MATLAB实用教程-电子教案2

参数估计



点估计 可以用矩法和最大似然法进行参数估计。 区间估计 可以用mle函数，利用最大似然估计法进 行参数的区间估计。 常见分布的参数估计 MATLAB统计工具箱提供了多种函数的 参数估计函数，详见课本。
假设检验


方差已知时的均值检验 方差未知时单个正态总体均值的检验 方差未知时两个正态总体均值差的检验 基于成对数据的检验 分布拟合检验
多维随机变量及其分布
用mvnpdf和mvncdf函数可以计算二维正态分布 随机变量在指定位置处的概率和累积分布函数 值。 下面左图和右图分别为二维正态分布随机变量的 概率密度图和累积分布图。
0.4
Cumulative Probability
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 2 0 -2 x2 -3 -2 -1 x1 0 1 2 3 2 0 -2 x2 -3 -2 -1 x1 0 1 2 3
复数的对数运算
用log函数进行复数的对数运算。该函数的 调用格式为 Y = log(Z) 其中Z为复数数组。
复数的平方根运算
用sqrt函数进行复数的平方根运算。该函 数的调用格式为 B = sqrt(Z) 该函数返回复数数组Z中每个元素的平方根。
复数的幂运算
复数的幂运算的形式为Z^n ，结果返回复 数Z的次幂。 例： (3+i)^2 ans = 8.0000 + 6.0000i
复变函数的图形示例
绘函数f(z)=z的图形。
colormap(hsv(64)) z = cplxgrid(30); cplxmap(z,z) title('z')
绘函数f(z)=z^3的图形。
cplxmap(z,z.^3) title('z^3')
生成下图。
生成下图。
第11章 运筹学的MATLAB实现
二项分布 泊松分布 离散均匀分布 几何分布 超几何分布
连续型随机变量及其概率密度

连续型均匀分布 指数分布 正态分布
分布函数
对于离散型随机变量X，设x为任意实数，X 的分布函数为
对于连续型随机变量X，假设其概率密度为 f(x)，则其分布函数为
逆累加分布函数
逆累加分布函数是累加分布函数的逆函数。 利用逆累加分布函数，可以求得满足给 定概率时随机变量对应的置信区间的最 小值和最大值。
sech(x) 返回x的双曲正割值
求方程的复数根
用solve函数可以求方程的复数根。 例：解方程x2+1=0。 z = solve('x^2+1=0') z= i -i 如果方程为多项式形式，可以用roots函数 进行求解。
复变函数的积分
利用int函数，可以求复变函数的不定积分 和定积分。 例：求积分 。 syms z; int('exp(z)', 'z',-pi*i,0) ans = 2
多目标决策
多目标决策问题的数学模型为
式中x, weight, goal, b, beq, lb和ub 为矢量, A和Aeq为矩阵, c(x), ceq(x)和F(x)为函数， 返回矢量。F(x), c(x)和ceq(x)可以是非线性 函数。
利用fgoalattain函数求解多目标达到问题。
第12章 多元统计分析的MATLAB实现 多元线性回归分析 聚类分析 判别分析 因子分析
方差已知时的均值检验
用ztest函数在给定方差的条件下检验单样 本数据是否服从给定均值的正态分布。
方差未知时单个正态总体均值 的假设检验
t检验是用小样本检验总体参数，特点是在 均方差不知道的情况下，可以检验样本 平均数的显著性。 用ttest函数进行样本均值的t检验。
方差未知时两个正态总体均值 差的检验
Probability Density
0.3
0.2
0.1
0
随机变量的数字特征


ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
期望 方差 常见分布的数学期望和方差 协方差和相关系数 矩和协方差矩阵
样本描述



集中趋势 包括算术平均值、几何均值、调和均值、 中值和截尾均值等。 离中趋势 包括均值绝对差、极差、方差和标准差 等。 抽样分布 包括卡方分布、t分布和F分布等。
主要介绍0-1规划，0-1规划是一种特殊形 式的整数规划。 用bintprog函数求解0-1规划问题。
最大最小化
最大最小化问题的数学模型为
式中x, b, beq, lb和ub为矢量，A和Aeq为矩阵， c(x), ceq(x)和F(x)为函数，返回矢量。F(x), c(x)和ceq(x)可以是非线性函数。 fminimax 使多目标函数中的最坏情况达到最小 化。
构造复数(矩阵) 复数运算 复变函数的图形
构造复数(矩阵)
用complex函数构造复数。语法格式为 c = complex(a,b) 其中，a和b分别表示复数的实部和虚部， 必须是标量或大小相同的向量、矩阵或 多维数组。输出结果c=a+bi，其大小与 输入参数的相同。
复数的实部和虚部

用real函数返回复数的实部。 用imag函数返回复数的虚部。
共轭复数
用conj函数计算复数的共轭值。该函数的 语法格式为 ZC = conj(Z) 其中Z为复数数组。
复数的模
用abs函数求复数的模。该函数的调用格式 为 abs(Z) 返回复数的模，等价于sqrt(real(Z).^2 + imag(Z).^2)。
复数的辐角
用angle计算复数的辐角。该函数的语法格 式为 P = angle(Z)
第8章 概率论与数理统计的MATLAB实 现
随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 样本描述 参数估计 假设检验 方差分析 一元线性回归
随机变量及其分布


离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量及其概率密度 分布函数 逆累加分布函数
离散型随机变量及其分布


秩和检验
秩和检验可检验两个总体是否相等。用 ranksum函数检验两个样本是否取自中值 相同的总体。
方差分析


单因子方差分析 用anova1函数进行单因子方差分析。 双因子方差分析 用anova2函数进行双因子方差分析。
一元线性回归
进行一元线性回归 MATLAB中可以使用polyfit函数实现一元线 性回归。对于给定的数据，该函数返回 一元线性回归方程的系数。 可化为一元线性回归的曲线回归问题 在实际应用过程中，人们遇到的更多是非 线性问题，通过变换，有的非线性问题 可以转换为线性问题，从而可以用线性 回归的方法来处理。
ttest2函数对两个样本的均值差异进行t检 验。
基于成对数据的检验
实际工作中为了比较两种方法或两种产品 的差异，常常需要进行对比试验。这样 得到的数据具有成对的特点。 分析这种数据，还是需要t检验。前面用到 的ttest函数可以进行检验。
分布拟合检验

q-q图 峰度-偏度检验 秩和检验
线性规划
线性规划问题的矩阵形式为
线性规划的标准形式要求使目标函数最小 化，约束条件取等式，变量b非负。不符 合这几个条件的线性模型要首先转化成 标准形式。 在MATLAB工具箱中，可用linprog函数求 解线性规划问题。
无约束非线性最优化问题
求解无约束最优化问题的方法主要有两类，即直 接搜索法和梯度法。 直接搜索法适用于目标函数高度非线性，没有 导数或导数很难计算的情况。常用的直接搜索 法为单纯形法，此外还有Hooke-Jeeves搜索法、 Pavell共轭方向法等。 在函数的导数可求的情况下，梯度法是一种更 优的方法。常见的梯度法有最速下降法、 Newton法、Marquart法、共轭梯度法和拟牛顿 法等。 MATLAB优化工具箱中用于求解无约束非线性规划 问题的函数有fminunc和fminsearch。
绘复变函数的图形


绘二维图形 绘三维图形
复数(数组、矩阵)的图形
可以用plot函数绘复数(数组、矩阵)的图形。 语法格式为 plot(Z) 其中，Z为复数向量或矩阵，等价于 plot(real(Z),imag(Z))。
复变函数的三维图形



假设f(z)为复变函数，在指定的范围内， 用曲面的高度表示实部(real(f(z)))，颜色 表示虚部(imag(f(z)))，颜色映射通过变 化HSV颜色模型中的饱和度。 用cplxmap函数绘制复变函数的图形，语 法格式为cplxmap(z,f(z),bound)，其中， z指定范围，f(z)为复变函数。 用cplxgrid函数生成极坐标复数网格。 z=cplxgrid(m)是一个(m+1)×(2*m+1) 的复数极坐标网格。
复数的乘除法
复数的乘除法运算由“*”和“/”实现。 例： m=4+2i; n=2-5i; m*n ans = 18.0000 -16.0000i m/n ans = -0.0690 + 0.8276i
复数的指数运算
用exp函数进行复数的指数运算。该函数的 调用格式为 Y = exp(Z) 其中Z为复数数组。
q-q图
q-q图用变量数据分布的分位数与所指定分 布的分位数之间的关系曲线来检验数据 的分布。如果两个样本来自同一分布， 则图中数据点呈现直线关系，否则为曲 线关系。
峰度-偏度检验
峰度-偏度检验又称为Jarque-Bera检验，评 价给定数据服从未知均值和方差的正态 分布的假设是否成立。该检验基于数据 样本的偏度和峰度。对于正态分布数据， 样本偏度接近于0，样本峰度接近于3。
有约束非线性最优化问题
有约束非线性最优化问题的数学模型为
其中，x, b, beq, lb,和ub为矢量，A和Aeq为矩 阵，c(x)和ceq(x)为函数，返回标量。f (x), c(x), 和 ceq(x)可以是非线性函数。 利用fmincon函数求多变量有约束非线性函数的 最小值。
第10章 复变函数的MATLAB实现
利用fminbnd函数找到固定区间内单变量函数的 最小值。
例： 对边长为3m的正方形铁板，在4个角处剪去相等的正方形以制 成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？ 解：假设剪去的正方形的边长为x，则水槽的容积为 现在要求在区间（0，1.5）上确定一个x，使最大化。因为优化工具 箱中要求目标函数最小化，所以需要对目标函数进行转换，即要 求最小化。 首先编写M文件fminbndtest.m: function f = myfun(x) f = - (3-2*x).^2 * x; 然后调用fminbnd函数： x = fminbnd(@fminbndtest,0,1.5) 得到问题的解： x= 0.5000 即剪掉的正方形的边长为0.5m时水槽的容积最大。

第9章 最优化方法的MATLAB实现
一维搜索问题 线性规划 无约束非线性最优化问题 有约束非线性最优化问题
一维搜索问题
求解单变量最优化问题的方法有很多种。 如果函数的导数容易求得，一般来说首 先考虑使用三次插值法，因为它具有较 高的效率。对于只需要计算函数值的方 法，二次插值法是一个很好的方法，它 的收敛速度较快，在极小点所在区间较 小时尤其如此。黄金分割法则是一种十 分稳定的方法，并且计算简单。由于以 上原因，MATLAB优化工具箱中用得较多 的方法是二次插值法、三次插值法、二 次三次混合插值法和黄金分割法。
复数的三角函数运算
复数的三角函数运算函数参见下表。
函数名 sin(x) cos(x) 函数功能 返回x的正弦函数值 返回x的余弦函数值 函数名 asin(x) 函数功能 返回x的反正弦值
acos(x) 返回x的反余弦值
tan(x)
cot(x) sec(x)
返回x的正切函数值
返回x的余切函数值 返回x的正割函数值
atan(x)
acot(x)
返回x的反正切值
返回x的反余切值
asec(x) 返回x的反正割值
csc(x)
sinh(x)
返回x的余割函数值
返回x的双曲正弦值
acsc(x)
coth(x) csch(x)
返回x的反余割值
返回x的双曲余切值 返回x的双曲余割值
cosh(x) 返回x的双曲余弦值 tanh(x) 返回x的双曲正切值
线性规划与非线性规划 整数规划 最大最小化 多目标决策
线性规划与非线性规划
线性和非线性最优化问题 请参见第8章8.2~8.4节的内容。 二次规划 如果某非线性规划的目标函数为自变量的 二次函数，约束条件全是线性函数，就 称这种规划为二次规划。 利用quadprog函数求解二次规划问题。

整数规划