复利现值、终值、年金现值终值公式、实例

某投资项目预测的净现金流量见下表（万元），设资金基本贴现率为10%，则该项目的净现金值为（）万元

解：

本例因为涉及到年金当中的递延年金，所以将年金系列一起先介绍，然后解题

年金，是指一定时期每次等额收付款的系列款项，通常记作A 。如保险费、养老金、折旧、租金、等额分期收款、等额分期付款以及零存整取或整存零取储蓄等等。年金按每次收付发生的时点不同，可分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等。结合本例，先介绍普通年金与递延年金，其他的在后面介绍。

一、普通年金，是指从第一期起，在一定时期每期期末等额发生的系列收付款项，又称后付年金。

1.普通年金现值公式为：

i

i A i A i A i A i A P n

n n ------+-⨯=+⨯++⨯+++⨯++⨯=)1(1)1()1()1()1()1(21 式中的分式i

i n -+-)1(1称作“年金现值系数”，记为（P/A ，i ，n ），可通过直接查阅“1元年金现值表”求得有关的数值，上式也可写作：P=A （P/A ，i ，n ）

. 2.例子：租入某设备，每年年末需要支付租金120元，年复利

利率为10%，则5年应支付的租金总额的现值为：

%

10%)101(1120)1(15

--+-⨯=+-⨯=i i A P n 4557908.3120≈⨯=（元） 二、递延年金，是指第一次收付款发生时间与第一期无关，而隔若干期（假设为s 期，s ≥1），后才开始发生的系列等额收付款项。它是普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的年金都是递延年金。

1.递延年金现值公式为：

[]),,/(),,/()1(1)1(1s i A P n i A P A i i i i A P s n -⨯=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+--+-⨯=-- （1） 或),,/(),,/()1()1(1)

(s i F P s n i A P A i i

i A P s s n ⨯-⨯=+⨯+-⨯=--- （2） 上述（1）公式是先计算出n 期的普通年金现值，然后减去前s 期的普通年金现值，即得递延年金的现值，

公式（2）是先将些递延年金视为(n-s)期普通年金，求出在第s 期的现值，然后再折算为第零期的现值。

2.例子：某人在年初存入一笔资金，存满5年后每年年末取出1000元，至第10年末取完，银行存款利率为10%。则此人应在最初一次存入银行的钱数为：

方法一：

[]),,/(),,/()1(1)1(1s i A P n i A P A i i i i A P s n -⨯=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+--+-⨯=--

[])5%,10,/()10%,10,/(1000%10%)101(1%10%)101(11000510A P A P -⨯=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+--+-⨯=--=1000×(6.1446-3.7908)≈2354（元）

方法二：是先将些递延年金视为(n-s)期普通年金，求出在第s 期的现值，然后再折算为第零期的现值。

),,/(),,/()1()1(1)

(s i F P s n i A P A i i

i A P s s n ⨯-⨯=+⨯+-⨯=--- )5%,10,/()510%,10,/(10%)101(%)101(110005)

510(F P A P i

⨯-⨯=+⨯+-⨯=--- =1000×3.7908×0.6209≈2354（元）

三、本例的分析及解答：

从表中可以看出，现金流量是每年年末的净现金流量，从第2年开始到第10年，每年年末的净现金流量相等，这符合递延年金的定义，那么从第2年到第10年的每年年末的净现金流量的现值要按递延年金来计算。第0年的年末净现金流量为－500，说明是第1年年初一次性投入500万元，第1年年末的净现金流量为60万元，按复利现值的公式来计算。从本例中，建设期为0年，经营期为10年，年利率为10%，那么本例的投资的净现值计算为：

∑∑=-=++-+=n t t t m

t n t t R P R N NPV 111)1()1( 500%)101(%)101(1100%)101(601)

110(1

-+⨯+-⨯++⨯=----i 500)1%,10,/()110%,10,/(100)1%,10,/(60-⨯-⨯+⨯=F P A P F P

=60×0.9091+100× 5.7590×0.9091-500= 578.09669-500≈78.09669（万元）

四、其他年金

㈠普通年金

1.终值公式为：

i

i A F n 1)1(-+⋅= 式中的分式i

i n 1)1(-+称作“年金终值系数”，记作为（F/A ，i ，n ），可通过直接查阅“1元年金终值表”求得有关的数值，上式也可写作：F=A （F/A ，i ，n ）

例：假设某项目在5年建设期每年年末从银行垡100万元，借款年利率为10%，则该项目竣工时就付本息的总额为：

%

101%)101(1005-+⨯=F ＝100×（F/A ，10%，5）=100×6.1051=610.51（万元）

2.年偿债基金的计算（已知年金终值，求年金A ）

偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或者积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。它的计算实际上是年金终值的逆运算。

1

)1(-+⋅=n i i F A 式中的分式1

)1(-+n i i 称作“偿债基金系数”，记为（A/F ，i ，n ），可通过直接查阅“偿债基金系统表”或通过年金终值系数的倒数推算出来，上式也可写作：A=F （A/F ，i ，n ）或者A=F[1/（F/A ，i ，n ）]

例：假设某企业有一笔4年后到期的借款，到期值为1000万元。若存款年复利率为10%，则为偿还该借款应建立的偿债基金应为：