可分离变量的微分方程

二、典型例题
例1 求解微分方程
两端积分
dy 2 xy 的通解. dx dy 解 分离变量 2 xdx , y
dy y 2 xdx , ln y x 2 C1
y ce 为所求通解.
x2
例2 求方程 f ( xy ) ydx g( xy ) xdy 0 通解.
g ( u) ln | x | du C . u[ f ( u) g( u)]
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含量M ( t )
随时间t 变化的规律.
解
dM M dt
dM M dt ,
dM 衰变速度 , dt
7-2 可分离变量的 微分方程
一、可分离变量的微分方程
主要讨论一类形如
y' f ( x, y)
4 5
的一些解法：P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
（*）
2
一般地,若一微分方程能写成 g ( y)dy f ( x)dx 的形式，则称原方程为可分离变量的微分方程.
1 1 y' = 2 x 2 y -4 / 5
因此,方程（*）的解满足（**）.反之，若 y= ( x) 是由（**）所确定的隐函数， 则在 g(y) 0条件下， y= ( x) 也是方程的解。因为由隐函数求导法则知：
G( y) F (x) C
(**)
g ( y)dy f ( x)dx
解法 假定f ( x), g ( y)连续，y= ( x)是上述方程的解，将其带入可得恒等式：
g( ( x)) '( x) dx f ( x)dx 积分并利用y= ( x)引进变量y可得，
g( y )dy f ( x )dx
G( y) F ( x) C (**)
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为 g ( y )和 f ( x ) 的原函数,于是有
解 令u xy ,
则 du xdy ydx, du ydx f ( u) ydx g( u) x 0, x u [ f ( u) g( u)] dx g( u)du 0, x dx g ( u) du 0, x u[ f ( u) g( u)]
通解为
y dy 2 x dx ,

解法 假定f ( x), g ( y)连续，y= ( x)是上述方程的解，将其带入可得恒等式：
g( ( x)) '( x) dx f ( x)dx 积分并利用y= ( x)引进变量y可得，
g( y )dy f ( x )dx
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为 g ( y )和 f ( x ) 的原函数,于是有
因此,方程（*）的解满足（**）.反之，若 y= ( x) 是由（**）所确定的隐函数， 则在 g(y) 0条件下， y= ( x) 也是方程的解。因为由隐函数求导法则知：当g(y) 0
'( x)
F '( x) f ( x) G '( y ) g ( y )
即：y ( x)满足方程(*). 称(**)式为微分方程(*)的隐式解.
由题设条件
( ຫໍສະໝຸດ Baidu0衰变系数)
dM dt M
ln M t ln c , 即M ce t ,
代入M t 0 M0 得 M 0 ce 0 C ,
M M 0 e t
衰变规律
小结
分离变量法步骤:
1.分离变量; 2.两端积分-------隐式通解.