3.1.1空间向量及其加减运算(第一课时)

加法结合律
成立吗？
b a
C
a+b
B
O
A
OB OA AB
CA OA OC
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它 们可用同一平面内的两条有向线段表示.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们.
空间向量的加法、减法运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
仍然成立． ⒊ 空间向量的加法运算可以推广至若干个
向量相加．
推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An 1
A2
An
A3
A4
推广
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
D
2
G
B
M
C
练习参考答案
A
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
D
＝AB BM
MG
1 ( AB 2
AC )
＝BM MG 1 ( AB AC )
G
2
BM MG MB
B
M
C MG
———共线向量与共面向量
a
b
回顾
B
b
O
a
结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量.
a b (b 0)
a
b (b
0)
a // b (b 0)
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点知非零向量 a
的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
由
l
//
a
知存在唯一的t,
满足
AP ta
A
对空间任意一点O,
l
AP OP OA,
所以
OP
一、空间向量数乘运算
1.实数
与空间向量
a
的乘积
a 仍然
是一个向量.
（1）方向： 当 0
当 0
当 0
时时时，， ，aaa与与是向向零量量向量aa .方方向向相相同同；；
（2）大小：a的长度是
a
的长度的
|
| 倍.
二、共线向量:如果表示空间向量的有向
线段所在直线互相平行或重合,则这些向量
叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
D’
⑵AB AD AA'；
A’
解：⑴AB BC AC
⑵AB AD AA'
AC AA' AC CC'
AC'
D A
C’ B’
C B
练习
空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD 边的中点,化简：
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC )
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
An 1
A2
An
A3
A4
平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到 ABCD 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记
作ABCD— ABCD ．
D’
平行六面体
A’
的六个面都是平
C’ B’
行四边形，每个 面的边叫做平行 六面体的棱．
零向量与任意向量共线.
问题：平面向量中，a
//
b (b
0)的充要条件是：存在唯一
的实数 ，使 a b.
能否推广到空间向量中呢？
共线向量定理:
对空间任意两个向量 ， a
a // b (b 0存) 在实数λ,使
b (。b 0)
a b(b 0).
a // b (b 0)
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
运 算
加法交换律 a b b a 加法结合律
律 (a b) c a (b c)
加法交换律 a b b a
(a b) c a (b c)
O
O
a
a
A b
B
c
C
b +c A
b Bc
C
空间向量的加法、减法运算
（1）加法交换律： a b b a （2）加法结合律： （a b） c a (b c)
a
b
c
a
b
c
说明 对空间向量的加法、减法的说明
⒈ 空间向量的运算就是平面向量运算的推广． ⒉ 两个向量相加的平行四边形法则在空间
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
运 算
加法交换律 a b b a 加法结合律
律 (a b) c a (b c)
加法交换律 a b b a
加法结合律
成立吗？
加法结合律
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
复习
2.平面向量的加减法与数乘运算
（1）向量的加法：
ab
b
a
平行四边形法则
ab
a
三角形法则
复习
（2）向量的减法
ab
三角形法则
b a
3. 平面向量的加法运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律：（a b） c a (b c)
空间向量的加法、减法运算
a
D
A
C B
例题
例 已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下
列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
D’ A’
C’ B’
D A
C B
例题
例 已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴AB BC；
OA
ta
即
OP OA ta
①
aP
B
O
若在l上取 AB a 则有
OP OA t AB
②
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间 一点及直线的方向向量唯一决定.
由此可判断空间任意三点共线。.
OP OA t AB
进一步，OP还可表示为： OP _1_-_t _OA __t__OB
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空间向量 及其加减运算
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复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示；
字母表示法：用字母a、b 等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB表示．
因为 AB OBOA,
所以 OP OA t(OB OA)
aP
B A
O
(1 t)OA tOB
1
特别的，当t =
时，则有
2
OP 1 (OA OB) P点为A,B 的中点
2
A、B、P三点共线
AP t AB
OP OA t AB
OP xOA yOB(x y 1)
练习1.对于空间任意一点O，下列命题正