N阶矩阵高次幂的求法及应用
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果题目所给出的 阶矩阵 是可以分解，也就是 ，并且 和 的高次幂都是比较容易计算出来的，还要求 （也就是 和 是矩阵乘法适合交换律的，如果分解开的这两高次幂矩阵不能相互交换的话，那么二项式展开式公式对于这个矩阵是不成立的，也就是二项式展开法不适用于这个矩阵），如果满足要求，所以就有以下的公式
.
特别地，当 阶矩阵 的主对角线上元素相同的时候，那么这样的矩阵 可以表示为一个纯量矩阵 与另外一个矩阵 的和，也就是 ，并且所给出的矩阵 的高次幂是比较容易计算出来的，那么这样的矩阵就可以用这种方法比较简单明了 .
本科毕业论文
摘 要
矩阵是许多实际问题中抽象出来的一个概念，它是高等代数的一个重要组成部分，它几乎贯穿于高等代数的各个章节，在自然学科各分支及经济管理等领域有着广泛的应用.正因为它广泛的应用又是解决众多问题的有力工具，所以，学习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而，矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了计算矩阵高次幂方面的重要环节，为此很多学者都花了很大的精力去探讨研究，本文将在他们的研究基础上，应用实例通过数学归纳法，乘法结合律的方法，二项式展开式的方法，分块对角矩阵的方法， 标准形法，最小多项式的方法和特殊矩阵法等多种方法来求解方阵的高次幂，进而为 阶矩阵的幂运算来提供一个参考.
例3 已知矩阵 ，试求 .
解 首先我们将矩阵 分解为
，而其中 ，
容易得出并验证矩阵 满足
，也就是说 和 是可以交换的，根据二项式展开公式得
.
例4已知 ，求 .
解首先我们将矩阵 分解为 ，也就是
，
而其中的 为 ，又因为 ，所以
.
注通过观察我们可以知道，在求解这一类的矩阵问题的时候，我们首先要做的就是判断这个所给出的矩阵能否被分解，其次分解的矩阵的高次幂是比较容易计算出来的.
关键词:数学归纳法;二项展开式;矩阵的幂;相似矩阵.
Abstract
Matrix is a concept many practical problems in the abstract, it is an important part of the linear algebra, it is almost throughout the various sections of linear algebra, in the field of natural sciences and economic management of the branch has a wide range of applications. Just because it wide range of applications and is a powerful tool for solving many problems, so learn and master the operation and their method of operation rules and good matrix is a matrix of knowledge we learn a very important part. For matrix power calculations, it is Matrix multiplication is based; however, the matrix exponential operation is more complex but also particularly troublesome, so look for a simple calculation method has become an important part of computing power matrix high regard, for many scholars have spent a lot of research effort to investigate, the paper will be on the basis of their research, application examples by mathematical induction, multiplication associative approach, binomial expansion method, the method block diagonal matrix, standard form method, minimal polynomial a variety of methods and special methods to solve the matrix method phalanx of high-power, and thus the power to order matrix operations to provide a reference.
目前，关于矩阵的高次幂的计算问题，有很多学者对此都进行了大量的研究，文献[1，2-13,15]从不同角度阐述了矩阵的高次幂的计算问题.本文在这些研究基础之上，用分类讨论的办法，系统而又全面地介绍了一般的 阶矩阵和一些特殊的矩阵的高次幂的求解方法.对于那些简单的矩阵，有关它们的低次幂求解，我们就可以直接按照矩阵乘法的定义去求解；但对于矩阵的秩为1的 阶矩阵，我们可以考虑用矩阵乘法结合律的方法求解；此外，我们还可以用二项式展开法，分块对角矩阵的方法；对于一般情况下的 阶矩阵的求解，我们可以采用Jordan标准形的方法、最小多项式的方法去求解；然而我们还可以用一些特殊的矩阵去求解（比如对合矩阵，幂等矩阵）.
解已知矩阵的特征矩阵为
，
所以矩阵 与 矩阵 相似.令其相似变换阵为可逆矩阵
，因为 ，所以
即有 ，解这三个线性方程组可以得特
征向量 ，所以
，
又因为 ，所以
注在 矩阵解题的时候我们要注意，我们所解的这个问题有没有可逆阵，它是不是和我们的 是相似的.这是应用 的前提.
2.4 利用分块对角矩阵求矩阵的高次幂
Keywords：Mathematical induction; power matrix;; binomial expansion similar matrix.
引 言
矩阵是高等代数的主要内容之一，是处理线性方程组、二次型、线性变换等问题的重要工具，基本上贯穿于研究高等代数问题的始终.矩阵的理论和计算方法对于我们研究的许多问题都起着很重要的推动作用，同时也是解决数学以及大多数的科学领域中问题的重要工具，它有着十分广泛的应用.学习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而，矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了在计算矩阵高次幂幂方面的重要课题.
这也就说明矩阵 的最小多项式 也是它的特征多项式 的因子，这个事实具有一般性，并且有着4个结论
可以整除任何一个以矩阵 为根的且首项系数为1的多项式；
和 是有一样的根（不算重复的，且两个根的数目不一定相等）；
如果两个矩阵是相似矩阵，那么它们两个的最小多项式就是相同的；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，而 是矩阵 的第 个不变因子.
例11已知 ，求 .
2.3 利用 标准形求矩阵的高次幂
定义2 我们将形式为
的矩阵称为 块，其中 是复数，由这样若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为 矩阵，其一般形式为 ，其中
，
并且 中有一些是可以相等的.
根据 定理我们可以得出，假如矩阵 ，那么矩阵 与一个 矩阵 相似，这个 矩阵 除去 块的排列顺序以外是被矩阵 唯一确定了的，那么我们就称这样的矩阵 为矩阵 的 标准形式.也就是存在 阶可逆矩阵 ，使得
在这些诸多的方法中，它们都只不过为 阶矩阵的幂运算提供了一个参考.所以在实际应用中，我们可以根据矩阵的不同，采用不同的运算方法去化简矩阵的幂计算.
1 准备知识
在矩阵的计算中，乘法是最常用的一种方法.特别是，当一个矩阵是方阵的时候，也就是这个矩阵有 行 列，可以定义这个矩阵和它本身的乘法运算，那就是我们所说的矩阵的幂.
，
显然当 时结论也是成立的，故上述所假设的结论是正确的.所以求得 的结果也就是 .
例2 设 ，计算 .
解因为 ， ， .
所以猜想 .
下面利用数学归纳法进行证明.当 时，结论显然成立；假设 时，结论也是成立的，也就是 ，则当 时，
显然当 时结论也是成立的，故上述所假设的结论是正确的，由数学归纳法知 的求解结果是
，那么 ，且 ，所以
.
例10 ，求 .
解因为 所以
=
又因为 ，则
.
注确定应用乘法结合律解题以后，我们心里就要明白
这个公式，并且熟记于心，这是应用乘法结合律的关键.
2.6 利用最小多项式解矩阵的高次幂
定理3（哈密尔顿-凯莱定理 ）设 是 阶矩阵， 是 的特征多项式，
令 ，所以
.
根据以上定理我们可以知道，以 阶矩阵 为根的特征多项式有很多，但我们把首项系数为1的、次数最小的并且用矩阵 为根的多项式，就叫做矩阵 的最小多项式，经常用 来表示.
定义1 假设矩阵 是 矩阵（ 阶方阵）， 是正整数，那么就把形式 称为 的 次幂.
方阵的幂运算规律：
，
其中 ， 均为非负整数.
2 阶矩阵 的高次幂的一些求法以及应用
2.1 利用数学归纳法求解 阶矩阵的高次幂
数学归纳法在初等数学中就有很广泛的应用，是在计算数学命题中常用的一种方法.在求矩阵方幂问题的时候，在一些特别的情况下就可以利用数学归纳法来计算出矩阵的高阶次幂.关于求矩阵高次幂的根本思路就是：先计算出方阵的 等较低次幂的矩阵，再利用 等较低次幂矩阵的计算结果，由归纳法猜测 的表达式，最后利用数学归纳法加以证明 对于一切自然数都成立（其中 下同）.
当给出的矩阵的阶数较大的时候，我们就可以利用一些横线和竖线把这个矩阵分成许多的小块，这些小块就是矩阵的子阵.如果这个矩阵能被分成对角形式，那么我们就可以把求解高次幂的矩阵的问题转变为求解简单子阵的高次幂问题再计算上，进而达到简化求解的目的.
由分块对角矩阵
得 ，
其中 都为方阵，而我们常用的子块的高次幂的计算结果有
2.5 利用乘法结合律求方阵的高次幂
如果矩阵 ，那么就说明这个矩阵至少有一行元素不为零，而其它每一行元素都是它的倍数，所以秩为1的 的矩阵就有以下的形式
，假设
都是不为零的实数，那么就有 记
，
那么就有 .这种计算方法就叫做矩阵的乘法结合律 .
例9 已知 ，求 （ 为自然数）.
解对 进行初等变换，我们发现矩阵的秩为1，即 ，假设
，
而 是 阶 块，因为 ，所以有 .那么
这时候要求 块的高次幂就可以得出以下结果：
，
而其中 ，且 . 为矩阵 的特征根 .
例5已知矩阵 试求 （ 为自然数）.
解因为 ，所以 的初等
因子为 ，故矩阵 相似于 标准形
.
现在我们求可逆矩阵 ，使得 .假设 所以有
，
通过计算我们可以得出 ，所以
，且 ，
.
例6 求矩阵 的 次幂.
.
注通过观察这两个矩阵可以知道，在求解矩阵高次幂问题的过程中，数学归纳法的关键就是通过较低矩阵次幂的计算结果来正确的总结出 ，进而来进行验证所总结出来的是否正确，但是这种方法不是所有的矩阵高次幂都可以应运，它只能用于一些较为简单矩阵而且较为特殊的矩阵，就类似于上面的两道例题.
2.2利用二项式展开法求矩阵的高次幂
例1 已知矩阵 ,试求 .
解因为 所以
，由 这两个矩阵的规律就可以得出， 的第一行元素就是 展开式的三个元素，而 的第一行的元素是 展开式的前三个元素，所以可以归纳总结出 的第一行元素就应该是 的展开式的前三个元素，也就是 ，所以猜测 为
.
下面利用数学归纳法进行证明.显然当 的时候是成立的；假设 是成立的，则求出 的结果
例7 已知矩阵 ，试求 .
解先将 写成分块阵 ，其中 ， ，则
，下面求 .
从而
.
例8已知 ，求 .
解矩阵 可分块成 而 ，所以
于是就变成求 和 ，
因为 ，而 所以
，
又 ，其中 ，又 根据二项式展开式得
，
于是求得
注在我们应用分块对角矩阵求矩阵的高次幂的时候，我们一定要心里清楚我们要将那些分在一块，在解题的过程中要学会多种方法联系起来.
.
特别地，当 阶矩阵 的主对角线上元素相同的时候，那么这样的矩阵 可以表示为一个纯量矩阵 与另外一个矩阵 的和，也就是 ，并且所给出的矩阵 的高次幂是比较容易计算出来的，那么这样的矩阵就可以用这种方法比较简单明了 .
本科毕业论文
摘 要
矩阵是许多实际问题中抽象出来的一个概念，它是高等代数的一个重要组成部分，它几乎贯穿于高等代数的各个章节，在自然学科各分支及经济管理等领域有着广泛的应用.正因为它广泛的应用又是解决众多问题的有力工具，所以，学习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而，矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了计算矩阵高次幂方面的重要环节，为此很多学者都花了很大的精力去探讨研究，本文将在他们的研究基础上，应用实例通过数学归纳法，乘法结合律的方法，二项式展开式的方法，分块对角矩阵的方法， 标准形法，最小多项式的方法和特殊矩阵法等多种方法来求解方阵的高次幂，进而为 阶矩阵的幂运算来提供一个参考.
例3 已知矩阵 ，试求 .
解 首先我们将矩阵 分解为
，而其中 ，
容易得出并验证矩阵 满足
，也就是说 和 是可以交换的，根据二项式展开公式得
.
例4已知 ，求 .
解首先我们将矩阵 分解为 ，也就是
，
而其中的 为 ，又因为 ，所以
.
注通过观察我们可以知道，在求解这一类的矩阵问题的时候，我们首先要做的就是判断这个所给出的矩阵能否被分解，其次分解的矩阵的高次幂是比较容易计算出来的.
关键词:数学归纳法;二项展开式;矩阵的幂;相似矩阵.
Abstract
Matrix is a concept many practical problems in the abstract, it is an important part of the linear algebra, it is almost throughout the various sections of linear algebra, in the field of natural sciences and economic management of the branch has a wide range of applications. Just because it wide range of applications and is a powerful tool for solving many problems, so learn and master the operation and their method of operation rules and good matrix is a matrix of knowledge we learn a very important part. For matrix power calculations, it is Matrix multiplication is based; however, the matrix exponential operation is more complex but also particularly troublesome, so look for a simple calculation method has become an important part of computing power matrix high regard, for many scholars have spent a lot of research effort to investigate, the paper will be on the basis of their research, application examples by mathematical induction, multiplication associative approach, binomial expansion method, the method block diagonal matrix, standard form method, minimal polynomial a variety of methods and special methods to solve the matrix method phalanx of high-power, and thus the power to order matrix operations to provide a reference.
目前，关于矩阵的高次幂的计算问题，有很多学者对此都进行了大量的研究，文献[1，2-13,15]从不同角度阐述了矩阵的高次幂的计算问题.本文在这些研究基础之上，用分类讨论的办法，系统而又全面地介绍了一般的 阶矩阵和一些特殊的矩阵的高次幂的求解方法.对于那些简单的矩阵，有关它们的低次幂求解，我们就可以直接按照矩阵乘法的定义去求解；但对于矩阵的秩为1的 阶矩阵，我们可以考虑用矩阵乘法结合律的方法求解；此外，我们还可以用二项式展开法，分块对角矩阵的方法；对于一般情况下的 阶矩阵的求解，我们可以采用Jordan标准形的方法、最小多项式的方法去求解；然而我们还可以用一些特殊的矩阵去求解（比如对合矩阵，幂等矩阵）.
解已知矩阵的特征矩阵为
，
所以矩阵 与 矩阵 相似.令其相似变换阵为可逆矩阵
，因为 ，所以
即有 ，解这三个线性方程组可以得特
征向量 ，所以
，
又因为 ，所以
注在 矩阵解题的时候我们要注意，我们所解的这个问题有没有可逆阵，它是不是和我们的 是相似的.这是应用 的前提.
2.4 利用分块对角矩阵求矩阵的高次幂
Keywords：Mathematical induction; power matrix;; binomial expansion similar matrix.
引 言
矩阵是高等代数的主要内容之一，是处理线性方程组、二次型、线性变换等问题的重要工具，基本上贯穿于研究高等代数问题的始终.矩阵的理论和计算方法对于我们研究的许多问题都起着很重要的推动作用，同时也是解决数学以及大多数的科学领域中问题的重要工具，它有着十分广泛的应用.学习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而，矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了在计算矩阵高次幂幂方面的重要课题.
这也就说明矩阵 的最小多项式 也是它的特征多项式 的因子，这个事实具有一般性，并且有着4个结论
可以整除任何一个以矩阵 为根的且首项系数为1的多项式；
和 是有一样的根（不算重复的，且两个根的数目不一定相等）；
如果两个矩阵是相似矩阵，那么它们两个的最小多项式就是相同的；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，而 是矩阵 的第 个不变因子.
例11已知 ，求 .
2.3 利用 标准形求矩阵的高次幂
定义2 我们将形式为
的矩阵称为 块，其中 是复数，由这样若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为 矩阵，其一般形式为 ，其中
，
并且 中有一些是可以相等的.
根据 定理我们可以得出，假如矩阵 ，那么矩阵 与一个 矩阵 相似，这个 矩阵 除去 块的排列顺序以外是被矩阵 唯一确定了的，那么我们就称这样的矩阵 为矩阵 的 标准形式.也就是存在 阶可逆矩阵 ，使得
在这些诸多的方法中，它们都只不过为 阶矩阵的幂运算提供了一个参考.所以在实际应用中，我们可以根据矩阵的不同，采用不同的运算方法去化简矩阵的幂计算.
1 准备知识
在矩阵的计算中，乘法是最常用的一种方法.特别是，当一个矩阵是方阵的时候，也就是这个矩阵有 行 列，可以定义这个矩阵和它本身的乘法运算，那就是我们所说的矩阵的幂.
，
显然当 时结论也是成立的，故上述所假设的结论是正确的.所以求得 的结果也就是 .
例2 设 ，计算 .
解因为 ， ， .
所以猜想 .
下面利用数学归纳法进行证明.当 时，结论显然成立；假设 时，结论也是成立的，也就是 ，则当 时，
显然当 时结论也是成立的，故上述所假设的结论是正确的，由数学归纳法知 的求解结果是
，那么 ，且 ，所以
.
例10 ，求 .
解因为 所以
=
又因为 ，则
.
注确定应用乘法结合律解题以后，我们心里就要明白
这个公式，并且熟记于心，这是应用乘法结合律的关键.
2.6 利用最小多项式解矩阵的高次幂
定理3（哈密尔顿-凯莱定理 ）设 是 阶矩阵， 是 的特征多项式，
令 ，所以
.
根据以上定理我们可以知道，以 阶矩阵 为根的特征多项式有很多，但我们把首项系数为1的、次数最小的并且用矩阵 为根的多项式，就叫做矩阵 的最小多项式，经常用 来表示.
定义1 假设矩阵 是 矩阵（ 阶方阵）， 是正整数，那么就把形式 称为 的 次幂.
方阵的幂运算规律：
，
其中 ， 均为非负整数.
2 阶矩阵 的高次幂的一些求法以及应用
2.1 利用数学归纳法求解 阶矩阵的高次幂
数学归纳法在初等数学中就有很广泛的应用，是在计算数学命题中常用的一种方法.在求矩阵方幂问题的时候，在一些特别的情况下就可以利用数学归纳法来计算出矩阵的高阶次幂.关于求矩阵高次幂的根本思路就是：先计算出方阵的 等较低次幂的矩阵，再利用 等较低次幂矩阵的计算结果，由归纳法猜测 的表达式，最后利用数学归纳法加以证明 对于一切自然数都成立（其中 下同）.
当给出的矩阵的阶数较大的时候，我们就可以利用一些横线和竖线把这个矩阵分成许多的小块，这些小块就是矩阵的子阵.如果这个矩阵能被分成对角形式，那么我们就可以把求解高次幂的矩阵的问题转变为求解简单子阵的高次幂问题再计算上，进而达到简化求解的目的.
由分块对角矩阵
得 ，
其中 都为方阵，而我们常用的子块的高次幂的计算结果有
2.5 利用乘法结合律求方阵的高次幂
如果矩阵 ，那么就说明这个矩阵至少有一行元素不为零，而其它每一行元素都是它的倍数，所以秩为1的 的矩阵就有以下的形式
，假设
都是不为零的实数，那么就有 记
，
那么就有 .这种计算方法就叫做矩阵的乘法结合律 .
例9 已知 ，求 （ 为自然数）.
解对 进行初等变换，我们发现矩阵的秩为1，即 ，假设
，
而 是 阶 块，因为 ，所以有 .那么
这时候要求 块的高次幂就可以得出以下结果：
，
而其中 ，且 . 为矩阵 的特征根 .
例5已知矩阵 试求 （ 为自然数）.
解因为 ，所以 的初等
因子为 ，故矩阵 相似于 标准形
.
现在我们求可逆矩阵 ，使得 .假设 所以有
，
通过计算我们可以得出 ，所以
，且 ，
.
例6 求矩阵 的 次幂.
.
注通过观察这两个矩阵可以知道，在求解矩阵高次幂问题的过程中，数学归纳法的关键就是通过较低矩阵次幂的计算结果来正确的总结出 ，进而来进行验证所总结出来的是否正确，但是这种方法不是所有的矩阵高次幂都可以应运，它只能用于一些较为简单矩阵而且较为特殊的矩阵，就类似于上面的两道例题.
2.2利用二项式展开法求矩阵的高次幂
例1 已知矩阵 ,试求 .
解因为 所以
，由 这两个矩阵的规律就可以得出， 的第一行元素就是 展开式的三个元素，而 的第一行的元素是 展开式的前三个元素，所以可以归纳总结出 的第一行元素就应该是 的展开式的前三个元素，也就是 ，所以猜测 为
.
下面利用数学归纳法进行证明.显然当 的时候是成立的；假设 是成立的，则求出 的结果
例7 已知矩阵 ，试求 .
解先将 写成分块阵 ，其中 ， ，则
，下面求 .
从而
.
例8已知 ，求 .
解矩阵 可分块成 而 ，所以
于是就变成求 和 ，
因为 ，而 所以
，
又 ，其中 ，又 根据二项式展开式得
，
于是求得
注在我们应用分块对角矩阵求矩阵的高次幂的时候，我们一定要心里清楚我们要将那些分在一块，在解题的过程中要学会多种方法联系起来.