第1章-质点运动学2

τ
A s o
r
B
τ
r
∆s
r n
r n
(1) 位置：在轨道上取一固定点 ，用质点距离 位置：在轨道上取一固定点O，用质点距离O 的路程长度 s，可唯一确定质点的位置。 位置 s有 ，可唯一确定质点的位置。 有 正负之分。 正负之分。 (2) 位置变化: 位置变化:
∆s
(3) 速度： 沿切线方向。 速度：
y
Y
r v0 α
射程： 射程：
y = 0 X =15m
x 射高： 射高：
X /2
o
X
x = 7 .5
Y = 11.25 m
4. 求 t =1 时: an = ? aτ = ? s
ρ =?
r r r v = 5i + (15−10t) j
2 x 2 y 2
r r a = −10 j
2
v = v + v = 5 + (15 −10t )
dv 10(2t − 3) aτ = = 2 dt 4t − 12t + 10
t = 1 : aτ 1 = −5 2 ≈ −7.1 m ⋅ s v1 = 5 2 m ⋅ s-1
-2
10
θ = t + 4t + 3
3
dθ 2 得： ω = = 3t + 4 dt
2
( SI ) dω β= = 6t dt
-1
−2
t = 2 s : ω = 3 × 2 + 4 = 16 rad ⋅ s
β = 6 × 2 = 12 rad ⋅ s
(2) 由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、切向加 由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、 速度和法向加速度
(2) 因为
v v v v dr v= = −ωr sin ωti + ωr cos ωtj dt
v v v v v v 2 2 v ⋅ a = ( −ωr sin ωti + ωr cos ωtj ) ⋅ ( −ω r cos ωti − ω r sin ωtj ) = ω 3r 2 sin ωt cos ωt − ω 3r 2 cos ωt sin ωt = 0
aτ≠ 0 变速率运动 an≠ 0 曲线运动
例： 设一质点在半径为
r
运动， 的圆周上以匀速率 v 0 运动，
写出自然坐标系中质点的速度和加速度。 写出自然坐标系中质点的速度和加速度。 解：建立如图坐标系 以 O ′ 为自然坐标系的原点和计时起点
r v0
s
O
r
O′
ds v0 = dt r ds r r v = τ = v 0τ dt
同 学 们 好
§ 1 -2
运动的描述
一. 描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述 二. 质点运动的自然坐标描述 三. 圆周运动的角量描述
二. 质点运动的自然坐标描述 自然坐标系 —— 坐标原点固接 于质点, 于质点 坐标轴沿质点运动轨道 的切向和法向的坐标系， 的切向和法向的坐标系，叫做 自然坐标系。切向以质点前进 自然坐标系。切向以质点前进 r τ 法向以曲线凹侧 方向为正向 方向为正向 ，法向以曲线凹侧 r 方向为正向 n 方向为正向，记做 。
§1.3 运动学的两类基本问题(习题课) 1.3 运动学的两类基本问题(习题课)
一.已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度 已知质点运动方程，求任一时刻的速度、 （微分法）； 微分法）；
r r r (t ) → v ,
r a
；
θ (t ) → ω ,
β
二.已知加速度(或速度)及初始条件，求质点任一时 已知加速度(或速度)及初始条件， 刻的速度和运动方程(积分法）。 刻的速度和运动方程(积分法）。
r v2 r 法向加速度： 法向加速度： a n = n
ρ
描述速度方向改变的快慢，不影响速度的大小。 描述速度方向改变的快慢，不影响速度的大小。
r r r dv r v r a = aττ + ann = τ + n dt ρ
2
r aτ
τ
r
r 大小： 大小： a = aτ 2 + an 2
方向： r r 方向： a 与 aτ 的夹角
r r r ds r v = v τ = τ dt
*（4） 加速度： ） 加速度：
v vA
v ∆v
v vB
D
v vA
A
B
r r vA ∆v n ∆θ
B
r ∆v
E
C
r rv ∆v B
τ
速度的改变为：
r r r ∆v = ∆vτ + ∆vn
r r vA ∆v n ∆θ
B
D
r ∆v
E
r rv ∆v B
r an
θ
r n
r a
r a
an θ = arctg aτ
?
总是指向曲线凹侧
练习： 练习：
1.讨论 1.讨论
r dv dv = dt dt
r vA
r ∆v
r r a ≠ aτ
r ∆v vB
练习： 练习： 判断下列说法是否正确？ 判断下列说法是否正确？ 1） ）
an 恒等于零的运动是匀速率直线运动。 × 恒等于零的运动是匀速率直线运动。
r v0
r r r a = aτ τ + a n n
s
O′
OFra Baidu bibliotek
r
dv d s aτ = = 2 =0 dt dt
2
y
r v0
r v0
v = an = ρ r 2 r r v0 r 因此 a = an = n r
s
O′
v
2
2 0
r a O
r
θ
x
在直角坐标中重做， 在直角坐标中重做，可发现 用自然坐标描述匀速率圆周 运动较直角坐标简便。 运动较直角坐标简便。
ω = ω 0 + βt
练习
某发动机工作时， 某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方 程为 θ = t 3 + 4 t + 3 ( SI ) (1) t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？ 时 该点的角速度和角加速度为多大？ (2) 若主轴直径 = 40 cm，求 t = 1 s 时,该点的速度和 若主轴直径D ， 加速度 解: (1)由运动方程得边缘一点的角速度和角加速度 由运动方程得边缘一点的角速度和角加速度
r r r r r a (t ) , (t = 0时 r0 , v0 ) → v (t ) , r (t )
第一类问题 r r r 2 例题1. 已知： 例题 . 已知： = 5ti + (15t − 5t ) j r 1. 质点做什么运动？ 质点做什么运动？ 2. 找一个实例 平面曲线运动
(SI)
证明速度和加速度相互垂直。 证明速度和加速度相互垂直。
练习:一物体做抛体运动, 讨论： 练习:一物体做抛体运动,已知 v0 , α 讨论：
A r g
τ
r
r v0
α r n
B
r g
τ
r n
r
r n
g
τ r
Cr
r a aτ an
ρ
A
r g
− g sinα
B
r g
C r g
g sinα
0
g
g cosα 2 v0 gcosα
v v v 解∶ (1) 质点在 t 时刻的位矢为 r = xi + yj
其中 x = r cos ϕ = r cos ωt ,
v v v ∴ r = r cos ωti + r sin ωtj
y = r sin ϕ = r sin ωt
质点 t 时刻的速度和加速度分别为
v v v r dv 2 2 a= = −ω r cos ωtj − ω r sin ωtj dt v v 2 2v = −ω ( r cos ωti + r sin ωtj ) = −ω r
2
−1
an = (3 + 4) × 0.2 = 9.8(m ⋅ s )
−2
r v r a
θ
r aτ
r an
此时总加速度的大小为
a = a + aτ = 1.2 + 9.8 = 9.87( m ⋅ s )
2 n 2 2 2
−2
r r a与v 的夹角为
9.8 an θ = arctg = arctg = 83.0o aτ 1.2
P ′ (t
+ ∆t )
P
∆θ
O
∆θ
θ
R
s
(t )
参考 方向
rad
O'
逆时针为正
3. 角速度
∆θ 平均角速度: 平均角速度: ω = ∆t
旋转方向
O
ω
∆θ
r
角速度: 角速度: 角速度矢量: 角速度矢量:
∆θ dθ ω = lim = ∆t → 0 ∆t dt
r v
R
ω r r r v =ω ×r
r
2
v r ds dθ r =v n = n ρ dt ds
曲率半径
r dv r v r r r ∴ a = τ + n = aτ + an dt ρ
r dv r 切向加速度： 切向加速度： a τ = τ dt
2
r aτ
r an
θ
τ
r
r n
r a
描述速度大小改变的快慢，不影响速度的方向。 描述速度大小改变的快慢，不影响速度的方向。
x ∆x
θ ∆θ
v a
匀变速直线运动
ω
β
匀变速圆周运动
1 2 x = x0 + v0t + at 2 2 2 v = v0 + 2a ( x − x0 )
v = v0 + at
1 2 θ = θ 0 + ω 0 t + βt 2 2 2 ω = ω0 + 2 β (θ − θ 0 )
1 1 2 2 v = ω r = ω D = (3t + 4) × 0.4 = 0.2(3t + 4) 2 2
aτ = β r = 6t × 0.2 = 1.2t
an = ω r = (3t + 4) × 0.2
2 2 2
t = 1s时，v = 0.2(3 + 4) = 1.4(m ⋅ s ) aτ = 1.2(m ⋅ s −2 )
r r r v = 5i + (15 − 10t ) j
r 质点从原点出发， 质点从原点出发，初速度为 v0
x : v x = 5, a x = 0 匀速直线运动
r r r r t = 0 : r0 = 0, v0 = 5i + 15 j
r r a = −10 j
y : v y = 15 − 10t a y = −10 ≈ − g 为竖直上抛运动
例∶ 在xoy平面内， 一质点以 平面内， 平面内 角速度ω，沿半径为r的圆周作 角速度 ，沿半径为 的圆周作 匀速圆周，已知t 时刻， 匀速圆周，已知 = 0时刻，质 时刻 点位于 x 轴与圆周的交点处 (x=r, y=0)，如图所示。 ，如图所示。 (1) 求出 t 时刻质点的速度与加速 度的矢量表示式； 度的矢量表示式； (2) 试证速度和加速度相互垂直。 试证速度和加速度相互垂直。
g cosα
2
v cos α g
2 0
2 v0 gcosα
三. 圆周运动的角量描述 在自然坐标系下， 线量 —— 在自然坐标系下，基本参量以运动曲 线为基准，称为线量。 线为基准，称为线量。 角量 —— 在极坐标系下，以旋转角度为基准的 在极坐标系下， 基本参量，称为角量。 基本参量，称为角量。 1. 角位置： θ 角位置： 2. 角位移 单位： 单位：
合运动： 合运动：斜抛运动
3. 求抛射角、轨道方程、射程、射高 求抛射角、轨道方程、射程、
r r r 抛射角： v0 = 5i + 15 j 抛射角： v0 y o α = arctg = arctg3 = 72 v0 x x = 5t x2 轨道方程： 轨道方程： y = 3x − 3x 2 y = 15t − 5t 5
dθ ds = Rω v= = R dt dt dv dω Rβ =R aτ = =
dt
P ′ (t + ∆t) P (t)
∆θ θ
O R
s
dt
O'
( Rω ) 2 an = = = Rω 2 ρ R
v
2
参考 方向
6. 圆周运动角量与直线运动线量的对应关系 圆周运动角量与直线运动线量的对应关系 线量 角量
τ
C
r r r ∆v = ∆vτ + ∆vn
第一项： 第一项： 第二项： 第二项：
lim
∆t→ 0
lim
∆t→ 0
r r ∆v ∴ a = lim ∆t→ 0 ∆ t r r ∆vτ ∆vn = lim + lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t r ∆ vτ ∆v r dv v = lim τ = τ ∆t dt ∆t→ 0 ∆ t r vdθ r ∆vn v∆ θ r n = lim n = ∆t ∆t dt ∆t→ 0
方向沿轴
O'
α
P
r
r
大小: 大小: 方向: 方向:
v = ω rsin α = ωR
右手螺旋法则
4. 角加速度 平均角加速度: 平均角加速度:
∆ω dω d 2θ 角加速度: 角加速度 β = lim = = dt ∆t → 0 ∆ t dt 2 5. 角量与线量的关系 s = Rθ
∆ω β = ∆t
× √ ×
2） 作曲线运动的质点 an 不能为零。 ） 不能为零。 3） aτ 恒等于零的运动是匀速率运动。 ） 恒等于零的运动是匀速率运动。 4） 作变速率运动的质点aτ 不能为零。 ） 不能为零。 小结： 匀速率运动; 小结： (1) aτ = 0 匀速率运动 直线运动; (2) an = 0 直线运动