人教版选修2 3132杨辉三角与二项式系数的性质
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数的和等于 2n
同时由于C0n ? 1,上式还可以写成:
C1n
?
C
2 n
?
C3n
??
?
C
n n
?
2n
?1
这是组合总数公式.
应用训练
例1 证明在 (a ? b)n 的展开式中,奇数项的二
项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
分析:奇数项的二项式系数和 Cn0 ? Cn2 ? Cn4 ??
偶数项的二项式系数和 Cn1 ? Cn3 ? Cn5 ? ?
(a
?
b)n
?
C
0 n
a
n
?
C
1 n
a
n?
1b
?
C
2 n
a
n
?
2
b
2
?
?
?
C
r n
a
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
?
r
b
r
?
?
?
C
n n
b
n
二项展开式中的二项式系数指的是那些?共 有多少个?
下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们 先通过杨辉三角 观察n为特殊值时,二项式系数有 什么特点?
探究一: 杨辉三角
( a ? b ) n展开式中的二项式系数,如下表所示:
倒数第二项的二项式系数为Cnn?1
有条件可知
C
3 n
?
7C
n? n
1
解之得:n ? 8
? ? ? ? (3 x ?
2 )8 x
通项为
C8r 3 x 8?r ??? ?
r
2? ?
x?
?
16? 5r
? 1 r C8r 2r x 6
令 16 ? 5r ? 1 6
得 r?2
所以x的一次项系数为112
变式:(1? 2x)n的展开式中第 6项与第7项的系数相
中,令 a ? 1, b ? ? 1 得 ?1? 1?n ? Cn0 ? C1n ? Cn2 ? Cn3 ? ? ? ?? ?1 nCnn
? ? ? ? 即 0? Cn0 ? Cn2 ?? ? Cn1 ? Cn3 ??
所以
C
0 n
?
C
2 n
?
?
?
C
1 n
?
C
3 n
?
?
函数观点
联想到 ? ? 1? x n ? Cn0 ? Cn1x? Cn2x2 ?? ? Cnnxn
所以C
k n
相对于C
k n
?1的增减情况由
k 决定.
二项式系数的性质
(2)增减性与最大值
由: n ? k ? 1 ? 1 ? k ? n ? 1
k
2
可知,当
k
?
n?1 2
时,
二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知
它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得
最大值
二项式系数的性质 (2)增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
把此式看成函数 f?x?? ? ? 1? x n ? Cn0 ? Cn1x? Cn2x2 ?? ? Cnnxn
f??1? ? 0 得到要证的结论.
例2
已知 ( 3 x ?
2 )n x
的展开式中,第
4项的二项式系数是倒数第2项的二项式
系数的7倍,求展开式中x的一次项系数.
解:第四项的二项式系数为
C
3 n
探究二:函数角度下的二项式系数
( a ? b ) n 展开式的二项式
系数依次是:C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
?
,
C
n n
从函数角度看,Crn 可看
成是以r为自变量的函数f (r ) ,
其定义域是:?0,1,2,? , n?
当 n ? 6 时,其图象是右 图中的7个孤立点.
探究三: 二项式系数的性质
系数
C
n
2 n
取得最大值;
n?1
当n为奇数时,中间两项的二项式系数
n?1
Cn
2
、
Cn2 相等,且同时取得最大值。
二项式系数的性质 (3)各二项式系数的和
在二项式定理中,令 a ? b ? ,1 则:
C0n ? C1n ? C2n ? ?
?
C
n n
?
2n
这就是说,(a ? b)n的展开式的各二项式系
? ? 由于 a ? b n ? Cn0a n ? Cn1a n?1b ? Cn2a n? 2b2 ? ? Cnnbn
a , b 可以取任意实数,因此可对 a , b适当赋值得到
要求的和.
? ? 证明:在展开式
a ? b n ? Cn0a n ? Cn1a n?1b ? Cn2a n? 2b2 ? ? Cnnbn
(1)对称性
与首末两端“等距离”的 两个二项式系数相等.
这一性质可直接由公式
C
m n
?
Cn? m n
得到.
图象的对称轴: r ? n 2
二项式系数的性质
(2)增减性与最大值
由于:
C
k n
?
n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? k ?(k ? 1)!
k ? 1)
?
Ck?1 n
?n
?
k k
?
1
n? k?1
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
制作 朱春梅
学习目标
1. 了解杨辉三角,并能有它解决简单的二项式 系数问题 . 2. 了解二项式系数的性质并能简单应用 . 3. 掌握“赋值法”并会灵活应用 .
重点难点
重点:二项式系数性质的应用 . 难点:杨辉三角的特点 .
新课引入
二项定理: 一般地,对于 n? N*有
1.“杨辉三角”的来历
(a ? b)1
(a ? b)2 (a ? b)3 (a ? b)4 (a ? b)5
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
C50C51C52C53C54C55
(a ? b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
当取第6或第7项时,系数最大.
课堂巩固练习
c 1.
C
1 n
?
2
C
2 n
?
4C
3 n
?
?
?
2
n
?
1
C
n n
等于(
)
A.3n
B.3n ? 1
C. 3n ? 1 2
3n D. ? 1
2
? ? 2. a ? b 9 的展开式中,二项式系数的最大值为 —126
3.若 ( a ? b ) n 的展开式中的第十项和第十一项的 二项式系数最大,则 n= 19 ;
……
……
……
(a ? b)n
Cn0Cn1Cn2 r n?1Cnn
2. 你能从“杨辉三角”中发现什么规律吗?
(1)每一行的系数具有对称性 . (2)每一行两端都是 1,且与两个 1等距离 的项的系数相等 .
(3)除1外的每个数都是它 “肩上”两数的和 . (4)每行系数都是先增后减的( n=1除外).
等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项
解:(1?
2
x
)
n
的第六项的系数为
C
5 n
25
,第七项的系数为C
6 n
26
由题意知
C
5 n
25
=
C
6 n
26
解得n=8
?1 ? 2 x ?8的展开式一共有9项,因此二次项系数最大项为第5
项
?1 ? ? ? ? 2 x 8 的展开式的通项为 C8r ?2x?r ? C8r 2r xr r ? 0,1,2,3,4,5,6,7,8
同时由于C0n ? 1,上式还可以写成:
C1n
?
C
2 n
?
C3n
??
?
C
n n
?
2n
?1
这是组合总数公式.
应用训练
例1 证明在 (a ? b)n 的展开式中,奇数项的二
项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
分析:奇数项的二项式系数和 Cn0 ? Cn2 ? Cn4 ??
偶数项的二项式系数和 Cn1 ? Cn3 ? Cn5 ? ?
(a
?
b)n
?
C
0 n
a
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?
C
1 n
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1b
?
C
2 n
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?
r
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?
?
?
C
n n
b
n
二项展开式中的二项式系数指的是那些?共 有多少个?
下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们 先通过杨辉三角 观察n为特殊值时,二项式系数有 什么特点?
探究一: 杨辉三角
( a ? b ) n展开式中的二项式系数,如下表所示:
倒数第二项的二项式系数为Cnn?1
有条件可知
C
3 n
?
7C
n? n
1
解之得:n ? 8
? ? ? ? (3 x ?
2 )8 x
通项为
C8r 3 x 8?r ??? ?
r
2? ?
x?
?
16? 5r
? 1 r C8r 2r x 6
令 16 ? 5r ? 1 6
得 r?2
所以x的一次项系数为112
变式:(1? 2x)n的展开式中第 6项与第7项的系数相
中,令 a ? 1, b ? ? 1 得 ?1? 1?n ? Cn0 ? C1n ? Cn2 ? Cn3 ? ? ? ?? ?1 nCnn
? ? ? ? 即 0? Cn0 ? Cn2 ?? ? Cn1 ? Cn3 ??
所以
C
0 n
?
C
2 n
?
?
?
C
1 n
?
C
3 n
?
?
函数观点
联想到 ? ? 1? x n ? Cn0 ? Cn1x? Cn2x2 ?? ? Cnnxn
所以C
k n
相对于C
k n
?1的增减情况由
k 决定.
二项式系数的性质
(2)增减性与最大值
由: n ? k ? 1 ? 1 ? k ? n ? 1
k
2
可知,当
k
?
n?1 2
时,
二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知
它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得
最大值
二项式系数的性质 (2)增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
把此式看成函数 f?x?? ? ? 1? x n ? Cn0 ? Cn1x? Cn2x2 ?? ? Cnnxn
f??1? ? 0 得到要证的结论.
例2
已知 ( 3 x ?
2 )n x
的展开式中,第
4项的二项式系数是倒数第2项的二项式
系数的7倍,求展开式中x的一次项系数.
解:第四项的二项式系数为
C
3 n
探究二:函数角度下的二项式系数
( a ? b ) n 展开式的二项式
系数依次是:C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
?
,
C
n n
从函数角度看,Crn 可看
成是以r为自变量的函数f (r ) ,
其定义域是:?0,1,2,? , n?
当 n ? 6 时,其图象是右 图中的7个孤立点.
探究三: 二项式系数的性质
系数
C
n
2 n
取得最大值;
n?1
当n为奇数时,中间两项的二项式系数
n?1
Cn
2
、
Cn2 相等,且同时取得最大值。
二项式系数的性质 (3)各二项式系数的和
在二项式定理中,令 a ? b ? ,1 则:
C0n ? C1n ? C2n ? ?
?
C
n n
?
2n
这就是说,(a ? b)n的展开式的各二项式系
? ? 由于 a ? b n ? Cn0a n ? Cn1a n?1b ? Cn2a n? 2b2 ? ? Cnnbn
a , b 可以取任意实数,因此可对 a , b适当赋值得到
要求的和.
? ? 证明:在展开式
a ? b n ? Cn0a n ? Cn1a n?1b ? Cn2a n? 2b2 ? ? Cnnbn
(1)对称性
与首末两端“等距离”的 两个二项式系数相等.
这一性质可直接由公式
C
m n
?
Cn? m n
得到.
图象的对称轴: r ? n 2
二项式系数的性质
(2)增减性与最大值
由于:
C
k n
?
n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? k ?(k ? 1)!
k ? 1)
?
Ck?1 n
?n
?
k k
?
1
n? k?1
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
制作 朱春梅
学习目标
1. 了解杨辉三角,并能有它解决简单的二项式 系数问题 . 2. 了解二项式系数的性质并能简单应用 . 3. 掌握“赋值法”并会灵活应用 .
重点难点
重点:二项式系数性质的应用 . 难点:杨辉三角的特点 .
新课引入
二项定理: 一般地,对于 n? N*有
1.“杨辉三角”的来历
(a ? b)1
(a ? b)2 (a ? b)3 (a ? b)4 (a ? b)5
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
C50C51C52C53C54C55
(a ? b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
当取第6或第7项时,系数最大.
课堂巩固练习
c 1.
C
1 n
?
2
C
2 n
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3 n
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1
C
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等于(
)
A.3n
B.3n ? 1
C. 3n ? 1 2
3n D. ? 1
2
? ? 2. a ? b 9 的展开式中,二项式系数的最大值为 —126
3.若 ( a ? b ) n 的展开式中的第十项和第十一项的 二项式系数最大,则 n= 19 ;
……
……
……
(a ? b)n
Cn0Cn1Cn2 r n?1Cnn
2. 你能从“杨辉三角”中发现什么规律吗?
(1)每一行的系数具有对称性 . (2)每一行两端都是 1,且与两个 1等距离 的项的系数相等 .
(3)除1外的每个数都是它 “肩上”两数的和 . (4)每行系数都是先增后减的( n=1除外).
等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项
解:(1?
2
x
)
n
的第六项的系数为
C
5 n
25
,第七项的系数为C
6 n
26
由题意知
C
5 n
25
=
C
6 n
26
解得n=8
?1 ? 2 x ?8的展开式一共有9项,因此二次项系数最大项为第5
项
?1 ? ? ? ? 2 x 8 的展开式的通项为 C8r ?2x?r ? C8r 2r xr r ? 0,1,2,3,4,5,6,7,8