动力学临界问题的类型和处理技巧

动力学临界问题的类型和处理技巧

一、动力学临界问题的产生——供需匹配问题

牛顿第二定律ma F =∑，等式的左边是其他物体提供给物体的力（供），右边是物体以加速度a 运动时所需要的力（需），因此ma F =∑实际上是供需匹配的方程。

当某些外界条件变化时，a 可能变化，因此物体所需要的力可能发生变化，这就存在供需匹配问题。动力学临界问题，本质上讲，就是供需匹配问题： ①供需相匹配（等号成立），则可维持两物体间的某种关联（如相对静止、接触、距离不变等）； ②若供需不匹配（等号不成立），则两物体间的该种关联被破坏（如两物体相对滑动、分离、距离增大或者减小等）。

其他物体提供的力可以在一定范围内变化；若所需要的力在该范围内，则能够维持物体间的某种关联，若所需要的力超出该范围，则物体间的该种关联被破坏。

二、动力学临界问题的类型

依据其他物体提供给物体的力的特点，可将动力学临界问题分为两大类型：供可变型和供不可变型。

1、供可变型

其他物体提供的力可以在一定范围内变化；若所需要的力在该范围内，则能够维持物体间的某种关联，若所需要的力超出该范围，则物体间的该种关联被破坏。

具有这种特点的力，主要是两大类：静摩擦力和弹力。具体分析如下：

（1）静摩擦力：-F f m ≤F f ≤F f m ，N f F F 0m μ=

若：所需F f ≤F f m ，则两物体相对静止，

若：所需F f ＞F f m ，则两物体相对滑动。

（2）弹力：F N ≥0， 0≤F T ≤F T m

①支持力/压力F N ：所需F N ≥0，则两物体相互接触，

所需F N ＜0，则两物体相互分离。

②绳中张力F T ：所需F T 满足0≤F T ≤F T m ，则绳子绷直，两物体维持某间距，

所需F T ＜0，则绳子松弛，两物体间距减小，靠近，

所需F T ＞F T m ，则绳子绷断，两物体间距增大，分开。

2、供不可变型

特定位置处，其他物体提供的力是一个确定的值；若需要的力等于该值，则能够维持物体间的相对位置，若需要的力不等于该值，则两物体接近或者远离。

具有这种特点的力有万有引力、库仑力、弹簧弹力等。其中万有引力作用下人造卫星的变轨问题就属于这类问题的典型，下文重点是供可变型，所以将此问题的处理方法单独在此处说明，下文不再赘述。 如右图所示，人造卫星在离地心r 处的A 点以某速度v A 发射，若发射速度合适（为

v ），卫星在该处所受万有引力恰好等于其在该圆周轨道上做圆周运动所需要的向心力，

则卫星就能在该轨道上做圆周运动，有 r v m r Mm G 22=， 解得r

GM v =。 即有：

若：r

GM v v A ==，所需要的向心力22r Mm G r v m A =，供求平衡，卫星将做圆周运动， 若：r

GM v v A =>，所需要的向心力22r Mm G r v m A >，供不应求，卫星将做离心运动， 若：r

GM v v A =<，所需要的向心力22r Mm G r v m A <，供过于求，卫星将做近心运动。 三、动力学临界问题的处理方法

动力学临界问题的处理方法有如下三种：

1、“极端分析+受力转变条件”法：

第一步：极端分析法——找到临界点

第二步：分析临界条件——受力转变条件

如：F f=F fm，F N=0，F T=0，F T=F T m

2、“假设相对静止+受力变化范围”法

第一步：假设法——假设物体间的该关联正常

第二步：动力学方程（或平衡方程）+受力范围条件

如：-F f m≤F f≤F f m，F N≥0，0≤F T≤F T m

3、“假设相对滑动+运动关系条件”法

第一步：假设法——假设物体间的该关联被破坏

第二步：动力学方程（或平衡方程）+运动关系条件

如：加速度关系、曲率半径关系、角度关系具体请参看下述例题和解析。

【例1】如图所示，质量M=8kg小车放在光滑的水平面上，在小车上面静止放置一质量m=2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2。现在小车右端施加一水平拉力F，要将小车从物块下方拉出. 则拉力F至少应为多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2.

【思维导引】本题是动力学临界问题中两大类型之一——静摩擦力类临界问题的基本例题。很多学生在解决这类问题时，把小物块视作始终处于静止状态，然后对小车分析得出拉力超过小物块对小车的摩擦力就可以将小车拉出——其实，原来没能将小车拉出时，小物块就与小车相对静止具有共同加速度，而能够将小车拉出来的情况下，小物块也因水平方向受到小车摩擦力而在向右加速运动。在明白这点的基础上，才可能进行正确的分析，即对两者相对滑动的条件——从受力特点或者是从运动学特点——作出合乎逻辑的分析，进而列方程求解。

【要点提醒】解决这类问题的基本思路有三种——“极端分析+受力转变条件”法、“假设相对静止+受力变化范围”法和“假设相对滑动+运动关系条件”法，其中，前两种方法的共同点是根据静摩擦力（维持两物体相对静止的原因）的特点——只能在零到最大静摩擦力之间变化，对F较小时二者相对静止的条件进行分析，得出临界条件。后一种方法是直接假设F足够大，已经能够将小车从小物块下拉出，然后用小车加速度大于小物块加速度的条件得出结果。

解法1：“极端分析+受力转变条件”法

【要点提醒】这种方法的基本思路是：第一步，用极端分析法找到临界状态——两者就要发生相对滑动（但还没有相对滑动）的状态，第二步，分析临界状态对应的临界条件，即受力转变条件——静摩擦力增加到最大静摩擦力F f=F fm。

【手把手】

第一步，用极端分析法找到临界状态

根据经验，我们知道，拉力F很小时，小物块将随小车一起向右加速运动，拉力F很大时，小物块将相对小车向后滑动。因此，拉力F从很小逐渐增大时，必定有一个时候（F取某个值F0），此时，小物块就要相对小车向后滑动但还没有相对滑动。这个状态即为本问题的临界状态。

第二步：分析临界条件——受力转变条件

在拉力F很小时，小物块之所以能够随小车一起向右加速运动，是因为小车对小物块的静摩擦力足以维持两物体相对静止——给小物块提供随小车一起向右加速运动的加速度——这个加速度随整体加速度增大而增大；当达到临界点时，整体加速度达到了一个临界值，此时，是最大静摩擦力给小物块提供加速