幂零矩阵迹的特征

设A ，B 是n 阶矩阵，令C A B B A =-，且C 同A ，B 可交换，求证：存在整数m 使 0m

C =.

证明 因为C

同

A ，

B 可交换即,A

C C A B C C B ==，所以有

22()()()C A C C A C AC C A C AC ====,即2C 与A 可交换.同理可证k

C （1,2...k n =）

与A 可交换，k C （1,2...k n =）与B 可交换. 下证0k

trC

=（1,2...k n =）.

()()()0

trC tr AB BA tr AB tr BA =-=-=2

[()]()()()()()()0trC tr C AB BA tr CAB tr CBA tr ACB tr CBA tr CBA tr CBA =-=-=-=-=

同理可证：0,1,2...k

trC

k n ==.下证C 的所有特征值为零.

设C 的所有特征值为n λλλ...,21，所以k

C 的所有特征值为k

n k

k

λλλ...,21.下面证明n λλλ...,21都为零.

由0k trC =，12...k =，

可得： 设C 的不为零的特征值分别为n λλλ...,21，且分别为1

2

,,...,r

s

s s 重.则上式可

写成：

22122222112010

1......01

2.........r r k k k

r

r r r s s s s s s s s s λλλλλλλλλ⎧+=⎪

⎪

+=⎪⎨

⎪

⎪+=⎪⎩++++++ 令1

22221

2

1

2

............

...

......

r

r r r r r L λλλλλ

λ

λλ

λ⎛⎫ ⎪ ⎪=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，所以上式可写成120...r L s s s ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.而由范德蒙行列式可知121...()n

i j i j n

L λλλλλ≤<≤=⋅-∏

，又C 的特征值n λλλ...,21互不相等，所以0L ≠，所以上式

只有零解，所以C 的特征值全为零.

若C 的所有特征值为零，则根据哈密尔顿-凯莱定理知存在m 使0m

C

=.命题得证.

1222212

1

2

00......

.........n n

k k k n

λλλ

λλλ

λλλ

+=⎧⎪+

=⎪⎨⎪

⎪+

=⎩++++++

注：对于][x P 中的线性变换B A ,，令)()(),()('

x xf x Bf x f x Af ==，则有e BA AB =-（e 为恒等变换）.[13]

命题1 若,n n

A B C ⨯∈，且AB BA =，则A 与B 一定存在公共的特征向量.

证明 因为n n

A C ⨯∈，则A 在复数域上一定存在特征值，取A 的任一个特征值λ，考虑λ的特征

子空间

{}n

V C

A λξξλξ=∈=

设dim V k λ=，则0k >，设12,,,k εεε 为V λ的一组基，则i V λε∈，于是有i i A ελε=，

1,2,,i k = .

在下面的证明中，我们将证明存在A 的属于λ的一个特征向量η，使η也是B 的一个特征向量，即存在某数μ使B ημη=成立，从而η为A 与B 的公共特征向量.

由于12,,,k εεε 为V λ的一组基，设

1122k k c c c ηεεε=++ （1）

由i i A ελε=，则()()()()i i i i A B B A B B εελελε===，即得i B V λε∈，1,2,,i k = .则有

ij l C ∈，,1,2,,i j k = ，使得

11112121212122221122k k

k k

k

k k kk k B l l l B l l l B l l l εεεεεεεεεεεε

=+++⎧⎪

=+++⎪⎨

⎪

⎪=+++⎩ 下步将寻找不全为零的12,,,k c c c ，使（1）成立，并且使η为A 与B 的公共特征向量.

1122()k k B B c c c ηεεε=+++ 1122k k c B c B c B εεε=+++

1111212111()()k k k k kk k c l l l c l l εεεεε=+++++++

1111111()()k k k kk k k l c l c l c l c εε=++++++

而112211()()()k k k k c c c c c μημεεεμεμε=+++=++ 由B ημη=及12,,,k εεε 线性无关，得

11112211211222221122

k k k k k k kk k k l c l c l c c l c l c l c c l c l c l c c

μμμ+++=⎧⎪

+++=⎪⎨

⎪

⎪+++=⎩ （2）

即

11

11

11

k k kk k k l l c c l l c c μ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

， 记()

ij

k k

L l ⨯=，即得

1

1k

k c c L c c μ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 也即()100k

c L c μ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

E -= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（3） 当

0L μE -=时，上式有非0解，此式说明μ是L 的特征值.命题1证毕.

命题1证明了A 与B 有公共的特征向量，通过定理1的证明，我们还看出， 对于A 的任一特征值，

属于该特征值的所有特征向量中，一定存在B 的特征向量.于是有推论：

推论 1 若复方阵,A B 满足AB BA =，且A 有r 个互不相同的特征值，则A 与B 至少有r 个线性无关的公共特征向量.

证明 设12,,,r λλλ 是A 的r 个互不相同的特征值，按照定理1的证明，在A 的每个特征子空间

i V λ中都存在B 的特征向量i ξ，1,2,,i r = ，而属于不同特征值的特征向量必线性无关，得

12,,,r ξξξ 是A 与B 的r 个线性无关的公共特征向量.

推论 2 若n 阶复方阵,A B 满足AB BA =，且A 有n 个互不相同的特征值，则存在可逆矩阵P ，

使得1

P AP -与1

P BP -都是对角矩阵.

证明 由推论1知A 与B 有n 个线性无关的公共特征向量12,,,n ξξξ ，作矩阵

12(,,,)n P ξξξ= ，则1P AP -与1P BP -都是对角矩阵.