《概率论与数理统计》习题及答案__第一章解析
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解（1）设 ‘他们的生日都不相同’，则
；
（2）设 ‘至少有两个人的生日在同一个月’，则
；
或
.
8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.
解设 ‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则
.为什么
9．将 等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？
，
对于本题有
.
10．从 等 个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率： ‘三个数字中不含0和5’， ‘三个数字中不含0或5’， ‘三个数字中含0但不含5’.
解 .
，
或
，
.
11．将 双大小各不相同的鞋子随机地分成 堆，每堆两只，求事件 ‘每堆各成一双’的概率.
解 双鞋子随机地分成 堆属分组问题，不同的分法共 ‘每堆各成一双’共有 种情况，故
（2）设 ‘5只中有两只坏的’，则
.
6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求
（1）3个球的最小号码为5的概率；
（2）3个球的最大号码为5的概率.
解（1）设 ‘最小号码为5’，则
；
（2）设 ‘最大号码为5’，则
.
7．（1）教室里有 个学生，求他们的生日都不相同的概率；
（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.
（4）将 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， ‘甲盒中至少有一球’；
（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， ‘通过汽车不足5台’， ‘通过的汽车不少于3台’。
解（1） 其中 ‘出现 点’ ，
。
（2）
}；
；
。
（3）
（4）
，其中‘ ’表示空盒；
。
（5） 。
2．设 是随机试验 的三个事件，试用 表示下列事件：
《概率论与数理统计》习题及答案
第 一 章
1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：
（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. ‘出现奇数点’；
（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. ‘两次点数之和为10’， ‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果， ‘球的最小号码为1’；
解（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
解设 ‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则
5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求
（1）5只全是好的的概率；
（2）5只中有两只坏的的概率。
解（1）设 ‘5只全是好的’，则
；
解设 ‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，
设 为针的中点到最近的一条平行线的距离。
为针与平行线的夹角，则
，不等式确定了平面上
的一个区域 .
发生 ，不等式确定 的子域
故
17．设 ，试证明
[证]因为 ，所以
故
.证毕.
18．对任意三事件 ，试证
.
[证]
.证毕.
19．设 是三个事件，且 ， ，求 至少有一个发生的概率。
解
因为 ，所以 ，于是
20．随机地向半圆 （ 为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与 轴的夹角小于 的概率.
解：半圆域如图
设 ‘原点与该点连线与 轴夹角小于 ’
由几何概率的定义
21．把长为 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.
解1设 ‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为 ，则 ，不等式构成平面域 .
发生
不等式确定 的子域 ，所以
解2设三段长分别为 ，则 且
，不等式确定了三维空间上的有界平面域 .
12．设事件 与 互不相容， ，求 与
解
因为 不相容，所以 ，于是
13．若 且 ，求 .
解
由 得
14．设事件 及 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ率分别为 ，求 及
解
.
15．设 ，且 仅发生一个的概率为0.5，求 都发生的概率。
解1由题意有
，
所以
.
解2 仅发生一个可表示为 ，故
所以
.
16．设 ，求 与 .
解 ，
所以
，
故
；
.
所以
解1设 ‘恰好排成SCIENCE’
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：
字母 在7个位置中占两个位置，共有 种占法，字母 在余下的5个位置中占两个位置，共有 种占法，字母 剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为 ，而 中的基本事件只有一个，故
；
解2七个字母中有两个 ，两个 ，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有 个元素，其中第一种元素有 个，第二种元素有 个…，第 种元素有 个 ，将这 个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为
发生
不等式确定 的子域 ，所以
.
22．随机地取两个正数 和 ，这两个数中的每一个都不超过1，试求 与 之和不超过1，积不小于0.09的概率.
解 ，不等式确定平面域 .
‘ ’则 发生的
充要条件为 不
等式确定了 的子域 ，故
23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离 的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长 的针，求针与任一平行线相交的概率.
（1）仅 发生；
（2） 中至少有两个发生；
（3） 中不多于两个发生；
（4） 中恰有两个发生；
（5） 中至多有一个发生。
解（1）
（2） 或 ；
（3） 或 ；
（4） ；
（5） 或 ；
3．一个工人生产了三件产品，以 表示第 件产品是正品，试用 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。
；
（2）设 ‘至少有两个人的生日在同一个月’，则
；
或
.
8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.
解设 ‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则
.为什么
9．将 等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？
，
对于本题有
.
10．从 等 个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率： ‘三个数字中不含0和5’， ‘三个数字中不含0或5’， ‘三个数字中含0但不含5’.
解 .
，
或
，
.
11．将 双大小各不相同的鞋子随机地分成 堆，每堆两只，求事件 ‘每堆各成一双’的概率.
解 双鞋子随机地分成 堆属分组问题，不同的分法共 ‘每堆各成一双’共有 种情况，故
（2）设 ‘5只中有两只坏的’，则
.
6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求
（1）3个球的最小号码为5的概率；
（2）3个球的最大号码为5的概率.
解（1）设 ‘最小号码为5’，则
；
（2）设 ‘最大号码为5’，则
.
7．（1）教室里有 个学生，求他们的生日都不相同的概率；
（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.
（4）将 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， ‘甲盒中至少有一球’；
（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， ‘通过汽车不足5台’， ‘通过的汽车不少于3台’。
解（1） 其中 ‘出现 点’ ，
。
（2）
}；
；
。
（3）
（4）
，其中‘ ’表示空盒；
。
（5） 。
2．设 是随机试验 的三个事件，试用 表示下列事件：
《概率论与数理统计》习题及答案
第 一 章
1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：
（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. ‘出现奇数点’；
（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. ‘两次点数之和为10’， ‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果， ‘球的最小号码为1’；
解（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
解设 ‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则
5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求
（1）5只全是好的的概率；
（2）5只中有两只坏的的概率。
解（1）设 ‘5只全是好的’，则
；
解设 ‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，
设 为针的中点到最近的一条平行线的距离。
为针与平行线的夹角，则
，不等式确定了平面上
的一个区域 .
发生 ，不等式确定 的子域
故
17．设 ，试证明
[证]因为 ，所以
故
.证毕.
18．对任意三事件 ，试证
.
[证]
.证毕.
19．设 是三个事件，且 ， ，求 至少有一个发生的概率。
解
因为 ，所以 ，于是
20．随机地向半圆 （ 为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与 轴的夹角小于 的概率.
解：半圆域如图
设 ‘原点与该点连线与 轴夹角小于 ’
由几何概率的定义
21．把长为 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.
解1设 ‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为 ，则 ，不等式构成平面域 .
发生
不等式确定 的子域 ，所以
解2设三段长分别为 ，则 且
，不等式确定了三维空间上的有界平面域 .
12．设事件 与 互不相容， ，求 与
解
因为 不相容，所以 ，于是
13．若 且 ，求 .
解
由 得
14．设事件 及 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ率分别为 ，求 及
解
.
15．设 ，且 仅发生一个的概率为0.5，求 都发生的概率。
解1由题意有
，
所以
.
解2 仅发生一个可表示为 ，故
所以
.
16．设 ，求 与 .
解 ，
所以
，
故
；
.
所以
解1设 ‘恰好排成SCIENCE’
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：
字母 在7个位置中占两个位置，共有 种占法，字母 在余下的5个位置中占两个位置，共有 种占法，字母 剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为 ，而 中的基本事件只有一个，故
；
解2七个字母中有两个 ，两个 ，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有 个元素，其中第一种元素有 个，第二种元素有 个…，第 种元素有 个 ，将这 个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为
发生
不等式确定 的子域 ，所以
.
22．随机地取两个正数 和 ，这两个数中的每一个都不超过1，试求 与 之和不超过1，积不小于0.09的概率.
解 ，不等式确定平面域 .
‘ ’则 发生的
充要条件为 不
等式确定了 的子域 ，故
23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离 的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长 的针，求针与任一平行线相交的概率.
（1）仅 发生；
（2） 中至少有两个发生；
（3） 中不多于两个发生；
（4） 中恰有两个发生；
（5） 中至多有一个发生。
解（1）
（2） 或 ；
（3） 或 ；
（4） ；
（5） 或 ；
3．一个工人生产了三件产品，以 表示第 件产品是正品，试用 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。