高等数学多元函数微分学习题集锦

第七章、多元函数微分法 习题课
dz 其中f 与F分别具有一阶导数或偏导数, 求 d x . 解法1 方程两边对 x 求导, 得 dy dz dy dz ′ ⋅ (1 + ) = f + xf −xf′ + = f + xf′ dx dx dx dx dz dy dy dz ′ ′ + F2 F3′ =0 ′ F1 + F2 + F3′ = − F1′ dx dx dx dx
代入(1)得
f y ⋅ g x f y ⋅ g z ⋅ hx du . = fx − + dx gy g y ⋅ hz
第七章、多元函数微分法 习题课
解法2 全微分形式不变性。 du = f x ⋅ dx + f y ⋅ dy, (1) g x ⋅ dx + g y ⋅ dy + g z ⋅ dz = 0, (2)
1 ∂u 2 = f1′ + f3′ ⋅ ( 2 x sin t + x cos t ⋅ ) x+ y ∂x
f1 '
f3 '
x y z
x t
x y
第七章、多元函数微分法 习题课
y 例4 设 z = x f ( xy , ), ( f 具有二阶连续偏导数 )， x ∂z ∂ 2 z ∂ 2 z . 求 , 2, ∂y ∂ y ∂ x∂ y
第七章、多元函数微分法 习题课
x xy ∂z ′, f 2′ f1 = x 4 f1′ + x 2 f 2′, y y ∂y x 2 2 ∂ z ∂ z ∂ 4 = = ( x f1′ + x 2 f 2′) ∂x∂y ∂y∂x ∂x ⎛ ⎛ y ⎞⎞ 3 4 ′′ y + f12 ⎜ − 2 ⎟ ⎟ + 2xf 2′ ′′ = 4x f1′ + x ⋅ ⎜ f11 ⎝ x ⎠⎠ ⎝ ⎛ y ⎞⎞ 2⎛ ′′ ′′ + x ⎜ f 21 y + f 22 ⎜ − 2 ⎟ ⎟ ⎝ x ⎠⎠ ⎝ ′ ′ = 4 x 3 f1′ + 2 xf 2′ + x 4 yf11′ − yf 22′ .
的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的 四面体体积最小，求切点坐标并求此最小体积
2
2
2
解
设 P ( x 0 , y 0 , z 0 )为椭球面上一点， 令
则 Fx′ |P =
2 x0 , F ′ | = 2 y0 , Fz′ |P = 2 z0 , y P a2 c2 b2 过 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的切平面方程为
方向导数 方向导数
复合函数 复合函数 求导法则 求导法则
全微分形式 全微分形式 的不变性 的不变性
全微分 全微分 概念 概念
全微分 全微分 的应用 的应用 高阶ห้องสมุดไป่ตู้导数 高阶偏导数
偏导数 偏导数 概念 概念
隐函数 隐函数 求导法则 求导法则 微分法在 微分法在 几何上的应用 几何上的应用
多元函数的极值 多元函数的极值
第七章、多元函数微分法 习题课
例5
设 u = f ( x , y , z ), ϕ ( x 2 , e y , z ) = 0, y = sin x ,
∂ϕ du ( f ,ϕ 具有一阶连续偏导数 )， 且 ≠ 0, 求 . ∂z dx dy du ∂f ∂f dy ∂f dz = + ⋅ + , 显然 = cos x , 解 dx dx ∂x ∂y dx ∂z dx dz 2 y 求 , 对 ϕ ( x , e , z ) = 0 两边求 x 的导数 , 得 dx dz y dy ′ ′ ϕ 1′ ⋅ 2 x + ϕ 2 ⋅ e + ϕ3 =0, dx dx 1 dz ′ = − ( 2 xϕ 1′ + e sin x ⋅ cos xϕ 2 ), 于是 ′ ϕ3 dx ∂f 1 ∂f du ∂f ′ + e sin x ⋅ cos xϕ 2 ) . ′ 故 + cos x − ( 2 xϕ 1 = ′ ∂z ∂y ϕ 3 dx ∂x
第七章、多元函数微分法 习题课
解法3
隐函数求导法，
u = f ( x , y ( x , z ) ) = f ( x , y ( x , z ( x )) ) , dz ⎞ ⎛ du = f x + f y ⋅ ⎜ y x + yz ⋅ ⎟ , dx ⎠ dx ⎝ gx yx = − gy gz yz = − gy
则 ( x , y ) → (0,0) 等价于 ρ → 0.
( y − x ) x ρ 2 (sinθ − cosθ ) cosθ 0≤ = 2 2 ρ x +y
= ρ (sinθ − cosθ ) cosθ ≤ 2 ρ ,
( y − x) x 故 lim 2 = 0. 2 x →0 x +y y →0
从而 f ( x , y ) 在 (0,0) 不连续。 。
第七章、多元函数微分法 习题课
例3.设 u = f ( x , y , z ) 有二阶连续偏导数, 且
∂u ∂ 2 u z = x 2 sin t , t = ln( x + y ), 求 , . ∂x ∂x∂y
解:
u
x y z
x t
x y
hx ⋅ dx + hz ⋅ dz = 0.
⎧ u = f ( x , y ), du ⎪ . ⎨ g ( x , y , z ) = 0, 求 dx ⎪ h ( x , z ) = 0. ⎩
(3) 由(2)、(3)消去 dz , 解出 dy 代入(1), 得 ⎛ f y ⋅ g x f y ⋅ g z ⋅ hx ⎞ du = ⎜ f x − + ⎟ dx. ⎜ gy g y ⋅ hz ⎟ ⎝ ⎠ 即 du f y ⋅ g x f y ⋅ g z ⋅ hx = fx − + . dx gy g y ⋅ hz
因此切线的方向向量为 l = n1 × n 2 = (16 , 9 , − 1) x −1 y −1 z −1 = = 由此得切线: 16 9 −1 法平面: 16( x − 1) + 9( y − 1) − ( z − 1) = 0 即
16 x + 9 y − z − 24 = 0
第七章、多元函数微分法 习题课
第七章、多元函数微分法 习题课
所确定，
(1) (2) (3)
将方程组的变元 u 以及 y , z 都看成是 x 的函数．
由(3) 得 由(2) 及上式得
dz hx =− , dx hz dy g z ⋅ hx g x = − , dx g y ⋅ hz g y
dz dy du dyh+⋅g ⋅ dz0. 0, = g x + ghx + fzx +z f y = y ⋅ = dx dx dx dx dx
(99 考研) 设 z = x f ( x + y ) , F ( x , y , z ) = 0,
dz ∴ = dx
−x f′ f +x f′ ′ ′ ′ F2 − F1′ x F1′ f ′ − x F2 f ′ − f F2 = −x f′ 1 ′ − x f ′ F3′ − F2 ′ F2 F3′ ′ ( x f ′ F3′ + F2 ≠ 0)
dz . 消去 d y 即可得 dx
第七章、多元函数微分法 习题课
⎧ x 2 + y 2 + z 2 − 3x = 0 例7. 求曲线 ⎨ 在点(1,1,1) ⎩2 x − 3 y + 5 z − 4 = 0 的切线与法平面. 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
n1 = (2 x − 3 , 2 y , 2 z ) (1,1,1) = (−1, 2 , 2 ) n 2 = (2 , − 3 , 5 )
第七章 多元函数微分法及其应用 习 题 课
一、主要内容 二、典型例题 三、作业
一、主要内容
平面点集 平面点集 和区域 和区域
极 限 运 算 极 限 运 算 多元连续函数 多元连续函数 的性质 的性质
第七章、多元函数微分法 习题课
多元函数概念 多元函数概念
多元函数 多元函数 的极限 的极限
多元函数 多元函数 连续的概念 连续的概念
第七章、多元函数微分法 习题课
z = x f ( x + y ) , F ( x, y, z ) = 0
解法2 方程两边求微分, 得 d z = f d x + x f ′ ⋅(d x + d y)
′ F1′d x + F2 d y + F3′d z = 0
化简
( f + x f ′)d x + x f ′d y − d z = 0 ′ F1′ d x + F2 d y + F3′d z = 0
3
解
∂z 1⎞ 3⎛ = x ⎜ f1′x + f 2′ ⎟ ∂y x⎠ ⎝
= x 4 f1′ + x 2 f 2′,
f1′ 2
xy y x
x
y
1⎞ 1⎞ ∂2z 4 ⎛ 2 ⎛ ′′ ′′ ′′ ′′ = x ⋅ ⎜ f11 x + f12 ⎟ + x ⋅ ⎜ f 21 x + f 22 ⎟ 2 x⎠ x⎠ ∂y ⎝ ⎝ ′ ′ ′ = x 5 f11′ + 2 x 3 f12′ + xf 22′ ,
a 2 − Δx 2 − a = lim Δx →0 Δx −(Δx ) 2 = lim =0 2 2 Δx →0 Δx ( a − Δx + a )
同理可得：
第七章、多元函数微分法 习题课
f y (0,0) = 0.
y
• O f =0
x
⎧ a 2 − x 2 − y 2 , x = 0或y = 0 ⎪ ， f ( x, y ) = ⎨ 其它 ⎪0, ⎩
第七章、多元函数微分法 习题课
⎧u = f ( x , y ), 例6 设函数 u( x ) 由方程组 ⎪ g ( x , y, z ) = 0, ⎨ ⎪h( x , z ) = 0. ⎩ du ∂g ∂h . ≠ 0, ≠ 0, 试求 且 dx ∂y ∂z 解法1 方程组各方程两边对 x 求导, 得 ⎧ du = f x + f y dy , ⎪ dx dx dy dz ⎪ = 0, ⎨ g x + g y ⋅ + gz ⋅ dx dx ⎪ dz ⎪ hx + hz ⋅ = 0. ⎩ dx
x2 y2 z2 F ( x, y, z ) = 2 + 2 + 2 − 1 a b c
第七章、多元函数微分法 习题课
y0 z0 x0 ( x − x0 ) + 2 ( y − y 0 ) + 2 ( z − z 0 ) = 0 , 2 c a b
化简为
x ⋅ x 0 y ⋅ y0 z ⋅ z 0 + 2 + 2 = 1, 2 a b c
第七章、多元函数微分法 习题课
例2
设
⎧ a 2 − x 2 − y 2 , x = 0或y = 0 ⎪ f ( x, y ) = ⎨ ， 其它 ⎪0, ⎩ 其中 a > 0 ，求 f x (0,0), f y (0,0). z
f ( Δ x ,0 ) − f ( 0,0 ) lim 解 f x ( 0,0 ) = Δ x → 0 Δx
⎧ u = f ( x , y ), du ⎪ . ⎨ g ( x , y , z ) = 0, 求 dx ⎪ h ( x , z ) = 0. ⎩
dz hx =− dx hz
f y ⋅ g x f y ⋅ g z ⋅ hx du . = fx − + dx gy g y ⋅ hz
由 隐 函 数 求 导 法 则
第七章、多元函数微分法 习题课
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续 函数可偏导 方向导数存在
函数可微 偏导数连续
第七章、多元函数微分法 习题课
二、典型例题
( y − x) x . 例1 求极限 lim 2 2 x →0 x +y y →0 解 令 x = ρ cosθ , y = ρ sinθ , ( ρ > 0)
但极限
( x , y ) → (0,0)
lim
f ( x , y ) 不存在， 因点 P 沿
直线 y = kx (k ≠ 0) 趋于 (0,0) 时， f ( x , y ) = 0
f → 0 ，而点 P 沿 x 轴趋于 (0,0) 时， ( x , y )
= a − x → a,
2 2
lim 所以 ( x , y )→(0,0) f ( x , y ) 不存在，
07 考研
2 2 2 2 求二元函数 f ( x , y ) = x + 2 y − x y 在闭区域
D = ( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 0 上的最大值与最小值
最大值为8， 最小值为0.
{
}
第七章、多元函数微分法 习题课
x y z 例8 在第一卦限内作椭球面 2 + 2 + 2 = 1 a b c