次幂，按朴素的写法就是O(N^3*M)。
既然是求幂，不免想到快速幂取模的算法，有快速幂取模的介绍，a^b %m 的复杂度可以降到O(logb)。
如果矩阵相乘是不是也可以实现O(N^3 * logM)的时间复杂度呢？答案是肯定的。
先定义矩阵数据结构： struct Mat {double mat[N][N];}; O(N^3)实现⼀次矩阵乘法Mat operator * (Mat a, Mat b) {Mat c;memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));int i, j, k;for(k = 0; k < n; ++k) {for(i = 0; i < n; ++i) {if(a.mat[i][k] <= 0) continue; //(针对ZOJ2853)剪枝，cpu运算乘法的效率并不是想像的那么理想（加法的运算效率⾼于乘法，⽐如Strassen矩阵乘法）for(j = 0; j < n; ++j) {if(b.mat[k][j] <= 0) continue; //剪枝c.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];}}}return c;} 下⾯介绍⼀种特殊的矩阵：单位矩阵很明显的可以推知，任何矩阵乘以单位矩阵，其值不改变。
有了前边的介绍，就可以实现矩阵的快速连乘了。
Mat operator ^ (Mat a, int k) {Mat c;int i, j;for(i = 0; i < n; ++i)for(j = 0; j < n; ++j)c.mat[i][j] = (i == j); //初始化为单位矩阵for(; k; k >>= 1) {if(k&1) c = c*a;a = a*a;}return c;} 举个例⼦: 求第n个Fibonacci数模M的值。
快速幂取模算法详解
快速幂取模算法详解转载https:///ltyqljhwcm/article/details/53043646 article>1.⼤数模幂运算的缺陷：快速幂取模算法的引⼊是从⼤数的⼩数取模的朴素算法的局限性所提出的，在朴素的⽅法中我们计算⼀个数⽐如5^1003%31是⾮常消耗我们的计算资源的，在整个计算过程中最⿇烦的就是我们的5^1003这个过程缺点1：在我们在之后计算指数的过程中，计算的数字不都拿得增⼤，⾮常的占⽤我们的计算资源（主要是时间，还有空间）缺点2：我们计算的中间过程数字⼤的恐怖，我们现有的计算机是没有办法记录这么长的数据的，所以说我们必须要想⼀个更加⾼效的⽅法来解决这个问题2.快速幂的引⼊：我们⾸先从优化的过程开始⼀步⼀步优化我们的模幂算法1.朴素模幂运算过程：1. #define ans=12. for(int i=1;i<=b;i++)3. {4. ans*=a;5. }根据我们上⾯说的，这种算法是⾮常的⽆法容忍的，我们在计算的过程中出现的两个缺点在这⾥都有体现在这⾥我们如果要做优化的话，我肥就是每个过程中都加⼀次模运算，但是我们⾸先要记住模运算是⾮常的消耗内存资源的，在计算的次数⾮常的⼤的时候，我们是没有办法忍受这种时间耗费的2.快速幂引⼊：在讲解快速幂取模算法之前，我们先将⼏个必备的知识1.对于取模运算：(a*b)%c=(a%c)*(b%c)%c这个是成⽴的：也是我们实现快速幂的基础之后我们来看看快速幂的核⼼本质我通过离散课上的学习，将快速幂的本质差不多理解了⼀下，感觉还是很深刻的在这⾥，我们对指数懂了⼀些⼿脚，核⼼思想在于将⼤数的幂运算拆解成了相对应的乘法运算，利⽤上⾯的式⼦，始终将我们的运算的数据量控制在c的范围以下，这样我们可以客服朴素的算法的缺点⼆，我们将计算的数据量压缩了很⼤⼀部分，当指数⾮常⼤的时候这个优化是更加显著的，我们⽤Python来做⼀个实验来看看就知道我们优化的效率有多⾼了1. from time import *2. def orginal_algorithm(a,b,c): #a^b%c3. ans=14. a=a%c #预处理，防⽌出现a⽐c⼤的情况5. for i in range(b):6. ans=(ans*a)%c7. return ans8.9. def quick_algorithm(a,b,c):10. a=a%c11. ans=112. #这⾥我们不需要考虑b<0，因为分数没有取模运算13. while b!=0:14. if b&1:15. ans=(ans*a)%c16. b>>=117. a=(a*a)%c18. return ans19.20. time=clock()21. a=eval(input(“底数:”))22. b=eval(input(“指数:”))23. c=eval(input(“模:”))24. print(“朴素算法结果%d”%(orginal_algorithm(a,b,c)))25. print(“朴素算法耗时:%f”%(clock()-time))26. time=clock()27. print(“快速幂算法结果%d”%(quick_algorithm(a,b,c)))28. print(“快速幂算法耗时:%f”%(clock()-time))实验结果：4. 朴素算法结果55. 朴素算法耗时:3.2899526. 快速幂算法结果57. 快速幂算法耗时:0.006706我们现在知道了快速幂取模算法的强⼤了，我们现在来看核⼼原理：1. 对于任何⼀个整数的模幂运算2. a^b%c3. 对于b我们可以拆成⼆进制的形式4. b=b0+b1*2+b2*2^2+…+bn*2^n5. 这⾥我们的b0对应的是b⼆进制的第⼀位6. 那么我们的a^b运算就可以拆解成7. a^b0*a^b1*2*…*a^(bn*2^n)8. 对于b来说，⼆进制位不是0就是1，那么对于bx为0的项我们的计算结果是1就不⽤考虑了，我们真正想要的其实是b的⾮0⼆进制位9.10. 那么假设除去了b的0的⼆进制位之后我们得到的式⼦是11. a^(bx*2^x)*…*a(bn*2^n)12. 这⾥我们再应⽤我们⼀开始提到的公式，那么我们的a^b%c运算就可以转化为13. (a^(bx*2^x)%c）*…*(a^(bn*2^n)%c)14. 这样的话，我们就很接近快速幂的本质了1. (a^(bx*2^x)%c)*…*(a^(bn*2^n)%c)2. 我们会发现令3. A1=(a^(bx*2^x)%c)4. …5. An=(a^(bn*2^n)%c)6. 这样的话，An始终是A(n-1)的平⽅倍（当然加进去了取模匀速那），依次递推现在，我们基本的内容都已经了解到了，现在我们来考虑实现它：1. int quick(int a,int b,int c)2. {3. int ans=1; //记录结果4. a=a%c; //预处理，使得a处于c的数据范围之下5. while(b!=0)6. {7. if(b&1) ans=(ans*a)%c; //如果b的⼆进制位不是0，那么我们的结果是要参与运算的8. b>>=1; //⼆进制的移位操作，相当于每次除以2，⽤⼆进制看，就是我们不断的遍历b的⼆进制位9. a=(a*a)%c; //不断的加倍10. }11. return ans;12. }现在，我们的快速幂已经讲完了我们来⼤致的推演⼀下快速幂取模算法的时间复杂度⾸先，我们会观察到，我们每次都是将b的规模缩⼩了2倍那么很显然，原本的朴素的时间复杂度是O(n)快速幂的时间复杂度就是O(logn)⽆限接近常熟的时间复杂度⽆疑逼朴素的时间复杂度优秀很多，在数据量越⼤的时候，者中优化效果越明显3.OJ例题POJ1995题意：快速幂版题1. #include“iostream”2. #include“cstdio”3. #include“cstring”4. #include“cstdlib”5.6. using namespace std;7.8. int ans=0;9. int a,b;10. int c;11.12. int quick(int a,int b,int c)13. {14. int ans=1;15. a=a%c;16. while(b!=0)17. {18. if(b&1) ans=(ans*a)%c;19. b>>=1;20. a=(a*a)%c;24.25. int main()26. {27. int for_;28. int t;29. scanf(“%d”,&t);30. while(t–)31. {32. ans=0;33. scanf(“%d%d”,&c,&for_);34. for(int i=1;i<=for_;i++)35. {36. scanf(“%d%d”,&a,&b);37. ans=(ans+quick(a,b,c))%c;38. }39. printf(“%d\n”,ans);40. }41. return 0;42. }</div></div></article>。
包括加减乘除、幂次方、取模、辐角、共轭
包括加减乘除、幂次方、取模、辐角、共轭数学运算是我们日常生活中不可或缺的一部分，它们可以帮助我们解决各种问题。
在数学运算中，包括加减乘除、幂次方、取模、辐角、共轭等几个重要的概念。
首先，加减乘除是我们最常见的四则运算。
当我们要计算两个数的和时，可以使用加法运算。
例如，当我们需要计算两本书的总页数时，可以将它们的页数相加。
而当我们要计算两个数的差时，就需要使用减法运算。
比如，当我们要计算一年的租金总额时，可以将每个月的租金相减。
乘法运算则用于计算两个数的积，比如我们要计算购买三个苹果的总价格时，可以将苹果的价格与数量相乘。
而除法运算则用于计算两个数的商，比如我们要将一块蛋糕平均分成四份时，就需要使用除法运算。
此外，幂次方运算也是非常常见的。
当我们要计算一个数的幂时，可以使用幂次方运算。
例如，当我们要计算2的3次幂时，可以将2乘以自身三次，结果为8。
幂次方运算可以用于解决许多实际问题，比如计算复利等。
另外，取模运算在数学中也有重要的应用。
取模运算可以将一个数除以另一个数后得到的余数，例如，当我们要计算一个数除以10后的余数时，可以使用取模运算。
取模运算在密码学、计算机科学等领域中也发挥着重要作用。
此外，辐角是一个非常有趣的概念。
在复数运算中，辐角是一个复数向量与实轴正半轴之间的夹角。
辐角可以帮助我们描述复数的方向和位置，它在工程学、物理学等领域中都有重要的应用。
最后，共轭是一个重要的数学运算符号。
在复数运算中，共轭可以将一个复数的虚部变为其相反数。
共轭可以帮助我们简化复数运算，并且在电路分析、信号处理等领域中被广泛使用。
综上所述，加减乘除、幂次方、取模、辐角、共轭等数学运算在我们的日常生活和各个领域中都发挥着重要的作用。
了解和掌握这些运算，将帮助我们更好地解决问题，并在各个领域中发挥更大的作用。
数学运算，为我们探索世界提供了有力的工具，让我们一起学好数学、善用数学！。
数论中的模指数运算法则
数论是研究整数的性质和关系的数学分支，而模指数运算则是数论中的一种重要运算方法。
模指数运算法则包括同底数幂相乘、幂相除、幂相加、幂相减等规则，这些规则能够方便地计算模指数运算的结果。
首先，考虑同底数幂相乘的模指数运算法则。
对于同一底数的两个幂数，假设a和b分别表示底数和指数，m表示模数。
按照模指数运算法则，我们可以将两个幂数相乘，然后再取模。
即(a^b) * (a^c) ≡ a^(b+c) (mod m)。
这个法则可以简化幂运算的操作，使得计算更加高效和简便。
接下来，考虑幂相除的模指数运算法则。
对于同一底数的两个幂数，假设a和b分别表示底数和指数，m表示模数。
按照模指数运算法则，我们可以将两个幂数相除，然后再取模。
即(a^b) / (a^c) ≡ a^(b-c) (mod m)。
这个法则同样能够简化幂运算的操作，使得计算更为高效。
此外，还有幂相加的模指数运算法则。
对于同一底数的两个幂数，假设a和b 分别表示底数和指数，m表示模数。
按照模指数运算法则，我们可以将两个幂数相加，然后再取模。
即(a^b) * (a^c) ≡ a^(b*c) (mod m)。
这个法则可以将幂相加的运算转化为幂相乘的运算，使得计算更加方便。
最后，还有幂相减的模指数运算法则。
对于同一底数的两个幂数，假设a和b 分别表示底数和指数，m表示模数。
按照模指数运算法则，我们可以将两个幂数相减，然后再取模。
即(a^b) / (a^c) ≡ a^(b/c) (mod m)。
同样，这个法则可以将幂相减的运算转化为幂相除的运算，使得计算更为简单。
综上所述，数论中的模指数运算法则包括同底数幂相乘、幂相除、幂相加、幂相减等规则。
这些法则能够简化幂运算的操作，使得计算更加高效和方便。
在实际应用中，模指数运算法则常常被用于密码学、编码解码等领域。
因此，掌握和理解模指数运算法则是数论研究和应用的重要基础。
在学习模指数运算法则时，我们需要注意底数、指数和模数的取值范围，以防止出现溢出和计算错误。
取模运算在线
取模运算在线是时候对数进行划分，以解决数学问题了。
一个简单的划分技巧能把大数都转化成小很多且简单很多的数。
取模运算正是运用这一技巧把所有的数字都划分成不同的类。
卡尔·弗里德里希·高斯被誉为数学王子。
取模运算是由数学大师卡尔·弗里德里希·高斯引入的，或者至少是他起的名字。
这个德国人是整个数学史上最重要的人物之一、他在许多领域做出了重大发现，其中包括帮助证明了（在非欧几何中）直线可能是弯曲的！高斯也是一位天文学家。
1801年，他协助定位谷神星。
（谷神星其实很大，大概与美国一样宽广，现在谷神星被归为矮行星。
）高斯曾是一个儿童歌手，青少年时期就已经有了不少的发明。
他24岁时在小行星定位上取得了成就。
同年，他还出版了《算术研究》，这本书可能是自2000多年前的《几何原本》之后关于数字的最具影响力的图书。
《算术研究》一书中引入了取模运算的概念。
寻找等价类《算术研究》一书中描述了取模运算。
其实，这种运算并不是全新的，人类早已经在这本书出版之前数世纪就用这种方法读时钟了。
但是，高斯发展了一种数字同余的方式。
这里，“同余”或多或少有相等的意味，而且意义重大。
形状和尺寸考察事物的形状，我们能很容易理解同余的含义。
在数学中，所有的正方形被看作是相似的。
也就是说，它们虽然尺寸大小和摆放方位不同，但有相同的形状。
比如说，一个底边水平放置的正方形可以旋转得到一个直角顶点朝上的菱形。
一个小的正方形和一个大的相似，虽然它们不是全等的。
两个正方形如果有相同的边长，即使摆放的方位不同也是全等的。
当考察这些图形时，很容易分辨哪些正方形是相似的，哪些是全等的。
而一个正方形的尺寸和方位能够转化为一串带着系数和变量的数学符号（向量和矩阵）。
用这种方式可以处理各种事物，而不仅仅是图形，进而取模运算能用于分辨所有事物的同余与否。
现实生活中的应用高斯应用取模运算解决了许多非常艰深的问题。
其实，取模运算还是比较容易理解的。
高次幂函数取模算法
⾼次幂函数取模算法⾼次幂函数取模算法在平常的⼯作学习中，我们经常需要⽤到求取⼀个数字或者幂运算的余数，尤其在密码学中最为常⽤的RSA算法就经常要⽤到这种运算，我们称之为⾼次幂函数的取模运算。
在本篇⽂章中，将会⾸先介绍运⽤程序求解⾼次幂函数取模的暴⼒求解⽅法，然后针对暴⼒⽅法算法效率低下的缺点，给出⼀种快速的取模算法。
暴⼒取模算法由于我们的⾼次幂函数往往拥有很⾼的幂，⽽我们在计算机中只有int、float、double、long long这⼏种变量类型，远远不能满⾜我们对于⼤数字运算的要求，从⽽导致数据溢出⽆法完成运算。
所以这⾥我们需要在每次迭代取模的过程中进⾏取模运算，从⽽保证数据不会溢出。
代码如下：int get_mod(int a, int b, int c){long long result = 1;//声明为long long类型防⽌溢出while(b--){result = result * a % c;//这个算法的核⼼就是在迭代运算过程中进⾏取模运算}return static_cast<int> (result);}这种算法的正确性⽏庸置疑，但是如果幂指数太⼤的话，需要耗费的时间就更⾮常多，直接导致运算效率低下，所以只适⽤于指数不⼤的情况下使⽤，下⾯我们要讲解的就很好地解决了这个问题，⽽且该算法⾮常简单，效率极⾼，完全可以⼿动演算。
蒙哥马利算法蒙哥马利算法是⼀种快速的⼤数（通常达到⼏百个⼆进制）的模乘算法，由在1985年提出。
下⾯直接放代码：int get_mod(int a, int b, int c){long long res = 1;//声明为long long类型防⽌数据溢出int temp = a;while(b > 0){if( b & 1)//取幂指数⼆进制最后⼀位{res = (res * temp) % c;}temp = (temp * temp) % c;b >>= 1;//幂指数⼆进制向右移动⼀位}return static_cast<int> (res);//以int类型返回最终结果}使⽤这个算法，即便是处理很⼤的数据都可以快速的求得余数，⾮常好⽤，这⾥想说，学好数学才是真的⽣产⼒！：：个⼈站点，欢迎访问，欢迎评论！。
幂模运算原理范文
幂模运算原理范文幂模运算是指对一个数进行幂运算后再对另一个数取模的运算。
在数论和密码学等领域中，幂模运算是一个非常重要的运算。
本文将详细介绍幂模运算的原理。
一、幂模运算的定义给定两个整数a和b，和一个正整数m，幂模运算可以表示为：a^b ≡ c (mod m)其中^表示幂运算，≡表示同余关系，c表示幂模运算的结果。
例如，对于a=2，b=3，m=5，幂模运算可以表示为：2^3 ≡ c (mod5)。
即2的3次方对5取模的结果。
二、幂模运算的实现幂模运算的实现可以通过循环和取模运算来完成。
具体实现步骤如下：1.初始化结果c为12.将b转换为二进制表示的字符串。
3.从字符串的末尾开始循环遍历二进制数的每一位。
4.每次循环开始，先将c自乘一次，然后再对m取模，保证结果始终在取模范围内。
5.若当前二进制位为1，则将c与a相乘后再对m取模。
6.最终输出c，即为幂模运算的结果。
以计算2^13 ≡ c (mod 5)为例，详细说明幂模运算的实现过程：1.初始化c为12.将13转换为二进制的表示形式为11013.从末尾开始遍历二进制数的每一位。
4.第一位为1，将c与a相乘后再对m取模，得到c=25.第二位为0，不进行额外操作。
6.第三位为1，将c与a相乘后再对m取模，得到c=47.第四位为1，将c与a相乘后再对m取模，得到c=3因此，2^13 ≡ 3 (mod 5)，即2的13次方对5取模的结果为3三、幂模运算的性质幂模运算有一些重要的性质，对于给定的整数a、b和正整数m，有以下几个性质：1.(a*b)%m=((a%m)*(b%m))%m。
即两个数的乘积取模等于分别对两个数取模后再相乘再取模。
2.(a^b)%m=((a%m)^b)%m。
即一个数的幂次方取模等于该数对m取模后再进行幂次方运算再取模。
3.(a+b)%m=((a%m)+(b%m))%m。
即两个数的和取模等于分别对两个数取模后再相加再取模。
四、幂模运算的应用幂模运算在密码学中广泛应用于加密算法和数字签名等领域。
初中二年级 高次方计算
初中二年级高次方计算
高次方计算是初中数学中一项重要的计算方式，它是解决初中数学中上乘幂运算的一种方法，在及乘幂运算中，数据的直接乘积比较麻烦，所以，我们就采用了高次方计算，它可以有效节省我们的计算时间，使得增加的计算速度，这在解决复杂的数学问题中起到了重要的作用。
高次方计算的实现需要遵循一定的规律，基本原则是，将幂指数不同的多项式拆分成单项式的乘积，并对其系数及指数进行计算，我们可以用这种方法来求解上乘幂的多项式。
我们可以用一个公式来总结这一过程，高次方计算公式（(ax+b)^n）= ax^n+bx^(n-1)+...+b^n,其中a和b分别是多项式中的系数，n是幂指数，x是项的公共因子。
除了直接使用高次方计算公式外，我们也可以采用特殊的求解方法，比如采用了分支方法来求解，分支方法就是每分解一个乘积，就把剩下的乘积分解成多个分支，然后再把这些分支再分解，直到剩下最后的分支，最后再将每个分支的结果相乘，即可得到最终的答案。
另外，也可以采用分步骤方法求解，具体步骤如下：
（1）先将多项式拆分为单项式；
（2）然后将单项式的指数和系数分别求和；
（3）之后将单项式的指数分别乘以系数；
（4）最后将乘积的结果相乘，即可得到最终的答案。
上述方法是高次方计算的基本模式，在实际的初中数学计算中，我们可以根据具体题目，对这一模式进行一些调整，以便更好地完成
计算。
高次方计算在初中数学中有着重要的作用，它不仅可以提高计算速度，而且可以帮助我们更好地解决复杂的数学问题，但是，要掌握好这种计算方法，我们需要努力，才能完成计算，在学习过程中，我们要多加练习，不断的掌握计算方法，从而提高自己的数学能力。
处理取模的小技巧
处理取模的小技巧
在程序中需要进行取模运算时，有些小技巧可以帮助程序的效率和正确性：
1. 使用位运算替代取模：对于2的n次幂的取模，可以替换成位运算，如n%8可以写成n&(8-1)，这样效率更高。
2. 合理选择取模数：取模数的选择会影响程序的效率和准确性。
通常情况下，取模数应该是一个质数，而且应该尽量保持足够大，避免出现哈希冲突。
3. 利用余数的周期性：余数在取模过程中具有一定的周期性，这意味着一些重复的计算可以避免。
例如，计算a%b和(a+n)%b的余数是一样的，可以利用这一点减少计算。
4. 使用缓存：对于值不变的取模运算，可以使用缓存来避免重复计算，提高程序效率。
5. 采用位移运算：对于2的n次幂的取模，可以使用位移运算来代替取模运算，这样可以节省时间。
例如，计算n%4，可以用n<<2来代替。
这些小技巧在程序中应用得当，可以提高取模的效率和准确性。
2的幂次方取模运算
2的幂次方取模运算摘要：1.什么是2的幂次方取模运算？2.2的幂次方取模运算的应用场景3.如何进行2的幂次方取模运算？4.举例说明2的幂次方取模运算的结果5.与其他取模运算的区别和联系6.在编程中的实际应用案例正文：在计算机科学中，取模运算是一种常见的数学运算，尤其在编程领域中更是屡见不鲜。
其中，2的幂次方取模运算更是被广泛应用。
所谓2的幂次方取模运算，就是将一个数除以2的幂次方后取模。
这篇文章将详细介绍2的幂次方取模运算的定义、应用场景、运算方法以及实际案例。
1.什么是2的幂次方取模运算？2的幂次方取模运算，指的是将一个数除以2的幂次方（即2的整数次幂）后取模。
例如，对于数字16和幂次方4，我们可以进行如下的2的幂次方取模运算：16 ÷ 2^4 = 16 ÷ 16 = 1，然后对1取模，结果为0。
2.2的幂次方取模运算的应用场景2的幂次方取模运算在许多场景中有广泛应用，如在计算机图像处理中的像素取模、网络通信中的数据分片等。
特别是在加密算法中，如AES（高级加密标准）加密算法，就使用了2的幂次方取模运算。
3.如何进行2的幂次方取模运算？进行2的幂次方取模运算的方法很简单，只需按照以下步骤操作：- 确定2的幂次方的大小；- 将待求值除以2的幂次方；- 计算结果后取模。
4.举例说明2的幂次方取模运算的结果以数字16和2的幂次方4为例，我们进行2的幂次方取模运算：16 ÷ 2^4 = 16 ÷ 16 = 1对1取模，结果为0。
这说明在2的幂次方取模运算中，较低位的零会被忽略，只保留最高位上的数字。
5.与其他取模运算的区别和联系2的幂次方取模运算与其他取模运算（如异或运算、按位与运算等）有所不同。
其他取模运算通常是对两个数进行运算，而2的幂次方取模运算仅涉及一个数。
然而，它们之间也存在一定的联系，因为在某些情况下，通过适当的变换，一种取模运算可以转化为另一种取模运算。
模运算——大整数取模、幂取模等
3 int m;
Hale Waihona Puke 45 int biginteger_mod(char* n, int m)
6{
7 int len = strlen(n);
8 int ans = 0;
9 for(int i = 0;i < len;i++)
10
ans = (int)(((long long)ans * 10 + n[i] - '0') % m);
a %= p; b %= p; return (a - b + p) % p; }
//a mod n可能小于b mod n，需要在结果加上n
LL mul_mod(LL a, LL b, LL p) {
a %= p; b %= p; return a * b % p; //a mod n和b mod n的乘积可能超LL }
二、大整数取模
求n mod m 的值，(n ≤10100,m ≤109) 思路：首先，将大整数根据秦九韶公式写成“自左向右”的形式：4351 = ((4 * 10 + 3) * 10 + 5) * 10 + 1,然后利用模的性质，逐步取模。
1 const int maxn = 100 + 10;
2 char n[maxn];
11 return ans;
12 }
三、幂取模
直接暴力写是O(n),较快的方法是分治法，时间复杂度是O(logn)
求an mod m 的值,
1 LL pow_mod(LL a, LL n, LL m) 2{ 3 if (n == 0) return 1; 4 LL ans = pow_mod(a, n / 2, m); 5 ans = ans * ans % m; 6 if (n % 2) ans = ans * a % m; 7 return ans; 8}
高次幂运算
高次幂运算
高次幂运算是数学中一种非常重要的运算，它是一种将量纲(即物理计量单位)转化为更高次幂的途径。
在各种科学和技术领域，高次幂运算都起着重要作用，比如在统计学、经济学、物理学、数学建模等。
高次幂运算分为指数函数和底数函数两种，前者表示一个指数的幂，如 2^3，即 2 3幂；后者表示一个底数的幂，如 3^2，即 3 2幂。
指数函数的运算技巧比较简单，可用以下两个定理进行求解：
(1) ax^n = (ax)^n
(2) ax^m * ax^n = (ax^m+n
前者定理一般用于求解指数函数中 x n乘积；而后者则用于求解同一个指数函数中不同 m、n 乘积的结果。
底数函数的运算要比指数函数复杂一些，主要使用的定理是底数乘幂法”：
a*b^m*a*b^n= (a*b^m+n
前者是底数乘幂法中最基本的定理，即相同的底数，用不同的幂进行乘积的结果等于原乘积的结果的指数加上不同幂之和。
另外，底数乘幂法还可以用于求解底数的乘积和除法，如下：
a^m * b^n = (a*b)^mn
a^m / b^n = (a/b)^mn
最后，高次幂运算非常重要，它在科学技术领域有重要的应用。
因此，在学习中，我们要牢固掌握高次幂的相关知识，并多多练习，这样才能掌握好高次幂运算！。
整数快速幂（取模）、矩阵快速幂及其应用
整数快速幂（取模）、矩阵快速幂及其应⽤摘要： 本⽂主要介绍了整数快速幂、矩阵快速幂及其应⽤，以题为例重点展⽰了使⽤细节。
我们要计算⼀个整数x的n次⽅，即x^n，普通的⽅法是连乘，这⾥介绍⼀种效率⾮常⾼的计算幂运算的算法——反复平⽅法。
⾸先考虑加速幂运算的⽅法，如果n=2^k，则可以将x^n = ((x2)2)..，即只要做k次平⽅运算就可以求得x^n。
然后由此我们可以想到，先将n表⽰为2的幂次之和，即x^n = 2k1 + 2k2 + 2k3... ，那么 x^n = x2^k1 * x2^k2 * x2^k1 ...，只需在求x2^i 的同时进⾏计算就好了。
最终得到O(logn)的计算幂运算的算法。
⽐如计算x^22 = x^16 * x^4 * x^2，其中22的⼆进制数是10110，也就是需要反复平⽅3次。
代码如下：1 typedef long long ll;2 ll qpow(ll x, ll n) {3 ll res = 1;4while(n) {5if(n&1)6 res = res * x; //如果⼆进制最低位为1，则乘上x^(2^i)7 x = x * x; //将x平⽅8 n >>= 1; //n/29 }10return res;11 } 在实际应⽤中有时还需要求解x^n%mod。
代码如下：1 typedef long long ll;2 ll qpow(ll x, ll n, ll mod) {3 ll res = 1;4while(n) {5if(n&1)6 res = res * x % mod; //如果⼆进制最低位为1，则乘上x^(2^i)7 x = x * x % mod; //将x平⽅8 n >>= 1; //n/29 }10return res;11 } 看⼀道例题： 判断是否是C数，需要满⾜以下两个条件 1.不是素数. 2.对任意的1<x<n都有x^n和x同余模n. 代码如下：1 #include <cstdio>2 #include <cmath>3 typedef long long ll;45 ll qpow(ll x, ll n, ll mod) {6 ll res = 1;7while(n) {8if(n&1)9 res = res * x % mod;10 x = x * x % mod;11 n >>= 1;12 }13return res;14 }15bool isprime(ll x) {16if(x == 0 || x == 1)17return0;18 ll k = (ll)sqrt(x);19for(ll i = 2; i < k; i++) {20if(x % i == 0)21return0;22 }23return1;24 }25int main()27 ll n;28while(scanf("%lld", &n) == 1 && n != 0) {29if(isprime(n)) {30 printf("%lld is normal.\n", n);31continue;32 }33 ll i;34for(i = 2; i < n; i++) {35if(qpow(i, n, n) != i % n)36break;37 }38if(i == n)39 printf("The number %lld is a Carmichael number.\n", n);40else41 printf("%lld is normal.\n", n);42 }43return0;44 } 现在要求⼀个矩阵A的m次幂，也就是A^m，⾸先应该会两个矩阵的乘法，然后知道A^m的结果⼀定是⼀个同型矩阵，最后需要理解上⾯的整数快速幂。
三角函数的高次幂展开与应用
三角函数的高次幂展开与应用三角函数是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中有广泛应用。
本文将探讨三角函数的高次幂展开及其应用。
一、三角函数的高次幂展开在代数学中，我们可以将三角函数的高次幂进行展开，以便更好地研究和分析其性质。
其中，最常见的三角函数有正弦函数（sin x）和余弦函数（cos x）。
1. 正弦函数的高次幂展开正弦函数的高次幂展开可以使用公式：sin^n(x) = C(n,1) * sin((n-1)x) * cos(x) - C(n,3) * sin((n-3)x) * cos^3(x) + ... + (-1)^(n/2) * C(n,n-1) * sin(x) * cos^(n-1)(x)，其中 n 为正整数。
在展开式中，C(m,n)表示从m个元素中选取n个元素的组合数。
通过这个展开式，我们可以将正弦函数的高次幂表示为多个不同次数的正弦函数和余弦函数的积，并利用这些低次幂函数进行具体计算。
2. 余弦函数的高次幂展开余弦函数的高次幂展开可以使用公式：cos^n(x) = C(n,0) * cos^n(x) - C(n,2) * cos^(n-2)(x) * sin^2(x) + ... + (-1)^(n/2) * C(n,n) * cos^2(x) * sin^(n-2)(x)，其中 n 为正整数。
通过这个展开式，我们可以将余弦函数的高次幂表示为多个不同次数的余弦函数和正弦函数的积。
二、三角函数的高次幂展开的应用三角函数的高次幂展开在科学和工程中有着广泛应用，下面我们将介绍其中的几个应用场景。
1. 泰勒级数展开泰勒级数是用多项式逼近一个函数的方法，而这个多项式的构造中就用到了三角函数的高次幂展开。
通过使用泰勒级数展开，我们可以将复杂函数用简单的多项式表示，这样有助于我们研究和求解各种问题。
2. 信号处理在信号处理中，我们经常需要对信号进行频谱分析和滤波处理。
而频谱分析和滤波处理的基础就是利用三角函数的高次幂展开将信号进行频域表示，从而分析信号的频率成分和特性。
模数的概念和计算方法
模数的概念和计算方法模数是数字在取余运算中所除的数，也称为除数。
在数学中，用模数来表示数字按照某种规则进行分组或分类的方法。
常见的模数有10、12、24、60等。
模数在计算机科学和密码学中有重要的应用。
在计算机科学中，模数常用于处理循环和周期性任务，例如计算日期的循环、时间戳的循环以及进制转换。
模数的计算方法有两种常见的方式：欧几里得除法和模幂运算。
欧几里得除法是最早被发现和使用的除法算法。
它基于除法的定义，将被除数不断减去除数的倍数，直到被除数小于除数。
例如，计算13除以5，可以进行如下的计算过程：13÷5=2余35×2=10，13减去10剩下3由于3小于5，因此计算结束，最终结果是2余3。
欧几里得除法可以用于计算模数的倒数。
模数的倒数是指对于给定的模数p，可以找到一个整数x，使得x乘以p的余数为1。
例如，模数为7时，有4乘以7的余数为1，因此4是7的倒数。
另一种计算模数的方法是模幂运算。
模幂运算是计算一个数的高次幂后取模的操作。
假设要计算x的n次幂模p的值，可以使用如下的迭代方法进行计算：1.初始化结果res为12.对于n的每一位，从高位向低位，依次进行如下操作：a.将res的结果平方后取模p，即res=res*res mod pb.如果n的当前位是1，将res与x相乘后取模p，即res=res*x mod p例如，计算5的13次方模7的值，可以进行如下的计算过程：1.初始化结果res为12.从高位向低位依次进行如下操作：a.将res的结果平方后取模7，即res=1*1 mod 7，结果为1b.将res与5相乘后取模7，即res=1*5 mod 7，结果为5c.将res的结果平方后取模7，即res=5*5 mod 7，结果为4d.将res的结果平方后取模7，即res=4*4 mod 7，结果为2e.将res的结果平方后取模7，即res=2*2 mod 7，结果为4f.将res与5相乘后取模7，即res=4*5 mod 7，结果为6g.将res的结果平方后取模7，即res=6*6 mod 7，结果为1h.将res与5相乘后取模7，即res=1*5 mod 7，结果为5i.将res的结果平方后取模7，即res=5*5 mod 7，结果为4 j.将res的结果平方后取模7，即res=4*4 mod 7，结果为2 k.将res的结果平方后取模7，即res=2*2 mod 7，结果为4 l.将res的结果平方后取模7，即res=4*4 mod 7，结果为2 m.将res与5相乘后取模7，即res=2*5 mod 7，结果为3 最终计算结果为3。
多项式取模运算
多项式取模运算多项式取模运算是数学中常见的一种运算方式。
在代数学中，多项式是由一系列项组成的表达式，每一项由一个系数和一个变量的幂次组成。
多项式取模运算就是将一个多项式除以另一个多项式，并得到余数的过程。
我们来看一下多项式取模运算的定义。
假设有两个多项式A(x)和B(x)，其中A(x)的次数为m，B(x)的次数为n，且n≤m。
多项式取模运算的结果是一个新的多项式Q(x)，使得A(x) = B(x) × Q(x) + R(x)，其中Q(x)是商式，R(x)是余式。
换句话说，多项式取模运算就是将A(x)除以B(x)，得到商式Q(x)和余式R(x)的过程。
多项式取模运算的过程可以通过长除法来实现。
首先，将A(x)的最高次项与B(x)的最高次项相除，得到商式的最高次项。
然后，将这个商式与B(x)相乘，并与A(x)相减，得到一个新的多项式，再次进行相同的操作，直到无法继续相除为止。
最后所得的多项式就是余式R(x)。
而每一次相除所得的商式就是Q(x)的一个系数。
多项式取模运算在数学中有着广泛的应用。
例如，在代数中，我们常常需要求解多项式方程的根。
通过多项式取模运算，我们可以将复杂的多项式方程化简为简单的多项式方程，从而更容易求解。
多项式取模运算还可以用来进行多项式的因式分解。
通过多次取模运算，我们可以将一个复杂的多项式分解为若干个简单的因式的乘积，从而更好地理解多项式的结构。
在计算机科学领域，多项式取模运算也起着重要的作用。
在计算机算法中，我们经常需要对多项式进行运算，如加法、减法、乘法等。
而多项式取模运算可以帮助我们简化这些运算，提高计算效率。
在实际应用中，多项式取模运算还可以用来进行数据压缩和数据加密。
通过对数据进行多项式取模运算，可以将数据压缩为较小的表示形式，从而减少存储空间的占用。
同时，多项式取模运算还可以用来进行数据加密，保护数据的安全性。
多项式取模运算是一种重要的数学运算方式。
它在代数学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
计算矩阵的高次幂方法小结(一)
计算矩阵的高次幂方法小结（一）来源：文都教育矩阵的乘法在线性代数中应用的最为广泛和基础，同时也是考研数学中的常考内容，尤其是计算矩阵的高次幂在近几年的考研试题中出现频率越来越高，掌握这类题目的解法势必会助考生一臂之力.在考研试题中计算矩阵的高次幂通常以以下几种形式出现：（1）矩阵结合律简化计算；（2）递推归纳法；（3）利用相似对角化简化计算；举例说明如下：例1 已知[1,2,3]α=，[1,12,1β=，设TA αβ=,其中T α为α的转置，则n A = .解 因为1[1,12,13]233T βα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则有 ()()n T n T T T T A αβαβαβαβαβ== 111()3()3T T n n T n A αβαβαβ---===. 本例充分利用已知条件T A αβ=，进行简化计算，将看似复杂的问题进行简化处理. 受此启发，对于方阵任何两列（或两行）都对应成比例的情况，也可表示为一个列向量和一个行向量的乘积，再应用本例的方法来解决.例2 已知112142112421A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求.n A解 因为矩阵A 每两列都成比例，因此可化为TA αβ=的形式，其中[1,2,4]α=，[1,12,14]β=. 因为1[1,12,14]234T βα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，与例1类似，可以得到： 111()()3()3n T n T T n n T n A A αβαβαβαβ---====.还有一种题型是利用递推归纳法来计算矩阵的高次幂.例3 设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而2n ≥为整数，则12n n A A --= . 解 当2n =时，21011010200202101101A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即22A A O -=， 所以当2n >时，原式222(2),n n A A A A O O --=-=⋅=故当2n ≥时，有12.n n A A O --=综上，本文总结了计算矩阵的高次幂的两种常用方法，相关的练习题考生可以在《高等数学》课本或者毛纲源老师编著的《考研数学经典常考题型同步测试题》中选取来进行练习. 掌握相应的解题方法，会在接下来的复习中更为顺利，有效节省解题时间，提高解题效率.。
c语言快速幂取模算法解释
c语言快速幂取模算法解释快速幂取模算法是一种用于计算大数的幂取模运算的高效算法。
在计算机科学中，幂取模运算是指计算一个数的幂后再对另一个数取模的运算。
在计算大数的幂取模时，直接进行幂运算可能会导致溢出或计算时间过长，因此需要使用快速幂取模算法来提高计算效率。
快速幂取模算法的基本思想是利用指数的二进制表示来进行幂运算。
对于一个数a的b次幂，可以将b表示为二进制形式，例如b=101101，那么a的b次幂可以表示为a^(2^0) * a^(2^2) * a^(2^3) * a^(2^5)。
通过这种方式，可以将幂运算转化为多个小幂运算的乘积，从而减少计算量。
具体的快速幂取模算法如下：1. 初始化结果res为1，将底数a取模m得到a_mod。
2. 将指数b转化为二进制形式，并从低位到高位依次遍历。
3. 对于每一位的值，如果为1，则将res乘以a_mod并对m取模，得到新的res。
4. 将a_mod平方并对m取模，得到新的a_mod。
5. 继续遍历下一位，直到遍历完所有位。
6. 返回最终结果res。
下面以一个具体的例子来说明快速幂取模算法的运行过程。
假设要计算2的10次幂对7取模的结果。
1. 初始化res为1，将底数2取模7得到a_mod=2。
2. 将指数10转化为二进制形式为1010，从低位到高位依次遍历。
3. 第一位为0，不进行任何操作。
4. 第二位为1，将res乘以a_mod并对7取模，得到新的res=2。
5. 将a_mod平方并对7取模，得到新的a_mod=4。
6. 第三位为0，不进行任何操作。
7. 第四位为1，将res乘以a_mod并对7取模，得到新的res=1。
8. 将a_mod平方并对7取模，得到新的a_mod=2。
9. 遍历完所有位，返回最终结果res=1。
通过上述例子可以看出，快速幂取模算法通过将指数转化为二进制形式，将幂运算转化为多个小幂运算的乘积，从而减少了计算量。
同时，每次计算都对结果进行取模操作，避免了溢出的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
主要代码
long mod(long a,long b,long m) { if(!b) return 1; //边界处理 if(b==1) return a%m; //边界处理 long ans=mod(a,b/2,m); //进入下一层 ans=ans*ans%m; //返回值ans代表a if(b&1) ans=ans*a%m; //奇数情况处理 return ans; //返回ans代表a modm }
续上
按照上述的方法继续分下去… 最终肯定会得到 21 mod 3 这种情况！这样 就好办了！这便是递归的边界，到此我们就 可以返回2 mod 3的值了！ 另一个问题，再分时有两种情况！ 2100=(250)2 , 100是偶数 299=(249)2 *2 , 99是奇数 第二种情况需要在第一种情况上乘上一次基 数。
b/2 b
调用
上述函数是有三个参数，且有返回值！ 它的功能是计算ab mod m的值！ 如何在主函数里调用呢？ 例如我们要计算2100mod3的结果！我们可 以首先定义一个变量ans，在主函数读入工 作完成后，我们可以写 ans=mod(2,100,3); ans 里的数值便是2100mod3的结果了。
高次幂取模
(快速幂取模) (张鹏)
基本概念及思想
对形如ab mod m 的运算（b一般较大） 但a,b,m都在long型范围内 算法的主要思想是分治，分而治之。将大的 问题分成若干个相似的较小的问题！ 具体实现是用递归的方法！
举例
2100 mod 3 像这种运算如果先算出2100 的值，然后再模 上3，相信比较困难！ 我们可以将100变小点 2100=(250)2 =((225)2)2=((((21)2)2)…)2 若我们已经得出250 mod 3的值，我们便很 简单地得出2100 mod 3的值。
递推法
用递推法首先要将b转换为二进制数， (b)10=(b)2。 举例: (45)10=(101101)2 545 mod 3 =2 二进制数由0和1组成，它们分别代表着偶数 和奇数。 递推时在0和1处的处理是有差别的。
参考代码
二进制转换： long s=0; while(b>0) { t[++s] = b%2; b/=2;long ans=1; for(i=1;i<=s;i++) if(t[i]) ans=ans*ans*a%m; else ans=ans*ans%m;
End
Thank you