四年级奥数：数列与数表

四年级奥数：数列与数表
经过观察与归纳找出数与图的规律。

观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说是
“看不出”。

在寻找规律的过程中，必须要高度重视对数、形、式等现象的观察，善
于抓住问题的本质特征进行归纳，从而得出规律。

只有经过观察、思考和试算，发现
数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案。

同学们，通过学习，
希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会
几道题目重要得多。

名
师
点
题
例1
知
识
概
述
1、数列：主要包括
⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象。

⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…
⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…
⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…
2、等差数列通用公式：
通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差
项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1
求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2
3、中项定理：
对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等
于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

4、数表规律
给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的
结论。

具体方法和步骤是：
⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；
⑵猜想符合规律的一般性结论；
⑶验证或证明结论是否正确。

在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到
一起来考察。

（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？ （2）在数列3、6、9……，201和是多少？ （3）如果继续写下去，第201个数是多少？ 【解析】
（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。

项数=（201-3）÷3+1=67
（2）求和公式=（首项+末项）×项数÷2 =（3+201）×67÷2 = 102×67 =6834
（3）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）
末项=3+3⨯（201-1）=603， 第201个数是603
添在图中的三个正方形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律， 确定出A= B = C= ；
【解析】
第一组 （1+2）×3=9 第二组 （2+3）×4=20 第三组 （3+4）×5=35 由分析得：A=35，B=4，C=5.
用相同的立方体摆成下图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？
9 1 2
3
20 2 3 4
A 3 B
C
【解析】
第一层：1
第二层：1+2
第三层：1+2+3
第四层：1+2+3+4
...
第十层：1+2+3+4+…+10=55
（1+10）×10÷2
=11×10÷2
=110÷2
=55 (个)
【巩固拓展】
1、3＋7＋11＋…＋99＝？
【解析】
3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

2、求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

【解析】
末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。

利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。

3、添在图中的三个五边形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律， 确定出
A= B= C= D= ；
【解析】 多线找规律
①中出现123，②出现345，③应该为567，所以B=6 D=7 ①中1+3=4， ②中3+5=8，③5+D=A ， D=7， A=12 ①中1×7=7 ②中3×7=21 ③5×7=35 C=35
4、全部三位数的和是多少？
【解析】所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。

要求和可以利用等差数列求和公式来解答。

（100+999）⨯900÷2
=1099⨯900÷2
=494550
图中是一个堆放铅笔的V 形架,如果最上面一层放60支铅笔. 问一共有多少支铅笔?
例1
1 2
4 3
7 5 B A
D C
3 4 8
5 21
【解析】从最底层到最上层每一层堆放的铅笔支数组成一个等差数列,所以一共放铅笔.
(1+60)×60÷2 =61×60÷2 =3660÷2 =1830(支).
【巩固拓展】
建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。

【解析】
根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。

求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。

项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为: 3+4+5+…+9+10 =(3+10)×8÷2 =13×8÷ 2 =52(根)。

计算：
1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70=
【解析】这是一个综合数列求和，我们把原数列的奇数项和偶数项分开来看 奇数项： ,13,10,7,4,1 偶数项： ,15,12,9,6,3
把奇数项的和求出来，偶数项的和求出来，两个和相加即为原数列的和。

偶数项的项数是：2313)369(=+÷-，那么奇数项的项数就是24123=+。

奇数项的和：852224)701(=÷⨯+， 偶数项的和：828223)693(=÷⨯+， 原数列的和：1680828852=+。

【巩固拓展】
有两个数列对应关系如下表所示：
(1)当B=37时，A=_________． (2)当A=1995 时，B=______． 【解析】
（1）B=37代入项数=（末项 – 首项）÷公差 + 1 求出为第12项
A 的第12项：3+（12-1）×2=25
（2）当A=1995 项数=（1995-3）÷2+1 求出为第997项 B 的第997项：4+（997-1）×3=2992
在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。

问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
例3
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。

【解析】
（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（厘米2）。

(2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。

答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。

【巩固拓展】
用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?
【解析】
如果把图中最上端的一个三角形看做第一层,与第一层紧相连的3个三角形(2个向上的三角形,一个向下的三角形)看做第二层,那么这个图中一共有10层三角形。

不难看出,这10层三角形每层所需火柴棒根数,自上而下依次为:3,6,9,…,3×10。

它们成等差数列,且首项为3,公差为3,项数为10。

求火柴的总根数,也就是求这个等差数列各项的和。

即: 3+6+9+…+30
=(3+30) × 10÷ 2
=33× 5
=165(根)
这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒。

有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
【解析】
提示：开第一把锁时，如果不凑巧，试了49把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试49次，同理，开第二把锁至多需要48次，开第三把锁至多需试47次，…，等打开第49把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。

解：根据以上分析,可以把本题转化为求一个等差数列的和，
即49+48+47+…+2+1
=(49+1)×49÷ 2
=1225(次)
答：至多要试1225次。

【巩固拓展】
1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?
【解析】
59+58+57+…+2+1=(59+1)×59÷2=1770(次)
2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。

一共有几把
锁的钥匙搞乱了?
【解析】
答:一共有8把锁的钥匙搞乱了。

例1
（小机灵杯初赛）
有许多等式：2＋4＋6＝1＋3＋5＋3
8＋10＋12＋14＝7＋9＋11＋13＋4
16＋18＋20＋22＋24＝15＋17＋19＋21＋23＋5
…
第十个等式的右边的和是多少？
【解析】
前九个等式左边的数共有3+4+5+…+11=(3+11)×9÷2=63个数
那么第十个等式左边的第一个数就是第64个：根据通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差
2+（64-1）×2=128.
所以第十个等式右边的数的和：
128+130+132+…+150=(128+150)×12÷2=1668
例2
（第九届小机灵杯五年级复赛）
有若干个根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成下面的图形，找这样下去，第10个图中共用了多少根火柴？
【解析】
把最后一排封底用的火柴分开看。

第一个图，上面用3个，封底用1个
第二个图，上面用3＋7个，封底用3个
第三个图，上面用3＋7＋11个，封底用5个
……
第十个图，上面用3＋7＋11＋15＋……＋=210，封底用19个。

所以一共用了229根火柴。

将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈。

【解析】除周围4个小圆外，中间小圆的规律是1×2，2×3，3×4，……，第6个图有6×7＋4＝46个小圆。

(第七届“中环杯”四年级决赛)
例4
例3
有一串这样的数字：2，0，0，6，0，6，2，0，0，6，0，6，2，0，0，6，0，6 (2006)
数。

其中共
有( )个0，( )个2，( )个6。

【解析】
经过观察，这个数列以“2，0，0，6，0，6”为一周期循环；
因为2006÷6=334……2；
所以共有334×3＋1＝1003个0，334×1＋1=335个2，334×2＝668个6。

(第六届“中环杯”四年级初赛)
有一串数9286…，从第三个数字起，每一个数码都是它前面两个数码积的个位数，那么前100个数码的和
是_______。

【解析】
因为9＋2＝18，2×8＝16，8×6＝48，6×8＝48，8×8＝64，8×4＝32，4×2＝8，…
所以这串数从第二个开始以“286884”的规律不断循环；
因为(100－1)÷6＝16……3；
前100个数码的和是9＋(2＋8＋6＋8＋8＋4)×16＋(2×8＋6)＝601。

盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。

这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。

第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。

因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋ (10)
＝2×55＝110（只）。

加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

1、（第9届中环杯四年级初赛）
计算：1+11+21+…+1991+2001+2011=
【解析】
等差数列求和，项数：（2011-1）÷10+1=202
和：（1+2011）×202÷2=203212
2、四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？
【解析】
假设45位同学排成一队，第1位同学一次与其他同学握手，一共握了44次，第2位同学因与第1位同学已握手，只需要与另外43位同学握手，一共握了43次，这样第3位同学只需与另外的42位同学握手，…，依次类推。

握手的次数分别为：44,43,42，…，3,2,1，这样应用等差数列求和公式即可解答。

解：根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和
即44+43+42+…+3+2+1
=（44+1）×44÷2
=990（次）
答：同学们共握了990次手。

3、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？
【解析】
7+95=102（根）
95-7+1=89（层）
102⨯89÷2=4539（根）
答：这堆圆木一共有4539根。

4、（第9届中环杯初赛）
如图所示，白色和黑色的三角形按顺序排列。

当两种三角形的数量相差12个时，白色三角形有_______个。

【解析】
每个图形两种三角形的个数相差依次成为数列1，2，3，4，5，第12个图形黑白三角形相差
12，
那么白色三角形的个数1+2+3+…+11=66（个）
5、标有A,B,C,D,E,F,G,H记号的八盏灯，顺次排列一行，每盏灯装有一个开关，现在A,C,E,G
开着，其余四盏是灭的，小明从灯A开始顺次拉开关，从A到H，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动2009次后，灭的灯是。

【解析】
从A到H一个周期拉8次，200982511
÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以总共拉了251周期多一次，也就是A灯拉了252次，其他的7盏灯拉了251次，所以灭的灯是C、E、G。

6、（1）如上图这样的形状，如果最底层有11个三角形，那么这堆小三角形共有多少个？
（2）现在共有169个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个？
【解析】根据图示可以得到规律，底层与总数有“2→4，3→9，4→16”的关系。

而22＝4，33=9，44＝16，就是：“底层的个数的平方正好等于总数”。

所以可得：
（1）下层有11个小三角形，共有11×11= 121（个）
（2）因为13 ×13＝ 169，所以 169个小三角形如上图排列，底层有13个小三角形。