第4章 控制系统的状态空间设计

④ 计算期望的多项式
f (* ) s 2s 1 js 1 j s3 4s2 6s 4
比较 f 与f各项* 系数
返回
5.2 状态反馈系统的极点配置
极点配置方法在某种程度上类似与根轨迹法，它 们都是把闭环极点配置在希望的位置上。它们的基本 区别在于：根轨迹法只把主导极点配置到希望的位置， 而极点配置设计是把所有闭环极点都配置到希望的位 置。
极点配置：就是通过选择反馈矩阵K，将闭环系统的极 点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望 的动态性能。
A2b (b, Ab的线性组合）
A bk3 b A bk[A2b (b, Ab的线性组合）] A3b (b, Ab, A2b的线性组合）
A bk n1b An1b (b, Ab, A2b, , An2b的线性组合）
McK b b
(A bk)b Ab A2b
(A bk)2b (A bk)n1b
s 0 0
det[sI A] det1 s 6
0
s3
18s
2
72s
0 1 s 12
变换阵
③加入状态反馈阵 K [k 3 ,k，2 ,k计1] 算的特征多项式
A BK
0
(
A
b
k
)
0
0 k3
1 0 72 k2
0
1
18 k1
f () s3 (18 k1)s2 (72 k2 )s k3
的特征多项式 A BK
0
0
(A BK)
0
a
* n
1 0 0 an*1
0 1 0 an*2
0
0
1
a1*
0
0
0
(an kn )
1 0 0 (an1 kn1 )
0
1
0
an2 kn2
0
0
1
a1 k1
f () det[sI ( A BK )] sn (a1 k1)sn1 (an1 kn1)s (an kn )
输出反馈的另 一种形式是输出 量乘以相应的系 数反馈到状态微 分处。
x Ax Bu Hy y Cx
x (A HC)x Bu y Cx
(5.1 6)
不管是状态反馈还是输出反馈，都可以改变系统 矩阵A，但这并不表明两者具有等同的功能。
二. 反馈结构对系统性能的影响
由于引入反馈，系统状态的系数矩阵发生变化， 对系统的能控性、能观测性、响应特性、稳定性等都 有影响。
关于状态反馈不一定能保持系统的能观测性举一
反例说明：
x
1 3
12x 10u
y 1 2x
其能观测判别阵：
C 1 MO CA 7
2 4
1 2 0 10
a.引入状态反馈k=[３ １]
原系统能观测
x
A
bK
x
Bv
1 0
02x 10v
y Cx 1 2x
其能观测判别阵：
C 1 MOK CA 1
2 2
反馈系统不能观测
b.引入状态反馈k=[0 1]
x
A
bK
x
Bv
1 3
2 0 0x 1v
y Cx 1 2x
其能观测判别阵：
C 1 2 1 2 MOK CA 7 2 0 12
反馈系统能观测
这表明状态反馈可能改变系统的能观测性。其原 因是由于通过状态反馈造成了所配置的极点与零点相 消。
[例5.2.1] 教材P206 [例5.2] 某受控对象的传递函数为：
W (s)
10
s(s 1)(s 2)
试设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点为2， ，1闭环j1系统结构图见教材P207 图5.12。
解：① 因为传递函数没有零、极点对消现象，所以 受控对象是能控的。可以任意配置极点。
0 1 0 0 x 0 0 1 x 0u
k A bk,b,c
M cK b (A bk)b (A bk)2 b (A bk)n1 b
A bkb Ab b(bk)
这表明 A bkb 的列向量可以由 b Ab
的列向量的线性组合来表示。
A bk2 b A bkAb bbk b2k 2 b Ab 2bk A2b
2．加入输出反馈不改变系统的能观测性，对系统的 能控性的影响因输出反馈的位置不同而不同。
定理[5.2] 输出至参考输入反馈引入的输出反馈不
改变受控系统 0的A能,B,控C性和能观测性。
证明：因为这种输出反馈中的HC等效与状态反馈中的K， 那么输出反馈也保持了受控系统的能控性不变。
关于能观测性不变，可由能观测性判别矩阵（仍以 单输入-单输出系统为例）。
③ 由所给的期望特征值-2， 1，j1计算期望的多项式
f (* ) s 2s 1 js 1 j s3 4s2 6s 4
④ 比较 f 与f各*项 系数
3
k1
4
k1 1
2 k2 6 k2 4
k3 4
k3 4
k3 k2 k1 [k3 k2 k1 ] 4 4 1
[例5.2.2] 已知单输入线性定常系统的状态方程为：
0 0 0 1 x 1 6 0 x 0u
0 1 12 0
试设计状态反馈控制器K，使闭环系统的极点为 -2，-1+j，-1-j。
解：① 系统的能控判别阵：
1 0 0
Mc b Ab A2b 0 1 6
0 0 1
原系统能控，可 以任意配置极点。
② 由于原系统不是能控标准型，化为能控标准型。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈 系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律， 作为受控系统的控制输入。
以单输入-单输出系统为例，其状态空间描述为：
x Ax Bu y Cx
(5.11)
状态反馈控制规律为
u v Kx
(5.1 2)
x (A BK)x Bv y Cx
(5.1 3)
化 为0 能控标准型：
A T 1 AT
B
T
1 B
C CT
其中
T An1B
1 0 0
a1
AB B
an2
1
a1 1
0
an1 an2 a1 1
0
0
A
0
an
1 0 0 an1
0 1 0 an2
0
0
1
a1
0 0 B 0 1
第二步，加入状态反馈阵 K [k n ,k n，1 ,计k算1 ]
状态反馈K的引入，没有引入新的状态变量，也不 增加系统的维数，但可以通过K阵的选择自由地改变闭 环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
经过状态反馈后，系统的传递函数为： Wk (s) C[SI (A BK)]1 B
闭环特征多项式: f I (A BK)
(2) 输出反馈
输出反馈有两种形式，最常见的是将系统的输出量乘 以相应的系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为 受控对象的控制输入。经典控制理论中所讨论的就是这 种反馈。
1
An1b
1
1
rank b (A bk)b (A bk)2b (A bk)n1b rank b Ab A2b An1b
(5.1 7)
表明，若原来系统能控，则加上任意的状态反馈后， 所得到的闭环系统也能控；若原来系统不能控，则无论 用什么K阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不能控。 这一性质称为状态反馈不改变系统的能控制性。
这里需要解决两个问题：
第一：极点可任意配置的条件； 第二：确定极点配置所需要的K阵。
一.任意配置闭环极点的充分必要条件
定理[5.4] 教材P205 定理[5.4] 采用状态反馈使闭环系统的极点配置在任意位置的
充分必要条件是受控对象 0A完,B全,C能控。
二.极点配置的设计步骤 P206
第一步，判断系统 0A是,B,否C 完全能控，只有完全能 控，才能任意配置极点,计算原系统的特征方程： det[sI A] s n a1s n1 an1s an
第5章 控制系统的状态空间设计
— 状态反馈及观测器的设计
控制系统的分析：系统响应、能控性、能观测性、稳定性。
控制系统的综合：
经典控制理论和现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式。
经典控制理论中的反馈量：输出量。 现代控制理论中的反馈量：输出量或输出量＋状态反馈。
为了利用状态进行反馈，必须用传感器来测量状态 变量，但并不是所以状态变量在物理上都可测量，于是 提出了用状态观测器来给出状态估计值的问题。
MCk B AB 1 3
输出反馈系统不能控
2.引入图5.1所示输出反馈 H=[0 1]T后的能控性。
x
A
HC x
Bv
0 1
y Cx 1 2x
2 1
x
0 1
v
MCk B
A~B
0 1
2 1
输出反馈系统能控
[例5.1.1] 设系统的状态空间表达式为:
x
1 3
2 0 1x 1u
关于输出至状态微分反馈可能改变系统的能控性 举一反例说明：
设系统的状态空间表达式为:
x
1 3
2 1x
0 1u
y 1 2x
MC B
AB
0 1
2 0
原系统能控
1.引入图5.1所示输出反馈 H=[1 2]T后的能控性。
x
A
HCx
Bv
0 1
y Cx 1 2x
0 3x
0 1
v
~ 0 0
s
1
1
2.
1 s(s 1)
s .0
2 0 s 11
2s 2 s(s 1) s 1
（2）状态反馈和输出反馈 都能影响系统的稳定性
加入反馈，通过反馈构成的 闭环系统成为稳定的系统，这 个过程称为镇定。
对于 x Ax Bu
u v Kx
x (A BK)x Bv
是渐进稳定的，即（A-BK）的特征值具有负实部， 则称系统实现了状态反馈镇定。
第三步，由所给的n个期望特征值 1,2 ,，,计n 算 期望的多项式
f (* ) s 1 s 2 s n s n a1*s n1 an*1s an*
第四步，比较两个特征值的系数，从中求出
kn , kn1 , k1
第五步，把对应于 x的k，通过k的变kT换1，得 到对应于原状态x的反馈阵k。
状态反馈及观测器的设计就构成了用状态空间法综合 设计系统的主要内容。
5.1 线性定常系统常用反馈结构及其对系统性能的影响 5.2 状态反馈系统的极点配置 5.3 状态观测器的设计 5.4 带观测器的状态反馈系统的综合
5.1 线性定常系统常用反馈结构及其 对系统性能的影响
一.两种常用反馈结构 (1) 状态反馈
0 2 3 1
y 10 0 0x
②加入状态反馈阵 K [k 3 ,k，2 ,k计1] 算的特征多项式
A BK
f () det[sI ( A BK )] s3 (a1 k1)s2 (a2 k2 )s (a3 k3 )
s3 (3 k1 )s 2 (2 k2 )s k3
多输入-多输出系统的输出反馈系统的这种形式见教 材 P199 图5.2所示。
x Ax Bu y Cx
输出反馈控制规律为 u v Hy
(5.11)
(5.1 4)
x Ax Bv Hy Ax Bv HCx A BHCx Bv
y Cx
(5.1 5)
由此可见,经过输出反馈后,闭环系统同样没有引入 新的状态变量,仅仅是系统矩阵A变成了A-BHC。
y 1 2x
试分析系统引入状态反馈K=[3 1]后的能控性和能观 测性。
解：容易验证原系统是能控又能观测的。引入状态反 馈K=[3 1]后系统的状态空间表达式为：
x
(A
BK)x
Bv
1 (3
2 0 1 3
0 0 1 1)x 1v 0
2 0 0x 1v
y Cx 1 2x
M CK B
(1)对系统能控性、能观测性的影响
1.加入状态反馈不影响系统的能控性
定理[5.1] 状态反馈不改变受控系统 0A,B,的C 能控性，
但却不一定能保持系统的能观测性。
证明：为简单起见，以单输入-单输出系统为例。
原系统 0A和,b,状c 态反馈系统
的能控性判别阵分别为：
Mco b Ab A 2b An1b
AB
0 1
2 0
系统能控
C 1 2 MOK CA 1 2
系统不能观测
状态反馈不改变受控系统 0A,B,C 的能控性，但
却不一定能保持系统的能观测性。这反映在传递函数 上出现了零极点相消现象
经过状态反馈后，系统的传递函数为：
Wk (s) C[SI (A BK)]1 B
1
2s
0
1
2 1 0
c
M oo
cA
cA
n 1
c
M oH
c(A bhc)
c(
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A
bhc)
n1
仿照定理[5.1]的证明方法，同样可以把 M OH 看
作
M
经初等变换的结果，而初等变换不改变矩阵
OO
的秩，因此能观测性保持不变。
定理[5.3] 输出至状态微分反馈引入的输出反馈不 改变系统 0的A,B能,C观测性，但可能改变系统的能控 性。