[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷12.doc

[考研类试卷]考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷12

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 方程y'sinx=ylny满足定解条件=e的特解是

2 若C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数中可以看作某个二阶微分方程的通解的是

（A）y=C1x2+C2x+C3．

（B）x2+y2=C．

（C）yIn(C1x)+ln(C1sinx)．

（D）y=C1sin2x+C2cos2x．

3 设C1和C2是两个任意常数，则函数y=e x(C1cos2x+C2sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解．

（A）y''-2y'+5y=4cosx-2sinx

（B）y''-2y'+5y=4sinx-2cosx

（C）y''-5y'+2y=4cosx-2sinx

（D）y''-5y'+2y=4sinx-2cosx

二、填空题

4 当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量

△y=，且y(0)=π，则y(1)=_______．

三、解答题

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)．若

求f(x)．

6 已知xy'+p(x)y=x有解y=e x，求方程满足y｜x=ln2=0的解．

7 已知方程，求满足条件的φ(x)．

8 设f(x)在[0，+∞)上连续，且满足方程

求f(t)．

9 设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y'+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

10 求下列一阶常系数线性差分方程的通解：(Ⅰ)4y t+1+16y t=20； (Ⅱ)2y t+1+10y t-

5t=0；(Ⅲ)y t+1-2y t=2t； (Ⅳ)y t+1-y t=

11 求下列方程满足给定条件的特解：(Ⅰ)y t+1-y t=2t，y0=3；

(Ⅱ)y t+1+4y t=y0=1．

12 已知方程y''+p(x)y'+g(x)y=0，求证： (I)若p(x)+xq(x)≡0，则y=x是方程的一个特解； (Ⅱ)若m2+mp(x)+1(x)≡0，则y=e mx是方程的一个特解．

13 求下列微分方程的通解：(Ⅰ)(x-2)dy=[y+2(x-2)3]dx； (Ⅱ)(1+y2)dx=(arctany-x)dy；(Ⅲ)y'+2y=sinx； (Ⅳ)e y y'-=x2(Ⅴ)(Ⅵ)(x2-3y2)x+(3x2-y2)=0；

(Ⅸ)xdy -ydx=y2e y dy； (Ⅹ)y''+5y'+6y=e x；(Ⅺ)y''+9y=6cos3x．

14 求下列差分方程的通解： (Ⅰ)y t+1-αy t=eβt，其中α，β为常数，且α≠0；

(Ⅱ)y t+1+2y t=

15 求方程y''+2my'+n2y=0满足初始条件y(0)=a，y'(0)=b的特解，其中m＞n＞0，a，b为常数，并求

16 设一曲线过点(e，1)，且在此曲线上任意一点M(x，y)处的法线斜率为

，求此曲线方程．

17 设y=y(x)在[0，+∞)内可导，且在处的增量△y=y(x+△x)-y(x)满足

其中当△x→0时α是△x的等价无穷小，又y(0)=2，求y(x)．

18 设函数y(x)连续，且满足，求y(x)．

19 设函数f(x)连续，且．求f(x)．

20 设函数f(x)可微，且满足f(x)-1=，求f(x)．

21 设二阶常系数线性微分方程y''+αy'+βy=γe x的一个特解为y=e2x+(1+x)e x，试确定常数α，β，γ，并求该方程的通解．

22 求y t+1-y t=2t(t-1)(t-2)的通解．

23 设p(x)在(a，b)连续，∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数，C为任意常数，证明：y=Ce-∫p(x)dx是方程y'+P(x)y=0的所有解．

24 设有微分方程y'-2y=φ(x)，其中φ(x)=试求：在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．

25 设函数f(x)连续，且满足求f(x)．

26 设f(x，g(x)满足f'(x)=g(x)，g'(x)=2e x-f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求

27 已知微分方程y''+(x+e2y)(y')3=0． (Ⅰ)若把y看成自变量，x看成函数，则方程化成什么形式? (Ⅱ)求此方程的解．