长沙市中考数学试题压轴题总汇及答案

长沙市中考数学试题压轴题总汇

【2013】

【2012】如图半径分别为m,n ）（n 0〈〈m 的两圆⊙O 1和⊙O 2相交于P,Q 两点，且点P （4,1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O 1与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ，⊙O 2与x 轴，y 轴分别切于点R ，点H 。 （1）求两圆的圆心O 1，O 2所在直线的解析式； （2）求两圆的圆心O 1，O 2之间的距离d ； （3）令四边形PO 1QO 2的面积为S 1, 四边形RMO 1O 2的面积为S 2. 试探究：是否存在一条经过P,Q 两点、开口向下，且在x 轴上截得的线段长为

d

s s 2-21的抛物线？若

存在，亲、请求出此抛物线的解析式；若不存在，请

说明理由。

【2011】如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），点P 是x 轴上一动点，以线段AP 为一边，

在其一侧作等边三角形APQ ．当点P 运动到原点O 处时，记Q 的位置为B ．

（1）求点B 的坐标；

（2）求证：当点P 在x 轴上运动（P 不与O 重合）时，∠ABQ 为定值；

（3）是否存在点P ，使得以A 、O 、Q 、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P

点的坐标；若不存在，请说明理由．

【2010

】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，OA =cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每 cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．

（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；

（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线21

4

y x bx c =++经过B 、P 两点，过

线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ

【2009】如图，二次函数2

y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴

相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，

、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a b c ，，的值；

第26题图

（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将

BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

【2008】如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r （常数）的⊙O ，其中AD 为直径，且AB=CD=DE=FA. （1）当∠BAD=75 时，求BC ⌒的长； （2）求证：BC ∥AD ∥FE ；

（3）设AB=x ，求六边形ABCDEF 的周长L 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，L 取得最大值.

【2007】如图，平行四边形ABCD 中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E 为BC 上一动点

（不与B 重合），作EF ⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE=x ，△DEF 的面积为S ．

（1）求证：△BEF ∽△CEG ；

（2）求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； （3）当E 运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少？

D

【2006】如图1，已知直线12y x =-与抛物线21

64

y x =-+交于A

B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；

（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；

（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

【2005】

图2

图1

【2004】已知两点O （0，0）、B （0，2），⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙A 被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3：1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动． （1）求⊙A 的半径；

（2）若抛物线经过O 、C 两点，求抛物线的解析式；

（3）过l 上一点P 的直线与⊙A 交于C 、E 两点，且PC=CE ，求点E 的坐标；

（4）若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式．

长沙市中考数学试题压轴题总汇答案

1．(1)连结OB 、OC ，由∠BAD=75︒，OA=OB 知∠AOB=30︒， ·········· （1分） ∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30︒，∴∠BOC=120︒， ·············· （2分） 故BC

⌒的长为3r 2π． ··························· （3分） (2)连结BD ，∵AB=CD，∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD， ·········· （5分） 同理EF∥AD，从而BC∥AD∥FE． ··················· （6分） (3)过点B 作BM⊥AD 于M ，由(2)知四边形ABCD 为等腰梯形，从而BC=AD-2AM=2r-2AM ． ··································· （7分）

∵AD 为直径，∴∠ABD=90︒，易得△BAM∽△DAB

∴AM=AD AB 2=r

x 22，∴BC=2r -r x 2，同理EF=2r-r x 2

············ （8分）

∴L=4x+2(2r -r x 2)=r x x r 4422++-=()r r x r

622

+--，其中0＜x ＜r 2 · （9分）

∴当x=r 时，L 取得最大值6r ． ····················· （10分）

2、略

3、