分支限界算法作业分配问题
第5章-3 分支限界算法设计基本方法
南京信息工程大学计算机与软件学院
问题的解空间：
与回溯法相同，一般用解空间树 解空间树（Solution Space 解空间树 Trees,也称状态空间树）的方式组织。 例如，对于n=3时的0-1背包问题，可用完全二叉树 表示其解空间，如下图所示。
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对解空间树的动态搜索过程
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5.3.1
分支限界法的基本思想
深度优先搜索
ABDHIEJKCFLMGNO
广度优先搜索
ABCDEFGHIJKLMNO
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5
5.3.1
分支限界法的基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费 （最大效益）优先的方式搜索问题的解空间 树。 对已处理的各结点根据限界函数估算目 标函数的可能取值，从中选取使目标函数取 得极值（极大/极小）的结点优先进行广度优 先搜索 不断调整搜索方向，尽快找到解。 特点：限界函数常基于问题的目标函数，适 特点： 用于求解最优化问题。
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广度优先遍历过程
在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点， 在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点， 分别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值； 分别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值； 如果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出目 标函数的界，则将其丢弃， 标函数的界，则将其丢弃，因为从这个结点生成 的解不会比目前已经得到的解更好； 的解不会比目前已经得到的解更好； 否则，将其加入待处理结点表（简称活结点表） 否则，将其加入待处理结点表（简称活结点表） 中。
18
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9——分支限界法
2 例9.1-限界
x3=1
x2=1 4
x1=1 2 x2=0 5
1
x1=0 3 x2=1 6
x2=0
x3=1 x3=0
x3=0 x3=1
x3=0 x3=1 x3=0
7
8
9
10
11 12
13
14
15
W={50,10,10},C1=60。 在此例中，结点3所在分支的所有子树中，装载货物的最 大可能是多少？ 20。
20
2 例9.1-算法2 FIFO分支限界
AddLiveNode(folat wt,int i, QNode *E, int ch) { Qnode *b; if (i=n) //叶子 { if (wt>bestw) //目前的最优解 { bestE=E; bestx[n]=ch;} //bestx[n]取值为ch return; } b = new QNode; // 不是叶子, 添加到队列中 b->weight=wt; b->parent=E; b->LChild=ch; add (Q,b) ; }
3 7 14 15
分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。 所谓“分支”是采用广度优先的策略，依次生成E-结点所 有分支，也就是所有的儿子结点。 和回溯法一样，可以在生成的结点中，抛弃那些不满足约 束条件的结点，其余结点加入活结点表。然后从表中选择 一个结点作为下一个E-结点。 选择下一个E-结点方式的不同导致几种分支搜索方式：
8
2 例9.1 装载问题
子集树
x3=1
x2=1 4
x1=1 2 x2=0 5
1
x1=0 3 x2=1 6
最佳调度问题_分支限界法
最佳调度问题_分⽀限界法最佳调度问题【问题描述】假设有n个任务由k个可并⾏⼯作的机器完成。
完成任务i需要的时间为ti。
试设计⼀个算法找出完成这n个任务的最佳调度，使得完成全部任务的时间最早。
【编程任务】对任意给定的整数n和k，以及完成任务i需要的时间为ti，i=1~n。
编程计算完成这n个任务的最佳调度。
【输⼊样例】7 32 14 4 16 6 5 3【输出样例】17即此问题为七个任务，三台机器。
⾸先列个七乘三的⼆维数组了解算法思路：我们知道回溯法其实是穷举法加剪枝函数，我们的函数⽤到递归，层层返回。
⼀共七层，每层的除去叶⼦节点都有三个孩⼦每搜索到叶⼦节点就更新⼀次maxnum值（⼩于maxnum则更新）（初值为⼀个较⼤的数），是⽤⼀次搜索结束后三个机器中花费时间最长的机器的所⽤时间作为此次分配的所⽤时间，。
1 #include<bits/stdc++.h>2using namespace std;3int n,k;4int x[100];//机器5int x1[100];//作业6int maxnum=1000000;78void task(int level)9 {10if(level>n){11int temp=0;12for(int i=1;i<=k;i++){13if(x[i]>temp){14 temp=x[i];15 }16 }17if(temp<maxnum){18 maxnum=temp;19 }20 }21else{22for(int i=1;i<=k;i++){23 x[i]+=x1[level];24 task(level+1);25 x[i]-=x1[level];26 }27 }28 }29int main()30 {31 cin >> n;32 cin >> k;33for(int i=1;i<=n;i++){34 cin >>x1[i];35 }36 task(1);37 cout << maxnum;38return0;39 }。
分支限界作业分配
第3章作业分配问题问题描述题1:作业分配问题：设有A,B,C,D,E, …等n个人从事J1,J2,J3,J4,J5,…等n项工作，每人只能从事一项任务，每个任务由不同的工人从事有着不同的费用，求最佳安排使费用最低。
要求：输出每人所从事的工作任务以及最佳安排的最低费用。
题2:有两艘船和需要装运的n个货箱，第一艘船的载重量是c1，第二艘船的载重量是c2，Wi是货箱i的重量，且W1+W2+W3+W4+......+Wn<=c1+c2。
希望确定是否有一种可将所有n个货箱全部装船的方法。
要求:输出每艘船最终载重量.问题分析分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。
是采用广度优先的策略国,依次搜索E-结点的所有分支,也就是所有的相邻结点。
和回溯法一样,在生成的结点中,抛弃那些不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。
然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点,断续搜索。
在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：(1)产生当前扩展结点的所有孩子结点；(2)在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；(3)将其余的孩子结点加入活结点表；(4)从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
分支限界法的思想是：首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。
题1:先看一个实例,设有A,B,C,D,E 5人从事J1,J2,J3,J4,J5项工作，每人只能从事一项，他们的效益如图所示，求最佳安排使效益最高。
要求：输出每人所从事的工作项目以及最佳安排的最高效益。
考虑任意一个可行解,例如矩阵中的对角线是一个合法的选择,表示将任务J1分配给人员A,任务J2分配给人员B,任务J3分配给人员C,任务J4分配给D,任务J5分配给E,其总效益是10+10+7+11+4=42;或者应用贪心法求得一个近似解:人员A从事J2时效益最大,将任务J2分配给人员A,剩余工作中人员B从事J1时效益最大,任务J1分配给人员B,J3、J4、J5中人员D从事J4时效益最大,任务J4分配给人员D,J3和J5中人员C从事J3时效益最大,任务J3分配给人员C,任务J5只能分配给人员E,其总效益是11+13+11+7+4=46.显然,42和46都不能确定是最优解,有可能还有比其更大的效益,这两个解其一并不一定是一个最可行的选择,它们仅仅提供了一个参考,这样,可以以其中一个作为参考来进一步对各种作业分配方案进行搜索,比较其每种分配方式的效益.最大的总效益为最优解,其分配方案为最佳分配方案.题2:先看一个实例,当n=3,c1=c2=50,w={10,40,40}时,可将货箱1,2装到第一艘船上,货箱3装到第二艘船上.但如果w={20,40,40},则无法将货箱全部装船.由此可知问题可能有解,可能无解,也可能有多解.下面以找出问题的一个解为目标设计算法.虽然是关于两艘船的问题,其实只讨论一艘船的最大装载问题即可.因为当第一艘船的最大装载为bestw时,若w1+w2+…+wn-bestw<=c2则可以确定一种解,否则问题就无解.这样问题转化为第一艘船的最大装载问题.算法设计题1:问题的解空间为一个子集树,所有可能的解都可通过一个求解树给出.也就是算法要考虑任务是否分配给人员的情况组合,n个任务分配给n个人员的组合共n*n种情况,作业分配子集树是n=4的子集树它是用FIFO分支搜索算法解决该问题的扩展结点的过程编号的.1 个人作业分配2 3 13 4 2 24 5 3 4 5 35 4 5 5 4 4作业分配子集树在任务分配中,如实例中若n=4时,J1分配给A则向左走,否则往右走,直到走到最后,把最终的总效益求出,并把第一次求出的总效益作为最大效益与后边的总效益相比较,比其大者,交换两者,大的作为最大效益.依次方法,直到找到最优解,并输出其值以及其最大效益时的最佳分配方案.(1)用FIFO分支搜索所有的分支,并记录已搜索分支的最优解,搜索完子集树也就找出了问题的解.图中结点1为第零层,是初始E-结点;扩展后结点2,3为第一层;3,4,2是第一个任务分配出去后的下一层扩展结点,4,5,3,4,5是第二个任务分配出去后下一层的扩展结点(即分配情况).(2)用task[i]来表示任务是否分配及分配了给哪个工人,即task[i]=0时表示任务i 未分配, task[i]=j表示任务i分配给了工人j;用worker[k]=0或1来表示工人k是否分配了任务, worker[k]=0表示工人k未分配任务, worker[k]=1表示工人k已分配了任务.(3)把最低费用用mincost来表示和c[i][j]表示工人j执行任务i时的费用,并把c[i][j]和mincost分别初始化为c[1000][1000]和100000;同时把ask[i]和temp[i]、worker[i]的存储空间初始为task[1000]和temp[1000]、worker[1000],之后把其初始化为0.(4)用Plan(int k,unsigned int cost)来对分配作业的解空间树进行搜索,搜索的时候,每个活结点要记录下搜索的路径(即分配方案),存储在temp[i]中,并求出费用cost,然后cost与最小费用mincost进行比较,较小者是最小费用,其分配方案为最佳分配方案.(5)下面的算法中用Plan(int k,unsigned int cost)中的第二个for循环来实现对解空间树的搜索,第一次for(i=0)时，找出0号工人分别执行0，1，2，3，4号任务时总花费最小;第二次for(i=1)时，找出1号工人分别执行除0号工人的任务以外任务时总花费最小，并与i=0时的总花费最小比较;…;第五次for(i=4)时，找出总花费最小，并与上次的总花费最小比较;依次类推对解空间树进行搜索.第一个for循环把cost 与mincost进行比较,求出最小费用并记录出最小费用的分配方案.题2:转化为一艘船的最优化问题后,问题的解空间为一个子集树(问题的解空间树中的子集树).也就是算法要考虑所有物品取舍情况的组合.(1)要想求出最优解,必须搜索到叶结点.所以要记录树的层次,当层次为n+1时,搜索完全部叶结点,算法结束.不同于回溯算法,分支搜索过程中活结点的“层”是需要标识的,否则在入队后无法识别结点所在的层.下面算法,每处理完一层让“-1”入队,以此来标识“层”,并用记数变量i来记录当前层.(2)每个活结点要记录当前船的装载量.(3)为了突出算法思想,对数据结构队及其操作只进行抽象描述.用Queue代表队列类型，则Queue Q：定义了一个队列Q，相关操作有：add（Q，….）表示入队；Empty（Q）测试队列是否为空，为空则返回真值。
分支限界法解批处理作业调度问题java
作业调度问题是指在多道程序系统中，根据各道程序的特点和系统的资源状况，合理地安排各道程序的执行顺序。
而分支限界法是一种解决排列、组合、0-1背包等问题的常用技术，可以有效地解决作业调度问题。
本文将结合Java语言，介绍如何使用分支限界法来解决作业调度问题。
一、作业调度问题的基本概念1. 作业调度问题的定义作业调度是指计算机系统对各种作业的安排和分配，以便使计算机系统有效地利用资源，提高各类作业的完成时间和各项资源的利用率。
2. 作业调度问题的类型作业调度问题主要分为单机调度和并行机调度两种类型。
其中单机调度是指一个作业在一台机器上进行处理，而并行机调度是指多个作业在多台机器上进行处理。
3. 作业调度问题的目标作业调度问题的主要目标是减少作业的等待时间，提高系统吞吐量，提高资源利用率，减少作业的周转时间等。
二、分支限界法的基本原理1. 分支限界法的概念分支限界法是一种剪枝技术，通过遍历搜索所有可能的解空间，并在搜索过程中剪掉某些明显不可能得到最优解的分支，从而有效地降低了搜索空间的规模。
2. 分支限界法的特点分支限界法在搜索过程中，通过剪枝操作，能够大大降低搜索空间的规模，提高搜索效率。
在解决NP难问题时，分支限界法通常能够得到较为满意的解。
3. 分支限界法的应用分支限界法被广泛应用于排列、组合、0-1背包、作业调度等各种组合优化问题的求解过程中，具有较高的实用性和效率。
三、分支限界法解决作业调度问题的具体步骤1. 确定问题的数学模型需要将作业调度问题转化为数学模型，例如采用Gantt图或者某种数学表达形式来描述作业的调度顺序和资源分配情况。
2. 设计合适的状态空间树根据问题的特点，设计合适的状态空间树来表示各种可能的作业调度方案，并利用分支限界法进行搜索。
3. 利用分支限界法进行搜索对设计好的状态空间树进行搜索，通过适当的剪枝操作，降低搜索空间的规模，提高搜索效率，直到找到最优解或者满意解为止。
(完整版)分支限界算法作业分配问题
分支限界法的研究与应用摘要：分支限界法与回溯法的不同:首先,回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。
其次，回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则一般以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。
再者，回溯法空间效率高；分支限界法往往更“快”。
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。
在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。
这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
常见的分支限界法有：队列式分支限界法，按照队列先进先出原则选取下一个结点为扩展结点。
栈式分支限界法，按照栈后进先出原则选取下一个结点为扩展结点。
优先队列式分支限界法，按照规定的结点费用最小原则选取下一个结点为扩展结点（最采用优先队列实现）。
分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。
所谓分支是采用广度优先的策略国,依次搜索E-结点的所有分支,也就是所有的相邻结点。
和回溯法一样,在生成的结点中,抛弃那些不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。
然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点,断续搜索。
关键词：分支限界法回溯法广度优先分支搜索法目录第1章绪论 (3)1.1 分支限界法的背景知识 (3)1.2 分支限界法的前景意义 (3)第2章分支限界法的理论知识.................. 错误!未定义书签。
2.1 问题的解空间树 ............................................... 错误!未定义书签。
(完整版)分支限界作业分配
第3章作业分配问题3.1 问题描述题1:作业分配问题：设有A,B,C,D,E, …等n个人从事J1,J2,J3,J4,J5,…等n项工作，每人只能从事一项任务，每个任务由不同的工人从事有着不同的费用，求最佳安排使费用最低。
要求：输出每人所从事的工作任务以及最佳安排的最低费用。
题2:有两艘船和需要装运的n个货箱，第一艘船的载重量是c1，第二艘船的载重量是c2，Wi是货箱i的重量，且W1+W2+W3+W4+......+Wn<=c1+c2。
希望确定是否有一种可将所有n个货箱全部装船的方法。
要求:输出每艘船最终载重量.3.2 问题分析分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。
是采用广度优先的策略国,依次搜索E-结点的所有分支,也就是所有的相邻结点。
和回溯法一样,在生成的结点中,抛弃那些不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。
然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点,断续搜索。
在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：(1)产生当前扩展结点的所有孩子结点；(2)在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；(3)将其余的孩子结点加入活结点表；(4)从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
分支限界法的思想是：首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。
题1:先看一个实例,设有A,B,C,D,E 5人从事J1,J2,J3,J4,J5项工作，每人只能从事一项，他们的效益如图所示，求最佳安排使效益最高。
要求：输出每人所从事的工作项目以及最佳安排的最高效益。
考虑任意一个可行解,例如矩阵中的对角线是一个合法的选择,表示将任务J1分配给人员A,任务J2分配给人员B,任务J3分配给人员C,任务J4分配给D,任务J5分配给E,其总效益是10+10+7+11+4=42;或者应用贪心法求得一个近似解:人员A 从事J2时效益最大,将任务J2分配给人员A,剩余工作中人员B从事J1时效益最大,任务J1分配给人员B,J3、J4、J5中人员D从事J4时效益最大,任务J4分配给人员D,J3和J5中人员C从事J3时效益最大,任务J3分配给人员C,任务J5只能分配给人员E,其总效益是11+13+11+7+4=46.显然,42和46都不能确定是最优解,有可能还有比其更大的效益,这两个解其一并不一定是一个最可行的选择,它们仅仅提供了一个参考,这样,可以以其中一个作为参考来进一步对各种作业分配方案进行搜索,比较其每种分配方式的效益.最大的总效益为最优解,其分配方案为最佳分配方案.题2:先看一个实例,当n=3,c1=c2=50,w={10,40,40}时,可将货箱1,2装到第一艘船上,货箱3装到第二艘船上.但如果w={20,40,40},则无法将货箱全部装船.由此可知问题可能有解,可能无解,也可能有多解.下面以找出问题的一个解为目标设计算法.虽然是关于两艘船的问题,其实只讨论一艘船的最大装载问题即可.因为当第一艘船的最大装载为bestw时,若w1+w2+…+wn-bestw<=c2则可以确定一种解,否则问题就无解.这样问题转化为第一艘船的最大装载问题.3.3 算法设计题1:问题的解空间为一个子集树,所有可能的解都可通过一个求解树给出.也就是算法要考虑任务是否分配给人员的情况组合,n个任务分配给n个人员的组合共n*n种情况,作业分配子集树是n=4的子集树它是用FIFO分支搜索算法解决该问题的扩展结点的过程编号的.1 个人作业分配2 3 13 4 2 24 5 3 4 5 3作业分配子集树在任务分配中,如实例中若n=4时,J1分配给A则向左走,否则往右走,直到走到最后,把最终的总效益求出,并把第一次求出的总效益作为最大效益与后边的总效益相比较,比其大者,交换两者,大的作为最大效益.依次方法,直到找到最优解,并输出其值以及其最大效益时的最佳分配方案.(1)用FIFO分支搜索所有的分支,并记录已搜索分支的最优解,搜索完子集树也就找出了问题的解.图中结点1为第零层,是初始E-结点;扩展后结点2,3为第一层;3,4,2是第一个任务分配出去后的下一层扩展结点,4,5,3,4,5是第二个任务分配出去后下一层的扩展结点(即分配情况).(2)用task[i]来表示任务是否分配及分配了给哪个工人,即task[i]=0时表示任务i未分配, task[i]=j表示任务i分配给了工人j;用worker[k]=0或1来表示工人k是否分配了任务, worker[k]=0表示工人k未分配任务, worker[k]=1表示工人k已分配了任务.(3)把最低费用用mincost来表示和c[i][j]表示工人j执行任务i时的费用,并把c[i][j]和mincost分别初始化为c[1000][1000]和100000;同时把ask[i]和temp[i]、worker[i]的存储空间初始为task[1000]和temp[1000]、worker[1000],之后把其初始化为0.(4)用Plan(int k,unsigned int cost)来对分配作业的解空间树进行搜索,搜索的时候,每个活结点要记录下搜索的路径(即分配方案),存储在temp[i]中,并求出费用cost,然后cost与最小费用mincost进行比较,较小者是最小费用,其分配方案为最佳分配方案.(5)下面的算法中用Plan(int k,unsigned int cost)中的第二个for循环来实现对解空间树的搜索,第一次for(i=0)时，找出0号工人分别执行0，1，2，3，4号任务时总花费最小;第二次for(i=1)时，找出1号工人分别执行除0号工人的任务以外任务时总花费最小，并与i=0时的总花费最小比较;…;第五次for(i=4)时，找出总花费最小，并与上次的总花费最小比较;依次类推对解空间树进行搜索.第一个for循环把cost与mincost进行比较,求出最小费用并记录出最小费用的分配方案.题2:转化为一艘船的最优化问题后,问题的解空间为一个子集树(问题的解空间树中的子集树).也就是算法要考虑所有物品取舍情况的组合.(1)要想求出最优解,必须搜索到叶结点.所以要记录树的层次,当层次为n+1时,搜索完全部叶结点,算法结束.不同于回溯算法,分支搜索过程中活结点的“层”是需要标识的,否则在入队后无法识别结点所在的层.下面算法,每处理完一层让“-1”入队,以此来标识“层”,并用记数变量i来记录当前层.(2)每个活结点要记录当前船的装载量.(3)为了突出算法思想,对数据结构队及其操作只进行抽象描述.用Queue代表队列类型，则Queue Q：定义了一个队列Q，相关操作有：add（Q，….）表示入队；Empty（Q）测试队列是否为空，为空则返回真值。
第七章分枝-限界法
6
▪如果使用度量2，则要成为E-结点的结点 只是由根到最近的那个答案结点路径上的 那些结点。
▪以后用C(.)表示“有智力的”排序函数，有称
为结点的成本函数。其定义如下：
在子树X中离X最近的那个答案结点到X的路径长 度
5
▪使用后一种度量，图7.1中树的根结点付出 的代价是4。结点（18和34），（29和35） 以及（30和38）的代价分别是3,2和1。
▪所有在2,3和4级上剩余结点的代价应分别 大于3,2和1。以这些代价作为选择下一个E结点的依据，则E-结点依次为1,18,29和30。
▪初始排列和目标排列叫做初始状态和目标状 态。
▪若由初始状态到某状态存在一系列合法的移 动，则称该状态可由初始状态到达。
▪一种初始状态的状态空间由所有可从初始状
态到达的状态构成。
12
例：15-谜问题
▪ 可以看出棋盘上这些牌有16！种不同的排列， 所以这个问题的状态空间是相当庞大的。
▪有必要在具体求解问题之前判定目标状态是 否在这个初始状态的状态空间中。
1
例7.1 ：4-皇后问题
39
55
2
本例考察用一个FIFO分支-限界算法检索 4-皇后问题的状态空间树的基本过程。
起初，只有一个活结点，即结点1。这表 示没有皇后被放在棋盘上。
扩展这个结点，生成它的儿子结点 2,18,34和50。这些结点分别表示皇后1在 第1行的1,2,3,4列情况下的棋盘。
因此这种检索策略称之为最小成本检索，简称 LC-检索。
10
例：15-谜问题
分支限界法
2. 一般情况下，对于一个正在生成的路径，假设已经确定 了前i段（1≤i≤k），其路径为(r1, r2, …, ri, ri+1)，此时，该 部分解的目标函数值的计算方法即限界函数如下：
lb
c[r ][r
j j 1
i
＋ j 1 ]
ri 1 , v p E
min
{c[ri 1 ][v p ]}
lb v
k i 1
第k行的最小值
n
假设已经将任务2分配给人员a，任务3分配给人员b，花费的 成本是5，则该部分解可能获得的最小成本是5+(1+4)=10。
搜索过程？
任务1 任务2 任务3 任务4
C＝
9 6 5 7
2 4 8 6
7 3 1 9
8 7 8 4
a b c d
9.3.3 批处理作业调度问题
9.2 图问题中的分支限界法
9.2.1 TSP问题 9.2.2 多段图的最短路径问题
9.2.1 TSP问题
问题描述：TSP问题是指旅行家要旅行n个城市，要 求各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市， 并要求所走的路程最短。 想法： 确定目标函数的界[down, up] 。（提示：如何确 定上、下界？） 确定目标函数值的计算方法（限界函数）。
分支限界法需要解决的关键问题
如何确定合适的限界函数。（提示：计算简单， 减少搜索空间，不丢解） 如何组织待处理结点表。（提示：表PT可以采用 堆的形式，也可以采用优先队列的形式存储。各有什 么特点？） 如何确定最优解的各个分量。（提示：跳跃式处 理解空树结点，必须保存搜索过程中经过的路径信 息。）
9.1.1 分支限界法的设计思想
确定一个合理的限界函数，并根据限界函数确定目 标函数的界[down, up]。
算法设计与分析分支限界法02
n
32
智能信息处理研究中心（RCIIP）
旅行售货员问题
实例——FIFO队列式
A
1 2 3
1
30 5 4
2 10 4
P
6 3
B
3 2
4 4 2
20
B C,D,E
a
C
4
D
E
3
F
4
G
3
H
4
I
2
26 3
J P
K
2
n
F,G,H,I,J,K L,M,N,P,Q
33
L
59
M
66
N
25
O
Q
智能信息处理研究中心（RCIIP）
bestw
a
右儿子剪枝
// 检查右儿子结点
if (Ew + r > bestw && i < n) Q.Add(Ew); Q.Delete(Ew);
n
// 可能含最优解 // 取下一扩展结点
29
智能信息处理研究中心（RCIIP）
装载问题
构造最优解 P
为了在算法结束后能方便地构造出与最优值相应的最 优解，算法必须存储相应子集树中从活结点到根结点 的路径。为此目的，可在每个结点处设置指向其父结 a 点的指针，并设置左、右儿子标志。 找到最优值后，可以根据parent回溯到根节点，找到 最优解。
28
智能信息处理研究中心（RCIIP）
装载问题
算法的改进
// 检查左儿子结点
Type wt = Ew + w[i]; if (wt <= c) {
P // 左儿子结点的重量
最新分枝-限界(Branch & Bound)
jjjkk
15
调度问题的定长元组表示
已知4个作业的三 元组(pi,di,ti)分别 为 (5,1,1) (10,3,2) (6,2,1) (3,1,1)
jjjkk
16
调度问题的另一种状态空间树
1 X1=1 2 X2=3 X2=4 8 X3=4 14 9 X1=2 3 X2=4 10 X1=3 4 X1=4 5 X2=4 11
12 R 0 15 11
10 17 0
1 11 2 0 3 0 2 3 12 0 0 0 12
23
1 0 0=4
ĉ(X)计算
令S为R的子节点且S不是叶节点 ĉ(S)=ĉ(R)+A(i,j)+r,r为节点S处的归约数. A(i,j)为R的归约矩阵中边<i,j>的权值. 将R的归约矩阵中i行j列置为∞(禁止再选择节点 i的出边和的j入边);将A(j,i)置为∞.得到的S处的 矩阵.对其归约得到r. 如S为叶节点,ĉ(S)=根到此叶节点的周游路线 成本
pi－罚款额 di－截止期 ti －需要的处理机时间
定长元组表示可行作业子集:(x(1),┅,x(n)) 设X=(x(1),…x(k))为状态空间树的节点 下界ĉ(x)可估计为已确知的罚款额: Σ(1-x(j))pj ,求和范围为 1≤j≤k
jjjkk
14
带截止期的作业调度问题（2）
限界
1 C 4 0
2 0 3 0 2 3 0 0 12
jjjkk
26
算法LCBB生成的状态空间树
jjjkk
27
行归约
Cost(f)≥Σ1≤j≤nrj
任务分配 分支限界法 伪代码
任务分配分支限界法伪代码1. 引言1.1 概述任务分配是一种常见的优化问题，旨在通过合理分配任务给不同的资源或执行者，以最大程度地提高整体效率和完成速度。
在实际生活和工作中，任务分配问题广泛存在于各个领域，例如生产制造、物流配送、计划安排等。
合理的任务分配可以有效地减少资源浪费、提高任务完成质量和满足不同执行者的需求。
然而，由于任务的复杂性和资源的有限性，要找到满足所有约束条件的最优任务分配方案十分困难，这就需要借助于一种高效的算法方法来解决任务分配问题。
分支限界法是一种常用的解决离散优化问题的算法，它通过不断分解问题的解空间，每次优先选择可行解中的最优解，以减少问题规模，最终求解出满足约束条件的最优解。
该方法的基本思想是通过限制问题的搜索空间，剪去那些不可能成为最优解的分支，从而大大减小问题的规模，提高搜索效率。
分支限界法在任务分配问题中具有广泛的应用价值，可以快速找到近似最优解，从而提高任务执行效率和资源利用率。
本文将从任务分配的背景介绍入手，详细介绍任务分配的方法和分支限界法的算法原理。
接着，我们将重点讨论分支限界法在任务分配问题中的应用场景，并通过详细的伪代码描述和代码示例，帮助读者更好地理解和应用该算法。
最后，我们将总结本文的主要内容，并对未来的研究和发展方向进行展望。
1.2 文章结构文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要对本文的背景和目的进行介绍。
在背景介绍中，将简要介绍任务分配和分支限界法的概念和应用。
在目的中，明确本文的目的是为了探讨任务分配与分支限界法的关系，并介绍分支限界法的算法原理和应用场景。
正文部分主要分为三个部分：任务分配、分支限界法和伪代码。
在任务分配部分，将详细介绍任务分配的背景和常见的任务分配方法。
在分支限界法部分，将详细介绍分支限界法的算法原理和应用场景。
在伪代码部分，将详细描述分支限界法的算法过程，并给出相应的代码示例。
结论部分对整篇文章进行总结，并展望任务分配和分支限界法在未来的发展前景。
分支限界法求解批作业处理调度问题的实验总结(一)
分支限界法求解批作业处理调度问题的实验总结(一)前言本文将介绍分支限界法在求解批作业处理调度问题中的实验结果，并总结这种方法在实践中的应用效果。
批作业处理调度问题是一个经典的优化问题，通过引入分支限界法求解，可以有效提高求解效率。
正文问题描述批作业处理调度问题是将一批作业分配给多台处理机，使得总完成时间最短。
每个作业有一个处理时间，各个处理机的处理速度可能不同，且每个处理机同时只能处理一项作业。
问题的目标就是找到一个合适的作业分配方案，使得总完成时间最小。
分支限界法原理分支限界法是一种优化算法，通过不断剪枝和界限约束，逐步地搜索最优解。
在批作业处理调度问题中，分支限界法的基本思想是将问题划分为子问题，并通过计算每个子问题的上界，动态地选择优先搜索的分支。
本次实验选取了一批作业和多台处理机，随机生成了作业的处理时间和处理机的处理速度。
利用分支限界法和贪心算法分别求解了批作业处理调度问题，并比较了两者的求解效果。
实验结果实验结果显示，分支限界法在求解批作业处理调度问题时表现出了较高的效率和准确性。
与贪心算法相比，分支限界法能够找到更优的作业分配方案，并且所需的计算时间相对较短。
实际应用分支限界法在实际生产中广泛应用于调度问题的求解。
无论是生产线的作业调度、机器设备的任务分配，还是人员的排班安排，都可以通过分支限界法来优化求解。
其高效的搜索方式和较好的求解结果使其成为一种实用的求解方案。
结尾通过本次实验，我们验证了分支限界法在求解批作业处理调度问题中的有效性。
分支限界法不仅能够在较短的时间内找到较优的解决方案，而且还可以应用于各种实际的调度问题。
希望通过本文的介绍，能够增加对分支限界法的了解和认识，并促进其在实际应用中的推广和应用。
为了求解批作业处理调度问题，我们使用了分支限界法和贪心算法两种方法进行对比。
首先，我们随机生成了一批作业和多台处理机。
每个作业的处理时间和每台处理机的处理速度也随机生成。
这样可以模拟实际情况中作业的不同耗时和处理机的不同处理能力。
批处理作业调度_分支限界法
批处理作业调度_分⽀限界法⼀、问题描述给定 n 个作业的集合 j = {j1, j2, …, jn}。
每⼀个作业 j[i] 都有两项任务分别在两台机器上完成。
每⼀个作业必须先由机器1 处理，然后由机器2处理。
作业 j[i] 需要机器 j 的处理时间为 t[j][i] ，其中i = 1, 2, …, n, j = 1, 2。
对于⼀个确定的作业调度，设F[j][i]是作业 i 在机器 j 上的完成处理的时间。
所有作业在机器2上完成处理的时间之和 f = sigma F[2][i] 称为该作业调度的完成时间之和。
批处理作业调度问题要求对于给定的 n 个作业，制定最佳作业调度⽅案，使其完成时间和达到最⼩。
⼆、解题思路及所选算法策略的可⾏性分析⽤优先队列式分⽀限界法解决此问题。
由于要从n个作业的所有排列中找出有最⼩完成时间和的作业调度，所以批处理作业调度问题的解空间树是⼀颗排列树。
对于批处理作业调度问题，可以证明存在最佳作业调度使得在机器1和机器2上作业以相同次序完成(因为每个作业必须先在机器1上完成作业才能在机器2上进⾏作业)。
如果对于未安排的作业，对于其中⼀个作业，每当该作业在机器1上完成处理后都能⽴即在机器2上开始处理，则机器1没有空闲时间，达到满⼯作状态，将此情况的未安排作业在机器2上的⼯作时间总和记为S1，同理将机器2满⼯作状态的情况下的⼯作时间总和记为S2，则必有：所有作业机器2上完⼯时间和 >= 已安排作业机器2上完⼯时间和 + max{S1,S2}其中当未安排作业按照在机器1、2上⼯作时间⾮递减顺序进⾏调度时，S1和S2同时取得极⼩值且和调度⽆关，由此可作为分⽀限界法中的限界函数。
伪代码描述及复杂度分析bbFlow(){对各作业在机器1和2上作旭时间排序do{if(到达叶结点){if(当前作业安排机器2上完成时间和 < bestc){更新bestc；更新最优解；}}else{For(int i=enode.已安排作业数; i<总作业数; i++){求得当前下届bb；If(bb < bestc){结点插⼊最⼩堆；}}}取下⼀个拓展结点；}while（enode!=null&&enode.s<=n）}三、代码实现package分⽀限界法;public class Nodes implements Comparable {int s;//已安排作业数int sf2;//当前机器2上的完成时间和int bb;//当前完成时间和下界int[] f;//f[1]机器1上最后完成时间，f[2]机器2上最后完成时间int[] x;//当前作业调度public Nodes(int n){//最⼩堆结点初始化x=new int[n];for(int i=0;i<n;i++)x[i]=i;s=0;f=new int[3];f[1]=0;f[2]=0;sf2=0;bb=0;}public Nodes(Nodes e,int[] ef,int ebb,int n){//最⼩堆新结点x=new int[n];for(int i=0;i<n;i++)x[i]=e.x[i];f=ef;sf2=e.sf2+f[2];bb=ebb;s=e.s+1;}@Overridepublic int compareTo(Object o) {int xbb=((Nodes) o).bb;if(bb<xbb) return -1;if(bb==xbb) return 0;return 1;}}public class BBFlow {public int n;//作业数public int bestc;//最⼩完成时间和public int [][]m;//n个作业所需的处理时间数组public int [][]b;//n个作业所需的处理时间排序数组public int[][] a;//数组m和b的对应关系数组public int[] bestx;//最优解public boolean[][] y;//⼯作数组public BBFlow(int n,int[][] m){this.n=n;bestc=10000;this.m=m;b=new int[n][2];a=new int[n][2];bestx=new int[n];y=new boolean[n][2];}public void swap(int[][] b,int i,int j,int k,int t){int temp=b[i][j];b[i][j]=b[k][t];b[k][t]=temp;}public void swap(int[] x,int i,int j){int temp=x[i];x[i]=x[j];x[j]=temp;}* 对n个作业在机器1和2上所需时间排序*/public void sort(){int[] c=new int[n];for(int j=0;j<2;j++){for(int i=0;i<n;i++){b[i][j]=m[i][j];c[i]=i;}for(int i=0;i<n-1;i++){for(int k=n-1;k>i;k--){if(b[k][j]<b[k-1][j]){swap(b,k,j,k-1,j);swap(c,k,k-1);}}}for(int i=0;i<n;i++)a[c[i]][j]=i;}}/*** 计算完成时间和下界* @param enode* @param f* @return*/public int bound(Nodes enode,int[] f){for(int k=0;k<n;k++){for(int j=0;j<2;j++){y[k][j]=false;}}for(int k=0;k<enode.s;k++){for(int j=0;j<2;j++){y[a[enode.x[k]][j]][j]=true;}}f[1]=enode.f[1]+m[enode.x[enode.s]][0];f[2]=((f[1]>enode.f[2])?f[1]:enode.f[2])+m[enode.x[enode.s]][1];int sf2=enode.sf2+f[2];int s1=0;int s2=0;int k1=n-enode.s;int k2=n-enode.s;int f3=f[2];//计算s1的值for(int j=0;j<n;j++){if(!y[j][0]){k1--;if(k1==n-enode.s-1)f3=(f[2]>f[1]+b[j][0])?f[2]:f[1]+b[j][0];s1+=f[1]+k1*b[j][0];}}//计算s2的值for(int j=0;j<n;j++){if(!y[j][1]){k2--;s1+=b[j][1];s2+=f3+k2*b[j][1];}//返回完成时间和下界return sf2+((s1>s2)?s1:s2);}/*** 优先队列式分⽀限界法解批处理作业调度问题* @param nn* @return*/public int bbFlow(int nn){n=nn;sort();//对n个作业在机器1和2上所需时间排序LinkedList<Nodes> heap=new LinkedList<Nodes>();Nodes enode =new Nodes(n);//搜索排列空间树do{if(enode.s==n){//叶节点if(enode.sf2<bestc){bestc=enode.sf2;for(int i=0;i<n;i++){bestx[i]=enode.x[i];}}}else{//产⽣当前扩展结点的⼉⼦结点for(int i=enode.s;i<n;i++){swap(enode.x,enode.s,i);int[] f=new int[3];int bb=bound(enode,f);if(bb<bestc){//⼦树可能含有最优解//结点插⼊最⼩堆Nodes node=new Nodes(enode,f,bb,n);heap.add(node);Collections.sort(heap);}swap(enode.x,enode.s,i);}//完成结点扩展}//取下⼀个扩展结点enode=heap.poll();}while(enode!=null&&enode.s<=n);return bestc;}public static void main(String[] args) {int n=3;int[][] m={{2,1},{3,1},{2,3}};//m的下标从0开始BBFlow f=new BBFlow(n,m);f.bbFlow(n);System.out.println("最优批处理作业调度顺序为：");for(int i=0;i<n;i++)System.out.print((f.bestx[i]+1)+" ");System.out.println();System.out.println("最优调度所需的最短时间为："+f.bestc); }}/**************************运⾏结果*最优批处理作业调度顺序为：*1 3 2*最优调度所需的最短时间为：18 *************************/。
-分支限界法
例：0/1背包问题。假设有4个物品，其重量分别为(4, 7, 5, 3)，价值分别为(40, 42, 25, 12)，背包容量W=10。首先， 将给定物品按单位重量价值从大到小排序，结果如下：
物品 1
重量(w) 价值(v)
4
40
价值/重量 (v/w)
10
2
7
42
6
3
5
25
5
4
3
12
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分支限界法的较高效率是以付出一定代价为基础的，其 工作方式也造成了算法设计的复杂性。首先，一个更好的限 界函数通常需要花费更多的时间计算相应的目标函数值，而 且对于具体的问题实例，通常需要进行大量实验，才能确定 一个好的限界函数；其次，由于分支限界法对解空间树中结 点的处理是跳跃式的，因此，在搜索到某个叶子结点得到最 优值时，为了从该叶子结点求出对应的最优解中的各个分量， 需要对每个扩展结点保存该结点到根结点的路径，或者在搜 索过程中构建搜索经过的树结构，这使得算法的设计较为复 杂；再次，算法要维护一个待处理结点表PT，并且需要在表 PT中快速查找取得极值的结点，等等。这都需要较大的存储 空间，在最坏情况下，分支限界法需要的空间复杂性是指数 阶。
各种经典问题的限界函数教学难点各种经典问题的限界函数以及限界算法教学内容教学目标知识点教学要求了解理解掌握熟练掌握分支限界法的设计思想tsp问题01背包问题boundmethod按广度优先策略搜索问题的解空间树在搜索过程中对待处理的结点根据限界函数估算目标函数的可能取值从中选取使目标函数取得极值极大或极小的结点优先进行广度优先搜索从而不断调整搜索方向尽快找到问题的解
如果bound(x1, x2, …, xn)是表PT中目标函数值最大的结 点，则bound(x1, x2, …, xn)就是所求问题的最大值，(x1, x2, …, xn)就是问题的最优解；
分支限界算法报告
实验五分支限界算法的应用一、实验目的1．掌握分支限界算法的基本思想、技巧和效率分析方法。
2．熟练掌握用分支限界算法的基本步骤和算法框架，FIFO搜索，LIFO搜索，优先队列式搜索的思想。
3．学会利用分支限界算法解决实际问题。
二、算法问题描述批处理作业调度问题：n个作业{1, 2, …, n}要在两台机器上处理，每个作业必须先由机器1处理，然后再由机器2处理，机器1处理作业i所需时间为ai，机器2处理作业i所需时间为bi（1≤i≤n），批处理作业调度问题（batch-job scheduling problem）要求确定这n个作业的最优处理顺序，使得从第1个作业在机器1上处理开始，到最后一个作业在机器2上处理结束所需时间最少。
注意：由于要从n个作业的所有排列中找出具有最早完成时间的作业调度，所以，批处理作业调度问题的解空间是一棵排列树，并且要搜索整个解空间树才能确定最优解，因此，其时间性能是O(n!)。
在搜索过程中利用已得到的最短完成时间进行剪枝，才能够提高搜索速度。
三、算法设计批处理作业调度问题要从n个作业的所有排列中找出具有最小完成时间和的作业调度，所以如图，批处理作业调度问题的解空间是一颗排列树。
在作业调度问相应的排列空间树中，每一个节点E都对应于一个已安排的作业集。
以该节点为根的子树中所含叶节点的完成时间和可表示为：设|M|=r，且L是以节点E为根的子树中的叶节点，相应的作业调度为{pk,k=1,2,……n}，其中pk是第k个安排的作业。
如果从节点E到叶节点L的路上，每一个作业pk在机器1上完成处理后都能立即在机器2上开始处理，即从pr+1开始，机器1没有空闲时间，则对于该叶节点L有：注：(n-k+1)t1pk,因为是完成时间和，所以，后续的(n-k+1)个作业完成时间和都得算上t1pk。
如果不能做到上面这一点，则s1只会增加，从而有：。
类似地，如果从节点E开始到节点L的路上，从作业pr+1开始，机器2没有空闲时间，则：同理可知，s2是的下界。
作业调度 分支限界
作业调度分支限界
作业调度是操作系统的重要组成部分，它的主要任务是根据作业的特性和系统资源的状况，对作业进行合理的分配和调度，以提高系统的性能和效率。
而分支限界法是一种用于解决搜索问题的算法，它通过限制搜索的范围，避免无谓的搜索，提高搜索效率。
在作业调度中，可以使用分支限界法来优化作业的分配和调度。
具体来说，可以使用以下步骤：
1. 定义问题：将作业调度问题转化为一个搜索问题，即在给定的作业集合中，找到最优的作业调度方案。
2. 建立搜索树：根据作业的特性和系统资源的状况，建立一个搜索树，树的每个节点表示一个可能的作业调度方案。
3. 确定搜索策略：根据搜索树的结构和问题的特点，确定搜索策略，如深度优先搜索、广度优先搜索等。
4. 应用分支限界法：在搜索过程中，应用分支限界法来限制搜索的范围，避免无谓的搜索。
例如，可以根据作业的优先级、执行时间等因素来限制搜索的范围。
5. 选择最优方案：在搜索结束后，选择最优的作业调度方案作为结果。
通过使用分支限界法，可以有效地提高作业调度的效率和性能，减少不必要的搜索，提高系统的资源利用率。
算法分析与设计-第六章分支限界法
[A] B, C => B, C [B, C] D, E => E [C, E] F, G => F, G [E, F, G] J, K => K(45) [1,0,0] [F, G] L, M =>L(50) [0, 1, 1] M(25) [G] N, 0 =>N(25), O(0)
if (Ew == -1) { // 同层结点尾部
if (Q.IsEmpty()) return bestw;
Q.Add(-1); // 同层结点尾部标志
Q.Delete(Ew); // 取下一扩展结点
i++;}
// 进入下一层 } }
6.3 装载问题
6.3 装载问题
3. 算法的改进
节点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树表示不将 此集装箱装上船。设bestw是当前最优解；ew是当前扩展 结点所相应的重量；r是剩余集装箱的重量。则当 ew+rbestw时，可将其右子树剪去，因为此时若要船装 最多集装箱，就应该把此箱装上船。
➢ 可用剪枝函数加速搜索
1A0
B
C
D
E
F
G
H I J K LMNO
6
四、旅行售货员问题
➢ 队列式分支限界法：
[A] B, C, D [B, C, D] E, F [C, D, E, F] G, H [D, E, F, G, H] I, J [E, F, G, H, I, J] K(59) [1,2,3,4] [F, G, H, I, J] L(66) [G, H, I, J] M(25) [1, 3, 2, 4] [H, I, J] 1-3-4(26) [I, J] O(25) [J] P(59)
《分支限界法》课件
目 录
• 分支限界法概述 • 分支限界法的算法流程 • 分支限界法的实现细节 • 分支限界法的优化策略 • 分支限界法的应用案例 • 分支限界法的总结与展望
01
分支限界法概述
定义与特点
定义
分支限界法是一种用于解决约束满足 问题的算法，它将问题空间进行分支 ，并在每条分支上设置限界，通过搜 索满足约束条件的解来找到最优解。
02
分支限界法的算法流程
初始化
设定求解目标
明确问题的求解目标，如寻找最小化或最大化的 解。
设定节点优先级
根据问题的特性，设定节点优先级，优先级高的 节点将优先被扩展。
设定界函数
根据问题的特性，设定界函数以评估节点的界限 ，即当前节点的解的优劣。
扩展节点
01
选择当前优先级最高的节点进行 扩展。
02
问题依赖性强
分支限界法的效率和效果很大程度上依赖于 问题的特性，对于某些问题可能效果不佳。
参数调整困难
该方法涉及多个参数设置，如分支宽度、限界深度 等，调整不当会影响算法性能。
需要经验积累
分支限界法的应用需要一定的经验积累，对 于新手来说可能存在一定的学习门槛。
分支限界法的研究方向
算法优化
针对不同类型的问题，研究如何优化分支限 界法，提高算法效率和求解质量。
生产调度问题
要点一
总结词
分支限界法在生产调度问题中能够处理多种约束和优化目 标。
要点二
详细描述
生产调度问题是一个复杂的优化问题，旨在安排生产计划 以满足市场需求和资源限制。分支限界法通过将问题分解 为多个子问题来处理多种约束和优化目标，通过设置优先 级和界限来控制搜索过程，从而在可接受的计算时间内得 到最优解或近似最优解。
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分支限界法的研究与应用摘要：分支限界法与回溯法的不同:首先,回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。
其次，回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则一般以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。
再者，回溯法空间效率高；分支限界法往往更“快”。
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。
在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。
这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
常见的分支限界法有：队列式分支限界法，按照队列先进先出原则选取下一个结点为扩展结点。
栈式分支限界法，按照栈后进先出原则选取下一个结点为扩展结点。
优先队列式分支限界法，按照规定的结点费用最小原则选取下一个结点为扩展结点（最采用优先队列实现）。
分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。
所谓分支是采用广度优先的策略国,依次搜索E-结点的所有分支,也就是所有的相邻结点。
和回溯法一样,在生成的结点中,抛弃那些不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。
然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点,断续搜索。
关键词：分支限界法回溯法广度优先分支搜索法目录第1章绪论 (3)1.1 分支限界法的背景知识 (3)1.2 分支限界法的前景意义 (3)第2章分支限界法的理论知识............... 错误！未定义书签。
2.1 问题的解空间树 ............................................ 错误！未定义书签。
2.2 分支限界法的一般性描述 (6)第3章作业分配问题 (7)3.1 问题描述 (7)3.2 问题分析 (7)3.3 算法设计 (8)3.4 算法实现 (10)3.5 测试结果与分析 (12)第4章结论 (13)参考文献 (14)第1章绪论1.1 分支限界法的背景知识分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。
所谓分支是采用广度优先的策略国,依次搜索E-结点的所有分支,也就是所有的相邻结点。
和回溯法一样,在生成的结点中,抛弃那些不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。
然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点,断续搜索。
（1) FIFO搜索先进先出搜索算法要依赖“队”做基本的数据结构。
一开始,根结点是唯一的活结点,根结点入队。
从活结点队中取出根结点后,作为当前扩展结点。
对当前扩展结点,先从左到右地产生它的所有儿子,用约束条件检查,把所有满足约束函数的儿子加入活结点队列中。
再从活结点表中取出队首结点为当前扩展结点,……,直到找到一个解或活结点队列为空为止。
（2) LIFO搜索后进先出搜索算法要依赖“栈”做基本的数据结构。
一开始,根结点入栈.从栈中弹出一个结点为当前扩展结点。
对当前扩展结点,先从左到右地产生它的所有儿子,用约束条件检查,把所有满足约束函数的儿子入栈,再众栈中弹出一个结点为当前扩展结点,……，直到找到一个解或栈为空为止。
（3）优先队列式搜索为了加速搜索的进程，应采用有效地方式选择E-结点进行扩展。
优先队列式搜索，对每一活结点计算一个优先级，并根据这些优先级，从当前活结点表中优先选择一个优先级最高的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间树上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。
1.2 分支限界法的前景意义在现实生活中，有这样一类问题：问题有n个输入，而问题的解就由n个输入的某种排列或某个子集构成，只是这个排列或子集必须满足某些事先给定的条件。
把那些必须满足的条件称为约束条件；而把满足约定条件的排列或子集称为该问题的可行解。
满足约束条件的子集可能不止一个，也就量说可行解一般来说是不唯一的。
为了衡量可行解的优劣，事先也可能给出了一定的标准，这些标准一般以函数形式给出，这些函数称为目标函数。
那些使目标函数取极值的可行解，称为最优解。
如工作安排问题，任意顺序都是问题的可行解，人们真正需要的是最省时间的最优解。
用回溯算法解决问题时，是按深度优先的策略在问题的状态空间中，尝试搜索可能的路径，不便于在搜索过程中对不同的解进行比较，只能在搜索到所有解的情况下，才能通过比较确定哪个是最优解。
这类问题更适合用广度优先策略搜索，因为在扩展结点时，可以在E-结点的各个子结点之间进行必要的比较，有选择地进行下一步扩展。
分支限界法就是一种比较好的解决最优化问题的算法。
分支限界法是由“分支”策略和“限界”策略两部分组成。
“分支”策略体现在对问题空间是按广度优先的策略进行搜索；“限界”策略是为了加速搜索速度而采用启发信息剪枝的策略。
第2章分支限界法的理论知识2.1 问题的解空间树1x1=1 x1=02 3x2=1 x2=0 x2=1 x2=04 5 6 7x3=1 x3=0 x3=1 x3=0 x3=1 x3=0 x3=1 x3=08 9 10 11 12 13 14 15子集树在FIFO分支搜索方法中,在搜索当前E-结点全部儿子后,其儿子成为活结点,E-结点变为死结点;活结点存储在队列中,队首的活结点出队后变为E-结点,其再生成其他活结点的儿子……直到找到问题的解或活结点队列为空搜索完毕.这里采用地构造解空间二叉树的方法,问题的解就是二叉树中的某一个分支.这个解是要搜索到二叉树的叶结点才能确定的,且只须记录最优解的叶结点,就能找到问题的解.比较方便的存储方式是二叉树要有指向父结点的指针,以便从叶结点回溯解的方案.又为了方便知道当前结点的情况,还要记录当前结点是父结点的哪一个儿子.FIFO分支搜索算法框架如下:假定问题解空间树为T,T至少包含一个解结点(答案结点).u为当前的最优解,初值为一个较大的数;E表示当前扩展的活结点,x为E 的儿子,s(x)为结点x下界函数,当其值比u大时,不可能为最优解,不断续搜索此分支,该结点不入队;当其值比u小时,可能达到最优解,断续搜索此分支,该结点入队;cost(X)当前叶结点所在分支的解.search(T){ leaf=0;初始化队;ADDQ(T);parent(E)=0;while(队不空){ DELETEQ(E)for(E的每个儿子X)if(s(X)<u){ ADD Q(X);parent(X)=E;if(X是解结点){ U=min(cost(X),u);leaf=x;}}}printf("least cost=%f",u);while(leaf!=0){ printf("%f",leaf);leaf=parent(leaf);}}找最小成本的LC分支-限界算法框架与FIFO分支-限界算法框架结构大致相同,只是扩展结点的顺序不同,因而存储活结点的数据结构不同.FIFO分支-限界算法用队存储活结点,LC分支-限界算法用堆存储活结点,以保证比较优良的结点行被扩展.且对于LC分支-限界算法,当扩展到叶结点就已经找到最优解,可以停止搜索.2.2 分支限界法的一般性描述分支限界有3种不同的搜索方式:FIFO、LIFO和优先队列。
对于先进先出搜索(FIFO),其算法要依赖“队”做基本的数据结构。
一开始,根结点是唯一的活结点,根结点入队。
从活结点队中取出根结点后,作为当前扩展结点。
对当前扩展结点,先从左到右地产生它的所有儿子,用约束条件检查,把所有满足约束函数的儿子加入活结点队列中。
再从活结点表中取出队首结点为当前扩展结点,……,直到找到一个解或活结点队列为空为止。
对于后进先出搜索(LIFO),其算法要依赖“栈”做基本的数据结构。
一开始,根结点入栈.从栈中弹出一个结点为当前扩展结点。
对当前扩展结点,先从左到右地产生它的所有儿子,用约束条件检查,把所有满足约束函数的儿子入栈,再众栈中弹出一个结点为当前扩展结点,……，直到找到一个解或栈为空为止。
对于优先队列式扩展方式，不加入限界策略其实是无意义的，因为要说明解的最优性，必需搜索完问题全部解空间，才能下结论。
优先队列式搜索通过结点的优先级，可以使搜索尽快朝着解空间树上有最优解的分支推进，这样当前最优解一定较接近真正的最优解。
其后将当前最优解作为一个“标准”，对上界（或下界）不可能达到（或大于）这个“标准”的分支，则不去进行搜索，这样剪枝的效率更高，能较好地缩小搜索范围，从而提高搜索效率。
这种搜索策略称为优先队列式分支限界法，即“LC-检索”。
优先队列式分支限界法进行算法设计的要点如下：（1）结点扩展方式：无论哪种分支限界法，都需要有一张活结点表。
优先队列的分支限界法将活结点组织成一个优先队列，并按优先队列中规定的结点优先级选取优先级最高的下一个结点成为当前扩展结点。
（2）结点优先级确定：优先队列中结点优先级常规定为一个与该结点相关的数值w，w一般表示以该结点为根的子树中的分支（其中最优的分支）接近最优解的程度。
（3）优先队列组织：结点优先级确定后，按结点优先级进行排序，就生成了优先队列。
排序算法的时间复杂度较高，考试到搜索算法每次只扩展一个结点，使用数据结构中介绍的堆排序比较合适，这样每次扩展结点时，比较交换的次数最少。
第3章作业分配问题3.1 问题描述题1:作业分配问题：设有A,B,C,D,E, …等n个人从事J1,J2,J3,J4,J5,…等n项工作，每人只能从事一项任务，每个任务由不同的工人从事有着不同的费用，求最佳安排使费用最低。
要求：输出每人所从事的工作任务以及最佳安排的最低费用。
题2:有两艘船和需要装运的n个货箱，第一艘船的载重量是c1，第二艘船的载重量是c2，Wi是货箱i的重量，且W1+W2+W3+W4+......+Wn<=c1+c2。
希望确定是否有一种可将所有n个货箱全部装船的方法。
要求:输出每艘船最终载重量.3.2 问题分析分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。
是采用广度优先的策略国,依次搜索E-结点的所有分支,也就是所有的相邻结点。
和回溯法一样,在生成的结点中,抛弃那些不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。
然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点,断续搜索。
在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：(1)产生当前扩展结点的所有孩子结点；(2)在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；(3)将其余的孩子结点加入活结点表；(4)从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。