第4章 线性方程组和矩阵特征值的迭代解法

第4章 线性方程组和矩阵特征值的迭代解法

线性代数计算方法中的迭代解法（即迭代法）是一类重要方法。其基本思想是构造适当的矩阵序列或向量序列，使其逐步逼近所求问题的精确解，故又称矩阵迭代方法。在求解阶数较高且零系数较多的大型稀疏线性代数方程组时，迭代法是很有效的。矩阵特征值问题的求解通常也要用迭代法。本章着重介绍求解线性代数方程组常用的简单迭代法及其收敛条件，并对计算矩阵特征值问题的雅可比方法和QR 方法作一些介绍。

4.1 线性代数方程组的迭代解法

线性方程组(3.1)的迭代解法其基本思想与一元非线性方程的迭代解法类似，即构造适当的迭代公式，任选一个初始向量)0(x 进行迭代计算，使生成的向量序列,,)1()0(x x …，)(k x ,…收敛于方程组的精确解。

4.1.1 简单迭代法的一般形式

设方程组(3.1)的系数矩阵非奇异，把它化为等价的方程组

g Mx x += (4.1)

其中

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡=n n nn n n n n x x x g g g m m m m m m m m m M M Λ

ΛΛΛ

21212122221

11211,,x g M

按(4.1)构造迭代公式

Λ,2,1,0,)()1(=+=+k k k g x M x (4.2)

其中),1,0(],,,[T

)()(2

)(1)(ΛΛ==k x x x k n k k k x 。任取初始向量)0(x ，用(4.2)逐次计算近似解向量,,x ,,x ,x ΛΛ)()2()1(k 这种方法称为简单迭代法，称(4.2)为简单迭代公式，M 为迭代矩阵。

公式的分量形式是

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=+++n

k n nn k n k n k n

k n n k k k k n n k k k g x m x m x m x g x m x m x m x g x m x m x m x )()(22)(11)1(2

)(2)(222)(121)1(21)

(1)(212)(111)

1(1ΛΛ

ΛΛΛΛΛ

即 ),2,1,0(,

,,2,1,1

)()1(ΛΛ==+=∑=+k n i g x m x i n

j k j ij k i (4.3)

如果)

(k x

的各分量存在极限

n i x x i k i k ,,2,1,lim )(Λ==*∞

→ (4.4)

则称向量序列}{)(k x 收敛于向量T 2

1][****=n x x x ,,,x Λ，并记为 *∞

→=x x )(lim k k (4.5)

这时，称简单迭代法(4.2)是收敛的，否则就是发散的。

当(4.2) 收敛时，容易看出*x 满足方程组(4.1)，从而必定是原方程组(3.1)的解。实际计算时，一般用

ε<--≤≤)1()(1max k i k i n

i x x (4.6)

来控制迭代结束，取)(k x 为满足要求的近似解，其中ε是指定的精度要求。这样做的理论根据将在后面(4.23)中指出。

例如下面左边的方程组可改写为右边的同解方程组

⎩⎨⎧=-=+45.032.02121x x x x ⎩⎨⎧+-=+=

32.045.012

21x x x x

取0)

0(2

)0(1==x x ，可构造迭代公式 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=

++32.045.0)

(1)1(2

)

(2)1(1k k k k x x x x ， ,.....2,1,0=k 这是分量形式。若写成矩阵形式就是(4.2),其中

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)(2)(1)

(,34,02.05.00k k k x x x

g M M 就是迭代矩阵。容易计算出

⎪⎩⎪⎨⎧==34)1(2)1(1x x ，⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+=2.232.05.545.0)1(1)2(2)1(2)2(1x x x x ，ΛΛ,9.132.01.545.0)

2(1)3(2

)2(2)3(1⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+=

x x x x 设精度要求为005.0=ε，计算结果如表4.1所示。

999.1,001.5)

7(22)7(11====x x x x

上例中的迭代公式是收敛的，当∞→k 时，)(1k x 和)

(2k x 的值越来越靠近准确解5和2。

对给定的方程组，可以构造各种迭代公式，下面介绍两种常用的简单迭代公式。

4.1.2 雅可比迭代法

设方程组(3.1)的系数矩阵A 非奇异，其主对角元素),,2,1(0n i a ii Λ=≠，并且绝对值相对来说比较大，我们从方程组的第i 个方程

n i b x a x a x a x a i n in i ii i i ,,2,1,2211ΛΛΛ==+++++ 中解出i x ，得到等价的方程组 n i a b x a a x ii

i

n

i j j j ii

ij i ,,2,1,1Λ=+

-=∑

≠= (4.7) 即 f Bx x += (4.8) 其中

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--

--

---

-

-

=nn n nn n nn

n nn

n n n a b a b a b a a

a a a a a a a a

a

a a a a a a a M M ΛM O M M O

M ΛΛ222111321222222322

211111113

1112,00

0f B 由(4.7)构造迭代公式

),2,1,0(,,,2,1,1)()1(ΛΛ==+

-=∑

≠=+k n i a b x a a x

ii

i

n

i

j j k j ii

ij k i (4.9) 其矩阵形式为

Λ,2,1,0,)()1(=+=+k k k f x B x (4.10)

我们称(4.9)或(4.10)为雅可比(Jacobi)迭代公式，B 为雅可比迭代矩阵。任取初始向量

T

)0()0(2)0(1)0(],,,[n x x x Λ=x ，按上述迭代公式逐次计算Λ,,)2()1(x x ，这就是雅可比迭代法，这是

一种简单迭代法。

例4.1 用雅可比迭代法求解方程组

⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=-+-=-4571029103232131

x x x x x x x 精度要求为ε=0.005，用5位有效数字计算。 解 将方程组写成等价的方程组