实际问题与一元一次方程
七年级上册 第三章实际问题与一元一次方程
产品类型 螺钉 螺母
生产人数
x 22-x
单人产量 1200 2000
总产量 1200 x 2000(22－x)
解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.
依题意，得 2000(22－x)＝2×1200x .
还有别的方法吗？
解方程，得 x＝10.
所以
22－x＝12.
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
4. 某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿，现有
10立方米的木材，怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌
腿刚好配套，共可生产多少张方桌？(一张方桌有1个桌面，4条桌腿)
解：设用 x 立方米的木材做桌面，则用 (10－x) 立方米的木材做桌腿. 根据题意，得 4×50x = 300(10－x)， 解得 x =6，所以 10－x = 4， 可做方桌为50×6=300(张). 答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张
解：设共有x人生产圆形铁片，则共有（42-x）人生产长方形铁片，根据 题意列方程得： 120x=2×80（42-x） 解得x=24， 则42-x=42-24=18． 答：共有24人生产圆形铁片，18人生产长方形铁片，才能使生产的铁片恰好配套．
10.某纺织厂有纺织工人300名，为增产创收，该纺织厂又增设了制衣车间， 准备将这300名纺织工人合理分配到纺织车间和制衣车间．现在知道工人每人 每天平均能织布30米或制4件成衣，每件成衣用布1.5米，若使生产出的布匹 刚好制成成衣，求应有多少人去生产成衣？
列表分析：
生产的套数是一样的
产品类型 生产人数 单人产量 总产量 产品套数
螺钉
实际问题与一元一次方程相遇、追及问题
在运动场上，一运动员追赶另一运动员，当两者之间的距离 达到一定值时，追赶的运动员刚好完成一圈。这类问题也可 以通过一元一次方程求解，找出追赶过程中两运动员所走的 路程之差等于运动场周长。
行程中的相遇与追及问题
行程中的相遇问题
在两个城市之间有一条直线路段和一条 弯曲路段，两辆汽车从两个城市同时出 发，经过一段时间后在某点相遇。这类 问题可以通过一元一次方程求解，找出 相遇时两辆汽车所走的路程之和等于两 个城市之间的距离。
假设两个物体的运动速度分别 为v1和v2，运动时间为t，相遇 点距离为d。
则有方程：d = v1 × t + v2 × t
解这个方程可以求出时间t，1
例如：甲、乙两辆汽车从相距 100公里的两地同时出发，相向 而行，最终在某一点相遇。
02
应用一元一次方程可以求出两辆 汽车相遇的时间和地点，为实际 交通规划提供参考。
解方程
解这个一元一次方程，可以得到时间t的值。
追及问题的实际应用
01
02
03
交通问题
如汽车追赶公交车、自行 车追赶公交车等。
运动比赛
如运动员追赶对手、赛跑 等。
日常生活
如追赶公交车、追赶火车 等。
03
相遇与追及问题的解法
代数法
代数法是通过设立方程来求解相遇与追及问题的方法。
设立方程时，需要将问题中的已知条件和未知数表示出来，然后通过解方程来找到 未知数的值。
代数法适用于各种类型的相遇与追及问题，是解决这类问题最常用的方法之一。
图像法
图像法是通过画图来直观地解决相遇 与追及问题的方法。
图像法适用于一些较为简单的问题， 可以帮助我们快速找到问题的答案。
实际问题与一元一次方程洋葱数学
实际问题与一元一次方程洋葱数学摘要：一、实际问题与一元一次方程的关联1.实际生活中的问题2.一元一次方程的应用3.洋葱数学与实际问题的结合二、一元一次方程的基本概念1.一元一次方程的定义2.常见的一元一次方程形式3.一元一次方程的解法三、洋葱数学解决一元一次方程的实例1.问题背景及分析2.利用洋葱数学解一元一次方程3.结果与讨论正文：一、实际问题与一元一次方程的关联在现实生活中，我们常常会遇到各种需要解决的问题。
这些问题可能涉及到数量、时间和各种变量的关系。
一元一次方程正是用来描述这类关系的数学工具。
通过建立一元一次方程，我们可以将实际问题转化为数学问题，从而更方便地分析和解决。
洋葱数学作为一种寓教于乐的在线教育平台，巧妙地将实际问题与一元一次方程相结合，使得学习变得更加生动有趣。
二、一元一次方程的基本概念1.一元一次方程的定义：一元一次方程是指形如ax + b = 0 的方程，其中a 和b 是已知数，x 是未知数。
2.常见的一元一次方程形式：除了ax + b = 0 的标准形式外，一元一次方程还可以有其他形式，如a1x + a2 = b、ax + by = c 等。
3.一元一次方程的解法：求解一元一次方程的方法有多种，如直接开平方法、因式分解法、完全平方公式法等。
其中最常用的是直接开平方法，即x = -b / a。
三、洋葱数学解决一元一次方程的实例1.问题背景及分析：假设有一个果园，苹果树的数量是梨树的两倍，已知苹果树有15 棵，求梨树的数量。
2.利用洋葱数学解一元一次方程：首先，根据题意可以建立一元一次方程：2x = 15，其中x 表示梨树的数量。
3.结果与讨论：将方程2x = 15 带入求解，得到x = 7.5。
由于梨树的数量应该是整数，所以这个结果并不符合实际情况。
此时，我们需要对题目进行进一步的分析，找出问题所在。
通过回顾题目，我们发现题目中“苹果树的数量是梨树的两倍”这一条件并未给出，因此需要补充这一条件，重新建立一元一次方程。
实际问题与一元一次方程
实际问题与一元一次方程实际问题与一元一次方程我们生活在一个充满实际问题的世界中，这些问题可以涉及到各个领域，例如财务管理、物理学、化学和生物学等等。
很多时候解决这些实际问题需要运用数学知识，特别是代数中的方程。
其中，一元一次方程是最简单也是最常见的一种方程。
一元一次方程可以写成形如ax + b = 0的形式，其中a和b是已知的常数，而x是未知数。
这种方程可以通过变量的代数运算来求解，从而得到未知数的值。
这样，我们可以将实际问题转化为一元一次方程，然后求解方程，最终得到实际问题的答案。
下面我将给出几个实际问题，并使用一元一次方程来解决这些问题。
问题1：电影院售票问题某个电影院的票价为67元，一天售出的票数为150张，总共收入9945元。
求这个电影院的固定费用。
我们可以将这个问题转化为一个一元一次方程。
设固定费用为x元，则电影院的总收入等于售票收入加上固定费用。
根据题目中的条件，我们可以列出方程：67 * 150 + x = 9945。
通过求解这个方程，我们可以得到固定费用的值。
问题2：汽车油耗问题一辆汽车每行驶100公里，需要消耗8升汽油。
求这辆汽车每公里的油耗。
我们可以设每公里的油耗为x升，则汽车每行驶100公里的总耗油量为100 * x升。
根据题目中的条件，我们可以列出方程：100 * x = 8。
通过求解这个方程，我们可以得到每公里的油耗。
问题3：商品价格打折问题某商店的商品原价为x元，现在打折后的价格为80元，求原价。
我们可以设商品原价为x元，则打折后的价格为80元。
根据题目中的条件，我们可以列出方程：x - 80 = 0。
通过求解这个方程，我们可以得到商品的原价。
通过以上三个问题的解答，我们可以看到一元一次方程在解决实际问题中的应用广泛。
在实际生活中，我们还可以运用一元一次方程来解决许多其他类型的问题，例如距离、速度和时间的关系等。
虽然一元一次方程是最简单的一种方程，但它提供了解决实际问题的基本思路和方法。
一元一次方程与实际问题
一元一次方程与实际问题一元一次方程是数学中最基础、最常见的方程之一。
它由一个未知数和其他数构成，满足未知数的最高次数为一。
实际问题中，一元一次方程可以帮助我们解决很多实际情境中的数学难题。
例如，我们可以利用一元一次方程解决以下几类问题：1. 比例问题：假设一公斤苹果的价格为x元，那么y公斤苹果的价格可以表示为y * x元。
如果知道y=3公斤苹果的价格为6元，我们可以列出方程3x=6。
通过求解这个方程，我们可以得到每公斤苹果的价格x=2元。
2. 几何问题：假设一个长方形的长度为x米，宽度为2米。
如果知道长方形的面积为6平方米，我们可以列出方程x * 2 = 6。
通过求解这个方程，我们可以得到长方形的长度x=3米。
3. 配平化学方程：在化学反应中，我们常常需要配平化学方程以满足质量守恒定律和原子数守恒定律。
一元一次方程可以帮助我们解决配平化学方程的问题。
例如，对于化学反应Na + H2O → NaOH + H2，我们可以列出方程xNa + yH2O → zNaOH + wH2，其中x、y、z、w分别表示相应的系数。
通过求解这个方程系统，我们可以得到配平后的化学方程。
4. 商业问题：一元一次方程也常用于解决商业问题。
例如，假设某公司每个月固定的营业额为20000元，并且每卖出一件商品可以获利50元。
如果该公司希望达到每月利润6000元的目标，我们可以列出方程20000 + 50x = 26000。
通过求解这个方程，我们可以得知该公司需要卖出120件商品才能实现目标利润。
总之，一元一次方程是解决实际问题中的数学工具之一。
通过学习和应用一元一次方程，我们可以解决各种实际情况下的计算难题，并在日常生活中运用数学思维解决实际问题。
《实际问题与一元一次方程》教学设计
《实际问题与一元一次方程》的教学设计一、教材分析本节课内容是列方程解应用题，主要是小学解应用题和中学解应用题的衔接，让学生感受数学与现实生活息息相关，并且体验数学的趣味性，提高学习数学的积极性。
跑套问题和行程问题是初中阶段学习方程与几何问题教学中重要的题型之一，是初中阶段学好代数，几何的基础，由助于提高学生对数学的应用意识，也可以让学生进一步体会列方程是解决数学问题的一种重要工具，为解决动态几何问题起到奠基作用，还对其他学习的学习起到促进作用。
二、教学目标（一）知识目标：1、通过身边的故事，引导学生对生活中的问题进行探讨和研究，学会用方程的思维解决问题；2、借助找关键句或关键词、画线段图或示意图等方法，引导学生正确找出题中的等量关系，列出方程。
（二）能力目标：1、通过小组合作学习活动，培养学生的合作意识和语言表达能力；2、培养学生的观察、分析能力以及用方程思维解决问题的能力。
（三）情感目标：1、使学生在讨论、交流的学习过程中获得积极的情感体验，探索意识、创新意识得到有效发展；2、在分析应用题的过程中，培养学生勇于探索、自主学习的精神，感受到生活中处处存在数学，体验数学的趣味性。
三、设计意图：引导学生的直观思维向抽象思维转变，由特殊到一般的知识转变，使学生清醒的认识事物的发展变化的规律，建立系列问题的分析、解决模板，为更好的融入社会而奠定基础。
通过配套问题和形成问题的学习培养，让学生建立模型思想，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，利用几何直观，帮助学生直观的理解数学，把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，培养学生的创新意识。
四、教学重点、难点：准确分析题意，正确找出题中的等量关系，列出方程解决问题。
五、学情分析1、知识基础情况：学生对行程问题有一定的认识，对解决过的问题有了一定的分类认知，解决问题习惯与算术加法，对问题中的隐含条件在阅读中理解起来有困难，找不准题中的等量关系，列不出方程。
实际问题与一元一次方程
2023实际问题与一元一次方程CATALOGUE目录•引言•实际问题与一元一次方程的基础知识•实际问题与一元一次方程的应用•复杂实际问题与一元一次方程的解决策略•实际问题的创新思考与一元一次方程的拓展应用01引言1什么是实际问题与一元一次方程？23实际问题是指与生活、工作、学习等实际情境相关的问题，通常需要解决的是数量关系和空间关系。
一元一次方程是一种数学模型，它由一个未知数和一个常数组成，并且未知数的最高次数为1。
实际问题与一元一次方程是数学应用题的重要组成部分，通过建立数学模型，解决实际问题。
03增强数学兴趣通过解决实际问题，可以增强对数学的兴趣和好奇心，提高学习数学的积极性。
为什么学习实际问题与一元一次方程？01提高数学应用能力学习实际问题与一元一次方程能够提高数学应用能力，更好地理解数量关系和空间关系，解决实际生活中的问题。
02培养逻辑思维解决实际问题需要分析和推理，学习一元一次方程能够培养逻辑思维和解决问题的能力。
02实际问题与一元一次方程的基础知识一元一次方程是一个等式，其中只包含一个未知数，未知数的最高次数为1。
定义ax + b = 0，其中a、b为常数，且a≠0。
形式通过移项、合并同类项、系数化为1等方法求解未知数的值。
解法将方程中的未知数移到等式的另一边，常数项移到等式的另一边。
移项合并同类项系数化为1将方程中相同类型的项合并。
将方程中的系数化为1，从而得到未知数的值。
030201一元一次方程的应用场景物理应用在物理问题中，一元一次方程可以用来求解物理量之间的关系，如速度、加速度等。
经济应用在经济问题中，一元一次方程可以用来求解成本、价格等问题。
计算应用题在计算问题中，一元一次方程可以用来求解未知数，如工程问题、相遇问题等。
03实际问题与一元一次方程的应用假设商品原价为x元，打折后的价格为y元，折扣率为z，则有方程x × (1-z) = y。
通过该方程可以求解折扣率z和打折后的价格y。
《实际问题与一元一次方程》PPT课件
4.通过探究如何用一元一次方程解决实际问题，体会利用一元一次方程解 决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力.
新课导入 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
每天生产的螺柱数量 = 生产螺柱的工人数量×1200
新课导入 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或 2000个螺母. 1个螺柱需要配2个螺母，为使每天生产的螺柱 和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？
等量关系：每天生产的螺柱数量 : 生产的螺母数量 = 1 : 2
实际问 题与
一元一 次方程
(配套问题)
步骤：
找已知数 和未知数
找等 量关系
设未知数， 求解、检
列方程
验+答题
配套问题等量关系： 利用每套产品中不同部件的比例列方程.
书写步骤： 设、列、解、验、答.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
教科书 第12页练习第1-2题； 第17页习题21.2第4-5题.
生产大齿轮的数量 = 工人量×16
生产大齿轮数量:生产小齿轮数量 = 2:3
生产小齿轮的数量 = 工人量×10
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题 例2.某机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮 16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问 需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大 小齿轮刚好配套？
再见
《实际问题与一元一次方程》 知识清单
《实际问题与一元一次方程》知识清单一元一次方程是我们解决实际问题的有力工具。
在生活中，许多实际情况都可以通过建立一元一次方程来找到解决方案。
接下来，让我们一起梳理一下这部分的重要知识。
一、列一元一次方程解实际问题的一般步骤1、审题认真阅读题目，理解题意，明确题目中的已知量和未知量，以及它们之间的关系。
2、设未知数根据题目中的条件，选择一个合适的未知数，并用字母表示出来。
3、列方程根据题目中的等量关系，列出一元一次方程。
4、解方程求出方程的解。
5、检验将解代入原方程，检验方程的解是否符合实际意义。
6、答写出答案，包括单位。
二、常见的实际问题类型1、行程问题行程问题中，基本的数量关系是：路程＝速度×时间。
（1）相遇问题相遇问题的特点是相向而行，其等量关系为：两者的路程之和等于总路程。
例如：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲的速度为_____千米/小时，乙的速度为_____千米/小时，经过_____小时相遇，A、B 两地相距_____千米。
则可列出方程：甲的路程＋乙的路程＝总路程，即_____×＿____ ＋＿____×＿____ ＝＿____ 。
（2）追及问题追及问题的特点是同向而行，其等量关系为：两者的路程之差等于初始距离。
比如：甲在乙后面，甲的速度比乙快，甲以_____千米/小时的速度追乙，乙的速度为_____千米/小时，经过_____小时甲追上乙，开始时甲乙相距_____千米。
方程为：甲的路程乙的路程＝初始距离，即_____×＿____ ＿____×＿____ ＝＿____ 。
2、工程问题工程问题中，基本的数量关系是：工作总量＝工作效率×工作时间。
通常把工作总量看作单位“1”，工作效率则表示为单位时间内完成的工作量。
例如：一项工程，甲单独完成需要_____天，乙单独完成需要_____天，两人合作需要_____天完成。
2023最新-《一元一次方程与实际问题》教学设计【优秀3篇】
《一元一次方程与实际问题》教学设计【优秀3篇】在教学工作者实际的教学活动中，通常会被要求编写教学设计，借助教学设计可以促进我们快速成长，使教学工作更加科学化。
我们该怎么去写教学设计呢？问渠那得清如许，为有源头活水来，以下是漂亮的编辑帮大家整理的《一元一次方程与实际问题》教学设计【优秀3篇】，欢迎借鉴，希望大家能够喜欢。
实际问题与一元一次方程教学设计篇一【教学目标】1、进一步掌握列一元一次方程解应用题的方法步骤．2、通过分析工作量中的相等关系，进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程模型的作用．3、培养学生自主探究和合作交流的意识和能力，体会数学的应用价值．【教学重点】会运用一元一次方程解决工程问题。
【教学难点】分析工作量中的相等关系，进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程模型的作用．【教学过程】一、复习导入1、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。
那么两人合作多少小时完成？思考：（1）两人合作32小时完成对吗？为什么？（2）甲每小时完成全部工作的；乙每小时完成全部工作的；甲x小时完成全部工作的；乙x小时完成全部工作的。
2、整理一块地，由一个人做要80小时完成。
那么4个人做需要多少小时完成？分析：一个人做1小时完成的工作量是；一个人做x小时完成的工作量是；4个人做x小时完成的工作量是。
3、一项工作，12个人4个小时才能完成。
若这项工作由8个人来做，要多少小时才能完成呢？（1）人均效率（一个人做一小时的工作量）是。
（2）这项工作由8人来做，x小时完成的工作量是。
总结：一个工作由m个人n小时完成，那么人均效率是。
二、合作探究例1整理一批图书，由一个人做要40小时完成。
现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。
假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作分析:这里可以把工作总量看作1请填空：人均效率（一个人做1小时完成的工作量）为，由x人先做4小时，完成的工作量为，再增加2人和前一部分人一起做8小时，完成的工作量为，这项工作分两段完成任务，两段完成任务的工作量之和为。
实际问题与一元一次方程公式总结
b、工程款=工程单价*工作时间S 总= S甲+S乙=甲单价*T甲+乙单价*T乙
c、合作类题型
S 总= S甲+S乙= V甲t甲合作时间+V乙t甲合作时间
三、和倍分差问题
加(和)—+ 减(差)－- 乘(倍)—* 分(除)—/
四、数字问题
123= 1*100+2*10+3*1
实际问题与一元一次方程公式模型总结
一、行程问题(路程=速度*时间)
a、相遇问题
S 总= S甲+S乙 S 总= (V甲+V乙)T
b、追击问题
S 差= S甲-S乙 S 总= S甲+S乙 S 总= (V甲-V乙)T
c、顺逆流问题
V顺=V船+V水
V逆=V船-V水
二、工程问题(a、工程总量=工作时间*工作效率)
xyz=100x+10y+z
五、利润问题
利润=售价-进价(标价-成本)
售价=标价*折数
利润金*期数*利率*(1-利息税)
本息和=本金+利息
年利率=月利率* 12
《实际问题与一元一次方程》课件
03 实际问题中的一元一次方 程应用
行程问题中的一元一次方程
匀速运动问题
通过速度、时间和距离的 关系，建立一元一次方程 求解。
追及问题
根据两物体的相对速度和 时间，建立一元一次方程 求解追及时间或距离。
相遇问题
根据两物体相向而行的速 度和时间，建立一元一次 方程求解相遇时间或距离。
工程问题中的一元一次方程
一元一次方程的概念
一元一次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1 的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的解
使一元一次方程左右两边相等的未知数的值 叫做一元一次方程的解。
一元一次方程的标准形式
ax+b=0（a、b为常数，a≠0）。
解一元一次方程的方法
移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解 一元一次方程。
解的唯一性
唯一性定理
01
一元一次方程的解是唯一的。
证明方法
02
反证法。假设方程有两个不同的解，通过代入和比较，可以得
到矛盾，从而证明解的唯一性。
实际意义
03
在实际问题中，一元一次方程的解往往代表某个具体的数量或
结果，因此解的唯一性非常重要。
解的合理性
解的合理性定义
解必须满足方程的所有条件，并且符合实际问题的背景和意义。
检验方法
将解代入原方程进行验证，同时考虑解是否符合实际问题的约束条件。
不合理解的处理
如果解不合理，需要检查方程的建立过程是否正确，或者考虑是否存在其他因素导致解的不合理。例如，在 实际问题中，解可能是负数或分数，但根据问题的背景，这些解可能不符合实际情况。
05 实际问题与一元一次方程 的综合应用
实际问题中的多元一次方程组转化为一元一次方程
实际问题与一元一次方程知识讲解
实际问题与一元一次方程知识讲解一元一次方程是代数学中最简单的方程形式之一、它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。
一元一次方程的解即未知数x的值，通过求解方程可以找到未知数的具体取值。
在实际生活中，一元一次方程常常用于解决一些实际问题。
下面将通过具体的例子来讲解实际问题与一元一次方程的关系。
例子1：小明买了一些水果，苹果每个卖3元，香蕉每个卖2元，小明花了10元钱，买了5个水果，请问他买了几个苹果和几个香蕉？解题思路：设小明买了x个苹果和y个香蕉，则根据题意可以列出一个一元一次方程：3x+2y=10。
通过求解这个方程，可以得到x和y的具体值。
例子2：一个科技公司的总收入是固定成本加上每件产品的生产成本与售价的乘积，已知总收入是400万元，固定成本是100万元，每件产品的生产成本是50万元，售价是10万元，请问该公司要卖出多少件产品才能达到盈亏平衡？解题思路：设要卖出的产品数量为x，则根据题意可以列出一个一元一次方程：50x+100=10x。
通过求解这个方程，可以得到x的具体值。
从以上两个例子可以看出，实际问题可以转化为一元一次方程来求解。
通过建立合适的方程模型，并对方程进行求解，可以得到实际问题的解答。
在解决实际问题时，我们需要通过分析问题，提取关键信息，并将其转化为数学语言，建立合适的方程模型。
然后，通过对方程进行求解，得到问题的解答。
在实际生活中，一元一次方程还可以用来解决很多其他类型的问题。
例如，可以用一元一次方程来计算两个物体之间的距离、解决速度和时间之间的关系问题、解决两个人同时从不同地点出发相向而行的相遇问题等等。
无论是何种类型的实际问题，我们都可以将其转化为一元一次方程来求解。
在解决实际问题时，我们还需要注意有时方程的解可能没有实际意义，或者有多个解，但只有其中的一个解符合实际要求。
因此，在求解方程的过程中，需要对解进行筛选和验证，以确定最终的解。
总之，一元一次方程是解决实际问题的有力工具之一、通过将实际问题转化为一元一次方程并进行求解，可以得到问题的具体解答。
一元一次方程实际问题类型
一元一次方程实际问题类型
一元一次方程是形如 ax + b = 0 的方程，其中 a 和 b 是已知常数，x 是未知数。
实际问题类型主要包括以下几种：
1. 比例问题：当两个变量之间的关系是比例关系时，可以建立一元一次方程来解决。
例如，如果一辆车以每小时50公里的速度行驶，问行驶 t 小时后行驶了多少公里？可以建立方程50t = d，其中 d 表示行驶的距离。
2. 货币问题：当涉及到货币金额的问题时，可以建立一元一次方程来解决。
例如，小明手里有一些零钱，如果用 5 元的纸币换成 1 元和 0.5 元的硬币，一共得到 120 个硬币，求小明原来有多少零钱？可以建立方程 5x = 1 × y + 0.5 × z，其中 x 表示小明原来的零钱数，y 表示 1 元硬币数量，z 表示 0.5 元硬币数量。
3. 行程问题：当涉及到行程、时间和速度的问题时，可以建立一元一次方程来解决。
例如，一辆车以每小时 60 公里的速度行驶，已行驶 4 小时后与另一辆以每小时 80 公里的速度行驶的车相遇，求另一辆车行驶了多少小时？可以建立方程 60 × 4 = 80x，其中 x 表示另一辆车行驶的小时数。
这些只是一元一次方程实际问题的一些典型例子，实际问题类型还有很多，需要根据具体情况来确定方程的建立。
一元一次方程与实际问题精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版一、和、差问题1． 2004年与1988年奥运会我国共获91枚奖牌，其中2004年比1988年的2 倍多7枚，问：1988年我国获得几枚奖牌？2．一台拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的四分之一，第二天耕了这块地的五分之一，第三天耕了10亩,第四天耕了这块地的三分之一,这时还剩下3亩没耕完，求这块地共有多少亩？3．为了把2008年的北京奥运办成一届绿色奥运 ,五中和十中的同学积极参加绿化工程劳动,两校共绿化了290亩的土地,十中绿化的面积比五中绿化面积的2倍少10亩,这两所中学分别绿化了多少面积?4. 甲班有a人，乙班的人数是甲班人数的2倍少b人，则乙班的人数为。
5. 如果2、2、5和x的平均数为5，而3、4、5、x和y的平均数也是5，那么x＝， y＝。
6.某校共有学生1049人，女生占男生的40%，求男生的人数。
7.两个村共有834人，甲村的人数比乙村的人数的一半还少111人，两村各有多少人？8、盒子里有三种颜色的纽扣一共312个，其中红色纽扣的个数比蓝色的3倍还多8个，绿色纽扣的个数比蓝色的少1个，求这三种颜色的纽扣各是多少？9.甲现有的练习本比乙现有的练习本的2倍还多8本，如果甲把自己的练习本的三分之一送给乙，那么甲将比乙少4本，问甲、乙两人现有练习本各几本？10. 3月12日是植树节，某校在植树活动中种了杨树和杉树两类树种，已知种植杨树的棵数比总数的一半多56棵，杉树的棵数比总数的三分之一少14棵。
两类树种各种了多少棵？11、某班的男生人数比全班人数的85少5人,女生比男生少2人,求全班的人数.二 、行船与飞机飞行问题：航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 12、小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，求该河的水流速度。
13、一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。
实际问题与一元一次方程精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版实际问题与一元一次方程【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．要点二、常见列方程解应用题的几种类型1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．2．行程问题（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．5．利润问题 (1) =100% 利润利润率进价(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)(3) 实际售价＝标价×打折率(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．6．存贷款问题（1）利息=本金×利率×期数（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)（3）实得利息=利息-利息税（4）利息税=利息×利息税率（5）年利率＝月利率×12（6）月利率＝年利率×121 7.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示为10b+a ．选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．【典型例题】类型一、和差倍分问题例1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?类型二、行程问题1.车过桥问题例2.某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．注：火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A点表示火车头)：(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？2.相遇问题（相向问题）例3．小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A、B两地间的路程.【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34km，已知甲车的速度是70km/h，乙车的速度是52km/h，求A、B两站间的距离.3.追及问题（同向问题）例4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了13，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度．4.航行问题（顺逆风问题）例5．盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小时．已知A、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A、B 两地间的距离．【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解．5.环形问题例6．环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的72倍，环城一周是20千米，求两个人的速度.相等关系为：最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20千米.【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65m/min的速度，乙从B 以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?类型三、工程问题例7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?相等关系：甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割23后，改用新式农机，工作效率提高到原来的112倍，因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积．类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）例8．某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m3或运土3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？类型五、利润问题例9．以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现有的价格基础上先提价40%，后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？【变式1】某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？【变式2】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价．类型六、存贷款问题例10．爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为2.7％，五年后取出本息和为17025元，爸爸开始存入多少元.类型七、数字问题例11．一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大2，又个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数.【变式】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，这个两位数又是这两个数字的和的4倍，求这个两位数.类型八、方案设计问题例12．为鼓励学生参加体育锻炼．学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为3:2，单价和为80元．(1)篮球和排球的单价分别是多少元?(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量不少于26个．请探究有哪几种购买方案?【变式】某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的88%购票；方案二：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．(1)若有30位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱?(2)参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多?【课堂练习】1．某校用56m长的篱笆围成一个长方形的生物园，要使长为16 m，则宽为________m．2．小明和他父亲的年龄之和为54，又知父亲年龄是小明年龄的3倍少2岁，则他父亲的年龄为____岁．3. 甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑9米，乙每秒钟跑7米．（1）当两人同时同地背向而行时，经过________秒钟两人首次相遇；（2）两人同时同地同向而行时，经过________秒钟两人首次相遇．4．某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先干一天，然后，甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了x天，乙工作的天数为________，由此可列出方程________________．5. A、B两地相距216千米，甲、乙分别在A、B两地，若甲骑车的速度为15千米/时，乙骑车的速度为12千米/时。
非常全面】实际问题与一元一次方程(十大题型总结)
非常全面】实际问题与一元一次方程(十大题型总结)第三章一元一次方程3.4 实际问题与一元一次方程用一元一次方程解决实际问题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答。
具体解释如下：1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系。
2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数。
3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一。
4）“解”就是解方程，求出未知数的值。
5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可。
6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚。
常见列方程解应用题的几种类型：题型一：和、差、倍、分问题常见以下四种题型：一般和差倍分问题、年龄问题、等积变形问题、比赛积分问题。
例题1：某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？解：设去年该单位捐款钱数为x。
=2x+1000=2xx=（元）例题2：旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25％，第二次旅程中用去剩余汽油的40％，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？解：设油箱里原有的汽油为x升。
x（1-25％）（1-40％）=25%x+x(1-25%)*40%-1x=10题型二：年龄问题例题3：兄弟二人今年分别为25岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，则x年后兄的年龄是25+x，弟的年龄是9+x。
由题意，得2×（9+x）=25+x。
x=7答：7年后兄的年龄是弟的年龄的2倍。
例题4：三位同学甲乙丙，甲比乙大1岁，乙比丙大2岁，三人的年龄之和是41，求甲同学的年龄？解：设甲得年龄是x，乙得年龄是x-1，丙得年龄是x-1-2.x+x-1+x-1-2=41求解得x=15所以甲得年龄是15岁。
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【自主解答】(1)设A型号家用净水器购进了x台，B型号家用净水器购
进了y台．
由题意得：
解得：
所以，A型号家用净水器购进了100台，B型号家用净水器购进了60台．
x y 160, 150x 350y 36 000.
x 100, y 60.
(2)设每台A型号家用净水器的毛利润为z元，则每台B型号家用净水器的毛利润为2z 元． 由题意得：100z+60×2z≥11 000， 解得：z≥50，又150+50=200， 所以，每台A型号家用净水器的售价至少为200元．
24．（2017 常州）某校计划购买一批篮球和足球， 已知购买 2 个篮球和 1 个足球共需 320 元，购买 3 个篮球和 2 个足球共需 540 元． （1）求每个篮球和每个足球的售价； （2）如果学校计划购买这两种球共 50 个，总费 用不超过 5500 元，那么最多可购买多少个足球？试题来自析：（1）设每个篮球和每个足球的售
【解析】设这张相片上的同学有x人，根据题意，得
0.70x≥0.68+0.50x， 解得 x≥3.4， 因为x为正整数，
所以x=4. 答：这张相片上的同学最少有4人.
3.小兰准备用30元买钢笔和笔记本，已知一支钢笔4.5 元，一本笔记本3元，如果她钢笔和笔记本共买了8件， 每一种至少买一件,则她有多少种购买方案？
巩固训练
1.有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210kg， 每捆材料重20kg，电梯最大负荷1 050kg，则该电梯在此 3人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材料. 【解析】设还可搭载x捆材料，列不等式210+20x≤1 050, 解得：x≤42.即最多还可搭载42捆材料 . 答案：42
2.我班几个同学合影留念，每人交0.70元.已知一张彩色 底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张，在将 收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少 有几人？
甲店：100+60×90%=154(元）,
乙店：50+110×95%=154.5（元）, 甲店＜乙店.
典型例题
例 在一次知识竞赛中,有10道抢答题,答对一题得10分, 答错一题扣5分,不答得0分,小玲有一道题没有答,成绩仍 然不低于60分,她至少答对几道题？
【解析设】小玲答对的题数是x，则答错的题数是9－x,根据 题意，得10x-5(9-x)≥60, 解这个不等式，得x≥7 答：她至少答对7道题. 想一想：小玲有几种答题可能？ 小玲有3种答题可能分别是答对7或8或9道题.
价分别为
x
元，y
元，根据题意得： ， 2x y 320 3x 2y 540
解得： . x 100
y
120
答：每个篮球和的售价为 100 元，每个足球
的售价为 120 元；
小结
通过本课时的学习，你有哪些收获？
应用一元一次不等式(组)解决实际问题的步骤：
实际问题
设未知数
找出不等关系
结合实际确 定答案
解不等式
列不等式
感谢下 载
感谢下 载
(2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍,且保证售完这160台家用净水 器的毛利润不低于11000元,求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元(注:毛利润= 售价-进价)
【思路点拨】(1)根据等量关系:A净水器数+B净水器数=160台,A净水器用钱数+B净 水器用钱数=36000元,列方程组即可. (2)根据不等关系:A净水器利润+B净水器利润≥11000元,列不等式求解.
【解析】 设她可以买x支钢笔,则笔记本为(8-x)本， 由题意，得
4.5x+3（8-x）≤30， 解得 x≤4. 因为x为正整数，所以x=4或3或2或1. 答:小兰有4种购买方案, ①4支钢笔和4本笔记本, ②3支钢笔 和5本笔记本,③2支钢笔和6本笔记本, ④1支钢笔和7本笔记 本.
4.某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商 品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后， 凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优 惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品， 一律按商品价格的9.5折优惠.已知小敏5月1日前不是该商 店的会员. （1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时， 实际应支付多少元？ （2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时， 采用方案一更合算？
思考？
乙
如果你要分别购买40元、80 元、140 元、160元商品，应该去哪家商店更优惠？
当购买40元商品时，甲店=乙店=40元. 当购买80元商品时，甲店:80（元），乙店:50+30×95%=78.5 （元）.
甲店>乙店.
当购买140元商品时： 甲店：100+40×90%=136（元）, 乙店：50+90×95%=135.5（元）, 甲店 ＞乙店. 当购买160元商品时：
【解析】（1）120×0.95=114（元）. 答：实际应支付114元. （2）设所购买的商品的价格为x元时，采用方 案一更合算，根据题意，得0.95x＞0.8x+168， 解这个不等式，得x＞1 120. 所以小敏所购买的商品的价格至少为1 120元时，采 用方案一更合算.
知识点一 一元一次不等式的应用 【示范题】(2015·潍坊中考)为提高饮水质量,越来越多的居民开始选购家用净水器.一 商场抓住商机,从厂家购进了A,B两种型号家用净水器共160台,A型号家用净水器进价 是150元/台,B型号家用净水器进价是350元/台,购进两种型号的家用净水器共用去 36000元. (1)求A,B两种型号家用净水器各购进了多少台.
实际问题与一 元一次不等式
情境
我店累计购买100元商品后，再
甲 购买的商品按原价的90%收费
甲商店购物款 达多少元后可
以优惠？
我店累计购买50元商品后，再购买 的商品按原价的95%收费
乙
乙商店 购物款 达多少 元后可 以优惠？
甲 我店累计购买100元商
品后，再购买的商品 按原价的90%收费.
我店累计购买50元商 品后，再购买的商品 按原价的95%收费.