导数大题练习带答案

导数解答题练习

1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2，

(Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；

(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 2

1-成立．

2、已知函数2

()ln 2(0)f x a x a x

=

+->. （Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；

（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；

（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区间[e ―

1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围.

3、设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .

（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值；

（Ⅱ）若函数f (x )在1[,2]2

上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点.

4、已知函数2

1()(21)2ln ()2

f x ax a x x a =

-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；

(Ⅲ)设2

()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.

5、已知函数1ln ()x

f x x

+=

． (1)若函数在区间1

(,)2

a a +

(其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1

k

f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．

1.解：(Ⅰ)对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2

--≥-x ax x x 恒成立.

也就是+

+≤x x a ln x

2

在),0(+∞∈x 恒成立.………1分 令x

x x x F 2ln )(+

+= ， 则F '2

222)

1)(2(2211)(x x x x x x x x x -+=-+=-+=，……2分

在)10(，上F '0)(x ， 因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值， 即3)1()(min ==F x F ，所以3≤a .……4分

(Ⅱ)当时，

1-=a x x x x f +=ln )(， f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21

e

x =

. ………6分 ①当210e

m <

<时，在)1,[2e m x ∈上f '0)(

(2

+∈m e x 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21e x =

处取得极小值，也是最小值. 2

min 1)(e

x f -=. 由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+

………8分

②当时21

e

m ≥

，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增， 所以)1(ln )()(min +==m m m f x f ，

]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……9分

(Ⅲ)证明：问题等价于证明)),0((2

ln +∞∈->

+x e

e x x x x x ,………10分 由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x x

f +=ln )(的最小值是2

1

e

-，当且仅当21e x =时取得，……11分 设)),0((2)(+∞∈-=

x e e x x G x ，则G 'x

e

x

x -=1)(，易知

e

G x G 1

)1()(max -==，当且仅当1x =时取到， ………12分

但，e e

112

->-

从而可知对一切(0,)x ∈+∞， 都有ex

e x x 2

11ln ->

+成立. ………13分 2、解：（Ⅰ）直线y =x +2的斜率为1.函数f (x )的定义域为（0，+∞），因为22'()a f x x x

=-

+，所以22'(1)111

a

f =-+=-，所以a =1.所以2()ln 2f x x x =+-. 22'()x f x x -=.由

'()0f x >解得x ＞0；由'()0f x <解得0＜x ＜2. 所以f (x )的单调增区间是（2，+∞），

单调减区间是（0，2）.…… 4分

（Ⅱ）22

22'()a ax f x x x x -=-

+=， 由'()0f x >解得2

x a

>；由'()0f x <解得20x a <<.所以f (x )在区间2(,)a +∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2

x a

=

时，函数f (x )取得最小值，min 2

()y f a

=. 因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，

所以2()2(1)f a a >-即可. 则22

ln 22(1)2a a a a

+->-.由2ln a a a >解得20e a <<.所

以a 的取值范围是2

(0,)e

. ……………… 8分

（Ⅲ）依题得2

()ln 2g x x x b x

=++--，则222'()x x g x x +-=.由'()0g x >解得x ＞1；

由'()0g x <解得0＜x ＜1.所以函数()g x 在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为

增函数.又因为函数()g x 在区间[e －

1，e]上有两个零点，所以1()0

()0(1)0g e g e g -⎧≥⎪≥⎨⎪<⎩

.解得

21e 1e b <≤

+-.所以b 的取值范围是2

(1,e 1]e

+-. (13)

分

3．解：（Ⅰ）f (x )的定义域为（0，+∞）.

……………… 1分

因为1

'()20f x x x

=

+>，所以f (x )在[1，e]上是增函数， 当x =1时，f (x )取得最小值f (1)=1. 所以f (x )在[1，e]上的最小值为1.

……………… 3分