第五章 线性控制系统的计算机辅助分析

增广状态方程

自治系统
可以直接求解析解
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一般输入信号的系统增广

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可观测性判定

判定矩阵


等同于 对偶系统： Gram 矩阵 MATLAB 求解
系统的可控性判定

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5.1.6 Kalman 规范分解

Kalman 规范分解
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4个子空间
既不可控又不可观测子空间 可控但不可观测子空间 不可控但可观测子空间 可控且可观测子空间


示意图
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5.1.7 系统状态方程标准型的 MATLAB 求解

常用标准型

单变量系统的标准型
MATLAB 默认的标准型 可控标准型实现 可观测标准型实现 和 Jordan 标准型实现


多变量系统 Luenberger 标准型

侧重点：如何用 MATLAB 直接获取标准型
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单变量系统的标准型

传递函数的一般形式

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基于 MATLAB 的稳定性判定方法

直接判定
状态方程模型、传递函数模型等
eig(G) 可以求出所有特征根 离散系统：abs(eig(G))
由

isstable(G) 也可以用于系统的稳定性判定

图解判定法
连续系统：pzmap(G)
MATLAB 求解 矩阵构造
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例5-5 求 Gram 矩阵
MATLAB 命令


Gram 矩阵
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可控性阶梯分解


对于不完全可控的系统阶梯分解 阶梯标准型

MATLAB 函数调用
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状态方程系统的稳定性

连续线性状态方程

解析阶

稳定性： 矩阵的特征根均有负实部
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离散系统的稳定性

离散系统状态方程

离散系统时域响应解析阶

稳定性判定：所有特征根均在单位圆内
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如果系统中所有的状态都是可控的，则称该系 统为完全可控的系统。 系统的可控性就是指系统内部的状态是不是可 以由外部输出信号控制的性质
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线性系统的可控性判定

可控性判定矩阵


若矩阵 为满秩矩阵，则系统完全可控 基于 MATLAB 的判定方法
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主要内容


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5.2.1 直接积分方法

状态方程的解析解 直接积分语句



得到结果后有必要用simple()函数化简结果 若只需状态变量，则不用乘C
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例5-10 系统的状态方程为

构造可控性判定矩阵
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例5-4 离散状态方程的可控性

MATLAB 求解

判定矩阵 连续、离散
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由 Gram 矩阵判定可控性

引入可控 Gram 矩阵

该矩阵满足 Lyapunov 方程
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第五章 线性控制系统的计算机辅助分析
东北大学信息学院 薛定宇
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本章主要内容
线性系统定性分析 线性系统时域响应解析解法 线性系统的数字仿真分析 根轨迹分析 线性系统频域分析 多变量系统的频域分析
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判定的 MATLAB 函数

内部稳定返回0，内部不稳定但输入输出稳定返 回1，否则返回2
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5.1.3 线性系统的线性相似变换



系统的状态方程表示称为系统实现 不同状态选择下，状态方程不唯一 相似变换
非奇异矩阵 状态变换 新状态方程模型

且
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状态变换公式

MATLAB 直接求解方法

也可以根据上面公式进行变换
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例5-3 已知系统和转换矩阵

MATLAB 求解

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系统的分析方法


充分利用计算机对线性系统进行分析，在统 一的框架下分析各种线性系统的性质 更新系统分析的观念 求解传统方法难以求解的问题
离散系统稳定性如何分析？ Nyquist图、Nichols图没有频率信息，如何弥补？ 高阶系统的根轨迹如何绘制？ 多变量系统如何进行频域分析？


有些内容理论上较深，如果不能理解，知道 如何用MATLAB求解就足够了
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5.2 线性系统时域响应解析解法


给线性系统一个激励信号，输出是什么？ 有两大类方法

解析解方法

求解微分方程、差分方程解析解

数值解方法 基于状态方程的解析解方法 基于传递函数的解析解方法 二阶系统的解析解方法

离散系统的范数定义

范数的 MATLAB 求解
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例5-9 已知离散系统模型
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5-1 系统性质分析小结

介绍了系统定性、定量分析的方法
统一框架下分析系统的稳定性——直接方法，并 介绍了内部稳定性的判定，eig/pzmap/isstable 线性系统的相似变换方法 ss2ss 系统的可控性、可观测性分析及标准型 rank 系统的Kalman分解 系统的范数计算 norm
处理后的传递函数标准型

其中 由前面给出的传递函数标准型可以直接写 出系统的可控和可观测标准型
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传递函数一般形式

可控标准型
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传递函数一般形式

可观测标准型

可控标准型和可观测标准型对偶 可以用转置表示对偶

其中 逐一判定每个子传递函数的稳定性很烦琐 内部稳定性定理
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内部稳定性定理

闭环系统内部稳定的充要条件为

没有不稳定零点 没有不稳定零极点对消


第一个条件等效于输入输出稳定性 判定第2条件即可 可以编写MATLAB函数判定内部稳定性

状态变量初值 输入信号
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5.2.2 基于状态方程的解析解方法

状态方程模型 解析解


求解难点 想法：如果能用某种方法消去积分项最好
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状态增广方法

消除B 矩阵，变成自治系统
离散系统：pzmap(G)，同时画出单位圆
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例5-1 高阶系统稳定性判定

直接分析方法

零极点模型
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例5-2 高阶离散单位负反馈系统模型

MATLAB 求解
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5.1.2 线性反馈系统的内部稳定性

输入、输出稳定是不够的，因为若内部信 号可能过大，对系统作硬件破坏
应该引入内部稳定性概念，保证内部信号 也是稳定的。

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由给定稳定输入 到内部信号 都稳定的系统称为内部稳定系统 传递函数矩阵

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5.1 线性系统性质分析

主要内容
线性系统稳定性分析 线性反馈系统内部稳定性分析 线性系统的相似变换 线性系统可控性分析 线性系统可观测性分析 Kalman 分解 系统状态方程的标准型 系统的范数测度及求解
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变换结果

可见，相似变换能改变系统的结构 引入相似变换矩阵，可以将已知系统转换 成其他的形式
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4.1.4 线性系统的可控性分析

可控性定义

假设系统由状态方程 给出，对任 意的初始时刻 ，如果状态中任一状态 可 以从初始状态 处，由有界的输入信号 的驱动下，在有限时间 内能够到达任意预先 指定的状态 ，则称此状态是可控的。

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5.1.1 线性系统的稳定性分析

给定线性系统模型，如何分析稳定性？
单位负反馈闭环系统 由控制理论可知，用Routh 表格可以判定该系统稳定性。 Edward John Routh (1831-1907) 历史局限性

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若原系统状态方程完全可控，则不必分解
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来自百度文库 例5-6 不完全可控系统
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4.1.5 线性系统的可观测性分析

可观测性定义
假设系统由状态方程 给出，对 任意的初始时刻 ，如果状态空间中任一状 态 在任意有限时刻 的状态 可以由 输出信号在这一时间区间内 的值精 确地确定出来，则称此状态是可观测的。 如果系统中所有的状态都是可观测的，则称 该系统为完全可观测的系统。 系统的可观测性就是指系统内部的状态是不 是可以由系统输出信号重建起来的性质
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可控可观测标准型转换
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Jordan 标准型



MATLAB 变换
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多变量系统的 Leunberger 标准型

由可控性判定矩阵

构造矩阵
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得出 Leunberger 变换矩阵

编写 leunberger.m 函数
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MATLAB 函数清单
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例5-8 已知模型，求Luenberger标准型

MATLAB处理
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5.1.8 系统的范数测度及求解


系统也有范数：范数即测度 范数

范数

范数是系统频域响应的峰值
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标准型的变换方法总结


可控标准型
可观测标准型 Jordan 标准型

Leunberger 标准型
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例5-7

求解可观测标准型

标准型
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Routh 判据的历史局限性


Routh 判据提出时，没有求多项式根的方法
现在求解矩阵特征根、求解多项式方程的 根轻而易举，无需间接方法 Routh 判据只能得出是否稳定，进一步信息 得不出来，如系统是否振荡 离散系统无法由 Routh 方法直接判定，得借 助于 Jury 判据，更复杂 稳定性分析方法不统一