因式分解之十字相乘法分组分解专项练习题
十字相乘法因式分解练习题
十字相乘法因式分解练习题 1、=++232x x2、=+-672x x3、=--2142x x4、=-+1522x x 5、=++8624x x6、=++-+3)(4)(2b a b a7、=+-2223y xy x9、=++342x x10、=++1072a a11、=+-1272y y12=+-862q q13、=-+202x x14=-+1872m m15、=--3652p p16、=--822t t17、=--2024x x18、=-+8722ax x a 19、=+-22149b ab a20、=++221811y xy x21、=--222265x y x y x22、=+--a a a 1242323、=++101132x x 24、=+-3722x x 25、=--5762x x 26、=-+22865y xy x27、=++71522x x 28、=+-4832a a29、=-+6752x x30、=-+1023522ab b a 31、=+-222210173y x abxy b a32、=--22224954y y x y x33、=-+15442n n34、=-+3562l l35、=+-2222110y xy x36、=+-2215228n mn m一元二次方程的解法1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=-3、2260x y -+=4、01072=+-x x5、()()623=+-x x 6、()()03342=-+-x x x7、()02152=--x8、432=-yy9、3072=--xx10、()()412=-+yy11、()()1314-=-xxx12、()025122=-+x反思：1.解一元二次方程时,如果方程能直接开平方,就采用直接开平方.其次考虑因式分解,因为这种方法最快接,再次考虑求根公式法,这种方法是万能的,能求所有的一元二次方程,当然大前提是有解.最后考虑用配方法,因为它较复杂,但这种方法常用于证明一个式子大于零或恒小于零。
因式分解之十字相乘法专项练习题
因式分解之十字相乘法专项练习题因式分解之十字相乘法专项练习题1(1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35； (3)18x 2－21x+5； (4) 20－9y －20y 2；(5)2x 2+3x+1； (6)2y 2+y －6； (7)6x 2－13x+6； (8)3a 2－7a －6； (9)6x 2－11x+3； (10)4m 2+8m+3； (11)10x 2－21x+2；(12)8m 2－22m+15；(13)4n 2+4n －15； (14)6a 2+a －35； (15)5x 2－8x －13；(16)4x 2+15x+9；因式分解之十字相乘法专项练习题21、=++232x x2、=+-672x x3、=--2142x x4、=-+1522x x5、=++8624x x6、=++-+3)(4)(2b a b a7、=+-2223y xy x8、=--234283x x x 9、=++342x x10、=++1072a a 11、=+-1272y y 12、=+-862q q 13、=-+202x x14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t 17、=--2024x x 18、=-+8722ax x a 19、=+-22149b ab a20、=++221811y xy x21、=--222265x y x y x22、=+--a a a 124231. 解方程 11322xx x-=---2. 关于x 的方程12144a x x x-+=--有增根，3. 解关于x 的方程15mx =-下列说法正确的是（） A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时，方程的解为正数 C.当5m <-时，方程的解为负数 D.无法确定4.若分式方程1x aa x +=-无解，则a 的值为---------- 5. 若分式方程=11m xx +-有增根，则m 的值为----------- 6.分式方程121mx x =-+有增根，则增根为----------- 7. 关于x 的方程1122k x x +=--有增根，则k 的值为----------- 8. 若分式方程x aa a+=无解，则a 的值是-------- 9.若分式方程201m xm x ++=-无解,则m 的取值是------ 10. 若关于x 的方程(1)5321m x m x +-=-+无解，则m 的值为------ 11. 若关于x 的方程311x m x x--=-无解，求m 的值为------- 12.解方程21162-x 2312x x x -=--- 13．解方程2240x-11x -=- 14. 解方程2212525x x x -=-+15. 解方程 222213339x x x x --=-+- 16. 关于x 的方程21326x m x x -=--有增根，则m 的值17.当a 为何值时，关于x 的分式方程311x a x x--=-无解。
十字相乘法与分组分解法习题课
十字相乘法与分组分解法习题课【知识内容】1. 十字相乘法分解因式（1）首项系数是1的二次三项式的因式分解 （2）二次项系数不为1的二次三项式的因式分解 （3）含有两个字母的二次三项式的因式分解 【典型例题】例1 分解因式：-++134372x x例2 分解因式：x x y y 2229100++ 例3 分解因式：311102x x -+例4 因式分解：xx 267+-分析：这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其次，常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方，所以不能直接用公式分解，但经过适当的变形后，便可用公式分解。
另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解。
解：方法一xx xx 22676997+-=++--()()()()()=+-=+++-=+-x x x x x 3163434712方法二：()()x x x x 26771+-=+-小结：方法一叫配方法。
用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为1（如果二次项系数不是1，则提取这个系数，使二次项系数转化为1）；关键是，加上紧接着减去一次项系数绝对值一半的平方，这样便达到配方的目的。
在用十字相乘法分解二次三项式时，主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项。
2. 分组分解法分解因式如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
例5 分解因式：（1）22332x x y x y +-- （2）a b a b 2244-+-（3）492416222x y y z z --- （4）x x x 321--+例6 分解因式：()()a b c d c d a b2222+++例9 已知x y x y x y --++=314422，求x 与y 的值。
分析：在通常情况下，由一个方程求两个未知数的值，条件是不够的，但在特殊条件下又是可行的，这“特殊条件”包括非负数的和等于零的性质。
(完整版)十字相乘法因式分解练习题
十字相乘法因式分解练习题 1、=++232x x2、=+-672x x3、=--2142x x4、=-+1522x x 5、=++8624x x6、=++-+3)(4)(2b a b a7、=+-2223y xy x9、=++342x x10、=++1072a a11、=+-1272y y12=+-862q q13、=-+202x x14=-+1872m m15、=--3652p p16、=--822t t17、=--2024x x18、=-+8722ax x a 19、=+-22149b ab a20、=++221811y xy x21、=--222265x y x y x22、=+--a a a 1242323、=++101132x x 24、=+-3722x x 25、=--5762x x26、=-+22865y xy x27、=++71522x x 28、=+-4832a a29、=-+6752x x30、=-+1023522ab b a 31、=+-222210173y x abxy b a32、=--22224954y y x y x33、=-+15442n n34、=-+3562l l35、=+-2222110y xy x36、=+-2215228n mn m一元二次方程的解法1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=-3、2260x y -+=4、01072=+-x x5、()()623=+-x x 6、()()03342=-+-x x x7、()02152=--x8、432=-yy9、3072=--xx10、()()412=-+yy11、()()1314-=-xxx12、()025122=-+x反思：1.解一元二次方程时,如果方程能直接开平方,就采用直接开平方.其次考虑因式分解,因为这种方法最快接,再次考虑求根公式法,这种方法是万能的,能求所有的一元二次方程,当然大前提是有解.最后考虑用配方法,因为它较复杂,但这种方法常用于证明一个式子大于零或恒小于零。
因式分解--十字相乘法练习题(含答案)
因式分解--十字相乘法练习题(含答案)1、将题目格式修改为：十字相乘法因式分解练题（含答案）2、删除明显有问题的段落3、改写每段话：1.将第一个题目改写为：对于方程$x^2+3x+2=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
2.将第二个题目改写为：对于方程$x^2-7x+6=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
3.将第三个题目改写为：对于方程$x^2-4x-21=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
4.将第四个题目改写为：对于方程$x^4+6x^2+8=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
5.将第五个题目改写为：对于方程$x^2-3xy+2y^2=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
6.将第六个题目改写为：对于方程$x^2+4x+3=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
7.将第七个题目改写为：对于方程$y^2-7y+12=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
8.将第八个题目改写为：对于方程$x^2+2x-15=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
9.将第九个题目改写为：对于方程$(a+b)^2-4(a+b)+3=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
10.将第十个题目改写为：对于方程$x^4-3x^3-28x^2=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
11.将第十一个题目改写为：对于方程$a^2+7a+10=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
12.将第十二个题目改写为：对于方程$q^2-6q+8=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
13.将第十三个题目改写为：对于方程$x^2+x-20=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
14.将第十四个题目改写为：对于方程$p^2-5p-36=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
15.将第十五个题目改写为：对于方程$m^2+7m-18=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
16.将第十六个题目改写为：对于方程$t^2-2t-8=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
17.将第十七个题目改写为：对于方程$x^4-x^2-20=0$，使用十字相乘法进行因式分解。
专题4.3 因式分解-十字相乘与分组分解法(专项训练)(解析版)
专题4.3 因式分解-十字相乘与分组分解法（专项训练）1．（2022春•怀宁县期中）分解因式：①2a（a﹣2b）+4b（2b﹣a）；②x4﹣x3+x2﹣x．【解答】解：①2a（a﹣2b）+4b（2b﹣a）＝2a（a﹣2b）﹣4b（a﹣2b）＝2（a﹣2b）（a﹣2b）＝2（a﹣2b）2；②x4﹣x3+x2﹣x＝x4+x2﹣（x3+x）＝x2（x2+1）﹣x（x2+1）＝（x2+1）（x2﹣x）＝x（x﹣1）（x2+1）．2．（2022春•覃塘区期中）因式分解：（1）a2（a﹣b）+4（b﹣a）；（2）m2+n2﹣2mn﹣1．【解答】解：（1）a2（a﹣b）+4（b﹣a）＝a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝（a﹣b）（a2﹣4）＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）；（2）m2+n2﹣2mn﹣1＝（m﹣n）2﹣1＝（m﹣n+1）（m﹣n﹣1）．3．（2022春•西湖区校级期中）因式分解（1）﹣2x3+16x2﹣24x；（2）a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx．【解答】解：（1）﹣2x3+16x2﹣24x＝﹣2x（x2﹣8x+12）＝﹣2x（x﹣2）（x﹣6）；（2）a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx＝（a2﹣2ay+y2）﹣（b2﹣2bx+x2）＝（a﹣y）2﹣（b﹣x）2＝（a﹣y+b﹣x）（a﹣y﹣b+x）．4．（2022秋•阳城县期末）（1）因式分解：3x﹣12x3．（2）因式分解：m2+9n2+6mn﹣25．【解答】解：（1）3x﹣12x3＝3x（1﹣4x2）＝3x[12﹣（2x）2]＝3x（1+2x）（1﹣2x）；（2）m2+9n2+6mn﹣25＝（m2+6mn+9n2）﹣25＝（m+3n）2﹣52＝（m+3n+5）（m+3n﹣5）．5．（2022秋•射洪市期末）分解因式：（1）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2；（2）4a2﹣b2﹣4a+1．【解答】解：（1）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2＝[5（m+n）]2﹣[3（m﹣n）]2＝[5（m+n）+3（m﹣n）][5（m+n）﹣3（m﹣n）]＝（5m+5n+3n﹣3n）（5m+5n﹣3m+3n）＝（8m+2n）（2m+8n）＝4（4m+n）（m+4n）；（2）4a2﹣b2﹣4a+1＝（4a2﹣4a+1）﹣b2＝（2a﹣1）2﹣b2＝（2a﹣1+b）（2a﹣1﹣b）．6．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．x2﹣（﹣4y+4y2+1）＝x2﹣（1﹣2y）2＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．7．（2022秋•武昌区校级期末）分解因式（1）a2﹣b2﹣2a+1；（2）a3b﹣ab．【解答】解：（1）a2﹣b2﹣2a+1＝a2﹣2a+1﹣b2＝（a﹣1）2﹣b2＝（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）；（2）a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）．8．（2022秋•嘉峪关期末）分解因式（1）x2﹣16；（2）a﹣a3；（3）4（2a+b）2﹣4（2a+b）+1；（4）y2+2y+1﹣x2．【解答】解：（1）x2﹣16＝x2﹣42＝（x+4）（x﹣4）；（2）a﹣a3＝a（1﹣a2）＝a（1+a）（1﹣a）；（3）4（2a+b）2﹣4（2a+b）+1＝[2（2a+b）﹣1]2＝（4a+2b﹣1）2；（4）y2+2y+1﹣x2＝（y2+2y+1）﹣x2＝（y+1）2﹣x2＝（y+1+x）（y+1﹣x）．9．（2022秋•九龙坡区校级期末）因式分解：（1）m（5﹣m）+2（m﹣5）；（2）x4﹣81x2y2；（3）4x2﹣2x﹣y2﹣y；（4）x2+y2﹣1﹣2xy；（5）m2﹣2mn+n2+6﹣5m+5n．【解答】解：（1）原式＝m（5﹣m）﹣2（5﹣m）＝（5﹣m）（m﹣2）；（2）原式＝x2（x2﹣81y2）＝x2（x+9y）（x﹣9y）；（3）原式＝（4x2﹣y2）﹣（2x+y）＝（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x+y）＝（2x+y）（2x﹣y﹣1）；（4）原式＝（x2+y2﹣2xy）﹣1＝（x﹣y）2﹣12＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）；（5）原式＝（m2﹣2mn+n2）﹣5（m﹣n）+6＝（m﹣n）2﹣5（m﹣n）+6＝（m﹣n﹣2）（m﹣n﹣3）．10．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：（1）m2﹣n2+6n﹣9；（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．【解答】解：（1）原式＝m2﹣（n2﹣6n+9）＝m2﹣（n﹣3）2＝（m﹣n+3）（m+n﹣3）；（2）原式＝（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7（x+2y）＝（x+2y）（x2+6x﹣7）＝（x+2y）（x﹣1）（x+7）．11．（2022秋•灵宝市期末）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（ ）A．﹣6B．6C．﹣1D．1【答案】A【解答】解：∵ab＝﹣3，a+b＝2，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6，故选：A．12．（2022秋•新洲区期末）已知x2+3x﹣12＝0，则代数式x3﹣21x+5的值是（ ）A．31B．﹣31C．41D．﹣41【答案】B【解答】解：∵x2+3x﹣12＝0，∴x2+3x＝12，∴x3+3x2＝12x即x3＝12x﹣3x2，∴x3﹣21x+5＝12x﹣3x2﹣21x+5＝﹣3（x2+3x）+5＝﹣3×12+5＝﹣31．故选：B．13．（2022秋•如东县期末）已知a+b＝1，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（ ）A．57B．120C．﹣39D．﹣150【答案】D【解答】解：∵a+b＝1，ab＝﹣6，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝1+24＝25∴a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2＝﹣6×25＝﹣150，故选：D．14．（2022秋•南关区校级期末）若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）＝0，那么△ABC的形状是（ ）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】A【解答】解：（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）＝（a﹣b）（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0或b﹣c＝0，∴a＝b或b＝c，∵a，b，c是△ABC的三边，∴△ABC是等腰三角形，故选：A．15．（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a ﹣b的值为（ ）A．24B．18C．﹣24D．﹣18【答案】D【解答】解：∵a+b＝﹣3，ab＝7，∴a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b+ab2）﹣（a+b）＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）＝（7﹣1）×（﹣3）＝﹣18，故选：D．16．（2022秋•綦江区期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别表示广、爱、我、饶、游、美．现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2分解因式，结果呈现的密码信息可能是（ ）A．我爱美B．广饶游C．爱我广饶D．美我广饶【答案】C【解答】解：原式＝（x2﹣y2）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）且x﹣y，x+y，a﹣b，a+b四个代数式分别对应爱、我，广，饶，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我广饶”．故选：C．17．（2022秋•鹤壁期末）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（ ）A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）【答案】C【解答】解：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b），故选：C．18．（2022秋•泗水县期末）若x+y＝3，xy＝5，则x2y+xy2的值为 ．【答案】15【解答】解：∵x+y＝3，xy＝5，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝3×5＝15．故答案为：15．19．（2022秋•朔城区期末）已知x﹣y＝5，xy＝﹣3，则代数式x2y﹣xy2的值为 ．【答案】﹣15【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝﹣3，∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝﹣3×5＝﹣15．故答案为：﹣15．20．（2022秋•雨花区期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ．【答案】（2m+n）（m+2n）【解答】解：由图形可知，2m2+5mn+2n2表示所有部分面积之和，整体来看面积为：（2m+n）（m+2n），∴2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）．故答案为：（2m+n）（m+2n）．21．（2022秋•金乡县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．【解答】解：（1）9x2﹣6xy+y2﹣16＝（3x﹣y）2﹣42＝（3x﹣y+4）（3x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC的形状是等腰三角形．22．（2022秋•前郭县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）＝y2+8y+16 （第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？ ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 ．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【解答】解：（1）第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式．故选：C；（2）否，最终结果为（x﹣2）4．故答案为：否，（x﹣2）4；（3）设x2﹣2x＝y，则原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．23．（2022秋•平城区校级期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪，制作成一个无盖的长方体盒子，其中四个小正方形的边长是n，中间长方形的长是3m，宽是m，且m＞n．（1）观察图形，通过计算长方形纸板的面积可以发现代数式3m2+8mn+4n2可以因式分解，请直接写出因式分解的结果：3m2+8mn+4n2＝ ；（2）若折成的无盖长方体的四个侧面的面积和是16，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，试求m2+n2和（m﹣n）2的值．【解答】解：（1）观察图形，发现代数式：3m2+8mn+4n2＝（3m+2n）（m+2n）；故答案为：（3m+2n）（m+2n）；（2）∵无盖长方体的四个侧面的面积和是16，∴2（3mn+mn）＝16，即mn＝2，∵图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，∴2（m+2n）+2（3m+2n）＝8m+8n＝8（m+n）＝40，即m+n＝5，∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝52﹣2×2＝21，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝21﹣2×2＝17．24．（2022秋•怀仁市校级期末）有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m，n的式子表示）．①方法1： ；方法2： ；②请写出（m+n）2，（m﹣n）2，4mn三个代数式之间的等量关系： ．（2）若|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，求（a﹣b）2的值．（3）如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式：m2+3mn+2n2＝ ．【解答】解：（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为（m﹣n），因此面积为（m﹣n）2，方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为（m+n）的正方形减去4个长为m．宽为n的长方形面积，因此有（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；②由①得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（2）∵|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，|a+b﹣6|≥0，|ab﹣4|≥0，∵a+b﹣6＝0，ab﹣4＝0，即a+b＝6，ab＝4，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝36﹣16＝20．故答案为：20；（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为m2+2n2+3mn，而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为（m+2n），宽为（m+n）的长方形，所以有m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）．故答案为：m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）．25．（2022秋•张店区校级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）若a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc ＝ ．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．【解答】解：（1）根据大正方形的面积（a+b+c）2等于各小图形面积的和，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）因为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，所以49＝23+2ab+2ac+2bc，所以ab+ac+bc＝13，故答案为：13．（3）根据题意，得x张边长为a的正方形的面积为xa2，y张边长为b的正方形的面积为yb2，z张边长分别为a、b的长方形的面积为zab，因为（a+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，所以x＝2，y＝2，z＝5，26．（2022秋•辛集市期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是 ；（4）小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 ．【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张，故答案为：2，3；（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故答案为：（a+2b）（a+b）；（4）长方形的面积为2a2+3b2+7ab＝（2a+b）（a+3b），∴周长为：2[（2a+b）+（a+3b）]＝6a+8b，故答案为：6a+8b．27．（2022春•田东县期中）先分解因式，再求值（m2+n2）2﹣4m2n2，其中m+n＝4，m﹣n＝7．【解答】解：∵m+n＝4，m﹣n＝7，∴（m2+n2）2﹣4m2n2＝m4+2m2n2+n4﹣4m2n2＝m4﹣2m2n2+n4＝（m2﹣n2）2＝（m+n）2（m﹣n）2＝42×72＝784．28．（2022春•福鼎市期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n，（以上长度单位：cm）（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解，请写出因式分解的结果：（2）若每块小长方形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为80cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【解答】解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）；（2）依题意得，2m2+2n2＝80，mn＝12，∴m2+n2＝40，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝40+24＝64，∴m+n＝8，∴图中所有裁剪线段之和为8×6＝48（cm）．29．（2022春•顺德区期中）已知，先因式分解，再求值：a3b+2a2b2+ab3．【解答】解：∵，∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝＝﹣．30．（2022秋•淮北月考）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），宽为a、长为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图1中的三类图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．尝试解决：（1）用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个正方形，使其面积为（a+b）2，画出图形，并根据图形回答（a+b）2＝ ．（2）图2是由图1中的三类图形拼出的一个长方形，根据图2可以得到并解释等式： ．（3）用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个长方形，使其面积为a2+4ab+3b2，写出你的拼法，并根据你画的图形分解因式：a2+4ab+3b2．【解答】解：（1）如图1所示：（a+b）（a+b）＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，即（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案为：a2+2ab+b2．（2）解：由图可知，长方形的面积为（a+2b）（2a+b），还可以写成2a2+5ab+2b2，∴（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．（3）解：如图2所示，长方形的长a+3b，宽为a+b，面积为（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，即a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）．31．（2021秋•略阳县期末）已知x+y＝3，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值．【解答】解：∵x+y＝4，xy＝2，∴2x3y+4x2y2+2xy3，＝2xy（x2+2xy+y2），＝2xy（x+y）2，＝2×2×32，＝36．32．（2022秋•鼓楼区校级期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）若a+b+c＝8，a2+b2+c2＝14，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc ＝ ．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．【解答】解：（1）根据大正方形的面积（a+b+c）2等于各小图形面积的和，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）因为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝8，a2+b2+c2＝14，所以64＝14+2ab+2ac+2bc，所以ab+ac+bc＝25，故答案为：25．（3）根据题意，得x张边长为a的正方形的面积为xa2，y张边长为b的正方形的面积为yb2，z张边长分别为a、b的长方形的面积为zab，因为（a+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，所以x＝2，y＝2，z＝5，所以x+y+z＝2+2+5＝9．。
完整版)十字相乘法因式分解练习题
完整版)十字相乘法因式分解练习题1、x^2+3x+2=02、x^2-7x+6=03、x^2-4x-21=04、x^2+2x-15=05、2x^4+6x^2+8=06、(a+b)-4(a+b)+3=07、x^2-11x+10=09、-3xy+2y^2=010、x^2+4x+3=011、y^2-7y+12=012、12q^2-6q+8=013、x^2-3x+2=014、m^2+7m-18=015、2p^2-5p-36=016、t^2-2t-8=018、a^2-22a+120=020、x^2+7ax-8=021、x^2+11xy+18y^2=022、-a^2+4a-4=023、3x^2+11x+10=024、2x^2-l=35=025、6x^2-7x-5=026、5x^2+6xy-8y^2=027、2x^2+15x+7=028、3a^2-7a-6=029、5x^2+7x-6=031、3a^2+7a-6=032、4x^2-6x+9=033、4n^2+4n-15=034、6l^2-4l-5=035、10x^2-21xy+2y^2=0解一元二次方程时，可以采用直接开平方、因式分解、求根公式法或配方法。
其中，直接开平方和因式分解法常用整体思想，求根公式法虽然万能，但不一定最简单，而配方法较为复杂，常用于证明一个式子大于或小于零。
一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的整式方程。
一元二次方程的一般形式是ax^2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）。
解一元二次方程有四种方法：1）直接开平方法（适用于没有一次项的一元二次方程）2）因式分解法：包括提取公因式法、平方差公式、完全平方公式和十字相乘法（适用于左边能分解为两个一次式的积，右边是的方程）3）公式法（适用于任何一个一元二次方程）4）配方法（适用于二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程）在解一元二次方程时，首先需要将其化为一般式，即ax^2+bx+c=0.然后求出判别式的值，判别式的值大于或等于零时才有实数解。
十字相乘法分解因式练习题及答案
十字相乘法分解因式练习题及答案十字相乘法是一种分解因式的方法。
我们可以将多项式分解成两个一次多项式相乘的形式，然后再将这两个一次多项式分解成更简单的形式。
例如，对于多项式$x^2+5x+6$，我们可以将其分解为$(x+3)(x+2)$。
具体操作是，我们找到两个数，它们的和为5，积为6，这两个数分别为3和2，然后将$x^2+5x+6$分解为$(x+3)(x+2)$。
同样的，我们可以使用十字相乘法分解其他多项式。
例如，$2x^2+5x+2$可以分解为$(2x+1)(x+2)$，$3x^2+7x-6$可以分解为$(3x-2)(x+3)$，$x^2-7x+6$可以分解为$(x-1)(x-6)$，$x^2+10x+9$可以分解为$(x+1)(x+9)$等等。
除了十字相乘法，我们还可以使用因式分解法来解决一些方程。
例如，对于方程$a^2-7a+6=0$，我们可以将其因式分解为$(a-1)(a-6)=0$，从而得到$a=1$或$a=6$。
同样的，$2x^2-7x+6=0$可以分解为$(2x-3)(x-2)=0$，从而得到$x=\frac{3}{2}$或$x=2$。
总之，十字相乘法和因式分解法是解决分解因式和解方程的重要方法，值得我们掌握和应用。
x2+2x-63=(x-3)(x+21)x2-8x+15=(x-3)(x-5)x2+12x+32=(x-6)(x+2)x2+10x+9=(x+9)(x+1)x2-3x-10=(x-5)(x+2)x2-2x-15=(x-5)(x+3)2x2+5x+2=(2x+1)(x+2)2x2-5x-3=(2x-1)(x+3)2x2-3x-20=(2x-5)(x+4) 2x2+5x-7=(x-1)(2x+7) 2x2+7x+3=(2x+1)(x-3) 2x2-7x+3=(2x+1)(x-3) 2x2-7x+6=(2x-1)(x-3) 2x2+7x+6=(2x+3)(x+1) 3x2+7x-6=(3x-1)(x-2) 3x2+8x-3=(3x-1)(x+3) 3x2-5x+2=(3x-2)(x+1) 5x2-3x-2=(5x-2)(x+1)5x2+6x-8=(5x-4)(x+2)6x2-5x-25=(2x-5)(3x+5)6x2-7x+3=(2x-1)(3x-1)4x2+15x+9=(4x+3)(x+3)x2-7x+6=(x-1)(x-6)x2+13x+36=(x+4)(x+9)x2+5x-24=(x-3)(x+8)x2+2x+3=(x+3)(-x+1)4m2+8mn+3n2=(2m+n)(2m+3n) 5x2+6xy-8y2=(5x-8y)(x+2y)6y2-11y-10=(-2y+5)(3y+2)8x2+26xy-15y2=(2x-1)(4x+15)3a2b2-17abxy+10x2y2=(3ab-2xy)(a-5xy) 3x3-10x2+3x=3x(3x-1)(x-1)2x-3)2+3(2x-3)+2=(2x-1)(2x-2)改写：1.x2+2x-63可以因式分解为(x-3)(x+21)。
(完整版)因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221， 3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 解：例2 把下列各式分解因式： （1）3522--x x ；（2）3832-+x x ． 解：点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．十字相乘法专项练习题(1) a2－7a+6；(2)8x2+6x－35；(3)18x2－21x+5；(4) 20－9y－20y2；(5)2x2+3x+1；(6)2y2+y－6；(7)6x2－13x+6；(8)3a2－7a－6；(9)6x2－11x+3；(10)4m2+8m+3；(11)10x2－21x+2；(12)8m2－22m+15；(13)4n2+4n－15；(14)6a2+a－35；(15)5x2－8x－13；(16)4x2+15x+9；(17)15x2+x－2；(18)6y2+19y+10；(19) 2(a+b)2 +(a+b)(a －b)－6(a －b)2； (20)7(x －1)2 +4(x －1)－20；把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --； （2）9)2(22--x x ； ( 3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --(5)2252310a b ab +- (6)222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+(8)42718x x +- (9)22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy --六、解下列方程（1）220x x --= (2)2560x x +-= (3)23440a a +-= (4)227150b b +-=。
中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练(带答案)
中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列因式分解结果正确的是（ ） A ．32(1)x x x x -=-B ．229(9)(9)x y x y x y -=+-C ．232(3)2x x x x -+=-+D ．()()22331x x x x --=-+2．分式 212x x x ---有意义， 则（ ） A ．2x ≠ B ．1x ≠- C ．2x ≠或1x ≠- D ．2x ≠且1x ≠- 3．下列多项式中是多项式243x x -+的因式的是（ ）A ．1x -B ．xC ．2x +D ．3x +4．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x -，乙与丙相乘的积为26x x +-，则甲与丙相减的结果是( )A ．5-B ．5C ．1D ．1-5．将下列各式分解因式，结果不含因式()2x +的是（ ）A ．22x x +B ．24x -C ．()()21211x x ++++D ．3234x x x -+ 6．甲、乙两位同学在对多项式2x bx c ++分解因式时甲看错了b 的值，分解的结果是()()45x x -+，乙看错了c 的值，分解的结果是()()34x x +-，那么2x bx c ++分解因式正确的结果为（ ）A ．()()54x x --B ．()()45x x +-C ．()()45x x -+D ．()()45x x ++ 7．如果多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，那么:a b 的值是（ ）A ． 2-B ． 3-C ．3D ．6 8．若分解因式()()2153x mx x x n +-=--则m 的值为（ ）A ．5-B ．5C ．2-D ．2二、填空题9．因式分解26a a +-的结果是 ．三、解答题21424x x -+ 解：24(2)(12)=-⨯- (2)(12)14-+-=-21424(2)(12)x x x x ∴-+=-- 解：原式222277724x x =-⋅⋅+-+2(7)4924x =--+2(7)25x =-- (75)(75)x x =-+--(2)(12)x x =-- (1)按照材料一提供的方法分解因式：22075x x -+；(2)按照材料二提供的方法分解因式：21228x x +-．20．利用整式的乘法运算法则推导得出：()()()2ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2acx ad bc x bd ax b cx d +++=++．通过观察可把()2acx ad bc x bd +++看作以x 为未知数，a 、b 、c 、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式221112x x ++的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则()()221112423x x x x ++=++．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：2627x x +-；(2)用十字相乘法分解因式：2673x x --；(3)结合本题知识，分解因式：220()7()6x y x y +++-．参考答案： 1．D【分析】本题考查了因式分解；根据因式分解－十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A 、()()32(1)11x x x x x x x -=-=+-故本选项不符合题意；B 、229(3)(3)x y x y x y -=+-故本选项不符合题意；C 、()()23221x x x x -+=--故本选项不符合题意；D 、223(3)1)x x x x --=-+（故本选项符合题意； 故选：D ．2．D【分析】本题考查的是分式有意义的条件，利用十字乘法分解因式，根据分式有意义的条件：分母不为零可得 ²20x x --≠，再解即可． 【详解】解：由题意得： ²20x x --≠ 210x x解得： 2x ≠且1x ≠-故选： D ．3．A【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握十字乘法是解本题的关键．【详解】解：()()24313x x x x -+=--；∴1x -是多项式243x x -+的因式；故选A4．D【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．【详解】解：∴甲与乙相乘的积为29(3)(3)x x x -=+-，乙与丙相乘的积为()262(3)x x x x +-=-+，甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数 ∴甲为3x -，乙为3x +，丙为2x则甲与丙相减的差为：()(3)21x x ---=-；故选：D5．D【分析】本题主要考查了分解因式，正确把每个选项中的式子分解因式即可得到答案．【详解】解：A 、()222x x x x +=+故此选项不符合题意；B 、()()2422x x x -=+-故此选项不符合题意；C 、()()()()2221211112x x x x ++++=++=+故此选项不符合题意；D 、()()323441x x x x x x =+-+-故此选项符合题意； 故选：D ．6．B【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及因式分解，根据甲分解的结果求出c ，根据乙分解的结果求出b ，然后代入利用十字相乘法分解即可．【详解】解：∴()()24520x x x x -+=+-∴20c =-∴()()23412x x x x +-=--∴1b∴2x bx c ++220x x =--()()45x x =+-故选：B ．7．A【分析】由于()()2221+-=+-x x x x ，而多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除．运用待定系数法，可设商是A ，则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-，则2x =-和1x =时4322370x x ax x b -+++=，分别代入，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解此方程组，求出a 、b 的值，进而得到:a b 的值.【详解】解：∴()()2221+-=+-x x x x∴432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除设商是A ．则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-则2x =-和1x =时右边都等于0，所以左边也等于0．当2x =-时43223732244144420x x ax x b a b a b -+++=++-+=++= ∴当1x =时43223723760x x ax x b a b a b -+++=-+++=++= ∴-①②，得3360a +=∴12a =-∴66b a =--=．∴:12:62a b =-=-故选：A ．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出2x =-和1x =时原多项式的值均为0，从而求出a 、b 的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．8．D【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m 的值即可．【详解】解：已知等式整理得：()()()2215333x mx x x n x n x n +-=--=+--+可得3m n =-- 315n =-解得：2m = 5n =-故答案为：D ．【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．(3)(2)a a +-【分析】解：本题考查了公式法进行因式分解，掌握2()()()x p q x pq x p x q +++=++进行因式分解是解题的关键．【详解】26(3)(2)a a a a +-=+-故答案为：(3)(2)a a +-．10．(2)(3)y y y --【分析】本题考查提公因式法，十字相乘法，掌握提公因式法以及2()()()x p q x pq x p x q +++=++是正确解答的关键．先提公因式y ，再利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：原式2(56)y y y =-+(2)(3)y y y =--．故答案为：(2)(3)y y y --．11．()()21a a a --/()()12a a a --【分析】先去括号合并后，直接提取公因式a ，再利用十字相乘法分解因式即可．本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止【详解】解：2(3)2a a a -+3232a a a -+=()232a a a =-+(2)(1)a a a =--．故答案为：(2)(1)a a a --．12．1±或5±【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解()()()2x a b x ab x a x b +++=++．把6-分成3和2-，3-和2，6和1-，6-和1，进而得到答案．【详解】解：当()()2632x mx x x +-=+-时()321m =+-=当()()2632x mx x x +-=-+时321m =-+=-当()()2661x mx x x +-=-+时615m =-+=-当()()2661x mx x x +-=+-时615m =-=综上所述：m 的取值是1±或5±故答案为：1±或5±．13．6±【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据5可以分成15⨯或()()15-⨯-即可求解．【详解】解：155⨯= ()()155-⨯-=()()21565x x x x ++=++ ()()26515x x x x =---+∴如果关于x 的二次三项式25x kx ++可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数k 等于6±． 故答案为：6±．14．()()21x x +-【分析】本题主要考查了根与系数的关系、十字相乘法因式分解的知识点，先根据根与系数的关系确定b 、c 的值，然后再运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2- 根据根与系数的关系可得：()12b -=+- ()12c =⨯-∴1b = 2c =-∴()()22221x bx c x x x x ++=+-=+-故答案为：()()21x x +-．15．()()211x x --【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将1x =代入原方程，求出m 的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程2210x mx ++=有一个根是1∴把1x =代入，得210m ++=解得：3m =-．则()()2221231211x mx x x x x ++=-+=--故答案为：()()211x x --．16．()()23x x +-【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出p q ，，再进行因式分解即可．【详解】解：∴方程20x px q ++=的两个根分别是2和3-∴23p -=- ()23q ⨯-=∴1,6p q ==-∴()()2623x x x x --=+-；故答案为()()23x x +-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．(1)()()322x x x +-(2)()23y x y --(3)()()26x x +-【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法和十字相乘法，即可．（1）先提公因式3x ，然后根据()()22a b a b a b -=+-，即可； （2）先提公因式y -，再根据()2222a b a ab b ±=±+，即可；（3）根据十字相乘法，进行因式分解，即可．【详解】（1）3312x x -()234x x =- ()()322x x x =+-；（2）22369xy x y y --()2269y xy x y =--++()2296y x xy y =--+ ()23y x y =--； （3）2412x x --()()26x x =+-．18．3a b += 2ab =.【详解】解：因为()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，且232x x ++因式分解的结果是()()x a x b ++所以3a b += 2ab =.19．(1)(5)(15)x x --(2)(14)(2)x x +-【分析】本题考查了因式分解，解答本题的关键是理解题意，明确题目中的分解方法． （1）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案；（2）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案．【详解】（1）解：75(5)(15)=-⨯- (5)(15)20-+-=-22075(5)(15)x x x x ∴-+=--；（2）解：原式222266628x x =+⋅⋅+--2(6)3628x =+--2(6)64x =+-(68)(68)x x =+++-(14)(2)x x =+-．20．(1)()()39x x -+(2)()()2331x x -+(3)()()443552x y x y +++-【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．（1）利用十字相乘法进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行求解即可；（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．【详解】（1）解：2627x x +-第 11 页 共 11 页 ()()39x x =-+；（2）解：2673x x -- ()()2331x x =-+；（3）解：220()7()6x y x y +++- ()()4352x y x y ⎡⎤⎡⎤=+++-⎣⎦⎣⎦ ()()443552x y x y =+++-．。
因式分解(提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法)
整式乘法中，有 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
口答计算结果
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x-4) (3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
x2 px q
=
x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
判别下列各式是不是 完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1.20042+2004能被2005整除吗?
2.先分解因式，再求值
4a2(x 7) 3(x 7)， 其中a 5, x 3.
20023 2 20022 2000 20023 20022 2003
六．利用分解因式计算： （1）-4.2×3.14-3.5×3.14+17.7×3.14 解：原式 =-3.14 ×(4.2+3.5-17.7)=-3.14×(-10)=-31.4
思维延伸
2. 对于任意的自然数n， (n+7)2－ (n－5)2能被 24整除吗? 为什么?
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）
十字相乘法因式分解练习题
十字相乘法因式分解练习题在代数学中，因式分解是将一个多项式拆分为两个或多个因数相乘的过程。
而十字相乘法是一种常用的因式分解方法，适用于处理二次三项式以及一些简单的多次方项式。
本文将为你呈现一些十字相乘法的因式分解练习题，帮助你巩固相关概念和技巧。
1. 练习题一：给定多项式 P(x) = x^2 - 5x + 6，使用十字相乘法进行因式分解。
解答：首先，观察多项式的首项系数为 1，结合十字相乘法的原则，可知因式分解形式为：P(x) = (x - a)(x - b)，其中 a 和 b 分别为两个因式的根。
现在我们需要找到 a 和 b 的值，通过观察多项式的常数项为 6，根据十字相乘法的原则，可知 a 和 b 的乘积应为 6。
考虑到 -5x 的系数为负数，因此 a 和 b 的和应为 -5，同时由于 6 的因子有 (1, 6), (-1, -6), (2, 3), (-2, -3)，我们可以进行尝试找到对应的 a 和 b 的值。
经过计算，我们得到 (x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6，因此多项式 P(x)可以因式分解为 (x - 2)(x - 3)。
2. 练习题二：给定多项式 Q(x) = 2x^2 + 7x - 3，使用十字相乘法进行因式分解。
解答：同样地，观察多项式 Q(x) 的首项系数为 2，因此因式分解形式为Q(x) = (2x + a)(x + b)，其中 a 和 b 分别为两个因式的根。
我们需要找到 a 和 b 的值，通过观察多项式的常数项为 -3，根据十字相乘法的原则，可知 a 和 b 的乘积应为 -3。
考虑到 7x 的系数为正数，因此 a 和 b 的和应为 7，同时 -3 的因子有 (1, -3), (-1, 3)，我们可以进行尝试找到对应的 a 和 b 的值。
经过计算，我们得到 (2x - 1)(x + 3) = 2x^2 + 7x - 3，因此多项式 Q(x) 可以因式分解为 (2x - 1)(x + 3)。
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因式分解-----十字相乘法
1．认识二次三项式
多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．
在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．
在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次
三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项
式．
十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．
2．十字相乘法的依据和具体内容
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：
（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2
，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++
分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2
(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，
那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单
化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(8652
2-+=-+x x y xy x
3．因式分解一般要遵循的步骤
多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．
【典型热点考题】
例1 把下列各式分解因式：
（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；
（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项2
6y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．
解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ；
（2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．
例2 把下列各式分解因式：
（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．
点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．
解：（1）=--3522x x （2）=-+3832
x x ．
点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提
高速度和准确性．
例3 把下列各式分解因式：
（1）91024+-x x ； （2）)(2)(5)(72
3y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ．
点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2
x 的二次三项式；
（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；
（3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．
解：（1）
（2）
（3）
点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止． 十字相乘法专项练习题
(1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；
(3)18x 2－21x+5； (4) 20－9y －20y 2；
(5)2x 2+3x+1； (6)2y 2+y －6；
(7)6x 2－13x+6； (8)3a 2－7a －6；
(9)6x 2－11x+3； (10)4m 2+8m+3；
(11)10x 2－21x+2； (12)8m 2－22m+15；
(13)4n 2+4n －15； (14)6a 2+a －35；
(15)5x 2－8x －13； (16)4x 2+15x+9；
(17)15x 2+x －2； (18)6y 2+19y+10；
(19) 2(a+b) 2+(a+b)(a －b)－6(a －b) 2； (20)7(x －1) 2+4(x －1)－20；
因式分解之分组分解法
1. 按字母特征分组（1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc
2. 按系数特征分组（1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+-
3. 按指数特点分组（1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +--
4.按公式特点分组（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2 （2）2229124c bc b a -+-
四．总结规律
1.合理分组（2+2型）；
2.组内分解（提公因式、平方差公式）
3.组间再分解（整体提因式）
4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就 选用“三一分组”的方法进行分组分解。
因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化.
五．练习巩固
1．用分组分解法分解因式ab －c ＋b －ac
2. 用分组分解a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是（ ）
3．填空：
（1）ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－ ( ) =( ) ( )
（2）x 2－2y －4y 2＋x = ( )＋( ) =( ) ( )
（3）4a 2－b 2－4c 2＋4bc = ( )－( ) =( ) ( )
4．把下列各式分解因式
（4）9m 2－6m ＋2n －n 2
（5）4x 2－4xy －a 2＋y 2 （6）1―m 2―n 2＋2mn
1243)3(22--+a x ax xy x y x 21565)1(2--+b a ab a 3217)2(2--+)2().()
2().(222222bc c b a C bc b c a A ------)
2(.2).(222222bc c b a D bc c b a B -+-+--。