函数单调性和奇偶性的综合应用

[课题]函数基本性质

[

函数单调性证明的步骤：

（1） 根据题意在区间上设 （2） 比较大小

；(3) 下结论 .

（1）考察函数的定义域 ；

（2）计算 的解析式，并考察其与 的解析式的关系(3)下结论 . [例题解析]

例1： 设函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为减函数，则

(2),(),(3)f f f π--的大小顺序

变形1：()y f x =在(0,2)上是增函数，(2)y f x =+是偶函数，则157(),(),()222

f f f 的大小关系

变形2：若函数2

()f x x mx n =++，对任意实数x ，都有(1)(3)f x f x -=+成立，试比较(1),(2),(4)f f f - 的大小关系

3、已知函数2

1

()4f x ax bx a b

=+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b

4、若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。

例2：已知()y f x =在定义域(1,1)-上是增函数且为奇函数，(1)(21)0f t f t -+-<，求实数t 的取值范围.

例3：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2

()31f x x x =+-, 求()f x 的

解析式.

(3)函数()y f x =是[2,2]-上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，解不等式

(1)()f x f x -<。1

[1,)2

-

练习：已知()f x 是定义在(1,1)-的偶函数，且在(0,1)上为增函数，若

(2)(3)f a f a -<-，求a 的取值范围。5

(2,)2

(4)已知函数()f x 是R 上的奇函数且是增函数，解不等式(45)0f x -+>。54

x <

(5)()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()()x f f x f y y

=-。(1)求(1)f 的值；(2)

若(6)1f =，解不等式1(3)()23

f x f +-<。(3,9)-

练习：R +上的增函数满足()()()f xy f x f y =+，且(8)3f =，解不等式

(2)(2)f f x +-≥6

x ≥34 思考题：

已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x f y f x y +=+，且当

0x >时，()0f x <，又2

(1)3

f =-。

(1)求(0)f ；(2)求证()f x 为奇函数；(3)求证()f x 为R 上的减函数；(4)求()f x 在

[3,6]-上的最小值与最大值；(5)解关于x 的不等式11

(2)()()()22

f bx f x f bx f b ->-，(2)b >。(1)0(4)min 4y =-，max 2y =(5)22

b x b -<

-。

【课后作业】

1．若2(3)21f x x =-，则()f x 的解析式为 。

2．求函数定义域(1)()||3

f x x =

- (2)y =3.已知2211

()1f x x x x

-=++，则函数()f x 的解析式

4.函数822+--=x x y 的单调增区间为

5.已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，则实数m 的值 6．已知函数53()8f x x ax bx =++-若(2)10f -=，则(2)f 的值 7．定义在实数集上的函数()f x ，对任意x y R ，∈，有

f x y f x y f x f y ()()()()++-=2且f ()00≠.（1）求证f ()01=；

（2）求证：y f x =()是偶函数。

8.已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调增函数，若

(1)(lg )f f x <，求x 的取值范围.

9. 函数2

()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且12

()25f =. (1)确定函数()f x 的解析式；

(2)用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数； (3)解不等式(1)()0f t f t -+<.