实验三 循环码编码

实验三信道编码（一）

一、实验目的

1、通过实验掌握循环码的编码原理

2、通过实验掌握循环码的译码原理

3、了解编码与检错能力之间的关系

二、实验内容

1、自行设置循环码，计算所设计出的循环码的所有码字集合；

3、整理好所有的程序清单，并作注释。

三、实验设计原理

1、循环码特点：

1）循环码是线性分组码的一种，所以它具有线性分组的码的一般特性，且具有循环性，纠错能力强。

2）循环码是一种无权码，循环码编排的特点为相邻的两个数码之间符合卡诺中的邻接条件，即相邻数码间只有一位码元不同，因此它具有一个很好的优点是它满足邻接条件，没有瞬时错误（在数码变换过程中，在速度上会有快有慢，中间经过其他一些数码形式，即为瞬时错误）。

3）码字的循环特性，循环码中任一许用码经过牡环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。

2、循环码的定义

一个（n，k）线性分组码C，若对任意

C

c

c

c

c

n

n

∈

=

-

-

)

,

,

,

(

2

1

，将码矢中的各码符

号循环左移（或右移）一位，恒有

C

c

c

c

c

c

n

n

n

∈

=

-

-

-

)

,

,

,

,

(

1

3

2

'

，就称C为（n，k）循环

码。

循环码是一种线性码，因此线性码的一切特性均适合于循环码；但它的特殊性是其循环性，码字集合或者说码组中任意一个码字的循环移位得到的序列仍是该码字集合中的码字，即它对循环操作满足封闭性。

3、循环码的生成矩阵、生成多项式和监督矩阵

（1）循环码的生成矩阵

在循环码中，一个),(k n 循环码有k

2个许用码组。若用)(x g 表示其中前)1(-k 位皆为

“0”的码组，用)(x xg ，)(2x g x ，…，

)(1

x g x k -分别表示其向左移1，2，…，1-k 位的码组（实际上是)(x g x j 除以1+n x 的余式），根据循环性可知：)(x g ，)(x xg ，)(2

x g x ，…，

)(1x g x k -都是许用码组，而且这k 个码组将是线性无关的。因此，可用它们构成循环码的

生成矩阵。其中)(x g 又被称为循环码的生成多项式。

由此可见，循环码的生成矩阵n k G ⨯可以写成

)54()()()()()(21-⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--⨯x g x xg x g x x g x x G k k n k

若)64()(0

111-++++=------g g x g x g x g k n k n k

n k n （因为前)1(-k 位皆为“0”）

则

)74(0

00

00)(011

01

1011-⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=---------⨯g g g g g g g g g g g g x G k n k

n k n k n k n k

n n k

若用)(x U 表示信息多项式，其定义为

)84()(0

111-+++=--u x u x u x U k k

式中][011u u u k -表示k 个信息比特。由此得到的码组为

)

94()

()()()()(][)()()(01111011-⋅+++=⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅

=⋅=----x g u x u x u x g x xg x g x u u u x G x U x C k k k k

上式表明，所有的许用码组多项式都可被)(x g 整除，而且任一次数不大于)1(-k 的多项式乘)(x g 都是循环码的许用码多项式。且因为)(x C 是一个阶次小于n 的多项式，所以由上式可知，)(x g 应是一常数项不为0的)(k n -阶多项式。因为如果常数项为0，则经过右移一位，会得到一个信息位全为0，而监督位不全为0的码组，这在线性码中显然是不可能的。

可以写出此循环码组的多项式表示式：

)

104()

()()()()()()()(][)()()(452645262456-++=++=⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⋅=⋅=x g a x a x a x g a x xg a x g x a x g x xg x g x a a a x G x U x C

上式表明，所有码多项式都能够被)(x g 整除，而且任意一个次数不大于)1(-k 的多项式乘以)(x g 都是码多项式。

（2）生成多项式

由式（4-10）可知，任意一个循环码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，故它可以写成：

)114()

()()(-⋅=x g x U x C

而生成多项式)(x g 本身也是一个码组，即有

)124()

()('-=x g x C

由于码组)('

x C 是一个)(k n -次多项式，故)('

x C x k

是一个n 次多项式。由式（4-12）

可知，)('x C x k 在模

)1(+n x 运算下也是一个码组，所以有： )

134(1

)

()(1)('-++=+n n k x x C x Q x x C x

上式左端分子和分母都是n 次多项式，故相除的商式1)(=x Q 。因此，上式可以写成：

)144()

()1()('-++=x C x x C x n k