自主招生数学试题

自主招生试题选讲(清华、北大、交大等)

2009，11

清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章

自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围

3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。 几个热点问题

方程的根的问题：

1. 已知函数

2

()f x ax bx c =++(0)a ≠，且()f x x =没有实数根．那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论．（08交大）

2. 设4

3

2

()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ： （1）方程()0f x =总有相同实根； （2）存在0x ，恒有0()0f x ≠．（07交大）

3.（06交大）设3

2

2

9,29270k x kx k x k ≥++++=解方程

4. （053=的实数根．

5.（05交大）320x ax bx c +++=的三根分别为a ,b ,c ，并且a ,b ,c 是不全为零的有理数，求a ,b ,c 的值．

6. 解方程：．求方程x =n 重根）的解．(09交大)

凸函数问题

1. (2009复旦)

如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x ，y 都满足 ()()(

)22

x y f x f y f ++≤，则称这个函数时下凸函数，下列函数

（1）()f x 2x = （2）()f x =3x

（3）

()f x =2

log x （0x >）

（4）

,0,()2,0,

x x f x x x <⎧=⎨

≥⎩

中是下凸函数的有-------------------。

A ．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)

2. （06复旦）设x 1,x 2∈（0，

2

π），且x 1≠x 2，下列不等式中成立的是： (1)12（tanx 1+tanx 2）>tan 122x x +; (2) 1

2（tanx 1+tanx 2）

x x +;

(3)12（sinx 1+sinx 2）>sin 122x x +; (4) 1

2（sinx 1+sinx 2）

x x +

A ． (1),(3)

B ．(1),(4)

C ．(2),(3)

D ．(2),(4)

3.（09，清华）,1,y x 0,y 0,x +

∈=+>>N n 证明：122221

x -≥

+n n n

y

柯西不等式

时等号成立。

时，规定，当且仅当

为任意实数，则，，，及，，，设)00())(()(22

1122221222212

22112121=====++++++≤+++i i n

n n n n n n n b a b a b a b a b b b a a a b a b a b a b b b a a a ΛΛΛΛΛΛ

1．(03交大)已知,x y R +

∈，x +2y ＝1，则

22

x y

+的最小值是______________． 2. 已知2x+3y+4z=10，求x 2+y 2+z 2的最小值。

3．P 为△ABC 内一点，它到三边BC 、CA 、AB 的距离分别为123,,d d d ，S 为△ABC 的面积，

求证：2

123()2a b c a b c d d d S

++++≥

．（09南大） 4. 给定正整数n 和正常数a ，对于满足不等式a a a n ≤++2

12

1的所有等差数列a 1,a 2,a 3,…,

和式

∑++=1

21

n n i i

a 的最大值=_______.（07复旦）

A.

)1(2

10+n a

; B.

n a 210; C.)1(2

5+n a

; D.

n a

2

5. 5. （07复旦）当a 和b 取遍所有实数时，则函数2

2

)sin 2()cos 35(),(b a b a b a f -+-+=所能达到的最小值为_____________. A.1; B.2; C.3; D.4.

基础题

1. 求()x

e f x x

=的单调区间及极值.(2007年清华)

2.设正三角形1T 边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，

n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和.

求1

lim

n

k

n k A

→∞

=∑.(2007年清华)

3. 圆内接四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝3，DA ＝4，

求ABCD 的外接圆半径．(北大2009)

4. 已知一公差为正整数无穷项等差数列，其中有3项：13，25，41．

求证：2009为数列中一项．（2009，北大） 5. 求最小正整数n ，使得1

()

2

n I =为纯虚数，并求出I ．(06,清华)

6. 已知b a 、为非负数，1b a ,b a M 4

4

=++=，求M 的最值．(06,清华)

7. 已知θαθcos sin sin 、、为等差数列，θβθcos sin sin 、、

为等比数列，求β-

α2cos 2

1

2cos 的值．(06,清华) 8. 比较25log 24与26log 25的大小并说明理由．（04复旦）

9. 求证：边长为1的正五边形对角线长为

2

1

5+（08北大）. 10. 四面体ABCD 中,AB=CD,AC=BD,AD=BC 。 （1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形。

（2）设底面为BCD ，设另外三个面与面BCD 所形成的二面角为α，β，γ。

求证：cosα+cosβ+cosγ=1。

11.（09清华）（1）,1,y x 0,y 0,x +∈=+>>N n 证明：122221

x -≥

+n n n y

（2）已知x ，y ，z>0，a ，b ，c 是x ，y ，z 的一个排列。求证：3a b c

x y z

++≥。 12. 求所有3项的公差为8的自然数数列，满足各项均为素数。