数字三角问题

算法与分析课程设计报告

题目：数字三角问题专业：

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太原工业学院计算机工程系

2012年11 月21 日

一、算法问题描述

给定一个由n行数字组成的数字三角形。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。

二、算法问题形式化表示

对于给定的由n行数字组成的数字三角形，编程计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。

三、期望输入与输出

期望输入：第一行输入数字三角形的行数n，1≤n≤100。接下来n行是数字三角形各行中的数字，所有数字在0~99之间。

期望输出：输出的数是计算出来的最大值。

四、算法分析与步骤描述

最优子结构：从下往上看，最底层到底 n-1 层的最优解包含最底层到底 n 层的最优解；重叠子问题：要求得从最底层到 n 层的解需求的从最低层到 n-1 层的解；由以上两个性质，本题最适合用动态规划解；状态转移方程：res[i-1][j] = max{(array[i-1][j] + res[i][j]),(array[i-1][j+1] + res[i][j])}说明：。array：原数组，res：结果数组。表示第i层第j个数字到最低端的最优解五、问题实例及算法运算步骤

如一个n=4的数字三角形，

5

4 6

8 5 1

3 5 7 2

找一条路径从数字三角形的顶点到底边，是走过路径的数字之和最大。

采用自底向上的递归计算，从n-1行逐次向上递加，舍去一个较小的，最

后只剩顶点和最后一行，即可求出做经过路径的最大值。

六、算法运行截图

七、算法复杂度分析

外层循环用时n，内层用时1、2、。。。。、n，

故总用时1+2+3+。。。。+n=（1+n）*n/2=O（n^2)。