金融数学之心得

金融数学之心得

金融数学是指采用高等数学的方法研究金融资产及其衍生资产定价、复杂投资技术与公司金融政策的一门交叉科学。数量方法在金融中大量应用使得数学与金融的联系变得密不可分，由此产生了金融数学这门交叉学科。金融数学是连接数学与金融定价模型及其他金融问题的一座桥梁！

金融数学的核心内容就是研究不确定随机环境下的投资组合的最优选择理论和资产的定价理论。套利、最优与均衡是金融数学的基本经济思想和三大基本概念。整个金融数学模型理论的基本工具就是复制技术和无套利条件。

现代最重要的金融市场包括股票市场、债券市场、货币市场、期权市场和期货市场。在这些金融市场中进行交易的资产可以是基本资产也可以是金融衍生产品。金融数学建立的大多数的经济模型都是根据标的资产的价格研究计算衍生品的价格的过程。

一、以下以股票及其衍生产品为例简单论述金融数学怎样运用基本假设与模型来处理各种衍生品的定价。

股票衍生产品是一个特定的合约，其在未来某一天的价格完全由股票的未来价值决定。制定并出售该合约的个人或公司称为卖方。买该合约的人称为买方。该合约所基于的股票称为标的资产。

1、股票的远期合约

在确定的日期即到期日，合约的买方必须支付规定数量的钱即执行价格给合约的卖方，合约的卖方必须在到期日转让一股股票给卖方，这样的合约称为远期合约。

设执行价是X，到期日是是T，股票价格为ST，则在T时刻卖方的利润或损失为ST –X。

第一步，复制资产。首先构造一个投资组合，包括一个价值为f的远期合约和Xe －rT 的现

金。所以该项资产组合的净资产为f+ Xe－rT。在到期日这项资产组合复制了一股股票的价格，因为合约价值+现金量=一股股票。

第二步，根据无套利原则，有如下无套利定价公式

今天的远期合约价值+现金量=今天的股票价格

f+ Xe－rT=ST

即得远期合约价值f=St- Xe－rT。

2、看涨期权、看跌期权

对于看涨期权，根据以上复制资产和无套利原则，可得看张期权的定价

Call St- Xe－rT。

对于看跌期权，同理。

3、期货合约

期货合约是购买者和出售者双方的协议，约定在未来某一具体时间完成一笔交易。X＝S0erT

4、债券市场

票面利率：以债券面值的百分比形式按年计算的定期支付。

即期利率：以当前市场价格的百分比的形式计算的每年支付。

到期收益率：如果购买并持有至到期，债券支付的收益的百分比率。

若债券面值为1，到期日为T，其现值为P(t，T)。

到期收益率R为：

利率与远期利率：

f（T1,T2）=（r2T2－r1T1）/（T2－T1）

国债期货定价

F t＝(P－C) e r(T－t)

C表示债券所有利息支付的现值．

P为债券的现在价格。

二、衍生产品定价主要有三种方法，分别为博弈论方法、资产组合复制、概率方法或期望价值方法。以下是这三种方法的基本经济假设和数学模型。

1、博弈法

假设：

●市场无摩擦

●存在一种无风险证券

●投资者可用无风险利率r > 0不受限制地借或贷

●股票的价格运动服从二叉树模型

无风险组合：选择a使得这个投资组合在t =1的两种状态下取值相等，即

U－aS u＝D－aS d

无套利机会：这个投资组合的期末价值必须等于e rT(V0－aS)，

e rT(V0－aS )= U－aS u＝D－aS d

要点：构造一个无风险投资组合

2、资产组合复制

思想：构造资产组合复制衍生产品。

投资组合：a单位的股票＋b单位的债券（债券的面值为1美元。）

∏0＝aS0+b

复制衍生资产：选择a和b，使得组合在期末的价值与衍生资产的价值相等，即U＝aS u+be rT

D＝aS d+be rT

由于组合与衍生资产在期末的现金流一样，则在期初的价值也应该相等，即

V 0＝aS 0+b=aS 0+(U-aS u )e -rT

将衍生产品的定价公式整理可得

-=+V {qU 1q D}rT e （-）

-=-0q rT d u d

e S S S S

3、概率法

购买一股股票

在期末， E[S T ]＝S u q ＋S d （1－q ）

以无风险利率投资，期末可得S 0e rT

两种投资方式在风险中性投资者眼里是一样的。 E[S T ]＝S u q ＋S d （1－q ）＝S 0e rT

可解得，

--==+0V []{qU 1q D}rT rT q T e E V e （-） 结果同博奕论方法和资产组合复制方法一样。

总结一下：

博弈法：构造无风险组合

概率法：风险中性概率

资产组合复制：构造资产组合复制衍生产品

定价桥梁：无套利机会

三、股票与期权的二叉树模型

二叉树模型是衍生品定价中用途比较广泛的一种模型。金融数学中经常用到二叉树模型，比如股票价格模型、 欧式看涨期权定价、美式和奇异期权定价、实证数据二叉树模型分析等，以及二叉树模型延伸出来的N 期二叉树模型风险，N 期二叉树模型风险可用来进行风险对冲，其一般步骤为：

1、构造股价二叉树图；

2、用连锁法则计算衍生品价格树；

3、从t ＝0时刻起，确定对冲的股票。可根据对冲比公式计算得到；

4、在t ＝1时刻以及接下来的各期，重复步骤3，重新调整股票数量。

但是对大多数股票来说，二叉树模型是不完美的模型，因此在其基础上建立的对冲也是不完美的。

四、除以上模型外比较重要的还有连续时间模型和B-S 公式，以及各种运用微分方程和概率论等理论得出的模型。此外，还有风险对冲，离散数据模型等。

当今各种金融创新产品不断出现，对金融数学这一学科来说既是增加了新的