材料力学 应力状态
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2 (
x x
max(min)
x y
2
) x
2
2
17.20 66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
1 66.4MPa， 2 0， 3 6.4MPa
应力的点的概念;
2、应力的三个概念: 应力的面的概念;
2
2
cos 2 x sin 2
x
30MPa
60 0 60 0 cos( 90 ) 20.6 sin( 90 ) 2 2
x
50.6MPa x y
50.6MPa x
45
2 60 0 sin( 90 ) 20.6 cos( 90 ) 2 30MPa
max
Qmax S z max Iz b
低碳钢
铸铁
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
低碳钢
铸铁
为什么脆性材料扭转破坏时沿45º 螺旋面断开？
第五章
应力状态、强度理论
应力状态的概念及其描述 平面应力状态下的应力分析 主应力、主方向、最大剪应力 三向应力状态特例分析 广义胡克定律 强度理论 结论与讨论 应用实例
0
0
0
45
ｏ
0
45ｏ
0
0
0
0
第四节 在应力圆上确定主平面、 主应力、面内最大剪应力
y
D
A
x
a
o d
c
2
主平面：在应力圆上,应力圆与横轴 交点对应的面
主应力表达式：
1 2 2 x y 4 2 2 x y 1 2 2 x y 4 2 2 0 (主平面定义)
二向应力状态：只有一个主应力等于零， 其它两个主应力不等于零。 （平面应力状态） 三向应力状态：三个主应力都不等于零 y z y
x
y
z
y
x
y
x
y
x
zx
x
x x
x
xz
zy yz
xy yx
y
y
x
第二节 平面应力状态分析
（解析法）
1、平衡原理的应用—— 单元体局部的平衡方程
x y
o
o
主应力：主平面上的正应力
在应力圆上主应力=圆心半径
面内最大剪应力
应力圆上最高点的 面上的剪应力， 称为“ 面内最大 剪应力”。
max
45
B
( 45 )
c e
2×45º
a
45
E
( 45 )
D
B A
E
45
B
( 45 )
45
E
( 45 )
结果表明：
45º方向的斜截面上既有 正应力又有剪应力，正应力不 是最大值，剪应力是最大。
D
E
a (0, )
45
A
e
转向对应、二倍角对应
y'
y
x'
A
a'
2q
C
a
x
A'
o
转向对应——半径旋转方向与方向面法线
旋转方向一致；
二倍角对应——半径转过的角度是方向面
旋转角度的两倍。
2、几种对应关系
点面对应——应力圆上某一点 的坐标值对应着微元某一方向上 的正应力和剪应力；
转向对应——半径旋转方向与 方向面法线旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角 度是方向面旋转角度的两倍。
1.04 MPa（压应力）
0.469 MPa
C 已知：
40
1.04MPa
C 0.469MPa
x y
x y
2 2 1.04 1.04 cos(80 ) 0.469 sin( 80 ) 1.07 MPa 2 2
cos(80 ) x sin( 80 )
y
x
y´
y
x
x
x´
x
y
x
y
dA
y
F
x
0
dA- ( dA cos) cos + x ( dA cos ) sin x
+ y ( dA sin ) cos - y (dA sin ) sin 0 y´
应 力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
应力状态的概念.
哪一点？ 哪个方向面？ 过一点不同方向面上应力的集 合，称之为这一点的应力状态
例题2:
已知：图示原始单元体求：
、
2
x y
2
2
2
y
x y
2
cos 2 x sin 2
cos 2( ) x sin 2( ) 2 2
围绕一个受力点可以有无数多个单元体：
2
My 2 IZ
QS 2 Z IZb
2
1
FP 5 4 3 2 1
1
M WZ
3
S平面
SQ 3 3 b Z I
xam
l/2
l/2
3、原始单元体：各侧面上的应力情况为已知
l F
l a F
y
1
S平面
S
4
第一节
应力状态概述
1、应力状态：受力构件内任意点各不同截面方位 上的应力情况 研究点的应力状态的方法：取单元体的方法 2、单元体：围绕受力构件内任意点切取一个微 小正六面体。
F F
单 元 体 1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的。 的 2.两个相互平行侧面上的应力情况是相同的 特 点 3.代表该点三个相互垂直方向上的应力情况
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) x cos(80 )
C
C
C
第三节 平面应力状态
y
y
图解法 （应力圆）
x
y
x
x
1.应力圆的画法
y
y
R
c
B2 B1
x
x
D2 (y ,y)
D1 (x ,x)
o百度文库
x y
2 1.在—坐标系中， 该点的横纵坐标代表单元体以 量取横坐标OB1=x， x轴为外法线方向面上的应力 纵坐标B1D1=x得到D1点。 情况。同样方法得到D2点。
在单元体上两个剪应力共同指定的象限 既为主应力1所在象限
例题1:
已知:单元体各侧面应力 x=60MPa, x=20.6MPa, y=0, y=-20.6MPa 求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面 x
45
x y x y
22.5
x=40 MPa,y=-20 MPa,x=-30 MPa
37.5 x y x y cos(2 37.5 ) x sin( 2 37.5 ) 2 2
11.24MPa
20 30
x y 37.5 52.5
x y
2 sin 2 x cos 2
2 x tg2 x y
x y d 2( sin 2 x cos 2 ) 0 d 2
max( mix)
x y x y 2 2 ( ) x 2 2
3、应力圆方程
利用三角恒等式，可以将前面 所得的关于 和 的计算式写成方程：
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
(
x y
2
2
sin 2 x cos 2
x y
2
)
2
1 = 2
sin 2 x cos 2
x=60MPa, x=20.6MPa, y=0, y=-20.6MPa
2 x 2 20.6 tg (2 ) 0.69 x y 60 0
2 34.4
6.4MPa
17.2
x y
40 -11.24 -36.8 x y 37.5 sin( 2 37.5 ) x cos(2 37.5 ) 31.2 2
52.5 31.2MPa
36.8MPa
例题4: 图示一矩形截面简支梁,在跨中有集中力作用。已
知:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,=400。求：离左支座 L/4处截面上C点在400斜截面上的应力。
x
y
2
4
2 x
2
圆方程 ：圆心坐标
半径
1 R 2
2 4 x y 2
R c
x y
2
应 力 圆
2
(
x y
2
)
2
2
1 = 2
x
y
4
2 x
2
D
B A E
b
d o
2×45º
2.连D1D2交轴于c点，即以c点为圆心，cd为半径作圆。
y
D
x
x
y
A
e( , )
c
2
a (x ,x)
(y , y)
d
E点(横、纵坐标):代表了斜截面上的 正应力和剪应力
2、几种对应关系
y
A
y
a
x
x
c
点面对应——应力圆上某一点的坐标值
对应着单元体某一截面方向上的正应力和剪 应力
2 3
a
z
x
4、主单元体:各侧面上只有正应力作用, 而无剪应力作用的单元体 5、主平面:单元体上剪应力为零的面 6、主应力:主平面上作用的正应力。 三个主应力按代数值大小排列为:
1 2 3
F
F
1
1 2 3 0
应力状态分类：
单向应力状态：只有一个主应力不等于零
F 0 y
-
dA + (dA cos sin ) x
x
x´
+ x (dA cos ) cos - ( dA sin ) sin y - y ( dA sin )cos 0
x
y
dA
y
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
结 论:
y'
x y
2
sin 2 x cos 2
不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力 y' x
x'
y
x'
x
x
y
x
拉中有剪
x
剪中有拉
x y x y cos 2 x sin 2 2 2
x
x y
2
+/2
y
x y
2
x y
2
2
cos 2 x sin 2
x
x
x y
单元体的两个相互垂直截面上的正应力之和为常数
例题3:
求(1)主应力、主平面、画主单元体(2)=0 37.5 斜截面上的应力情况,并画单元体. 20 =40 MPa, =-20 MPa, =-30 MPa
30
x
y
x
40
max（mix）
x y
2
（
x y
2
） x
2
2
（MPa）
3
20
max（mix） 52.4(32.4)MPa
30 1 40
1 52.4MPa, 2 0, 3 32.4MPa
2 x tg（2） 1 x y
2×45º
B
o
c
2×45º
b
( 45 )
d (0,- )
B E
B
45
E
( 45 )
结果表明：
45º方向面只有正应力没有剪 应力，而且正应力为最大值。
4、一点处的应力状态有不同的表 示方法，而用主应力表示最为重 要
请分析图示 4 种应力状态中，哪几种 是等价的
P
h/4
b
h 解： P L
MC 2 4
25KN m
L/4 L/4
L/2
C
C
C
C
P QC 50 KN 2 3 M C y 25 10 150 10 3 12 IZ 200 6003 10 12
QC C S Z 50 103 150 200 225 10 9 12 IZ b 200 6003 10 9 200 10 3
应力状态
主讲教师 ： 邹翠荣
2017年6月24日
1. 直杆受轴向拉（压）时:
F
m m
F
N A
2.圆轴扭转时:
T
3.剪切弯曲的梁:
A B
T Ip
P
M ( x) y Iz
Q Sz Iz b
FP
S平面
5 4
3 2 1
l/2
l/2
5 4 3 2
1
max
M max Wz
x x
max(min)
x y
2
) x
2
2
17.20 66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
1 66.4MPa， 2 0， 3 6.4MPa
应力的点的概念;
2、应力的三个概念: 应力的面的概念;
2
2
cos 2 x sin 2
x
30MPa
60 0 60 0 cos( 90 ) 20.6 sin( 90 ) 2 2
x
50.6MPa x y
50.6MPa x
45
2 60 0 sin( 90 ) 20.6 cos( 90 ) 2 30MPa
max
Qmax S z max Iz b
低碳钢
铸铁
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
低碳钢
铸铁
为什么脆性材料扭转破坏时沿45º 螺旋面断开？
第五章
应力状态、强度理论
应力状态的概念及其描述 平面应力状态下的应力分析 主应力、主方向、最大剪应力 三向应力状态特例分析 广义胡克定律 强度理论 结论与讨论 应用实例
0
0
0
45
ｏ
0
45ｏ
0
0
0
0
第四节 在应力圆上确定主平面、 主应力、面内最大剪应力
y
D
A
x
a
o d
c
2
主平面：在应力圆上,应力圆与横轴 交点对应的面
主应力表达式：
1 2 2 x y 4 2 2 x y 1 2 2 x y 4 2 2 0 (主平面定义)
二向应力状态：只有一个主应力等于零， 其它两个主应力不等于零。 （平面应力状态） 三向应力状态：三个主应力都不等于零 y z y
x
y
z
y
x
y
x
y
x
zx
x
x x
x
xz
zy yz
xy yx
y
y
x
第二节 平面应力状态分析
（解析法）
1、平衡原理的应用—— 单元体局部的平衡方程
x y
o
o
主应力：主平面上的正应力
在应力圆上主应力=圆心半径
面内最大剪应力
应力圆上最高点的 面上的剪应力， 称为“ 面内最大 剪应力”。
max
45
B
( 45 )
c e
2×45º
a
45
E
( 45 )
D
B A
E
45
B
( 45 )
45
E
( 45 )
结果表明：
45º方向的斜截面上既有 正应力又有剪应力，正应力不 是最大值，剪应力是最大。
D
E
a (0, )
45
A
e
转向对应、二倍角对应
y'
y
x'
A
a'
2q
C
a
x
A'
o
转向对应——半径旋转方向与方向面法线
旋转方向一致；
二倍角对应——半径转过的角度是方向面
旋转角度的两倍。
2、几种对应关系
点面对应——应力圆上某一点 的坐标值对应着微元某一方向上 的正应力和剪应力；
转向对应——半径旋转方向与 方向面法线旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角 度是方向面旋转角度的两倍。
1.04 MPa（压应力）
0.469 MPa
C 已知：
40
1.04MPa
C 0.469MPa
x y
x y
2 2 1.04 1.04 cos(80 ) 0.469 sin( 80 ) 1.07 MPa 2 2
cos(80 ) x sin( 80 )
y
x
y´
y
x
x
x´
x
y
x
y
dA
y
F
x
0
dA- ( dA cos) cos + x ( dA cos ) sin x
+ y ( dA sin ) cos - y (dA sin ) sin 0 y´
应 力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
应力状态的概念.
哪一点？ 哪个方向面？ 过一点不同方向面上应力的集 合，称之为这一点的应力状态
例题2:
已知：图示原始单元体求：
、
2
x y
2
2
2
y
x y
2
cos 2 x sin 2
cos 2( ) x sin 2( ) 2 2
围绕一个受力点可以有无数多个单元体：
2
My 2 IZ
QS 2 Z IZb
2
1
FP 5 4 3 2 1
1
M WZ
3
S平面
SQ 3 3 b Z I
xam
l/2
l/2
3、原始单元体：各侧面上的应力情况为已知
l F
l a F
y
1
S平面
S
4
第一节
应力状态概述
1、应力状态：受力构件内任意点各不同截面方位 上的应力情况 研究点的应力状态的方法：取单元体的方法 2、单元体：围绕受力构件内任意点切取一个微 小正六面体。
F F
单 元 体 1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的。 的 2.两个相互平行侧面上的应力情况是相同的 特 点 3.代表该点三个相互垂直方向上的应力情况
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) x cos(80 )
C
C
C
第三节 平面应力状态
y
y
图解法 （应力圆）
x
y
x
x
1.应力圆的画法
y
y
R
c
B2 B1
x
x
D2 (y ,y)
D1 (x ,x)
o百度文库
x y
2 1.在—坐标系中， 该点的横纵坐标代表单元体以 量取横坐标OB1=x， x轴为外法线方向面上的应力 纵坐标B1D1=x得到D1点。 情况。同样方法得到D2点。
在单元体上两个剪应力共同指定的象限 既为主应力1所在象限
例题1:
已知:单元体各侧面应力 x=60MPa, x=20.6MPa, y=0, y=-20.6MPa 求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面 x
45
x y x y
22.5
x=40 MPa,y=-20 MPa,x=-30 MPa
37.5 x y x y cos(2 37.5 ) x sin( 2 37.5 ) 2 2
11.24MPa
20 30
x y 37.5 52.5
x y
2 sin 2 x cos 2
2 x tg2 x y
x y d 2( sin 2 x cos 2 ) 0 d 2
max( mix)
x y x y 2 2 ( ) x 2 2
3、应力圆方程
利用三角恒等式，可以将前面 所得的关于 和 的计算式写成方程：
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
(
x y
2
2
sin 2 x cos 2
x y
2
)
2
1 = 2
sin 2 x cos 2
x=60MPa, x=20.6MPa, y=0, y=-20.6MPa
2 x 2 20.6 tg (2 ) 0.69 x y 60 0
2 34.4
6.4MPa
17.2
x y
40 -11.24 -36.8 x y 37.5 sin( 2 37.5 ) x cos(2 37.5 ) 31.2 2
52.5 31.2MPa
36.8MPa
例题4: 图示一矩形截面简支梁,在跨中有集中力作用。已
知:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,=400。求：离左支座 L/4处截面上C点在400斜截面上的应力。
x
y
2
4
2 x
2
圆方程 ：圆心坐标
半径
1 R 2
2 4 x y 2
R c
x y
2
应 力 圆
2
(
x y
2
)
2
2
1 = 2
x
y
4
2 x
2
D
B A E
b
d o
2×45º
2.连D1D2交轴于c点，即以c点为圆心，cd为半径作圆。
y
D
x
x
y
A
e( , )
c
2
a (x ,x)
(y , y)
d
E点(横、纵坐标):代表了斜截面上的 正应力和剪应力
2、几种对应关系
y
A
y
a
x
x
c
点面对应——应力圆上某一点的坐标值
对应着单元体某一截面方向上的正应力和剪 应力
2 3
a
z
x
4、主单元体:各侧面上只有正应力作用, 而无剪应力作用的单元体 5、主平面:单元体上剪应力为零的面 6、主应力:主平面上作用的正应力。 三个主应力按代数值大小排列为:
1 2 3
F
F
1
1 2 3 0
应力状态分类：
单向应力状态：只有一个主应力不等于零
F 0 y
-
dA + (dA cos sin ) x
x
x´
+ x (dA cos ) cos - ( dA sin ) sin y - y ( dA sin )cos 0
x
y
dA
y
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
结 论:
y'
x y
2
sin 2 x cos 2
不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力 y' x
x'
y
x'
x
x
y
x
拉中有剪
x
剪中有拉
x y x y cos 2 x sin 2 2 2
x
x y
2
+/2
y
x y
2
x y
2
2
cos 2 x sin 2
x
x
x y
单元体的两个相互垂直截面上的正应力之和为常数
例题3:
求(1)主应力、主平面、画主单元体(2)=0 37.5 斜截面上的应力情况,并画单元体. 20 =40 MPa, =-20 MPa, =-30 MPa
30
x
y
x
40
max（mix）
x y
2
（
x y
2
） x
2
2
（MPa）
3
20
max（mix） 52.4(32.4)MPa
30 1 40
1 52.4MPa, 2 0, 3 32.4MPa
2 x tg（2） 1 x y
2×45º
B
o
c
2×45º
b
( 45 )
d (0,- )
B E
B
45
E
( 45 )
结果表明：
45º方向面只有正应力没有剪 应力，而且正应力为最大值。
4、一点处的应力状态有不同的表 示方法，而用主应力表示最为重 要
请分析图示 4 种应力状态中，哪几种 是等价的
P
h/4
b
h 解： P L
MC 2 4
25KN m
L/4 L/4
L/2
C
C
C
C
P QC 50 KN 2 3 M C y 25 10 150 10 3 12 IZ 200 6003 10 12
QC C S Z 50 103 150 200 225 10 9 12 IZ b 200 6003 10 9 200 10 3
应力状态
主讲教师 ： 邹翠荣
2017年6月24日
1. 直杆受轴向拉（压）时:
F
m m
F
N A
2.圆轴扭转时:
T
3.剪切弯曲的梁:
A B
T Ip
P
M ( x) y Iz
Q Sz Iz b
FP
S平面
5 4
3 2 1
l/2
l/2
5 4 3 2
1
max
M max Wz