同济大学 高数 三重积分

M lim ( k ,k , k )vk
0 k 1
n
v k
( k , k , k )
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定义. 设 f ( x, y, z ) , ( x, y, z ) Ω , 若对 作任意分割: 任意取点 下列 “乘 积和式” 极限
0 k 1
交 的边界曲面 于两点 z1 ( r , ) 和 z2 (r , ) 且
z1 (r , ) z z2 (r , )
把 往 xoy 面作投影得积分区域 D
则
f ( x, y, z )dxd ydz
d

r2 ( ) r1 ( )
dr
z2 ( r , )
均为为非负函数
根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
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例3. 计算三重积分 xd xd yd z , 其中 为三个坐标 面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .

z
1
1 2
解:（法一）
0 z 1 x 2y
:
0 y 1 (1 x ) 2 0 x 1
其中 由抛物面
x 2 y 2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
解: 在柱面坐标系下
z
h
x h d 2 d z 原式 = d 0 0 4 1 2 dv d d d z 2 2 h 2π (h ) d 2 0 4 1
( , , z ) , 1 ( ) 2 ( ), z1 ( , ) z z2 ( , )
适用范围: 积分域 由 圆锥面; 旋转 抛物面; 柱面 围成
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利用柱坐标计算三重积分的步骤 ①
D (r , ) r1 ( ) r r2 ( ), ② 在 D 内任取一点 P ，过 P 作平行于 z 轴 的直线
1. 利用直角坐标计算三重积分
z z2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
方法:
方法1 . (“先一后二”) 方法2 . (“先二后一”)
假设平行于 z 轴且穿过区域 内部的直线与闭区域 的边界曲面相交不多于两点. 方法1 . (“先一后二”) 步骤：① 把 往 xoy 面作投影得积分区域 D
O
y


1 0
xd xd yd z
1 x
0
1 (1 x ) 2
1 x 2 y
dz
x d x
0
(1 x 2 y )d y
1 1 1 2 3 ( x 2 x x )d x 4 0 48
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例3. （法二）


xd xd yd z
O
平面
x
y ( x, y,0)
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三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:
f ( x, y, z) dxd ydz
*
ห้องสมุดไป่ตู้
F (u, v, w) J dudvdw
( x, y , z ) 对应雅可比行列式为 J (u , v, w)
直角坐标与柱面坐标的关系:
lim f ( k ,k , k )vk 记作 f ( x, y, z )dv

n
存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在 上的三重积分.
dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作
性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 1dv V ( 的体积）
dxd ydz.
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例5.
( x 2 y 2 )dxdydz ,其中 由 曲面 4 z 2 25( x 2 y 2 )

及平面 z 5 所围成的闭区域 .
解:
( x y )dxdydz dz ( x 2 y 2 )dxdy
2 2 0 Dz
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当被积函数在积分域上变号时, 因为
f ( x, y , z )
f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) 2 2 f1 ( x, y, z ) f 2 ( x, y, z )

2
x cos
y sin
x ( x, y , z ) J y ( , , z ) z
x y z
x z y z z z
zz
cos sin 0
sin
0 0 1
cos
0
2

2
dv J d d dz d d dz
原式 z d d d z
2
z a
O y

zd z
0
a
0
π
2 d
0
2 cos
2 d
2 2 cos x
dv d d d z
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8 2 4a 2 π 2 3 cos d a 9 3 0
例8. 计算三重积分
zdxdydz

2
0
d d 2 z dz
0
2
4

2
2 0
2
0
1 2 z 2
4
4
d
2
64 . 3
(16 )d
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法2
用“先二后一 ”
zdxdydz

4
0
4
dz zdxdy
Dz
z zdz
3
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin zz
坐标面分别为
0 0 2π z
圆柱面 半平面
z
z
M ( x, y , z )
常数
常数
z 常数
2 2 2
解: :
c z c
z D z c z O by a
x y z ( a 2 b2 c 2 )dxdydz ？
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( x 2 y 2 )dxdydz 例5.

,其中 由曲面 所围成的闭区域 .
4 z 2 25( x 2 y 2 ) 及平面 z 5
等
f ( x)dxdydz f ( y)dxdydz f ( z)dxdydz
( f ( x) f ( y) f ( z))dxdydz 3 f ( x)dxdydz

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例1 例2

P182 1(1)
( x y z)dxdydz ,其中 为三个坐标 面及平面
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第十章
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一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为 ( x, y, z ) C ,求分布在 内的物质的
质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得
x y
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f ( x, y, z )d xd yd z
2 ( )
d d d z
d
其中
1 ( )
d
z2 ( , )
z1 ( , )
F ( , , z) dz
F ( , , z ) f ( cos , sin , z )
z
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) d v

D
f ( x, y, z )d z d xd y z ( x, y ) 1
z2 ( x , y )
O
记作
D d xd y z ( x, y )
1
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )d z
方法2. (“先二后一”) 若
z b

记作
a
b
Dz
f ( x, y , z ) d x d y d z
z Dz a O x

y
a dz D
b
f ( x, y, z )d xd y
z
适用范围: ① 被积函数 只与 一个变量 有关，且 截面 的面积 易 计算. 或 ②

Dz
f ( x, y, z)d x d y 易计算.
关于 x, y, z 有 轮换对称性， 则
x y z 1 所围成的闭区域 .
解:
xdxdydz ydxdydz zdxdydz

故
( x y z)dxdydz 3 xdxdydz

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二、三重积分的计算
z
1
1 2
xdx dydz
0 Dx
1
O
1 x (1 x)2 dx 0 4
1
y
1 x
1 48
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例4. 计算三重积分
x x y z Dz : 2 2 1 2 用“先二后一 ” a b c c 2 2 z d x d y d z z d z d x d y Dz c 2 c 2 z 4 2 z π a b(1 2 )d z π abc 3 c 15 c 2 2 2
x
D .P
y
② 在 D 内任取一点 P ,过 P 作平行于 z 轴的直线 交 的边界曲面 于两点 z1 ( x, y ) 和 z2 ( x, y )
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则
z1 ( x, y ) z z2 ( x, y ) Ω: ( x, y ) D
z z2 ( x, y )




f ( x, y, z)dv 0
( 为曲面）
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对称 的性质 ① 在有界闭域 V 上连续, V 关于xoy 面 对称, V1 为对应V 的 z 0 部分，则

将
V
0 f ( x , y , z ) f ( x, y , z ) f ( x, y, z) d v 2 f ( x, y, z )dV f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) V1
5
dz d r rdr 2
2 0 0
5
2
2z 5 0
5
0
r 4
2z 4 5
dz
0
8 1 5 4 z 8 5 5 0
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5
2. 利用柱坐标计算三重积分
（ 设 M ( x, y, z ) R ,将 x, y用极坐标 , 代替, 则 , , z )
② 关于 x, y, z 有 轮换对称性， 当 ( x, y, z) 时， 则 (即
x, y, z 任意 互换 得到的点也 属于 ) 则 f ( x, y, z)dxdydz f ( y, x, z)dxdydz f ( y, z, x)dxdydz

0

3
4
z3
0
64 . 3
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例7. 计算三重积分
其中 为
由柱面 x 2 y 2 2 x 及平面 z 0, z a (a 0), y 0 所
围成半圆柱体.
0 2 cos 解: 在柱面坐标系下 : 0 2 0 za
z1 ( r , )
f (r cos , r sin , z)rdz
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例6. 计算三重积分
zdxdydz 其中 为

由 z x2 y 2
及平面 z 4 所围立体. 解: 法1 在柱面坐标系下 : 0 2 , 0 2, 2 z 4
x
D
则
.P
y
若
D ( x, y ) y1 ( x) y y2 ( x), a x b
b y2 ( x )
1
f ( x, y, z ) d v a dxy ( x) dy z ( x, y )
1
z2 ( x , y )
f ( x, y, z )dz
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