自由电子气的能量状态

2π 3
L
(2)波矢空间状态密度(单位体积中的状态代表点数):
L
3
2π
(3)
k ~ k dk 体积元 dk中的(波矢)状态数为:
dZ0
L 2π
3
dk
(4) k ~ k dk 体积元dk 中的电子状态数为:
dZ
2
L
3
dk
2π
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2.能态密度
lim (1)定义: N (E)
Z dZ
E0 E dE
(2)计算:
波矢密 度
两个等能面间 的波矢状态数
两等能面间的 电子状态数
能态 密度
E ~ E dE 两等能面间的波矢状态数：
VC
2π3
(k空间E
~
E
dE两等能面间的体积)
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考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，
dZ
2
VC
2π3
(k空间E
~
E
k x
k y
kБайду номын сангаас
z
2πnx
L 2πn y
L 2πnz
L
; ; ;
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二、波矢空间和能态密度
1.波矢空间
以波矢
k
的三个分量
k
、
x
k
y、k
为坐标轴的空间称为波矢
z
空间或 k 空间。
金属中自由电子波矢：
kx
2πnx L
,ky
2πny L
,kz
2πnz L
(1)在波矢空间每个(波矢)状态代表点占有的体积为：
T0K时，费米面以内能量 离EF约kBT范围的能级上的电子 被激发到EF之上约kBT范围的能 级。
kF 2mEF
费米能级 EF0 (a) T=0K
EF
(b) T 0K
每个电子都可以建立一个独立的薛定谔方程：
2 2 (r) E (r)
2m
E---电子的能量
----电子的波函数(是电子位矢 r的函数)
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常用边界条件：周期性边界条件
x, y, z x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L
f
(E
)
1 02
E EF E EF
1 E EF
f
(
E
)
1 02
E EF E EF
随着T的增加，f(E)发生变化的能量范围变宽，但在任何情
况下，此能量范围约在EF附近kBT范围内。注：室温附近 kBT 103
EF
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3.费米面
E=EF的等能面称为费米面。
在绝对零度时，费米面以内 的状态都被电子占据，球外没有 电子。
dZ dE
4πVC
2m h2
3
2
E
1
2
CE1
2
其中
C
4πVc
2m h2
3
2
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三、自由电子气的费米能量
1.费米能量
费米统计：在温度T处于热平衡时，能量为E的状态被电子 占据的概率是
f
(E)
1 e( E EF ) kBT
1
EF---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意 义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。 它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。
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第一节 自由电子气的能量状态
本节主要内容： 一、金属中自由电子的运动方程和解 二、波矢空间和能态密度 三、自由电子气的费米能量
首都师范大学物理系 自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用
的 、遵从泡利原理的电子气。
一、金属中自由电子的运动方程和解
1.模型(索末菲) (1)金属中的价电子彼此之间无相互作用； (2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平
均势能的势场中运动)； (3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。
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2.薛定谔方程及其解
为计算方便，设金属是边长为L的立方体，又设势阱的深
度是无限的。粒子势能为
V ( x, y, z) 0; V(x, y, z)
0 x, y, z L x, y, z 0,以及x, y, z L
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2. f (E) ~ (E EF) 图象
f
(E)
1 e( E EF ) kBT
1
a. kBT 0 T 0K
b. kBT 1eV T : 104 K
c. kBT 2.5eV T : 2.5 104 K
1
E EF
f (E)
陡变
E EF
0 E EF
1 E EF
k(r) Ae ikr
E
2 k 2 2m
2 2m
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射
回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对
应点进入金属中来。
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k
波矢， 2π
k
为电子的德布罗意波长。
电子的动量：p k
电子的速度：v
p
k
mm
由正交归一化条件： V k(r) 2dr 1
11 A VC L3 / 2
由周期性边界条件：
x L, y, z x, y, z
x, y L, z x, y, z
x,
y,
z
L
x,
y,
z
e ik x L 1
e
ikY
L
1
e ikZ L 1
(其中 nx , n y , nz 为整数)
(
k
2 x
k
2 y
k2 z
)
dE 2k dk m
2 k kE m
N(E)
2
VC (2π)
3
4πk 2 2k
2
(
VC 2π)
3
m4πk 2
m
2
VC (2π)3
m4π 2
2m E
k 2mE
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2
VC (2π)3
m4π 2
2m E
dZ dE
4πVC
(2m)3 h3
2
E1
2
E
N( E ) CE1 2
E 2dE
N (E) dZ cE1 2
dE
其中
C
4πVc
2m 3
h2
2
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法3. 在k空间自由电子的等能面是半径 k 2mE 的球面，
在半径为k的球体积内电子的状态数为：
Z
2Vc ( 2 π) 3
4 3
πk 3
Vc 3π2
2m E 3
2
2
自由电子气的能态密度：
N(E)
dE两等能面间的体积)
2
VC
2π3
dsdk
dE (K E )dk
E dE
E
ky ds
dk
2
VC
2π3
E
ds k E
dE
kx
能态密度:
N (E ) dZ dE
2
VC
2π3
E
ds k E
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例1：求金属自由电子气的能态密度
法1. 金属中自由电子的能量
E
2 k 2 2m
2 2m
法2. 金属中自由电子的能量
E 2 k 2 2m
k 2 2m E 2
dZ
2
VC
2π3
4π k 2
dk
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dZ
2
VC
2π3
4π
k2
dk
E dE ky
dZ
2
VC
2π3
4π
2mE 2
2
m dE 2m E
E
kx
4πVC
2π3
(2m)3 2 3
E1 2
dE
3
4πVC
2m h2
21