华师版八年级上册第十二章12.5 第1课时 因式分解及提公因式法分解因式
八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解第1课时因式分解及提公因式法教案华东师大版(202
八年级数学上册第12章整式的乘除12.5 因式分解第1课时因式分解及提公因式法教案（新版）华东师大版
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因式分解及提公因式法。
华东师大版数学八年级上册12.5因式分解——提公因式法分解因式课件
二、把下列各式分解因式：
练习 &
1、 3x3-9x2+3x
2、 am-am+1 交流
= 3x(x2-3x+1)
= am(1-a)
3、 -4a3b3 +6a2b-2ab
= -2ab(2a2b2-3a+1) 4、 a(x-y)+by-bx 5、x2-y2+2x-2y
= a(x-y)+b(y-x) = (x+y)(x-y)+2(x-y)
的恒等变 形.
把一个多项式化为几个整式的积 的情势，叫做多项式的因式分解
比较判断： 下列各式由左到右的变形，哪些是因式分解？
(1) 3(x+2)=3x+6
不是
(2) 5a3b-10a2bc=5a2b(a-2c) 是 (3) x2+1=x(x+ 1 ) 不是
x
(4) y2+x2-4=y2+() [(x+y)-2x] =2(x+y)(y-x)
= 2(a-1)-a(a-1) = (a-1)(2-a)
例2 试说明：
1、5101 - 5100能被20整除；
解：∵5101 - 5100
= 5100×5-5100×1
举
= 5100×(5-1)
一
= 5100×4
反
而 5100×4÷20=599
2、计算：
1 2 2016 2 2017 2 2018 3 3、已知1+x+x2=0,求1+2x+2x2+x3的值.
(5) x2-4y2=(x+4y)(x-4y) 不是正确的因式分解
合作探究
华师版八年级数学上册教案12.5 因式分解(1课时)
12.5因式分解一、基本目标1．了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．2. 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．3．掌握平方差公式、完全平方公式分解因式的方法．二、重难点目标【教学重点】掌握因式分解的意义及用提公因式法和公式法把多项式分解因式．【教学难点】综合运用提公因式法和公式法分解因式．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P42～P45的内容，完成下面练习．【3 min反馈】一、因式分解的概念1．把下列多项式写成整式的积的形式：x2＋x＝x(x＋1)；x2－1＝(x＋1)(x－1)；ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．2．把一个多项式化成几个整式的乘积_的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式)．3．多项式与因式分解的关系：整式的乘积多项式因式分解整式乘法4．下列各式从左到右的变形为因式分解的是_③_.(填序号)①(x＋1)(x－1)＝x2－1；②a2－1＋b2＝(a＋1)(a－1)＋b2；③7x－7＝7(x－1)．二、公因式与提公因式法1．公因式：如果一个多项式中_各项_都含有一个_公共的_因式，那么这个公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．如pa＋pb＋pc中，p_是这个多项式的公因式．2．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式_提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的_乘积的_形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．字母表示：pa＋pb＋pc＝p(_a＋b＋c_)．3．多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是_3ab_.4．把下列各式分解因式：(1)3x2－6xy；(2)3a2(x－y)3－4b2(y－x)2.解：(1)x(3x－6y)．(2)(x－y)2 (3a2－4b2)．三、公式法(一)平方差公式1．(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(y＋5)(y－5)＝y2－25.(2)根据(1)中等式填空：x2－4＝(x＋2)(x－2)；y2－25＝(y＋5)(y－5).2．平方差公式：a2－b2＝_(a＋b)(a－b)_．即两个数的平方差，等于_这两个数的和_与_这两个数的差的积_．3．下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是__②__.(填序号)①x2＋y2；②1－x2；③－x2－y2；④x2－xy.(二)两数和(差)的平方1．填空：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.2．根据(1)中的式子填空：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2.3．形如a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．4．完全平方公式：a2±2ab＋b2＝_(a±b)2.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是___③__.(填序号)①x2－2x－2；②x2＋1；③x2－4x＋4；④x2＋4x＋1.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】把下列多项式分解因式：(1)(a＋b)(a－b)－a－b；(2)m2(16x－y)＋n2(y－16x)；(3)16x4－y4；(4)(a 2＋4)2－16a 2.【互动探索】(引发学生思考)观察式子中的各项的特点→确定公因式→公式法分解因式．【解答】(1)原式＝(a ＋b )(a －b )－(a ＋b )＝(a ＋b )(a －b －1)．(2)原式＝(16x －y )(m 2－n 2)＝(16x －y )·(m ＋n )(m －n )．(3)原式＝(4x 2＋y 2)(4x 2－y 2)＝(4x 2＋y 2)·(2x ＋y )(2x －y )．(4)原式＝(a 2＋4)2－(4a )2＝(a 2＋4＋4a )·(a 2＋4－4a )＝(a ＋2)2(a －2)2.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)分解因式的基本步骤可概括为一提、二用、三查，即有公因式的先提公因式，没有公因式的用公式法，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．(2)在平方差公式和完全平方公式中，a 和b 可以代表单项式、多项式或单独一个数．【例2】计算：(1)5722×14－4282×14； (2)342＋34×32＋162.【互动探索】(引发学生思考)观察式子，看有什么特点，是否符合乘法公式的结构特征？【解答】(1)原式＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36 000. (2)原式＝(34＋16)2＝2500.【互动总结】(学生总结，老师点评)对于一些比较复杂的计算，有时可以运用乘法公式使运算简便．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列从左到右的变形中是因式分解的有( B )①x 2－y 2－1＝(x ＋y )(x －y )－1；②x 3＋x ＝x (x 2＋1)；③(x －y )2＝x 2－2xy ＋y 2；④x 2－9y 2＝(x ＋3y )(x －3y )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．多项式15m 3n 2＋5m 2n －20m 2n 3的公因式是( C )A ．5mnB ．5m 2n 2C ．5m 2nD ．5mn 23．下列分解因式正确的是(B)A．x3－x＝x(x2－1)B．x2－1＝(x＋1)(x－1)C．x2－x＋2＝x(x－1)＋2D．x2＋2x－1＝(x－1)24．当整数a为_－4时(只写一个)，多项式x2＋a能用平方差公式分解因式．5．若x2＋(m－3)x＋16可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于_－5或11_.6．把下列多项式分解因式：(1)x2(a－1)＋x(1－a)；(2)9(m＋n)2－(m－n)2；(3)2a3－4a2b＋2ab2；(4)(x2－1)2＋6(1－x2)＋9.解：(1)原式＝x2(a－1)－x(a－1)＝(a－1)·(x2－x)＝x(a－1)(x－1)．(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．(3)原式＝2a(a2－2ab＋b2)＝2a(a－b)2.(4)原式＝(x2－1)2－6(x2－1)＋9＝(x2－1－3)2＝(x＋2)2(x－2)2.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．【互动探索】找出248－1的特点→用平方差公式化简→得出结论．【解答】248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)·(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63,26＋1＝65，∴这两个数是65和63.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)整式乘法――→因式分解⎩⎪⎨⎪⎧提公因式法——公因式公式法⎩⎪⎨⎪⎧平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2请完成本课时对应练习！。
华师大版八年级数学上册第12章第5节《因式分解》教学课件第1课时 提公因式法
达标检测 反思目标
1、下列各式从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A、a 2a 2 a2 4 B、m2 1 n2 m 1n 1
C、8x 8 8 x 1 D、x2 2x 1 x x 2 1
2、多项式 8a3b2 12ab3c 16ab 的公因式是______ 3、把下列各式因式分解:
（1）a a 3 23 a （2）9a2b3 6a3b2 3a2b2 （3）6x3 10x2 2x （4） a y z 4bz y
4、先因式分解再求值：5xm 2 4x2 m ，其中
x 0.4, m 5.5
2.一般的,如果多项式的各项都有______,可以先把这个 ______提取出来,将多项式写成______与另一个因式 ____的形式,这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
初步应用提公因式法
例1 把 8a3b2+12ab3c 分解因式．
解： 8a3b2+12ab3c =4ab2 2a2+4ab2 3bc =4ab（2 2a2+3bc）.
（３）、提取公因式时应先观察第一项系数的符号， 负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一 项都____，然后再提取公因式。
总结梳理 内化目标
１、这节课你学到了些什么知识？
２、你还有什么疑惑？
1.因式分解与整式乘法之间的关系：因式 分解与整式乘法是相反方向的变形，即互 逆变形;
2.提取公因式法分解因式应注意： 找公因式，提公因式，注意符号及漏掉项 ;
第1课时 提公因式法
创设情景 明确目标 1、630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？
2、当a=101,b=99时，求a2-b2的值。怎么能够 使运算能够更简便呢?
12.5.1提公因式法+课件+2024—2025学年华师大版数学八年级上册
掌握新知
例2 如何确定下面多项式的公因式？
找 3 (x+y) 2 + 6 (x+y) 的公因式.
系数：
最大公约数， 字母：
即为3
都有的多项
式x+y
相同字母的最 低次数，即为1
公因式既可以是一
个单项式的形式，
也可以是一个多项
式的形式
掌握新知
做一做：把下列多项式因式分解：
(2) 原式 = 2022×(2022 + 1) - 20232 = 2022×2023 - 20232 = 2023×(2022 - 2023) = - 2023．
(3)原式= (-2)100×(-2 + 1) = 2100×(- 1) = - 2100.
巩固练习
3 . 20042+2004能被2005整除吗?
(1)3a＋3b；
(2)5x-5y+5z；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b；
(4)3m2n+6m2n2+9mn2.
解：(1)原式＝3(a＋b).
(2)原式＝5(x－y＋z).
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1).
(4)原式＝3mn(m＋2mn+3n).
巩固练习
1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)(5a-1)2=25a2-10a+1
整式乘法
(2)x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(3)(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(4)m2-42=(m+4)(m-4)
因式分解
(5)2πR+ 2πr= 2π(R+r)
2022秋八年级数学上册 第12章 整式的乘除12.5 因式分解 1提公因式法课件华东师大版
10．把多项式－4a3＋4a2－16a分解因式的结果是( D ) A．－a(4a2－4a＋16) B．a(－4a2＋4a－16) C．－4(a3－a2＋4a) D．－4a(a2－a＋4)
11．把多项式(3a－4b)(7a－8b)＋(11a－12b)(8b－7a)分解因
，利用因式分解求a(a＋b)(a－b)
－a(a＋b)2的值；
解：原式＝a(a＋b)(a－b－a－b)＝－2ab(a＋b)．
∵a＋b＝1，ab＝14， ∴原式＝－2×14×1＝－12.
(2)若x2＋2x＝1，试求1－2x2－4x的值．
解：∵x2＋2x＝1， ∴1－2x2－4x＝1－2(x2＋2x)＝1－2×1＝－1.
(2)【教材改编题】已知x＋y＝6，x－y＝4，则2y(x－y)－2x(y －x)的值是___4_8____．
13．【中考·吉林改编】如图，长为a，宽为b的长方形，它 的周长为8，面积为1，则a2b＋ab2的值为____4____．
14．【2021·漯河期末】把下列各式分解因式： (1)6p(p＋q)－4q(p＋q)；
式的结果是( C )
A．8(7a－8b)(a－b)
B．2(7a－8b)2
C．8(7a－8b)(b－a)
D．－2(7a－8b)(a－b)
【点拨】原式＝(7a－8b)(3a－4b－11a＋12b)＝(7a－ 8b)(8b－8a)＝8(7a－8b)(b－a)，故选C.
12.(1)【中考·杭州】因式分解：(a－b)2－(b－a)＝ __(a_－__b_)_(_a_－__b_＋__1_) _．
16．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2. 解：原式＝(1＋x)＋x(1＋x)＋x(1＋x)2 ＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)] ＝(1＋x)(1＋x)(1＋x) ＝(1＋x)3.
12.5 第1课时 因式分解及提公因式法课件 2024—2025学年华东师大版数学八年级上册
探 究
[概括新知]
与 (1)多项式中的每一项都含有的 相同的 因式叫做公因式.
应
用 (2)一个多项式各项的公因式常常不止一个.通常,当多项式
的 各 项 系数 都是整数时,公因式的 系 数 应取各 项 系 数 的
最大公因数 ;字母应取各项 相同 的字母,而且各字母的
指数取次数 最低 的.
探 得 锦囊
数,若互为相反数,注意符号的变化;
(4)提公因式一定要提“净”(即提出公因式后,剩余的多项式
中不能再有公因式).
探
应用五 利用因式分解求值
究 与
例 5 先分解因式,再求值:
应 用
已知2x-y=13,xy=2,求2x4y3-x3y4的值.
解:原式=x3y3(2x-y).
∵2x-y=13,xy=2, ∴x3y3(2x-y)=(xy)3(2x-y)=23×13 = 83.
中的三个等式,其过程正好与整式的乘法相反.
探 识 关系 究 因式分解和整式乘法的关系
与
应 因式分解和整式乘法是互逆的恒等变形,因式分解的对象是 用 多项式,结果是几个整式的积.
探 究
[概括新知]
与 因式分解:把一个 多项式 化为几个 整式 的 积 的
应
用 形式,叫做多项式的因式分解.
探 知 重点 究 因式分解的“四点注意”
结 与 检 测
课 4.把下列各式分解因式:
堂
小 (1)a2x2y-axy2;
结
与 解:(1)axy(ax-y)
(2)-3ma3+6ma2-12ma;
(2)-3ma(a2-2a+4)
检 测
(3)2a(b+c)-3(b+c);
八年级数学上：12.5因式分解(第1课时)课件华师大版版
拓展 提升
1．已知：a＋b＝3，ab＝2，求下列各 式的值： (1)a2b＋ab2； (2)2（a+b)-3ab(a+b) 2. 先化简，再求值： 5x(a－2)＋4x(2－a)，其中x＝0.4，a＝102.
3.长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为
14，面积为10，则a2b＋ab2的值是多少？
1、什么叫因式分解？
[归纳总结] 运用提公因式法因式分解的基本步骤： (1)确定应提取的公因式； (2)用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； (3)把多项式写成这两个因式的积的形式． 注意：(1)公因式既可以是单项式，也可以是多项式． (2)确定一个多项式的公因式时，不仅要考虑字母因式，还 要考虑系数．对于系数，取各项系数的最大公因数作为公因式 的系数，对于字母因式，取相同字母因式的最低次幂． (3)若首项系数是负数，一般要先提出负号． (4)提公因式时，如果某项就是公因式或与公因式互为相反 数，提取后不能漏掉± 1. (5)将多项式因式分解时，必须分解到不能再分解为止．
[归纳总结] 在计算求值时， 若式子各项还有公因数， 先 提取公因数再计算，可使运算简便.
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2 ＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)] ＝(1＋x)2(1＋x) ＝(1＋x)3 (1)上述分解因式的方法是___ ，共应用了____次． (2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2004，则需 应用上述方法2004次，结果是____ ． (3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n （n为正整数)．
把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的 式子变形叫把这个多项式因式分解。
华师版初中数学八年级上册12.5因式分解(提公因式)课件(共18张PPT)
4ab2
课前热身
因式分解:提公因式法 (1)3x+5x=( x )(3+5)
(2)3mx-3my =( 3m )(x-y) (3)3xy+xyz=( xy )(3+z) (4)5a2+5b=( 5 )( a2+b ) (5)3xy－3xz+3z=( 3 )(xy—xz+z )
6a b(3a 2b)
2
2 +28x 分解因 例3:把 -24x3 –12 x 2 3 x 28 x ) .12 解：原式= ( 24x式 2 ( 4 x 6 x 4 x 3 x 4 x 7) = 4 x( 6 x 2 3 x 7)
当多项式第一项 系数是负数，通 常先提出“-” 号，使括号内第 一项系数变为正 数，注意括号内 各项都要变号。
例题讲授
解： 原式 4ab 2a 4ab 3bc
2
2
2
4ab (2式 得到另一个因式 3、写成积的形 式
问:第二个因式可以用什么方法得到?
用多项式除以公因式
例题分析
•找出公因式 •提取公因式得 到 另一个因式 •写成积的形式
=328－327－326
=326(32－3－1) =326×5
=324×45
∴817－279－913能被45整除.
课堂小结
一看系数 二看字母 三看指数
课堂小结 三、因式分解与整式乘法的关系： 1、式：m（a+b+c）=ma+mb+mc 是整式乘法
m是公因式
2、式：ma+mb+mc=m（a+b+c）
华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》(第1课时)教学设计
华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》（第1课时）教学设计一. 教材分析“因式分解”是初中数学的重要内容，也是八年级上册的教学重点。
华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》（第1课时）的教学设计，主要让学生掌握因式分解的基本方法和应用。
本节课的内容包括：认识因式分解，掌握提公因式法和公式法进行因式分解，以及理解因式分解在解决实际问题中的应用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法，包括提公因式法和公式法。
但是，对于因式分解的概念和方法，以及如何运用因式分解解决实际问题，还需要进一步的学习和理解。
同时，学生需要具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以便更好地掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.让学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法。
2.培养学生运用因式分解解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.因式分解的概念和方法。
2.运用因式分解解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过问题引导学生思考，案例让学生理解因式分解的方法，小组合作学习法培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考：已知一个二次方程的解为2和-3，求这个二次方程。
让学生认识到因式分解在解决实际问题中的重要性。
2.呈现（10分钟）讲解因式分解的概念和方法，通过PPT课件展示提公因式法和公式法的步骤和例子。
让学生理解因式分解的方法，并能够运用到实际问题中。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组选择一个练习题进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生总结因式分解的步骤和注意事项，并通过PPT课件进行讲解。
然后，再让学生进行一次练习，巩固所学的知识。
5.拓展（10分钟）让学生运用因式分解解决实际问题，如分解一个多项式，或者解决一个优化问题。
12.5.1因式分解(提公因式法)-福建省石狮市华师大版八年级数学上册说课稿
12.5.1 因式分解（提公因式法）- 福建省石狮市华师大版八年级数学上册一、教学目标1.熟练掌握因式分解的基本概念和方法；2.能够应用提公因式法对多项式进行因式分解；3.发展学生的逻辑思维能力和解题能力；4.培养学生的团队合作与交流能力。
二、教学重难点1.教学重点：因式分解的基本过程和提公因式法的运用；2.教学难点：因式分解和提公因式法的综合运用。
三、教学准备1.教材：福建省石狮市华师大版八年级数学上册；2.教具：黑板、粉笔、教辅资料；3.准备相关教学案例和练习题。
四、教学过程1. 导入与引入（5分钟）教师通过提问和激发学生的兴趣，引导学生回顾多项式的基本概念和展示一些实际问题，如何对多项式进行因式分解，并说明本节课将学习的提公因式法在解决实际问题时的应用。
2. 概念与方法讲解（15分钟）教师通过讲解因式分解的定义和提公因式法的基本原理，引导学生理解提公因式法的基本思想和操作步骤。
让学生了解提公因式法是将多项式中的公因式提取出来，使其它项都成为公因式的倍式，并通过示例演示提公因式法的具体操作方法，帮助学生理解因式分解的过程和意义。
3. 练习与巩固（20分钟）教师组织学生进行课堂练习，包括单项式的公因式和多项式的提公因式法，通过个别示范解题和学生互相交流讨论，提高学生的解题能力和思维灵活性。
4. 拓展与应用（10分钟）教师为学生提供一些实际应用的问题，要求学生利用提公因式法解决，并鼓励学生分享解题思路和答案，促进同学们之间的合作和交流。
5. 归纳总结（5分钟）教师与学生一起回顾本节课学到的重点知识和方法，总结提公因式法的应用场景和解题方法，强化学生对所学知识的理解和记忆。
6. 课堂小结（2分钟）教师对本节课进行总结，并布置作业，要求学生再次回顾和巩固所学内容，并预告下一节课的教学内容。
五、教学反思本节课通过提公因式法对多项式进行因式分解的教学，能够帮助学生掌握因式分解的基本概念和方法，提高学生的解题能力和逻辑思维能力。
华师版八年级数学上册第12章5 因式分解
特别解读
知5－讲
1. 因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的两数和(差)的平
方公式的逆用.
2. 结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项
的符号可以是“＋”，也可以是“－”，但两个平方项的符号
必须相同，否则就不是完全平方式，不能用完全平方公式进
原式＝(10x＋3y)(10x－3y)．
知4－练
知4－练
(3)a4－1； 解：原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)·(a－1)．
(4)49x2－(5x－2)2. 原式＝[7x＋(5x－2)][7x－(5x－2)]＝(12x－2)(2x＋2)＝ 4(6x－1)(x＋1)．
知识点 5 用完全平方公式分解因式
解题秘方：紧扣提公因式法的步骤分解因式.
知3－练
解：(1)6x3y2－8xy3z＝2xy2·3x2－2xy2·4yz＝2xy2(3x2－4yz). (2)－4a3b2＋12a2b－4ab ＝－(4a3b2－12a2b＋4ab) ＝－(4ab·a2b－4ab·3a＋4ab) ＝－4ab(a2b－3a＋1).
知3－练
解法提醒：1. 当多项式的首项系数是负数时，一般应先 提出“－”号，但要注意，此时括号内各项都要改变符号. 2. 4ab与公因式相同，提取公因式后，此项为“1”，此时 容易漏掉“1”这一项而导致错误．
知3－练
5-1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
的积的条件后，结果写成平方差形式；而因式分解中的
平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分
解成两个数的和乘以这两个数的差.
华东师大版数学八年级上册12.5.1因式分解-因式分解概念及其提公因式法因式分解
例：计算： 把 3a2-9ab因式分解.
解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ， （即将多项式化为两个 因式的乘积）.
＝xy(x－y)
＝3xy(4z－3xy)
把因式分解后的结果乘开就可以检验因 式分解是不是正确了。
针对练习
把下列多项式分解因式
(1)nx ny
(2)4x3 6x2
(3)8m2n 2mn (4)25x2 y3 15x2 y2
例2 把下列多项式分解因式
(1)3a2 y 3ay 6 y (2)a2b 5ab 9b (3)-24x3–12x2+28x (4)-9x2+6xy-3x
例1 把下列多项式分解因式
(1) ay ax
(2) 3mx 6my
(2)(x32)y xy2
(142) xyz 9x2 y2
解:(1)原式＝a.y+a.x (2)原式＝3m.x－3m.2y
=a(y+x)
＝3m(x－2y)
(3)原式＝xy.x－xy.y (4)原式＝3xy.4z－3xy.3xy
=(-3)19〔 (-3)2+(-3)-6〕 =(-3)19〔 9-3-6〕
=(-3)19×0 =0
(2)a2 b2 （ a+b ）（ a-b ）
(3)a2 2ab b2 （(a+b)2）
“回忆”中的三个等式是我们已熟悉 的整式乘法运算，而“试一试”中的三个 等式，其过程正好与整式的乘法相反，它 是把一个多项式化为几个整式积的形式。
12.5《因式分解——提公因式法》教学设计
课题：12.5华师大版八年级因式分解（1）【教学目标】1．能区分整式的乘法与因式分解，会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解；会运用提公因式法分解因式．2．通过与算术中的因数分解相比较，渗透类比的数学思想方法；通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力。
3．通过因式分解在简化计算中的作用等，培养“用数学”的意识，增强求知欲和学好数学的自信心。
【教学重点与难点】重点：提公因式法分解因式难点：多项式因式分解和整式乘法的关系【教学方法与教学手段】教学方法：采用“引导类比讨论发现”的教学方法教学手段：多媒体辅助教学【教学过程】【教学设计说明】因式分解共二个课时，本节课为第一课时。
为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，本节课以类比发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅，并运用电教媒体化静为动，激发学生探究知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力。
1．在数学过程设计中，从学生身边的生活情景引入，从生活场景中提炼数学知识，设置疑问，使学生带着问题学习新知识，最后又运用新知解决疑问和生活中的问题。
这样，体现了“数学源于生活，又为生活服务。
”2．设计问题化、发现化的“概念形成”、“探究新知”，通过“做一做”、“想一想”、“练一练”、“议一议”等活动，为学生提供充分从事数学活动的机会。
利用数学情境，激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究、合作交流，让学生自我思考归纳总结，体会数学的价值。
3．现代教学理论认为：学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构，强调学生学习的主动性、社会性和情景性。
由此，本课组织学习因式分解概念与提公因式法时，让学生通过已学过的因数分解及整式乘法相类比，进行探索新知，自我小结归纳，再给出一系列辨析题。
在最后的环节中，将学生可能会出现的错误问题全部展现，为学生提供经验与教训，让学生能更透彻地理解本节课的重点和化解难点。
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【方法总结】正确找出多项式的公因式的步骤： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的_______________. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中______的一个，即字母最_____次数.
【针对训练】将下列各多项式的公因式填在横线上.
(1) 3x+6y ___________; (2)ab-2ac ___________;
解的方法，叫做
.
例 2 把下列各式分解因式：
(1)8a3b2＋12ab3c；
(2)- x2+xy-xz；
(3)2a(b＋c)－3(b＋c)；
导学提纲
【方法总结】提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即 将多项式化为两个因式的乘积.
【针对训练】 1.下列是某同学分解因式的结果，对的画“√”，错的画“×”，并改正. (1)分解因式 12xy3+18xy2=3xy(4y2 + 6y). ____________， 正解：________________________________； (2)分解因式 3x2 - 6xy+x =x(3x-6y).____________， 正解：________________________________； (3) (a＋b)(a－b)－a+b=(a＋b)(a－b－1)____________， 正解：________________________________.
(3) a2 - a3 ___________ ;
(4 )9m2n-6mn ___________;
(5)-6x2y-8xy 2 ___________; (6)4(m+n) 2 +2(m+n) ___________;
探究点 3：用提公因式法分解因式
【概念提出】将多项式的
提出来，写成两个因式的 的形式，这种因式分
③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【方法总结】判断变形过程是否为因式分解：一看等式右边是否为几个整式的积的形式，
二看等式左边是否为多项式．
导学提纲
【针对训练】在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有___________. （填序号）
(2)(-2)101+(-2)100.
7.若 ab＝2，2a+b＝6，求多项式-4a3b2-2a2b3 的值；
8．若△ABC 的三边长分别为 a，b，c，且 a+2ab＝c+2bc，判断△ABC 的形状．
导学提纲
四、课堂小结、形成网络 （一）小结
因式分解
公因式
提公因式法分解因式
因 式 分 解 与 ______ 是 互 逆运算; 因式分解的右边是两个 或多个整式乘积的形式
【易错归纳】 (1)提取公因式后，多项式中各项还含有公因式．(2)提取公因式后，漏掉另 一个因式是 1 的项；(3)找公因式时符号出错.
例 3 运用提公因式法进行简便运算：
（1）2×97+8×97；
（2）1.25×77+0.25×77-2.5×77.
例 4 先因式分解，再求值：m（a-3）-2n（3-a），其中 a=1，m=0.6，n=0.2.
2．把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（ ）
A．x+1
B．2x
C．x+2
D．x+3
3.下列多项式的分解因式，正确的是（ ）
A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）
B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）
C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）
导学提纲
课题
12.5 第 1 课时 因式分解及提公因式法 分解因式
主备人
课型 新授课 课时安排 1 总课时数 1 上课日期
学习目标
1. 理解因式分解的意义和概念，
2. 因式分解与整式乘法的区别和联系. 3.理解并掌握提公因式法，并能熟练地运用提公因式法分解因式.
学习重难点
重点：理解因式分解的意义和概念 难点：理解并掌握提公因式法，并能熟练地运用提公因式法分解因式.
【针对训练】
当 a，b 互为相反数时，代数式 a2+ab-2 的值为（ ）
A．2
B．0
C．-2
三、检测
1.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 C．x2﹣2y2＝（x+2y）（x﹣2y）
D．-1
导学提纲
D．（x﹣1）（x﹣2）﹣2＝x（x﹣3）
步骤： 1.定__________; 2.定__________; 3.定__________.
步骤：1:找公因式；2:提公因式 注意事项：1.公因式要提尽；2.不要漏 项；3.提负号，要注意变号.
同的因式为
.
【要点归纳】多项式中的每一项都含有的相同的因式，称之为
.
问题：如何确定一个多项式的公因式？ 找一找：3x 2 - 6 xy 的公因式. (1) 多项式 3x 2 - 6 xy 有____项，分别为__________、_________，它们的系数分别是______、 _______，系数的最大公约数是__________，它们含有的共同字母是_________，该字母 的指数分别为______、_____. (2) 该多项式的公因式为______________.
札
教·学过程
记
一．导
填一填：x（x+1）=
； 3a(a+2)=
； m(a+b+c)= __________.
想一想：根据上面三个等式，将下列式子写成两个式子相乘的形式：
x2+x=（___）（______）； 3a2+6a=（_____）（_______）； ma+mb+mc=（____）（_________）
①24x2y=3x ·8xy； ①am+bm+c=m(a+b)+c；
①x2-1=(x+1)(x-1) ；
①(2x+1)2=4x2+4x+1；
①2x+4y+6z=2(x+2y+3z)；
⑥x2+x=x2(1+ 1 ) . x
探究点 2mc 中，ma= · ，mb= · ，mc= · ，它们共
D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）
4．因式分解：
（1）3xy﹣6y＝
；
（2）a2b+b﹣2ab2＝
；
（3）3x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝
.
5.若 9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则整式 M 等于____________.
6.简便计算：
(1) 1.99×1.98+1.99×0.02；
.二、思
阅读课本完成探究一
探究点 1：因式分解 思考 1：“想一想”中的三个式子从左到右的变化有什么共同的特点？
【要点归纳】把一个多项式化成
的形式，叫做多项式的
.
思考 2：通过观察“填一填”“想一想”中的式子，你发现因式分解与整式乘法有什么联
系？
例 1 下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；